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EQUAÇÃO DA ENERGIA
Objetivo: Equacionar os princípios e condições da conservação da energia em escoamentos.
Aplicações: Estudo de bombas, turbinas, hidrelétricas, motores a jato, aerodinâmica, determinação de potência e rendimento de máquinas hidráulicas, estudo de instalações hidráulicas, transformações de energia, etc.
Tipos de energia associadas a um fluido
a) Energia Potencial (EP) : É o estado de energia do sistema devido somente à sua posição no campo de gravidade em relação a um plano horizontal de referência (PHR). Seja um sistema de peso G = m.g, cujo centro de gravidade está a uma altura z em relação a um PHR. A energia potencial é medida pelo trabalho que um sistema poderia realizar ao se deslocar de sua posição até o PHR
Como: Trabalho = Força x Deslocamento Então: W = G.z = m.g.z
Como EP = W, logo: EP = m.g.z
b) Energia Cinética (EC): É o estado de energia determinado pelo movimento do fluido. Seja um sistema de massa m e velocidade V, a energia cinética será dada por:
mV E
2 C =
c) Energia de Pressão (EPR): É o trabalho das forças de pressão que atuam no escoamento do fluido. Seja por exemplo o tubo:
Admitindo que a pressão seja uniforme na seção, então a força aplicada pelo fluido na área A será F = P.A. No intervalo dt, o fluido irá se deslocar de uma distância ds, produzindo um trabalho dW
dW = F.ds = P.A.ds = P.d∀
Por definição: dW = dEPR e portanto
dEPR = P.d∀
ou ∫
∀
E (^) PR= Pd∀
d) Energia Mecânica Total do Fluido (E)
E = EP + EC + EPR
∀
= + + Pd∀ 2
mV E m.g.z
2
Pelas hipótes b), c) e f), não se fornece, nem se retira energia do fluido e para que o regime seja permanente, é necessário que no trecho de (1) a (2), não haja variação de energia, o que resulta em:
dE 1 = dE 2 ou
massa de fluido dm 1 atravessa a seção (1), com energia dE 1 :
dm V Pd dm .g.z 2
dm V dm .g.z 2
2 2 2 1 1 2 2
2 1 1 1 1
Como: ∀
ρ = d
dm e portanto: ρ
dm d tem-se:
2 2
2
2 2 2 1 2 2 1
1
2 1 1 1 1 dm
P
dm V dm dm .g.z
P
dm V dm .g.z ρ
ρ
Como o fluido é incompressível → ρ 1 = ρ 2
e como o regime é permanente → dm 1 = dm 2 = dm
dividindo-se a equação por dm, tem-se:
ρ
ρ
+ +^2
2 2 2
1
2 1 1
P
V
g.z
P
V
g.z
dividindo-se a equação por g e lembrando que γ = ρ .g tem-se:
γ
γ
+ +^2
2 2 2
1
2 1 1
P
2 g
V
z
P
2 g
V
z → Equação de Bernoulli
Significado dos termos da equação:
Energia potencial por unidade de peso ou energia potencial de uma partícula de peso unitário
G
E
mg
mgz z = = P →
Energia cinética por unidade de peso ou energia cinética de uma partícula de peso unitário
G
E
2 G
mV 2 mg
mV 2 g
V 222 C
Energia de pressão por unidade de peso ou energia de pressão de uma partícula de peso unitário
G
E
G
P P P PR
γ∀
γ
Define-se carga hidráulica (H) como sendo a energia total por unidade de peso de fluido em uma seção do escoamento.
γ
P
2 g
V
H z
2
Unidade: comprimento, por exemplo metro (m):
m N
N. m G
E
H = ⇒ =
Portanto, a equação de Bernoulli, pode ser escrita da seguinte forma:
H 1 = H 2
Potência e Rendimento
Potência: Energia por unidade de tempo
Potência Hidráulica (N): É a potência mecânica total de um escoamento em uma determinada seção:
tempo
energia N = ou
tempo
peso x peso
energia N =
N = H x QG QG – vazão em peso = γ.Q
N = γ.Q.H
Potência de Máquina: No caso de presença de máquina a energia fornecida ou retirada é a carga manométrica da máquina (HM). Portanto:
N = γ.Q.HM
No caso de bomba: N = γ.Q.HB
No caso de turbina: N = γ.Q.HT
Para a transmissão de potência em máquinas hidráulicas, sempre existem perdas associadas ao rendimento da máquina. Com isso define-se a potência de eixo da máquina:
No caso de uma bomba, a potencia de eixo da bomba, ou simplesmente potência da bomba, será indicada por NB e é definida como sendo a potência que o motor entrega à bomba.
Tem-se portanto que: N < NB devido às perdas de energia (atrito, aquecimento, etc.) na transmissão da potência do motor ao fluido.
Com isso, define-se rendimento de uma bomba (ηB)
B
B N
N
η =
Então: B
B B
B
N .Q.H
N
η
γ
η
No caso de uma turbina, a potencia de eixo da turbina, ou simplesmente potência da turbina, será indicada por NT e é definida como sendo a potência que a turbina entrega ao gerador elétrico.
Tem-se portanto que: NT < N devido às perdas de energia (atrito, aquecimento, etc.) na transmissão da potência do fluido ao eixo do gerador.
Com isso, define-se rendimento de uma turbina (ηT)
N
N T
ηT =
Então: (^) N (^) T =N.ηT =γ.Q.HT.ηT
As unidades de potência são dadas por unidade de energia por tempo
S.I: N.m/s = J/s = W MK*S: kgf.m/s Outras unidades: 1CV = 75 kgf.m/s = 735 W (CV – cavalo-vapor) 1 HP = 1,014 CV (HP – horse-power)
Exercícios a serem resolvidos em classe
Adotar g = 10 m/s^2 para os exercícios
- O Venturi é um medidor de vazão utilizado em Instrumentação e também um redutor de pressão utilizado, por exemplo, em unidades de conservação pneumáticas. No Venturi da figura abaixo, supõem-se perdas por atrito desprezíveis e propriedades uniformes nas seções. A área (1) é 20 cm^2 enquanto que a da garganta (2) é 10 cm^2. Um manômetro cujo fluido manométrico é mercúrio (γHg = 13600 kgf/m^3 ) é ligado entre as seções (1) e (2) e indica o desnível mostrado na figura. Pede-se a vazão da água que escoa pelo Venturi. (γÁgua = 1000 kgf/m^3 )
- Determinar a potência hidráulica de um jato de fluido descarregado no ambiente por um bocal. Dados: VJ = velocidade do jato AJ = área do jato γ = peso específico do fluido
- Um reservatório de grandes dimensões (p. ex. represa) fornece água para o tanque indicado com uma vazão de 10 L/s. Verificar se a máquina instalada é bomba ou turbina e determinar sua potência se o rendimento é 75%. Supor fluido ideal. Dados: γÁgua = 10^4 N/m^3 ATubos = 10 cm^2 g = 10 m/s^2
- Na instalação da figura, verificar se a máquina é uma bomba ou uma turbina e determinar sua potência, sabendo-se que seu rendimento é 75%. Sabe-se que a pressão indicada por um manômetro instalado na seção (2) é 1,6 kgf/cm^2 , a vazão é 10 L/s, a área da seção dos tubos é 10 cm^2 e a perda de carga entre as seções (1) e (4) é 2 m. Não é dado o sentido do escoamento. (γÁgua = 10^3 kgf/m^3 )
- Uma bomba deve recalcar 0,15 m^3 /s de óleo de peso específico 7600 N/m^3 para o reservatório (C) da figura. Adotando que a perda de carga seja de 2,5 m de (A) até (1) e 6 m de (2) a (C), determinar a potência da bomba, supondo seu rendimento 75%. O diâmetro da tubulação é 30 cm.
- Água escoa através da turbina à razão de 0,214 m^3 /s e as pressões em A e B são, respectivamente, 147,5 kPa e − 34,5 kPa. Determine a potência fornecida para a turbina pela água. (γÁgua = 10^4 N/m^3 )
Lista de Exercícios. Equação da Energia
Adotar g = 10 m/s^2 para os exercícios
- A equação de Torricelli determina a velocidade de um jato em um orifício em um reservatório, desprezando-se as perdas de cargas. Verifique a equação de Torricelli.
Eq. de Torricelli: V = 2 gh
- Para a turbina do exercício 6 (lista de exerc. para classe), se forem extraídos 28,8 kW do fluido, para uma vazão de 0,26 m^3 /s e pressão manométrica em A de 141,3 kPa, qual será a pressão manométrica na seção B? Resp.: 46,6 kPa
- O sifão é utilizado para retirar um líquido de um reservatório, sem a necessidade de se fazer um furo na parte inferior ou lateral do mesmo. Para o sifão de 50 mm de diâmetro, que retira gasolina (peso específico relativo 0,73) do reservatório, a perda de carga do ponto (1) ao ponto (2) é de 1,5 m e do ponto (2) ao ponto (3) é de 2,4 m. Determine a vazão de gasolina do sifão e a pressão no ponto (2). (γÁgua = 10^4 N/m^3 ). Resp.: Q = 9,21x10-3^ m^3 /s; P 2 = − 3,36x10^4 Pa
Gasolina
- Qual pressão na ponta do nariz de um avião que viaja a velocidade de 900 km/h, sabendo-se que a massa específica do ar é de 12 N/m^3? Resp.: P = 37,5 kPa
- Um reservatório de grandes dimensões está cheio com água e o espaço com ar acima da água está pressurizado. Uma mangueira de 50,8 mm ligada ao reservatório descarrega a água no teto de um edifício 15,2 m acima do nível do reservatório. A perda de carga é de 5,5 m. Qual a pressão que deve ser mantido o ar para que a vazão seja descarregada seja de 0,012 m^3 /s? Resp. 221 kPa.
- Na instalação da figura são dados: HPB,C ≅ 0; Q = 3,14 m^3 /s; D = 2 m; PB = 4 kgf/cm^2 ; γÁgua = 10^3 kgf/m^3 Pede-se: a) As cargas hidráulicas em A, B e C b) O sentido do escoamento c) O tipo de máquina d) A perda de carga entre A e B e) A potência da máquina se o rendimento é 80% Resp.: (PHR em C) a) HA = 35 m; HB = 45,1 m; HC = 0 b) sentido de C → A c) bomba d) HPB,A = 10,1 m e) NB = 2358 CV
- Na instalação da figura, o pistão tem peso W = 100 kgf e fica em equilíbrio quando a vazão através da instalação é Q = 40 L/s. Supondo que o reservatório de água tenha nível constante igual a 1m, determinar a pressão P 0 da câmara de ar acima da água. São dados: γÁgua = 10^3 kgf/m^3 AP = 0,5 m^2 (área da seção transversal do pistão); HP0,1 = 1,95 m A = 8x10-3^ m^2 (área do conduto) Resp.: P 0 = 4000 kgf/m^2
- A potência disponível no eixo da turbina da figura é 75 CV. Sabe-se que no seu interior são dissipados 4 CV. A perda de carga ao longo da canalização entre as seções (1) e (2) é de 1,5 m. Conhece-se a vazão em massa QM = 60 utm/s. Não é fornecido z 1. O fluido é água (γÁgua = 10^3 kgf/m^3 ). Calcular o desnível h que ocorre ao ser ligado o manômetro diferencial de mercúrio. Resp.: h = 0,74 m
