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3.- Análisis vectorial.
§3.1. Campos escalares y vectoriales (61); §3.2. Derivada de un vector respecto a un escalar (63); §3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar (65); §3.4. Circulación de un vector (66); §3.5. Flujo de un campo vectorial (69); §3.6. Gradiente de un campo escalar (71); §3.7. Función potencial (73); §3.8. Divergencia de un campo vectorial (74); §3.9. Teorema de Gauss (76); §3.10. Rotacional de un campo vectorial (77); §3.11. Teorema de Stokes (78); §3.12. El operador nabbla (80); Problemas (82)
§3.1. Campos escalares y vectoriales.- Consideremos una función tal que
Figura 3.
haga corresponder a cada punto del espacio el valor de una cierta magnitud física (función unívoca de punto); decimos, entonces, que ese espacio, como soporte de dicha magnitud física, es un campo ; así, hablaremos de campos gravitatorios, eléctricos, de presiones, de temperaturas, ... De acuerdo con el carácter de la magnitud física que define al campo distinguiremos dos tipos de campos:
Campo escalar: Toda función que haga corres-
Figura 3.
ponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud escalar define un campo escalar (Figu- ra 3.1). Como ejemplos de campos escalares tenemos los campos de temperatura, de presión, de densidad ... Campo vectorial: Toda función que haga corres- ponder a cada punto del espacio el valor de una magnitud vectorial, esto es, un vector, define un campo vectorial (Figura 3.2). Como ejemplos de campos vectoriales tenemos el campo gravitatorio ( g ), el eléctrico ( E ), el magnético ( B ), el de veloci- dades en una corriente fluida ( v ) ....
En general, el valor de la magnitud física que define al campo (escalar o vectorial) será función
Manuel R. Ortega Girón 61
62 Lec. 3.- Análisis vectorial.
tanto de las coordenadas del punto como del tiempo. Así, escribiremos para los campos escalares y vectoriales anteriormente definidos
φ ( r , t ) y A ( r , t ) [3.1]
o bien, en coordenadas cartesianas,
φ ( x , y , z , t ) y A ( x , y , z , t ) [3.2] Si el campo sólo es función de la posición, o sea si es φ( x,y,z ) ó A ( x,y,z ), diremos que se trata de un campo estacionario ; esto es, independiente del tiempo. Si, por el contrario, sólo es función del tiempo, y, por tanto, toma el mismo valor en un instante dado en todos los puntos del espacio en el que está definido, diremos que se trata de un campo uniforme y escribiremos φ( t ) ó A ( t ). Los campos escalares y los vectoriales admiten una representación gráfica que, si la realizamos de un modo adecuado, nos permitirá obtener una idea inmediata de algunas de las características del campo. En el caso de un campo escalar,
Figura 3.
representado analíticamente por la magnitud escalar φ, función continua en todo el espacio (salvo, eventualmen- te en algunos puntos, líneas o superfi- cies aisladas), se define la superficie equiescalar como el lugar geométrico de los puntos del espacio en los que la función φ toma un determinado valor. Obsérvese que si en lugar de considerar un espacio ordinario de 3 dimensiones considerásemos un espacio de sólo 2 dimensiones, entonces hablaríamos de líneas equiescalares o isolíneas.
Es conveniente dibujar las superficies (o líneas) equiescalares correspondientes a valores del escalar φ regularmente espaciados, esto es, tales que
φ 2 φ 1 Δφ ; φ 3 φ 2 Δφ ; ... [3.3]
En la Figura 3.3 se representan las líneas equiescalares correspondientes a un cierto
Figura 3.
campo escalar bidimensional. En las regio- nes donde las líneas (o superficies) equies- calares están más apretadas la variación del escalar φ por unidad de desplazamiento (el gradiente) es más acusada. En algunos campos, como es el caso del representado en la Figura 3.3 , pueden existir más de una línea o superficie equiescalares correspondientes a un mismo valor del escalar; pero las líneas o superficies equiescalares correspondientes a distintos valores de la magnitud escalar φ en ningún caso pueden cortarse, ya que φ es una función unívoca de punto ( i.e. , en cada punto del espacio la función φ( x,y,z ) sólo
64 Lec. 3.- Análisis vectorial.
ciones ordinarias sin más que referirlos a un sistema de ejes fijos. En un tal sistema, las componentes de un vector variable resultan ser funciones, en el sentido más usual de la palabra, de las variables independientes. Se estudian así, sin dificultad, los conceptos de continuidad, derivación, integración, ... Así, en el caso de un vector que sea función
Figura 3.
de una única variable independiente u , esto es, una función (que supondremos continua) de la variable escalar u , A ( u ), si el escalar experi- menta un incremento Δ u , el vector experimen- tará una variación Δ A = A ( u +Δ u ) - A ( u ), cuyo significado queda explícito en la Figura 3.6. En completo paralelismo con la definición ordinaria de derivada, definimos la derivada del vector A ( u ) con respecto al escalar u como
d A [3.5] d u
lim Δ u → 0
Δ A
Δ u
en el supuesto de que dicho límite exista. La derivada d A /d u es un vector que tiene la dirección hacia la que tiende el vector Δ A cuando Δ u tiende a cero. Como Δ A es la cuerda del arco descrito por el extremo del vector A , resulta que la derivada d A /d u está dirigida según la tangente a la curva descrita por el extremo del vector A cuando se va incrementando el valor del escalar u , pues en el límite dicha cuerda pasa a la posición tangente a la curva. Si es A = Ax ( u ) i + Ay ( u ) j + Az ( u ) k , por la propiedad distributiva de la derivación tenemos
d A [3.6] d u
d A (^) x d u
i
d A (^) y d u
j
d A (^) z d u
k
y con notación matricial escribiremos
d A [3.7] d u
d d u
A (^) x ( u ) A (^) y ( u )
A (^) z ( u )
d A (^) x ( u )/d u d A (^) y ( u )/d u
d A (^) z ( u )/d u
De la definición de derivada de un vector y del álgebra vectorial se siguen con facilidad las siguientes propiedades, que damos sin demostrar, siendo A ( u ), B ( u ) ... vectores funciones de la variables escalar u , m un escalar y φ( u ) una función escalar:
d [3.8] du
( A ± B ) d A d u
± d B d u
d [3.9] d u
( m A ) m d A d u
d d u
(φ A ) φ d A d u
A dφ d u
§3.2.- Derivada de un vector respecto a un escalar. 65
d [3.10] d u
( A B ) A d B d u
d A d u
B d d u
( A × B ) A × d B d u
d A d u
× B
d [3.11] d u
d A d u
d 2 A d u^2
d 2 A (^) x d u^2
i
d 2 A (^) y d u^2
j
d 2 A (^) z d u^2
k
Si en lugar de una sola variable independiente aparecen dos o más, habrá que introducir derivadas parciales con respecto a ellas. Las fórmulas anteriores se transforman con cambios evidentes sustituyendo las derivadas totales por parciales.
En el caso de un campo vectorial A ( x,y,z,t ), esto es A = A 1 ( x,y,z,t ) i^ +^ A 2 ( x,y,z,t ) j^ +^ A 3 ( x,y,z,t ) k tendremos
[3.12]
∂ A
∂ x
∂ A 1
∂ x
i
∂ A 2
∂ x
j
∂ A 3
∂ x
k ∂ A ∂ y
∂ A 1
∂ y
i
∂ A 2
∂ y
j
∂ A 3
∂ y
k
∂ A
∂ z
∂ A 1
∂ z
i
∂ A 2
∂ z
j
∂ A 3
∂ z
k ∂ A ∂ t
∂ A 1
∂ t
i
∂ A 2
∂ t
j
∂ A 3
∂ t
k
Como suponemos que los versores ( i , j , k ) son fijos, se tiene como definición de diferencial del vector A
d A d A 1 i d A 2 j d A 3 k^ [3.13]
siendo (^) d A (^) i [3.14]
∂ A (^) i ∂ x
d x
∂ A (^) i ∂ y
d y
∂ A (^) i ∂ z
d z
∂ A (^) i ∂ t
d t
con i = 1,2,3. En particular, si es A = A ( u ), será
d A (^) i^ d A^ i [3.15] d u
d u
§3.3. Integral de un vector con respecto de una variable escalar.- De la definición de derivada de un vector respecto de una variable escalar se sigue, como operación inversa, la integración. Así, dado un vector variable A = A ( u ), definiremos la integral indefinida de A ( u ) como
[3.16] ⌡
⌠ A ( u )d u i ⌡
⌠ A 1 ( u )d u j ⌡
⌠ A 2 ( u )d u k ⌡
⌠ A 3 ( u )d u C
o sea [3.17] ⌡
⌠ A ( u )d u B ( u ) C
siendo B ( u ) el vector cuyas componentes son las integrales anteriores y C un vector constante arbitrario. Evidentemente es
§3.4.- Circulación de un vector. 67
r ( t ) x ( t ) i y ( t ) j z ( t ) k d r ⎛⎜ [3.22] ⎝
d x d t
i d y d t
j d z d t
k d t
⌡⌠^ [3.23]
β
α (^) C
A d r (^) ⌡⌠
t β
t α
A 1 ( t ) d x d t
A 2 ( t ) d y d t
A 3 ( t ) d z d t
d t
o también (^) r x i y j z k d r d x i d y j d z k [3.24]
⌡ [3.25]
β
α (^) C
A d r (^) ⌡⌠
x β
x α C
A 1 ( x , y , z ) d x (^) ⌡⌠
y β
y α C
A 2 ( x , y , z ) d y (^) ⌡⌠
z β
z α C
A 3 ( x , y , z ) d z
Ejemplo II.- Dado el campo vectorial A = 2 xy i + ( x^2 +2 yz^3 ) j + 3 y^2 z^2 k , calcular su circulación entre
Figura 3.
los puntos (0,0,0) y (1,2,3) a lo largo del camino definido: a) por la línea quebrada determinada por los puntos (0,0,0), (1,0,0) (1,2,0) y (1,2,3); b) por la recta que pasa por los dos puntos. a) A partir de la expresión [3.25], se obtiene
⌡
⌠
(1,2,3) (0,0,0) C
A d r (^) ⌡⌠
1 (^0) y 0 z 0
(2 xy )d x (^) ⌡⌠
2 (^0) x 1 z 0
( x^2 2 yz^3 )d y (^) ⌡⌠
3 (^0) x 1 y 2
(3 y^2 z^2 )d z
⌡
⌠
1 0
(0)d x (^) ⌡⌠
2 0
d y (^) ⌡⌠
3 0
12 z^2 d z 0 2 108 110
b) Las ecuaciones de dicha recta son x /1 = y /2 = z /3, o bien, en forma paramétrica x = t y = 2 t z = 3 t correspondiendo los puntos extremos a t =0 y t =1, respectiva- mente, y siendo entonces d x /d t = 1 d y /d t = 2 d z /d t = 3 A = 4 t^2 i + ( t^2 +108 t^4 ) j + 108 t^4 k de modo que, aplicando [3.23], tenemos
⌡
⌠
(1,2,3) (0,0,0) (^) x 1^ y 2^ z 3
A d r (^) ⌡⌠
1 0
[ 4 t^2 2( t^2 108 t^4 ) 3(108 t^4 ) ] d t (^) ⌡⌠
1 0
[ 6 t^2 540 t^4 ] d t 110
Si se invierte el sentido de la circulación, esto es si se invierte el sentido de d r , cambia el signo de la integral [3.20] , o sea
⌡⌠ [3.26]
β
α (^) C
A d r (^) ⌡⌠
α
β (^) C
A d r
68 Lec. 3.- Análisis vectorial.
Si coinciden los puntos inicial y final, esto es si la integral curvilínea se evalúa sobre una curva cerrada, es costumbre emplear una notación especial,
[3.27] C^ A^ d r Por otra parte, si A es un vector constante, esto es, si se trata de un campo vectorial uniforme, entonces tenemos que
⌡⌠ [3.28]
β
α (^) C
A d r A (^) ⌡⌠
β
α (^) C
d r A PαPβ
de modo que (^) A d r 0 [3.29]
ya que PαPβ = 0.
Figura 3.
Generalmente la circulación del vector A entre los puntos α y β es función de la curva que una dichos puntos; i.e. , del camino seguido para ir del primer punto al segundo; es decir,
⌡ [3.30]
β
α (^) C 1
A d r ≠ ⌡⌠
β
α (^) C 2
A d r
y será preciso especificar el camino seguido entre los puntos α y β para calcular la circula- ción del campo vectorial A entre dichos puntos ( Figura 3.9 ).
No obstante, en la física, o lo que es lo mismo, en la Naturaleza, existen algunos campos sumamente importantes en los que se verifica que su circulación es indepen- diente del camino que se siga para realizar la integración de [3.20] entre los puntos α y β. Tales campos vectoriales reciben el nombre de campos conservativos o irrotacionales (por las razones que se verán más adelante). En un campo conservati- vo, a causa de que su circulación no depende del camino seguido entre dos puntos dados, ésta puede calcularse como la diferencia de valores que toma una cierta una función escalar de punto llamada función potencial. Son campos conservativos el gravitatorio y el electrostático. No son conservativos el campo eléctrico de inducción, ni el campo de velocidades en una corriente fluida con remolinos.
La condición necesaria y suficiente para que un campo vectorial A sea conservativo es que sea nula la circulación de A a lo largo de cualquier línea cerrada del espacio en el que está definido el campo. O sea que
A d r 0 [3.31]
70 Lec. 3.- Análisis vectorial.
Δ S (^) i e (^) i Δ S (^) i^ [3.36]
Los versores e i apuntarán siempre hacia fuera (convexidad) de la superficie S. El flujo del campo vectorial A a través de toda la superficie S se define como la integral de superficie
Φ [3.37]
S
A d S lím N →∞
N
i 1
A (^) i Δ S (^) i
con consideraciones análogas a las que hicimos cuando definíamos la integral curvilínea en el apartado anterior. La integral de superficie, y por
Figura 3.
tanto el flujo, son claramente magnitu- des escalares. El valor del flujo de un campo vectorial a través de una superfi- cie puede ser un número positivo, nega- tivo y nulo. Si el flujo es positivo, se denomina flujo saliente ; si es negativo, se denomina flujo entrante ; si es cero, no hay flujo neto. El nombre de flujo se debe a una aplica- ción de la ec. [3.37] al estudio de las corrientes fluidas. Supongamos que tenemos una corriente de partículas, todas moviéndose hacia la derecha con una misma velocidad v (Figura 3.13). Aquellas partículas que atraviesan el elemento de superficie d S durante un intervalo de tiempo Δ t estarían contenidas en un cilindro de base d S , generatriz paralela a v y longitud v Δ t. El volumen de tal cilindro es v Δ t d S cos θ. Supongamos que haya n partículas por unidad de volu- men; entonces, el número total de partículas que atraviesan la superficie d S por unidad de tiempo, o flujo de partículas , es
Figura 3.
n v d S cos θ nv d S [3.38] y el número total de partículas que pasarán a través de una superficie finita, S , será
Φ [3.39] ⌡
⌠ Sn v^ d S expresión similar a la [3.37], con A = n v. Se comprenderá que el nombre de flujo dado a la ec. [3.37] no significa que, en general, haya movimiento real de algo material a través de una superficie. Si la integral de superficie que define al flujo del campo vectorial se extiende sobre una superficie cerrada, entonces se utiliza la notación
[3.40] S
A d S
Interpretando el flujo como el número de líneas vectoriales que atraviesan una superficie, si ésta es cerrada y el flujo es positivo (saliente) habrá más flujo saliente
§3.5.- Flujo de un campo vectorial. 71
(+) que entrante (-), de modo que salen más líneas vectoriales desde el interior de la superficie que las que entran en la misma; diremos que dentro de la superficie hay una fuente o creación de líneas vectoriales. Por el contrario, si el flujo a través de una superficie cerrada es negativo, diremos que hay un sumidero o desaparición de líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada, ya que entran más líneas que las que salen. Por último, si el flujo a través de una superficie cerrada es nulo, todas las líneas vectoriales que penetran en la superficie saldrán por otros puntos de la misma, de modo que el efecto neto es que ni se crean ni se destruyen líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada.
La integral de superficie A d S
Figura 3.
depende, en general, de la superficie de integración y los casos en que no depende de dicha superficie son par- ticularmente interesantes. Diremos que un campo vectorial es solenoidal si
[3.41] S^ A^ d S^^0
para cualquier superficie sumergida en el campo. Ya hemos dicho que esto equivale a afirmar que el número de líneas vectoriales que salen por unos puntos de la superficie es igual al número de las que entran por otros puntos de la misma, de modo que ni nacen ni mueren líneas vectoriales en el interior de la superficie cerrada. El campo gravitatorio sólo es solenoidal en aquellas regiones que no contienen masas gravitatorias, pues éstas actúan como sumideros de líneas de fuerza gravitatoria. Lo mismo ocurre con el campo electrostático (Figura 3.14) : sólo es solenoidal donde no existan cargas eléctricas. El campo magnético B es solenoidal en todos los puntos del espacio, ya que las líneas de inducción magnéticas son cerradas.
De lo anteriormente expuesto se sigue fácilmente que las fuentes y sumideros de un campo representan las fuentes escalares (positivas, fuentes; negativas, sumideros) del campo. Así, la fuente u origen escalar del campo gravitatorio es la masa gravi- tatoria , que se comporta como sumidero del campo. La fuente u origen escalar del campo electrostático es la carga eléctrica: las cargas positivas representan las fuentes y las negativas los sumideros de campo. Obviamente, el campo magnético B no tiene fuentes escalares; i.e. , su origen no es de naturaleza escalar, sino vectorial (cargas en movimiento).
§3.6. Gradiente de un campo escalar.- Dada una función escalar φ( x , y , z ), función continua y derivable de las coordenadas espaciales ( x , y , z ), su diferencial
dφ ∂φ [3.42] ∂ x
d x ∂φ ∂ y
d y ∂φ ∂ z
d z
§3.6.- Gradiente de un campo escalar. 73
en el punto P 0 ; o sea, en la dirección normal a la superficie equiescalar S en el punto P 0. El resultado anterior nos permite definir el gra-
Figura 3.
diente de un campo escalar como un vector cuya dirección y sentido corresponden al del máximo crecimiento de φ y cuyo módulo es el valor de dicho crecimiento por unidad de desplazamiento en esa misma dirección ( derivada direccional ). Obsérvese que, dado un campo escalar φ( x,y,z ), podemos obtener a partir de él un campo vectorial
A ( x , y , z ) ∇ φ ( x , y , z ) [3.46]
que hace corresponder a cada punto del espacio (en el que está definido el campo escalar φ) un vector A ( x,y,z ) que es el gradiente del campo escalar en ese mismo punto.
Como consecuencia de la
Figura 3.
representación de los campos escalares y vectoriales por superficies (o líneas) equiesca- lares y líneas vectoriales, respectivamente, y al ser el vector gradiente en un punto perpendicular a la superficie (o línea) equiescalar que pasa por dicho punto, resulta que las líneas vectoriales (que son tan- gentes a ∇φ) cortarán ortogo- nalmente a las superficies (o líneas) equiescalares (Figu- ras 3.17 y 3.18).
§3.7. Función poten- cial.- Ahora podemos calcular la circulación del vector A =∇φ a lo largo de un camino cualquiera que una dos puntos dados, α y β, del espacio (Figu- ra 3.19). Tenemos
⌡⌠ [3.47]
β
α (^) C
A d r (^) ⌡⌠
β
β (^) C
∇ φ d r (^) ⌡⌠
β
α
dφ φ (^) β φ (^) α
de modo que la circulación del vector ∇φ es independiente del camino seguido para ir desde el punto α al puntos β, ya que dicha circulación sólo depende de los valores que toma la función escalar de punto φ ( i.e. , el campo escalar) en los puntos α y β. Así, podemos afirmar que el campo de gradiente es un campo vectorial conservativo.
74 Lec. 3.- Análisis vectorial.
Si tenemos un campos vectorial A tal que se
Figura 3.
pueda obtener a partir de un campo escalar φ, mediante la operación A = ∇φ, el campo vecto- rial A será conservativo y la función φ( x,y,z ) se denomina su función potencial^1. Inversamente, todo campo vectorial A que sea conservativo se podrá obtener a partir de un campo escalar o función potencial φ mediante la operación A = ∇φ.
Ejemplo III.- El campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo (se demostrará en el Ejemplo IV). Obtener su función potencial. Calculamos la circulación del campo vectorial a lo largo del camino definido por la línea quebrada determinada por los puntos (0,0,0), ( x ,0,0), ( x , y ,0) y ( x , y , z ); esto es,
⌡
⌠
( x , y , z ) (0,0,0) C
A d r (^) ⌡⌠
x (^0) y 0 z 0
(2 xy )d x (^) ⌡⌠
y (^0) x x z 0
( x^2 2 yz^3 )d y (^) ⌡⌠
z (^0) x x y y
(3 y^2 z^2 )d z
⌡
⌠
x 0
(0)d x (^) ⌡⌠
y 0
x^2 d y (^) ⌡⌠
z 0
3 y^2 z^2 d z x^2 y y^2 z^3
de modo que φβ - φ (^) α = x^2 y + y^2 z^3 , y puesto que las coordenadas del punto β son genéricas, será
φ ( x , y , z ) x^2 y y^2 z^3 cte.
§3.8. Divergencia de un campo vectorial.- Consideremos un campo vectorial A y un elemento de volumen que contiene al punto P. Definiremos la divergencia del campo vectorial en el punto P como el límite a que tiende el cociente entre el flujo del campo vectorial a través de la superficie S que delimita al elemento de volumen Δ V y dicho elemento de volumen, cuando Δ V →0 encerrando siempre al punto P (Figura 3.20). Esto es, designándola por div A o bien por ∇ A , será
div A ∇ A lím [3.48] Δ V → 0
Δ V S
A d S
donde la integral se extiende a la superficie S que delimita al elemento de volumen Δ V. Conforme tiende a cero el elemento de volumen, el punto P siempre permanece en su interior. Se puede demostrar que esta definición es independiente de la forma del elemento de volumen. De la definición anterior, y si consideramos Δ V como la
(^1) Cuando el campo vectorial conservativo es un campo de fuerzas , se define el potencial (Φ)
de modo que su diferencia de valores en dos puntos es igual a la circulación del campo de fuerzas entre esos puntos, cambiada de signo. De este modo, resulta ser Φ = -φ. Ampliaremos este concepto en la Lec. 10.
76 Lec. 3.- Análisis vectorial.
S
A d S
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
∂ A (^) x ∂ x
∂ A (^) y ∂ y
∂ A (^) z ∂ z (^) 0
Δ x Δ y Δ z
entonces, de la definición de div A , se sigue
∇ A lím Δ V → 0
1 Δ V (^) S
A d S
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
∂ A (^) x ∂ x
∂ A (^) y ∂ y
∂ A (^) z ∂ z
de modo que la expresión cartesiana de la divergencia del campo vectorial A es
div A ∇ A ∂ A^ x [3.49] ∂ x
∂ A (^) y ∂ y
∂ A (^) z ∂ z
§3.9. Teorema de Gauss.- Consideremos un campo vectorial A definido en todos los puntos de un volumen V y de la superficie S que lo delimita. Subdividamos dicho volumen en pequeños elementos Δ Vi , como se ilustra en la Figura 3.22 ; entonces, para cada uno de esos elementos de volumen, podemos escribir
Figura 3.
(∇ A ) Δ V (^) i [3.50] S (^) i
A d S
estando extendida la integral a la superficie S (^) i total ( i.e. , bases y caras laterales) que delimita al elemento de volumen Δ V (^) i. Tendremos una ecuación como la [3.50] para cada uno de los elementos de volumen en que hemos descompuesto el volumen total V. Cuando sumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos
[3.51] i
(∇ A ) Δ V (^) i i S^ i
A d S
Los términos que aparecen en el segundo miembro de la expresión anterior representan el flujo a través de cada una de las superficies que delimitan cada uno de los elementos de volumen Δ V (^) i. Se observará que al sumar todos esos flujos, los correspondientes a las caras comunes de dos elementos vecinos (Figura 3.22) se compensarán, de modo que la suma del segundo miembro de [3.51] representa simplemente el flujo a través de las caras exteriores de los elementos de volumen Δ Vi ; o sea, el flujo a través de la superficie S que delimita al volumen total V. Si pasamos al límite, para elementos de volumen Δ V (^) i cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de [3.51] se convierte en una integral, y nos queda
[3.52] ⌡
V^ ∇^ A^ d V^ S^ A^ d S
donde las integrales de volumen y de superficie se extienden, respectivamente, al volumen total V y a la superficie S que lo delimita. El resultado anterior constituye la expresión del T EOREMA DE GAUSS , que se enuncia en la siguiente forma:
§3.9.- Teorema de Gauss. 77
La integral de la divergencia de un campo vectorial en un volumen V es igual al flujo de dicho campo a través de la superficie S que delimita al citado volumen V. El teorema de Gauss nos permite asegurar que en un campo solenoidal la divergencia del campo es nula en todos los puntos del espacio. Esto es, para un campo solenoidal es
∇ A 0 [3.53]
§3.10. Rotacional de un campo vectorial.- Consideremos, de nuevo, un campo vectorial A y un elemento de volumen Δ V que contiene al punto P. Definiremos el rotacional del campo vectorial en el punto P, y lo designaremos por rot A o bien por ∇× A , como
rot A ∇ × A lím [3.54] Δ V → 0
Δ V S
d S × A
donde la integral se extenderá a la superficie S
Figura 3.
que delimita al elemento Δ V considerado, el cuál, al tender a cero, deberá contener siempre al punto P (Figura 3.23). Si comparamos esta definición con la dada anteriormente para div A , veremos que existe un cierto parecido entre ambas. Obsérvese que en tanto que, en cierto modo, la div A es una medida de la componente normal del campo en la superficie del elemento Δ V , el rot A lo es de la componente tangencial a dicha superficie. Evidentemente, el rot A es una función vectorial de punto.
La definición que hemos dado para el rot A es independiente del sistema de
Figura 3.
coordenadas considerado; sin embargo, su expre- sión depende del sistema de coordenadas que elijamos y se determinará evaluando la definición [3.54] en dicho sistema de coordenadas. Buscaremos ahora la expresión del rot A en coordena- das cartesianas. Para ello, debemos elegir la forma del elemento del volumen Δ V de modo que la integral de superficie que aparece en [3.54] sea fácil de calcular. Tomaremos como elemento de volumen un paralelepípedo rectangular de aristas Δ x , Δ y y Δ z , de modo que Δ V = Δ x Δ y Δ z. Para la componente x de rot A sólo contribuyen las caras perpendiculares a los ejes y y z ; entonces será
(∇ × A ) x lím Δ V → 0
1 Δ V
[ A (^) y ( x , y ,Δ z ) A (^) y ( x , y ,0) ] Δ x Δ y [ A (^) z ( x ,Δ y , z ) A (^) z ( x ,0, z ) ] Δ x Δ z
y desarrollando en serie de T AYLOR y pasando al límite se tiene
§3.11.- Teorema de Stokes. 79
(∇ × A ) Δ S (^) i [3.57] C (^) i^ A^ d r
efectuándose la integral a lo largo del contorno del elemento de superficie correspon- diente. Tendremos una ecuación como la anterior para cada uno de los elementos de superficie en que hemos descompuesto la superficie total S. Si sumamos miembro a miembro todas esas ecuaciones, tenemos
[3.58] i
(∇ × A ) Δ S (^) i i C^ i
A d r
Los términos que aparecen en el segun-
Figura 3.
do miembro de [3.58] representan la circula- ción del campo a lo largo de cada una de las líneas que delimita cada uno de los elemen- tos de superficie Δ S i. Se observará que al sumar todas esas circulaciones, las corres- pondientes a los recorridos interiores se compensan, ya que cada uno de ellos es común a dos circuitos vecinos y es recorrido dos veces en sentidos opuestos, de modo que el sumatorio del segundo miembro de [3.58] representa simplemente la circulación del campo sobre el contorno exterior C de la superficie S. Si pasamos al límite, para elementos de superficie cada vez más pequeños, el sumatorio del primer miembro de [3.58] se convierte en una integral, y nos queda
⌡⌠ [3.59]
S
(∇ × A ) d S C
A d r
donde las integrales se extienden a la superficie total S y a su contorno C. El resultado anterior constituye la expresión del T EOREMA DE STOKES , que se enuncia en la forma siguiente:
La circulación de un campo vectorial sobre una línea cerrada es igual al flujo del rotacional del campo a través de una superficie cualquiera limitada por dicha línea cerrada. Como ya sabemos, el rotacional de un campo vectorial es una función vectorial de punto. Cuando en todos los puntos del espacio donde está definido el campo vec- torial A se verifica que rot A =0, se dice que el campo vectorial A es irrotacional.
Si es A = grad φ, esto es, si el campo vectorial deriva de un campo escalar (potencial), A será un campo irrotacional, pues por aplicación del teorema de Stokes a una superficie arbitraria situada en el campo, se tiene
[3.60] ⌡
S^ (∇^ ×^ A ) d S^ C^ A^ d r^ C^ ∇ φ^ d r^ Cdφ^0
de modo que, puesto que S es arbitraria, deberá ser rot A =0, o sea que
80 Lec. 3.- Análisis vectorial.
rot ( grad φ ) ∇ × ( ∇ φ ) 0 [3.61]
lo que significa que
todo campo vectorial irrotacional es conservativo, y todo campo vectorial conservativo es irrotacional
de modo que decir campo conservativo o campo irrotacional es equivalente.
Ejemplo IV.- Demostrar que el campo vectorial A definido en el Ejemplo II es conservativo. Simplemente, verificaremos si su rotacional es nulo; esto es,
∇ × A
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
∂/∂ x ∂/∂ y ∂/∂ z
×
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
2 xy x^2 2 yz^3 3 y^2 z^2
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
6 yz^2 6 yz^2 0 0 2 x 2 x
⎛ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎟ ⎠
0 0 0
0
§3.12. El operador nabbla.- Las notaciones ∇ φ, ∇ A y ∇× A que hemos utilizado anteriormente para designar operadores tan diversos como el gradiente de un campo escalar ( grad φ), la divergencia de un campo vectorial ( div A ) y el rotacional de un campo vectorial ( rot A ) se explican considerando el signo operativo ∇ de HAMILTON , que se denomina nabbla , que puede considerarse como un operador vectorial diferencial de componentes ∂/∂ x , ∂/∂ y , ∂/∂ z ; esto es
∇ i ∂ [3.62] ∂ x
j ∂ ∂ y
k ∂ ∂ z
conviniendo en considerar las derivadas parciales ∂φ/∂ x , ∂φ/∂ y , ∂φ/∂ z , como un producto simbólico de ∂/∂ x , ∂/∂ y , ∂/∂ z por la función φ( x , y , z ), con lo que resulta que el operador ∇ puede multiplicarse escalar y vectorialmente por otros vectores, obteniéndose:
grad φ ∇ φ ⎛⎜ [3.63] ⎝
i ∂ ∂ x
j ∂ ∂ y
k ∂ ∂ z
φ ∂φ ∂ x
i ∂φ ∂ y
j ∂φ ∂ z
k
div A ∇ A ⎛⎜ ⎝
i ∂ ∂ x
j ∂ ∂ y
k ∂ ∂ z
( A (^) x i A (^) y j A (^) z k )
∂ A (^) x [3.64] ∂ x
∂ A (^) y ∂ y
∂ A (^) z ∂ z
rot A ∇ × A ⎛⎜ ⎝
i ∂ ∂ x
j ∂ ∂ y
k ∂ ∂ z
× ( A (^) x i A (^) y j A (^) z k )
