Mecânica dos Materiais - Beer, Johnston - 5 ed COMPLETA - PDF, Notas de estudo de Engenharia Civil

Baixe Mecânica dos Materiais - Beer, Johnston - 5 ed COMPLETA - PDF e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity!

Ferdinand P. Beer / E. Russel Johnston, Jr. / John T. DeWolf / David F. Mazurek

MECÂNICA DOS MATERIAIS

Q U I N T A E D I Ç Ã O

---

M486 Mecânica dos materiais [recurso eletrônico] / Ferdinand P. Beer ... [etal.] ; tradução técnica José Benaque Rubert, Walter Libardi. – 5. ed. – Dados eletrônicos. – Porto Alegre : AMGH, 2011.

Editado também como livro impresso em 2011. ISBN 978-85-8055-008-

1. Engenharia mecânica. 2. Mecânica dos materiais. I. Beer, Ferdinand P.

CDU 621

---

Catalogação na publicação: Ana Paula M. Magnus – CRB 10/

Obra originalmente publicada sob o título

Mechanics of Materials, 5th edition

ISBN 0-07-352938-9 / 978-0-07-352938-

© 2008, The McGraw-Hill Companies, Inc., New York, NY, 10020

Preparação do original: Ronaldo Guimarães Galvão

Capa: Rosana Pozzobon (arte sobre capa original)

Imagem da capa: www.graeme-peacock.com

Editora sênior: Arysinha Jacques Affonso

Editora assistente: Luciana Cruz

Produção editorial: Triall Composição Editorial Ltda

Diagramação: Triall Composição Editorial Ltda

Reservados todos os direitos de publicação, em língua portuguesa, à

AMGH Editora Ltda (AMGH EDITORA é uma parceria entre

ARTMED Editora S.A. e MCGRAW-HILL EDUCATION)

Av. Jerônimo de Ornelas, 670 – Santana

90040-340 Porto Alegre RS

Fone (51) 3027-7000 Fax (51) 3027-

É proibida a duplicação ou reprodução deste volume, no todo ou em parte,

sob quaisquer formas ou por quaisquer meios (eletrônico, mecânico, gravação,

fotocópia, distribuição na Web e outros), sem permissão expressa da Editora.

São Paulo

Av. Embaixador Macedo Soares, 10.735 – Pavilhão 5 – Cond. Espace Center

Vila Anastácio 05095-035 São Paulo SP

Fone (11) 3665-1100 Fax (11) 3667-

SAC 0800 703-

IMPRESSO NO BRASIL

PRINTED IN BRAZIL

v

Autores

Muitas pessoas perguntam a nós, editores dos livros escritos por Ferd Beer e Russ Johnston, como é possível que eles tenham escrito um livro jun- tos, um deles estando em Lehigh e o outro na Universidade de Connecticut.

A resposta a essa pergunta é simples. O primeiro emprego de Russ Johnston como professor foi no Departamento de Engenharia Civil e Mecâni- ca da Universidade de Lehigh. Lá ele encontrou Ferd Beer, que havia chegado àquele departamento dois anos antes e era o responsável pelos cursos de me- cânica. Nascido na França e educado naquele país e na Suíça (ele tem um títu- lo de mestre da Sorbonne e um título de doutor no campo de mecânica teórica da Universidade de Genebra), Ferd chegou aos Estados Unidos depois de ter servido ao exército francês no início da Segunda Guerra Mundial e lecionado durante quatro anos no Williams College no programa Williams-MIT Joint Arts and Engineering. Nascido na Filadélfia, Russ obteve seu bacharelado em engenharia civil na Universidade de Delaware e o título de doutor no campo de engenharia estrutural do MIT.

Ferd fi cou maravilhado ao descobrir que o jovem professor, que havia sido contratado principalmente para ministrar cursos de graduação em enge- nharia estrutural, estava não só disposto, mas também ansioso por ajudá-lo a reorganizar os cursos de mecânica. Ambos acreditavam que esses cursos de- veriam ser ministrados a partir de princípios básicos e que os vários conceitos envolvidos seriam mais bem compreendidos e lembrados pelos estudantes se lhes fossem apresentados de modo gráfico. Juntos eles escreveram prele- ções em estática e dinâmica, às quais depois acrescentaram problemas que acharam que interessariam aos futuros engenheiros, e assim foi produzido o manuscrito da primeira edição de Mechanics for Engineers (Mecânica para Engenheiros). Na segunda edição de Mechanics for Engineers e na primeira edição de Vector Mechanics for Engineers (Mecânica Vetorial para Engenhei- ros) , Russ Johnston estava no Worcester Polytechnic Institute e nas edições seguintes, na Universidade de Connecticut. Durante esse tempo, tanto Ferd quanto Russ haviam assumido funções administrativas em seus departamen- tos e ambos estavam envolvidos em pesquisa, consultoria e supervisão de alunos — Ferd na área de processos estocásticos e vibrações aleatórias e Russ

vii

Prefácio

OBJETIVOS

O objetivo principal de um curso básico de mecânica é desenvolver no estudante de engenharia a habilidade para analisar um dado problema de maneira simples e lógica e aplicar alguns princípios fundamentais e bem compreendidos na sua solução. Este texto é destinado ao primeiro curso em mecânica dos materiais — ou mecânica dos sólidos ou resistência dos mate- riais — oferecido aos estudantes de engenharia nos dois primeiros anos do curso de graduação. Os autores esperam que o livro auxilie os professores a atingir esse objetivo nesse curso em particular, da mesma maneira que seus outros livros-texto Mecânica Vetorial para Engenheiros ajudam na estática e na dinâmica.

ABORDAGEM GERAL

Neste livro, o estudo da mecânica dos materiais está fundamentado na compreensão de alguns conceitos básicos e no uso de modelos simplificados. Essa abordagem torna possível desenvolver todas as fórmulas necessárias de uma maneira racional e lógica e indicar claramente as condições sob as quais elas podem ser aplicadas com segurança na análise e no projeto das estruturas reais de engenharia e componentes de máquinas.

Os Diagramas de Corpo-livre São Usados Extensivamente. Em todo o texto, os diagramas de corpo-livre são usados para determinar forças externas ou internas. O uso de “equações-figura” também ajudará os estudantes a entender a sobreposição de forças e as tensões e as deformações resultantes.

Conceitos de Projeto São Discutidos no Texto Sempre que For Conveniente. No Capítulo 1 pode-se encontrar uma discussão sobre a apli- cação do fator de segurança no projeto, no qual são apresentados os conceitos de projeto por tensão admissível e projeto por fator de resistência e carga.

Seções Opcionais Oferecem Tópicos Avançados ou Especiais. Tópicos como tensões residuais, torção de elementos não circulares e de pare- des delgadas, flexão em vigas curvas, tensões de cisalhamento em elementos não simétricos e critérios de falha foram incluídos em seções opcionais para

viii Prefácio^ serem aplicados em cursos com ênfase em assuntos diversos. Para preservar

a integridade do assunto, esses tópicos são apresentados na sequência apro- priada, nos pontos apropriados. Assim, mesmo quando não são abordados no curso, eles são facilmente visíveis e podem ser consultados com facilidade pelos estudantes, caso seja necessário, em um curso posterior ou na prática da engenharia. Para maior facilidade, todas as seções opcionais foram indicadas por asteriscos.

ORGANIZAÇÃO DOS CAPÍTULOS

Espera-se que os estudantes que utilizarão este livro já tenham passado por um curso de estática. No entanto, o Capítulo 1 se destina a lhes propor- cionar uma oportunidade de revisar os conceitos aprendidos naquele curso, embora os diagramas de força cortante e o momento fletor sejam discutidos em detalhe nas Seções 5.2 e 5.3. As propriedades dos momentos e centroides de áreas são descritas no Apêndice A; esse material pode ser utilizado para reforçar a discussão da determinação das tensões normal e de cisalhamento em vigas (Capítulos 4, 5 e 6). Os quatro primeiros capítulos são dedicados à análise das tensões e das deformações correspondentes em vários elementos estruturais, considerando sucessivamente a força axial, a torção e a flexão pura. Cada análise é funda- mentada em alguns conceitos básicos, ou seja, as condições de equilíbrio das forças aplicadas no elemento, as relações existentes entre tensão e deforma- ção específica no material e as condições impostas pelos apoios e carga dos elementos. O estudo de cada tipo de carregamento é complementado por um grande número de exemplos, problemas resolvidos e problemas propostos, tudo destinado a melhorar a compreensão do estudante sobre o assunto. O conceito de tensão em um ponto é introduzido no Capítulo 1, no qual mostramos que uma força axial pode produzir tensões de cisalhamento e ten- sões normais, dependendo da seção considerada. O fato de que as tensões dependem da orientação da superfície na qual elas são calculadas é enfatizado novamente nos Capítulos 3 e 4, nos casos de torção e flexão pura. No entanto, a discussão sobre as técnicas de cálculo — como, por exemplo, o círculo de Mohr — utilizadas para a transformação de tensão em um ponto é adiada até o Capítulo 7, depois que os estudantes já tiveram oportunidade de resolver problemas que envolvem uma combinação de carregamentos básicos e já des- cobriram por si mesmos a necessidade dessas técnicas. A discussão no Capítulo 2 sobre a relação entre tensão e deformação es- pecífica em vários materiais inclui materiais compostos reforçados com fi- bras. Além disso, o estudo de vigas sob forças transversais é apresentado em dois capítulos separados. O Capítulo 5 é dedicado à determinação das tensões normais em uma viga e ao projeto de vigas com base na tensão normal admis- sível e no material utilizado (Seção 5.4). O capítulo começa com uma discus- são sobre os diagramas de cisalhamento e o momento fletor (Seções 5.2 e 5.3) e inclui uma seção opcional sobre a utilização das funções de singularidade para a determinação da força cortante e momento fletor em uma viga (Seção 5.5). O capítulo termina com uma seção opcional sobre vigas não prismáticas (Seção 5.6). O Capítulo 6 é dedicado à determinação das tensões de cisalhamento em vigas e elementos de paredes delgadas sob cargas transversais. A fórmula para o fluxo de cisalhamento, q  VQ  I , é deduzida pela maneira tradicional. As- pectos mais avançados do projeto de vigas, como, por exemplo, a determinação

x Prefácio^ Listas de Problemas Propostos.^ A maioria dos problemas são de na-

tureza prática e devem interessar aos estudantes de engenharia. No entanto, eles se destinam principalmente a ilustrar o material apresentado no texto e ajudar os estudantes a entender os princípios básicos utilizados em mecânica dos materiais. Os problemas foram agrupados de acordo com as partes da matéria que eles ilustram e organizados em ordem crescente de dificuldade. Problemas que requerem atenção especial foram indicados com asteriscos. As respostas dos problemas estão no fim do livro (exercícios com número em itálico não apresentam respostas).

Revisão e Resumo do Capítulo. Cada capítulo termina com uma revisão e resumo do material apresentado no capítulo. Foram incluídas notas nas margens para ajudar os estudantes a organizar seu trabalho de revisão, e há referências cruzadas para ajudá-los a encontrar as partes que requerem atenção especial.

Problemas de Revisão. Há uma série de problemas de revisão incluí- dos no fim de cada capítulo. Esses problemas fornecem aos estudantes outra opor- tunidade para aplicar os conceitos mais importantes desenvolvidos no capítulo.

Problemas para Computador. A disponibilidade de computadores pessoais permite que os estudantes de engenharia resolvam um grande núme- ro de problemas difíceis. No fim de cada capítulo há um grupo de problemas para serem resolvidos em um computador. O desenvolvimento do algoritmo necessário para resolver um dado problema ajudará os estudantes de duas maneiras diferentes: (1) ajudará a melhor entender os princípios mecânicos envolvidos; (2) proporcionará a eles a oportunidade de aplicar as habilidades adquiridas no curso de programação de computadores na solução de proble- mas reais de engenharia.

MATERIAL SUPLEMENTAR*

Instructor's Solutions Manual. O Instructor's Solutions Manual , des- tinado aos docentes e que acompanha esta 5a^ edição, dá continuidade à tradição de soluções com excepcional precisão e atualizadas de modo que facilite a refe- rência. O manual também sugere roteiros desenvolvidos para auxiliar o docente na criação de atividades para seus cursos. Os vários tópicos cobertos pelo texto são relacionados na Tabela I, assim como o tempo necessário de dedicação a cada tópico. A Tabela II fornece uma rápida descrição de todos os grupos de problemas e classifica-os em cada grupo de acordo com a unidade a que se refe- rem. No manual também encontram-se exemplos de programação de aulas.

McGraw-Hill’s ARIS – Assessment, Review, and Instruction System. O ARIS é um tutorial completo on-line , um guia eletrônico para orientar nas tarefas extra-classe e um sistema de gerenciamento de curso pro- jetado para permitir que o docente possa criar e avaliar tarefas propostas aos estudantes, editar questões e algoritmos, importar seu próprio conteúdo, criar e compartilhar materiais do curso com outros docentes, divulgar informações e datas de avaliações. O ARIS gera tarefas extraclasse, questionários e testes, atribui notas e gera relatórios automaticamente. Os estudantes se beneficiam

• N. de R.: Os materiais aqui mencionados dizem respeito à edição publicada nos EUA, tendo o acesso vendido em separado, por vezes. Consulte o site www.bookman.com.br para averiguar os materiais disponíveis no Brasil.

pela prática ilimitada utilizando os problemas algorítmicos. Outros recursos disponíveis no ARIS incluem arquivos de PowerPoint e imagens deste texto. Visite o site em www.mhhe.com/beerjohnston.

Hands-On Mecânica. Hands-On Mecânica é um website concebido para os docentes interessados em utilizar modelos pedagógicos tridimensio- nais de apoio em suas aulas. Desenvolvido através de uma parceria entre a McGraw-Hill e o Departamento de Engenharia Civil e Mecânica na United States Military Academy em West Point, este site não só fornece instruções detalhadas sobre como construir ferramentas de ensino em 3-D, materiais en- contrados em qualquer laboratório ou loja de ferragens local, mas também provê acesso a uma comunidade, na qual os educadores podem compartilhar ideias, melhorar práticas e submeter suas próprias demonstrações para publi- cação no site. Visite o sítio www.handsonmechanics.com para saber como você pode utilizar estes recursos em sala de aula.

AGRADECIMENTOS DOS AUTORES

Agradecemos às empresas que forneceram as fotografias para esta edição. Queremos também reconhecer os esforços e a paciência de nossa fotógrafa Sabina Dowell.

Agradecemos também a Dennis Ormand da FineLine Illustrations de Far- mingdale, New York, pelas ilustrações artísticas que muito contribuíram para a efi cácia do texto.

Nossos agradecimentos especiais ao Professor Dean Updike, do Depar- tamento de Engenharia Mecânica e Mecânica da Lehigh University, por sua paciência e cooperação verificando as soluções e as respostas de todos os problemas dessa edição.

Somos gratos também pela ajuda, pelos comentários e pelas sugestões oferecidos por muitos usuários das edições anteriores de Resistência dos Ma- teriais.

E. Russell Johnston, Jr. John T. DeWolf David F. Mazurek

Prefácio xi

xiii

Sumário

1 INTRODUÇÃO — O CONCEITO DE TENSÃO 21 1.1 Introdução 22 1.2 Um breve exame dos métodos da estática 22 1.3 Tensões nos elementos de uma estrutura 25 1.4 Análise e projeto 26 1.5 Carga axial e tensão normal 27 1.6 Tensão de cisalhamento 29 1.7 Tensão de esmagamento em conexões 31 1.8 Aplicação à análise e projeto de estruturas simples 32 1.9 Método de solução do problema 34 1.10 Precisão numérica 35 1.11 Tensão em um plano oblíquo sob carregamento axial 43 1.12 Tensão sob condições gerais de carregamento; componentes de tensão 44 1.13 Considerações de projeto 47 Revisão e resumo do Capítulo 1 58

2 TENSÃO E DEFORMAÇÃO — CARREGAMENTO AXIAL 66 2.1 Introdução 67 2.2 Deformação específica normal sob carregamento axial 68 2.3 Diagrama tensão-deformação 70 *2.4 Tensões e deformações específicas verdadeiras 75 2.5 Lei de Hooke; módulo de elasticidade 76 2.6 Comportamento elástico e comportamento plástico de um material 77 2.7 Carregamentos repetidos; fadiga 79

2.15 Outras discussões sobre deformação sob carregamento

3 TORÇÃO 4 FLEXÃO PURA

• xiv Sumário 2.8 Deformações de elementos sob carregamento axial - 2.9 Problemas estaticamente indeterminados - 2.10 Problemas que envolvem mudanças de temperatura - 2.11 Coeficiente de Poisson - 2.12 Carregamento multiaxial; lei de Hooke generalizada
  • *2.13 Dilatação; módulo de compressibilidade volumétrica
    • 2.14 Deformação de cisalhamento - axial; relação entre E , N e G - compósitos reforçados com fibras *2.16 Relações de tensão-deformação para materiais - carregamento axial; princípio de Saint-Venant 2.17 Distribuição de tensão e deformação específica sob
    • 2.18 Concentrações de tensão
    • 2.19 Deformações plásticas
  • *2.20 Tensões residuais - Revis ão e resumo do Capítulo
    • 3.1 Introdução - barra de seção circular 3.2 Discussão preliminar das tensões em uma
      • 3.3 Deformações em uma barra de seção circular
    • 3.4 Tensões no regime elástico
    • 3.5 Ângulo de torção no regime elástico
    • 3.6 Eixos estaticamente indeterminados
    • 3.7 Projeto de eixos de transmissão
    • 3.8 Concentração de tensões em eixos circulares
  • *3.9 Deformações plásticas em eixos circulares
  • *3.10 Eixos circulares feitos de um material elastoplástico
  • *3.11 Tensão residual em eixos circulares
  • *3.12 Torção de elementos de seção não circular
  • *3.13 Eixos vazados de paredes finas - Revis ão e resumo do Capítulo
    • 4.1 Introdução
    • 4.2 Barra simétrica em flexão pura - em flexão pura 4.3 Deformações em uma barra de seção simétrica
    • 4.4 Tensões e deformações no regime elástico
    • 4.5 Deformações em uma seção transversal
    • 4.6 Flexão de barras constituídas de vários materiais
    • 4.7 Concentrações de tensão
  • *4.8 Deformações plásticas

xvi Sumário^ 7.5^ Estado geral de tensão^466

7.6 Aplicação do círculo de Mohr na análise tridimensional da tensão 468 *7.7 Critérios de escoamento para materiais dúcteis em estado plano de tensão 471 *7.8 Critério de fratura para materiais frágeis em estado plano de tensão 473 7.9 Tensões em vasos de pressão de paredes finas 482 *7.10 Transformação do estado plano de deformação 490 *7.11 Círculo de Mohr para o estado plano de deformação 493 *7.12 Análise tridimensional de deformação 495 *7.13 Medidas de deformação específica e rosetas de deformação 498 Revis ão e resumo do Capítulo 7 506

8 TENSÕES PRINCIPAIS SOB DETERMINADO CARREGAMENTO 515 *8.1 Introdução 516 *8.2 Tensões principais em uma viga 517 *8.3 Projeto de eixos de transmissão 520 *8.4 Tensões sob carregamentos combinados 528 Revis ão e resumo do Capítulo 8 541

9 DEFLEXÃO DE VIGAS 549 9.1 Introdução 550 9.2 Deformação de uma viga sob carregamento transversal 552 9.3 Equação da linha elástica 553 *9.4 Determinação direta da linha elástica com base na força distribuída 558 9.5 Vigas estaticamente indeterminadas 560 *9.6 Utilizando funções de singularidade para determinar a inclinação e a deflexão de uma viga 569 9.7 Método da superposição 578 9.8 Aplicação da superposição para vigas estaticamente indeterminadas 580 *9.9 Teoremas do momento de área 589 *9.10 Aplicação em vigas em balanço e em vigas com carregamentos simétricos 591 *9.11 Diagramas de momento fletor por partes 593 *9.12 Aplicação dos teoremas do momento de área às vigas com carregamentos assimétricos 602 *9.13 Deflexão máxima 604 *9.14 Aplicação dos teoremas de momento de área em vigas estaticamente indeterminadas 606 Revis ão e resumo do Capítulo 9 614

10 Sumário^ xvii COLUNAS 626 10.1 Introdução 627 10.2 Estabilidade de estruturas 628 10.3 Fórmula de Euler para colunas biarticuladas 630 10.4 Extensão da fórmula de Euler para colunas com outras condições de extremidade 634 *10.5 Carregamento excêntrico e fórmula da secante 645 10.6 Projeto de colunas submetidas a uma força centrada 656 10.7 Projeto de colunas submetidas a uma força excêntrica 672 Revisão e resumo do Capítulo 10 682

11 MÉTODOS DE ENERGIA 689 11.1 Introdução 690 11.2 Energia de deformação 690 11.3 Densidade de energia de deformação 692 11.4 Energia de deformação elástica para tensões normais 694 11.5 Energia de deformação elástica para tensões de cisalhamento 697 11.6 Energia de deformação para um estado geral de tensão 700 11.7 Carregamento por impacto 713 11.8 Projeto para carregamento por impacto 715 11.9 Trabalho e energia em razão de uma única carga 716 11.10 Deformação provocada por uma única carga pelo método do trabalho e da energia 718 *11.11 Trabalho e energia devido a várias cargas 729 *11.12 Teorema de Castigliano 731 *11.13 Deflexões pelo teorema de Castigliano 732 *11.14 Estruturas estaticamente indeterminadas 736 Revisão e resumo do Capítulo 11 746

APÊNDICES

A Momentos de áreas 756 B Propriedades típicas de materiais mais usados na engenharia 766 C Propriedades de perfis de aço laminado 768 D Deflexões e inclinações de vigas 774

Crédito de fotos 775

Respostas aos problemas 777

Índice 789

C A P Í T U L O

Introdução —

O conceito de tensão

Introdução —

O conceito de tensão

Este capítulo é dedicado ao estudo das tensões que ocorrem em muitos dos elementos contidos nesta escavadeira, como, por exemplo, elementos de barra, eixos, parafusos e pinos.

22 Introdução – O conceito de tensão^ 1.1. Introdução

O principal objetivo do estudo da mecânica dos materiais é proporcionar ao futuro engenheiro os meios para analisar e projetar várias máquinas e es- truturas portadoras de carga. Tanto a análise quanto o projeto de uma dada estrutura envolvem a de- terminação das tensões e deformações. Este primeiro capítulo é dedicado ao conceito de tensão. A Seção 1.2 apresenta um rápido exame dos métodos básicos da estática e sua aplicação na determinação das forças nos elementos conectados por pinos que formam uma estrutura simples. A Seção 1.3 apresentará o concei- to de tensão em um elemento estrutural e mostrará como essa tensão pode ser determinada a partir da força nesse elemento. Após uma breve discussão da análise e projeto de engenharia (Seção 1.4), você estudará sucessivamen- te as tensões normais em uma barra sob carga axial (Seção 1.5), as tensões de cisalhamento originadas pela aplicação de forças transversais equivalen- tes e opostas (Seção 1.6) e as tensões de esmagamento criadas por parafusos e pinos em barras por eles conectadas (Seção 1.7). Esses vários conceitos serão aplicados na Seção 1.8 para a determinação das tensões nas barras de estrutura simples considerada anteriormente na Seção 1.2. A primeira parte do capítulo termina com uma descrição do método que você deverá utilizar na solução de determinado problema (Seção 1.9) e com uma discussão da precisão numérica apropriada aos cálculos de engenharia (Seção 1.10). Na Seção 1.11, examinaremos novamente um elemento de barra sob carga axial, será observado que as tensões em um plano oblíquo incluem as componen- te de tensões normal e de cisalhamento , ao passo que na Seção 1.12 você notará que são necessários seis componentes para descrever o estado de tensão em um ponto de um corpo, sob as condições mais generalizadas de carga. Finalmente, a Seção 1.13 será dedicada à determinação do limite de re- sistência de um material através de ensaios de corpos de prova e a seleção de coeficiente de segurança aplicados ao cálculo da carga admissível de um componente estrutural feito com esse material.

1.2. Um breve exame dos métodos da estática

Nesta seção você examinará os métodos básicos da estática enquanto de- termina as forças nos elementos de uma estrutura simples. Considere a estrutura mostrada na Fig. 1.1, projetada para suportar uma carga de 30 kN. Ela consiste em uma barra AB com uma seção transversal re- tangular de 30 50 mm e uma barra BC com uma seção transversal circular com diâmetro de 20 mm. As duas barras estão conectadas por um pino em B e são suportadas por pinos e suportes em A e C , respectivamente. Nosso primeiro passo será desenhar um diagrama de corpo livre da estrutura, separando-a de seus suportes em A e C e mostrando as reações que esses suportes exercem na estrutura (Fig. 1.2). Note que o croqui da estrutura foi simplificado omitindo-se todos os detalhes desnecessários. Muitos de vocês devem ter reconhecido neste ponto que AB e BC são barras simples. Para aqueles que não perceberam, va- mos proceder à nossa análise, ignorando esse fato e assumindo que as direções