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11.- Conservación de la energía.
§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica (274); §11.2. Sistemas conservativos en una dimensión (276); §11.3. Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio (278); §11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones (280); §11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones (282); §11.6. Fuerzas que dependen explícitamente del tiempo (284); §11.7. Fuerzas no conservativas (284); §11.8. Conservación de la energía (286); §11.9. Crítica del concepto de energía (288); §11.10. Principio de conservación de la masa (289); §11.11. Masa y energía (289); Problemas (293)
Se decía en la lección anterior que siempre podemos considerar la energía como el resultado de la realización de un trabajo; pero también podemos adoptar el punto de vista inverso, y considerar que se produce trabajo cuando tiene lugar una transformación de una forma de energía en otra. Así, cuando cae un objeto en el campo gravitatorio terrestre, su energía potencial gravitatoria (o mejor, la del sistema) disminuye; pero se produce un aumento concomitante de la energía cinética. Es decir, se produce una transformación de energía en forma potencial en energía en forma de movimiento ( cinética ); durante esa transformación la fuerza (el peso) realiza un trabajo. Nos podemos preguntar si, en el ejemplo precedente, el aumento de energía cinética compensa exactamente a la disminución de energía potencial. Desde los tiempos de N EWTON (1642-1727) se reconoce que, bajo ciertas condiciones, la energía del movimiento (cinética) y la energía asociada con la con- figuración o posición (potencial) cambia a medida que progresa el movimiento, pero que su suma (la energía mecánica total ) permanece constante. Sin embargo, bajo otras circunstancias la energía mecánica total no se conserva. Así, por efecto del rozamiento, la energía se "disipa"; pero cuando eso sucede, se observa que hay siempre algún objeto que se calienta. La generalización del concepto de energía y el establecimiento del principio de conservación fue un empeño al que se entregaron hombres de gran valía, como el ingeniero norteamericano B. THOMPSON (1753-1814), el médico alemán J. R. M AYER (1814-1878) y los físicos H. von HELMHOLTZ (1821-1894) y J. P. J OULE (1818-1889), quienes clarificaron el concepto de energía y llegaron a demostrar que la energía no se disipa , sino que sencillamente se transforma de unas formas a otras. Desde entonces, el concepto de energía, como el de una magnitud física que se conserva y que puede presentarse bajo apariencias muy diversas, pero que en ningún
Manuel R. Ortega Girón 273
274 Lec. 11.- Conservación de la energía.
caso puede ser creada ni destruida, quedó firmemente establecido como una de las ideas más útiles de todas las Ciencias de la Naturaleza. Esta lección la dedicaremos al estudio de estas ideas importantes; las contenidas en el llamado Principio de la Conservación de la Energía , que junto con el de la conservación de la cantidad de movimiento (ya estudiado en lecciones anteriores) y el de la conservación del momento angular (que estudiaremos en la lección siguiente), constituyen los tres grandes Principios de Conservación de la Mecánica. En los tres casos nos limitamos a establecer y a analizar sus consecuencias para el caso de una partícula (como corresponde al contexto de este Capítulo); más adelante los generalizaremos para incluir los sistemas de partículas.
§11.1. Fuerzas conservativas. Conservación de la energía mecánica.- Cuando una partícula se mueve entre los puntos A y B, bajo la acción de una fuerza resultante F (conservativa o no-conservativa), la variación de su energía cinética viene dada por el trabajo realizado por dicha fuerza resultante en ese desplazamiento; esto es,
Δ E [11.1]
k E k (B)^ E k (A)^ ⌡⌠
B
A
F d r
Por otra parte, en el caso de que la fuerza F sea conservativa, dicho trabajo, cam- biado de signo, expresa la diferencia de energía potencial entre los dos puntos; i.e. ,
Δ E [11.2]
p E p (B)^ E p (A)^ ⌡⌠
B
A
F d r
de modo que, sumando las dos expresiones, resulta
Δ E k Δ E p Δ( E k E p ) 0 [11.3]
lo que significa que la suma de las energías cinéticas y potencial de la partícula, o sea su energía total que designaremos por E , es constante; así pues,
Δ E 0 con E E k E p [11.4]
de modo que podemos enunciar el Principio de Conservación de la Energía para una partícula del modo siguiente:
Cuando las fuerzas que actúan sobre una partícula son todas conservativas, la energía total de la partícula permanece constante en el transcurso del movimiento, esto es, se conserva.
Esta es la razón por la que decimos que dichas fuerzas son conservativas.
Hemos definido la energía total de la partícula como la suma de sus energías cinética y potencial, como en [11.4], o mejor
E ( r , v ) E k ( v ) E p ( r ) [11.5]
donde ponemos de manifiesto que la energía cinética es función exclusiva de la velocidad y que la energía potencial lo es de la posición. La energía total será
276276 Lec. 11.- Conservación de la energía.
Naturalmente, lo anteriormente dicho es válido si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre la partícula. En muchos problemas encontraremos que, aun cuando algunas de las fuerzas no sean conservativas, éstas serán tan pequeñas que podrán ser despreciadas. En otros problemas no será ese el caso, pero entonces podremos aplicar el principio de conservación en una forma más general, que desarrollaremos en esta lección para una partícula y en una lección posterior para un sistema de partículas.
§11.2. Sistemas conservativos en una dimensión.- Como ejemplo de aplicación del principio de conservación de la energía, obtendremos la ecuación del movimiento de una partícula que se mueve en una dimensión sobre una recta dada, que identificaremos con el eje x , bajo la acción de una fuerza dirigida a lo largo de dicha recta y que sólo depende de la coordenada de posición de la partícula ( i.e. , no es función explícita del tiempo, de la velocidad ...). Tal fuerza es conservativa [∇× F ( x ) i = 0] y la energía potencial de la partícula sólo es función de la coordenada de posición de la misma; i.e. ,
E p ( x ) E p ( x ref ) [11.6] ⌡
x
x ref
F ( x ) d x
de modo que la ecuación de conservación de la
Figura 11.
energía [11.5] puede escribirse como
E^1 [11.7] 2 mv
2 E
p ( x )
donde E ( i.e. , la energía total) es una constante del movimiento. La ecuación [11.7] establece una relación entre la velocidad de la partícula y su coordenada de posición. Para completar la solu- ción del problema deberemos determinar la posición de la partícula en función del tiempo. Podemos resolver la ec. [11.7] respecto de la velocidad v de la partícula y, teniendo en cuenta que en el movimiento rectilíneo es v = d x /d t , obtendremos
v d x [11.8] d t
2 m [ E^ E p^ ( x )]
que es una ecuación diferencial de primer orden, de variables separables, que nos permitirá determinar la función x ( t ) siempre que conozcamos la función E p ( x ) y las condiciones iniciales del movimiento, que en este caso se reducen al conocimiento de E (que es una constante) y de x 0 = x ( t 0 ). La ec. [11.8] se escribe, pues
[11.9] ⌡
t
t 0
d t m 2 ⌡
x
x 0
d x E E p ( x )
§11.2.- Sistemas conservativos en una dimensión. 277
o sea (^) t t [11.10] 0
m 2 ⌡
x
x 0
d x
E E p ( x )
con lo que queda resuelto (al menos desde un punto de vista físico) el problema del movimiento rectilíneo de la partícula. En consecuencia, siempre que conozcamos la energía potencial en función de la posición (cosa que será relativamente fácil si conocemos F ( x )), el principio de conservación de la energía, expresado por [11.10] nos dará directamente la solución del problema del movimiento rectilíneo.
Ejemplo I.- Oscilaciones armónicas.- Una partícula, de masa m , se mueve a lo largo del eje x bajo la acción de una fuerza F = - kx , donde k es una constante positiva. Determinar la posición de la partícula en función del tiempo; i.e. , x ( t ). Comenzaremos determinando la expresión de la energía potencial:
E p( x ) E p(0) (^) ⌡⌠
x 0
( kx ) d x (^) ⌡⌠
x 0
kx d x^1 2
kx^2 con E p (0) 0
La energía total (constante) es E^1 2
mv 02 1 2
kx 02
siendo x 0 y v 0 la posición y velocidad de la partícula, respectivamente, en el instante inicial ( t =0). Aplicando el Principio de la Conservación de la energía , llegaremos a la ec. [11.10], i.e. ,
t (^) ⌡⌠
t 0
d t m 2 ⌡
⌠ x x 0
dx
1 2
mv 02 1 2
kx 02 1 2
kx^2
m k ⌡
⌠ x x 0
d x
⎛ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎠
m k
v 02 x 02 x^2
1 ω ⌡
⌠
x x 0
d x A^2 x^2
1 ω
[arcsen x A
arcsen
x 0 A
]
donde ω^2 k m
A^2 x^20
v 02 ω^2
y poniendo ψ arcsen
x 0 A
→ sen ψ
x 0 A
escribiremos finalmente x A sen (ω t ψ )
que es la función x ( t ) pedida y que representa un movimiento armónico simple ( vide Lec. 13).
§11.3.- Discusión de curvas de energía potencial. Estabilidad del equilibrio. 279
de modo que vendrá representada por la distancia de la curva E p( x ) (en el punto dado
Figura 11.
x ) a la línea E , como se ilustra en la Figura 11.2 para E = E 3. Puesto que la energía cinética es esencialmente positiva (una energía cinética negativa implicaría una velocidad imaginaria), resulta evidente que, para una energía total dada E , la partícula únicamente podrá encontrarse en aquellos puntos en los que E > E p. Así pues, en la gráfica de la Figura 11.2 se advierte inmediatamente que la menor energía posible es E 0 ; para esta energía la partícula sólo puede permanecer en reposo en x 0.
Con una energía algo mayor, tal como la E 1 , la partícula puede permanecer en reposo en x 0" o bien puede moverse entre los puntos x 1 y x 2 ; su velocidad disminuye al acercarse a los puntos x 1 o x 2 , anulándose en ellos, de modo que la partícula se detiene e invierte su sentido de movimiento cuando alcanza dichos puntos, llamados puntos de retorno.
Si la energía es aún mayor, tal como E 2 , la partícula podrá oscilar en la región definida por los puntos x 3 y x 4 o en la definida por los puntos x 5 y x 6 ; en una o en otra, dependiendo de las condiciones iniciales, sin poder pasar de una región a otra, porque ello exigiría pasar por la región x 4 - x 5 en la que su energía cinética sería negativa (región prohibida). Las regiones en las que queda confinada la partícula representan pozos de potencial ; las regiones prohibidas corresponden a barreras de potencial.
Si la partícula tiene una energía aún mayor, tal como la E 3 , existen solamente tres puntos de retorno, de modo que hay dos regiones de movimientos permitidos. Así, la partícula podrá estar confinada en la región delimitada por los puntos x 7 y x 8 ( pozo de potencial ) o moverse a la derecha del punto x 9 (región ilimitada por la derecha), no pudiendo pasar de una región a otra ( barrera de potencial ). Para el nivel de energía E 4 sólo existe un punto de retorno; si la partícula está moviéndose inicialmente hacia la izquierda, al llegar al punto x 11 "rebotará" y se dirigirá indefinidamente hacia la derecha, acelerándose al pasar por los pozos de
280 Lec. 11.- Conservación de la energía.
potencial y frenándose al pasar por las barreras de potencial. Para energías superiores a E 5 no hay puntos de retorno y la partícula se moverá sólo en un sentido (el inicial) acelerándose y frenándose al pasar por los pozos y las barreras de potencial, respectivamente, pero sin invertir nunca su sentido de movimiento.
§11.4. Sistemas conservativos en dos y tres dimensiones.- Podemos generalizar nuestro estudio de los dos apartados anteriores para incluir aquellas situaciones en las que la partícula puede moverse en dos o en tres dimensiones del espacio bajo la acción de una fuerza (resultante) conservativa, función de la posición de la partícula. En estas condiciones, la energía potencial será función de las coordenadas de posición de la partícula, esto es, E p( x , y , z ), o mejor diremos E p ( r ), sin necesidad de referirnos a las coordenadas cartesianas.
El principio de conservación de la energía podemos expresarlo por
E^1 [11.12] 2 mv
2 E
p ( r )
donde E , que es una constante del movimiento, queda determinada por las condiciones iniciales del movimiento. La ecuación anterior, al igual que la ec. [11.7] en el caso del movimiento unidimensional, nos permite calcular la celeridad de la partícula en función de su posición. Pero obsérvese que ni la ec. [11.7], ni la ec. [11.12], nos suministran información alguna acerca de la dirección del movimiento. Este desconocimiento es mucho más grave en el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, donde existen infinitas direcciones posibles, que en el caso del movimiento unidimensional, donde la partícula sólo dispone de una dirección, con dos sentidos posibles, para su movimiento. En el caso del movimiento unidimensio- nal, la partícula se moverá sobre una trayectoria fija. En el caso del movimiento en dos o en tres dimensiones, la partícula podrá moverse sobre trayectorias muy diversas y, a menos que conozcamos la que realmente sigue, la ecuación [11.12] nos proporcionará escasa información acerca del movimiento de la partícula, salvo que dicho movimiento sólo tendrá lugar en aquellas regiones del espacio en las que E > E p( r ), y que la celeridad
v^2 [11.13] m [ E^ E p^ ( r )]
es función de la posición de la partícula en esas regiones permitidas.
Ejemplo II.- Movimiento del electrón en el campo de dos protones.- Como ejemplo de lo anterior- mente expuesto, analizaremos el movimiento de un electrón en el campo atractivo de dos protones (molécula de Hidrógeno ionizada, H 2 +^ ). La energía potencial (electrostática) del electrón en dicho campo viene dada por
E [11.14] p
e^2 4 π (^0)
⎛ ⎜ ⎜ ⎝
⎞ ⎟ ⎟ ⎠
1 r 1
1 r 2
donde r 1 y r 2 representan, respectivamente, las distancias del electrón a cada uno de los dos protones. En la Figura 11.3 se han representado algunas curvas equipotenciales, correspondientes
282 Lec. 11.- Conservación de la energía.
b) Para determinar la dirección de v 2 tendremos en
Figura 11.
cuenta que es
[iii] F ∇ E p( x )
⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨ ⎪ ⎪ ⎪ ⎩ F (^) x
∂ E p ∂ x
≠ 0
F (^) y
∂ E p ∂ y
0
de modo que el gradiente de la energía potencial, i.e. , la fuerza que actúa sobre la partícula al atravesar la superficie de separación entre las dos regiones, sólo tiene componente en la dirección normal a dicha superficie. En consecuencia, podemos afirma que se conserva la componente transversal de la cantidad de movimiento de la partícula cuando atraviesa dicha superficie; esto es,
mv (^) y (1) mv (^) y (2) → v 1 sen θ 1 v 2 sen θ 2 [iv]
expresión que establece la relación entre los ángulos y las velocidades de la partícula en cada una de las regiones. Sirviéndonos de la expr. [ii], eliminaremos v 2 y, después de fáciles operaciones, obtenemos
sen θ (^1) [v] sen θ 2
1
2 [ E p(2) E p (1)] mv 12
1
E p(2) E p(1) E (^) k (1)
que escribiremos en la forma
sen θ (^1) [vi] sen θ 2
v 2 v 1
n con n 1
2 Δ E p mv 12
que nos recuerda, y de hecho es análoga, a la ley de S NELL para la refracción de la luz, en la que n sería el índice de refracción relativo. Esta analogía nos muestra por qué fue posible explicar los fenómenos de la refracción tanto en el marco de una teoría ondulatoria (ondas de Huygens) como en el de una teoría mecanicista (corpúsculos mecánicos de Newton).
§11.5. Equilibrio en dos y en tres dimensiones.- Consideremos una partícula sobre la que actúa una fuerza resultante conservativa, función exclusiva de la posición de la partícula. La energía potencial de dicha partícula será función de su posición, y, en coordenadas cartesianas, podemos expresarla por E p( x , y , z ). Entre la fuerza conservativa, F ( x , y , z ), y la energía potencial, E p( x , y , z ), existe la relación
F ∇ E p [11.15]
o sea (^) F (^) x^ ∂ E p [11.16] ∂ x
F (^) y
∂ E p ∂ y
F (^) z
∂ E p ∂ z Definido el equilibrio de la partícula como la ausencia de fuerza neta, la partícula se encontrará en equilibrio en aquellos puntos del espacio en los que
§11.5.- Equilibrio en dos y en tres dimensiones. 283
∂ E p [11.17] ∂ x
∂ E p ∂ y
∂ E p ∂ z
es decir, en los puntos en los que la energía potencial presente un valor extremo (máximo o mínimo) en las tres direcciones del espacio. En los puntos en los que ∂ E p /∂ x sea nula, la partícula se encontrará en equilibrio traslacional en la dirección x , ya que será nula la componente de la fuerza en esa dirección. Las mismas consideraciones podemos hacer para las otras dos direcciones ( y , z ) del espacio.
Obsérvese que la partícula podrá estar en equilibrio con respecto a una coordenada, pero no estarlo necesariamente con respecto a las otras; esto es, podrá ser, por ejemplo, ∂ E p /∂ x = 0, pero ∂ E p/∂ y ≠ 0 y ∂ E p/∂ z ≠ 0. Por ello, cuando se trate de una partícula que pueda moverse en dos o en tres dimensiones del espacio, deberemos analizar sus posibilidades de equilibrio con respecto a cada una de las dos o tres coordenadas que fijan su posición.
Como en el caso unidimensional, y para cada una de las coordenadas de posi- ción, el equilibrio de la partícula podrá se estable , inestable o indiferente , según que la energía potencial, en la posición de equilibrio, presente un valor mínimo , máximo o constante con respecto a los que toma en los puntos de un entorno infinitesimal alrededor de dicho punto. Las condiciones anteriores, de mínimo y de máximo relativos, quedan definidas analíticamente por un valor positivo y negativo, respectivamente de ∂^2 E p /∂ x^2 (o de ∂^2 E p/∂ y^2 o ∂^2 E p /∂ x^2 ). En el caso de que ∂^2 E p/∂ x^2 = 0, el análisis de la situación nos llevará a calcular las derivadas de orden superior, para decidir si se trata de un mínimo o máximo relativos o de un punto de inflexión.
En el caso de que
Figura 11.
el movimiento de la partícula sea tan sólo bidimensional (en el plano xy , por ejemplo) puede resultar útil considerar las llama- das superficies de energía potencial^5 , que jugarán el mismo papel que las curvas de energía potencial en el problema unidi- mensional. Para ello, representaremos sobre un eje perpendicular al del plano del movimiento (que excusa- mos ahora de llamarlo eje z ) la energía potencial correspondiente a los puntos del plano xy. En la Figura 11.6 hemos dibujado una tal superficie de energía potencial. Una partícula colocada en A, B, C o D permanecerá en reposo; los puntos correspondien- tes en el plano xy son puntos de equilibrio. El alumno comprenderá fácilmente que el punto A es de equilibrio estable (se trata de un pozo de potencial ), en tanto que
(^5) No debemos confundir las superficies de energía potencial (movimiento bidimensional) con
las superficies equipotenciales (movimiento tridimensional).
§11.7.- Fuerzas no conservativas. 285
Consideremos una partícula sobre la que actúan fuerzas conservativas (cuya
Figura 11.
resultante representaremos por F c ) y fuerzas no conservativas (cuya resultante representaremos por F nc). El trabajo neto realizado sobre la partícula, cuando se desplaza entre los puntos A y B bajo la acción de la fuerza resultante F = F c + F nc, es igual a la variación de su energía cinética; esto es
W W c W nc Δ E (^) k [11.21]
donde hemos representado por W c y W nc el trabajo realizado por la resultante de las fuerzas conservativas y no conservativas, respectiva- mente. El trabajo W c realizado por las fuerzas conservativas puede expresarse como la varia- ción, cambiada de signo, de la energía potencial (asociada con dichas fuerzas conservativas) cuando la partícula pasa del primer punto al segundo; esto es
W c Δ E p [11.22]
No podemos decir otro tanto del trabajo W nc realizado por las fuerzas no conservativas, pues, al depender dicho trabajo del trayecto seguido por la partícula entre los puntos A y B, no podemos asociarle ninguna energía potencial ( i.e. , ninguna función de punto) a dichas fuerzas. Entonces, la expresión [11.21] puede escribirse en la forma
W nc Δ E k W c Δ E k Δ E p Δ ( E k E p ) [11.23]
o sea (^) Δ E W nc [11.24]
de modo que la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula no permanece constante en el transcurso del movimiento, sino que experimenta un cambio igual al trabajo realizado por las fuerzas no conservativas. Si las fuerzas no conservativas realizan un trabajo positivo, la energía mecánica de la partícula aumenta; en el caso contrario, disminuirá. Obsérvese, por otra parte, que hemos rehusado utilizar el término de total para designar a la energía mecánica, E = E k + E p , de la partícula. El concepto de energía total de una partícula sólo tiene significado si son conservativas todas las fuerzas que actúan sobre ella; en el caso de que actúen fuerzas no conser- vativas, el concepto no será aplicable, por no incluirse todas las fuerzas presentes.
Si la fuerza no conservativa es el rozamiento, el trabajo realizado por ella es siempre negativo, de modo que, de acuerdo con [11.24], la energía mecánica de la partícula disminuye en el transcurso del movimiento; esto es, la energía mecánica de la partícula se disipa. El rozamiento es un ejemplo de fuerza disipativa.
Pero, ¿qué ocurre con esa energía que se disipa? El trabajo realizado por la fuerza de rozamiento representa una transformación de energía de una forma a otra; la energía mecánica que desaparece se transforma en energía interna , U int , y provoca un aumento en la temperatura. Esta transferencia de energía, por corresponder a un
286 Lec. 11.- Conservación de la energía.
movimiento molecular, será, en general, irreversible^6. De este modo, el trabajo realizado por el rozamiento (que es siempre negativo) es igual al incremento de la energía interna del sistema (la partícula y su medio ambiente) y podemos escribir
W (^) f Δ U int [11.25]
donde el subíndice f hace referencia explícita a que se trata de la fuerza de rozamiento (fricción). De esta forma, la expresión general [11.24], en el caso de que la única fuerza no conservativa que actúa sobre la partícula sea la de rozamiento, puede escribirse como
Δ E Δ U int 0 [11.26]
o sea (^) Δ ( E U int ) 0 [11.27]
de modo que la suma de la energía mecánica (de la partícula) y de la energía interna (del sistema) permanece constante ( i.e. , se conserva) cuando sobre el sistema sólo actúan fuerzas conservativas y las de rozamiento.
§11.8. Conservación de la energía.- Hemos definido la energía potencial de una partícula de modo que el trabajo realizado sobre ella por una fuerza conservativa sea igual a la disminución de su energía potencial. En el primer artículo de esta lección demostrábamos que la energía mecánica total de la partícula permanece constante cuando tan sólo las fuerzas conservativas realizan trabajo sobre ella; ello era debido a que el aumento de su energía cinética quedaba exactamente compensado por la disminución de su energía potencial. De ese modo, establecíamos el principio de conservación de la energía, aunque en una forma muy restrictiva.
Por otra parte, hemos visto en el artículo anterior que la energía mecánica de la partícula no permanece constante cuando sobre ella actúan fuerzas no conservativas que realizan un trabajo; pero, eso si, el trabajo realizado por dichas fuerzas es igual al aumento (o disminución) de la energía mecánica (cinética + potencial) de la partícula [11.24]. Debido a que casi siempre hay presente algún tipo de fuerza no conservativa, principalmente el rozamiento, la importancia del concepto de energía, y el de su conservación, no fue justipreciada hasta el siglo XIX. Entonces se comprendió que la desaparición de energía mecánica macroscópica va siempre asociada con la aparición de energía interna , que normalmente se pone de manifiesto por un aumento de la temperatura. Hoy, sabemos que esa energía interna no es más que la energía cinética y potencial de las moléculas de medio; esto es, energía mecánica microscópica. Con esta generalización del concepto de energía mecánica, de modo que quede incluida la energía interna, la energía mecánica de la partícula (o la de un
(^6) Los texto elementales suelen decir que "la energía mecánica que desaparece se transforma
en calor ". Esta expresión no es rigurosamente correcta, aunque puede disculpársela al estudiante que se inicia en el estudio de la Física. Los conceptos de energía interna y de calor y temperatura , así como el de proceso irreversible , serán desarrollados con rigor en las Lecciones de Termología.
288 Lec. 11.- Conservación de la energía.
aunque la prioridad de su descubrimiento fue un tanto polémica (se la disputaron J.R. MAYER (1814-1878) y J.P. J OULE (1818-1889), traeremos aquí una cita de la obra de Mayer ( Observaciones sobre las energías de la naturaleza inorgánica ):
"En innumerables casos vemos que el movimiento cesa sin haber causado otro movimiento o elevado un peso; pero la energía, una vez que existe, no puede ser aniquilada, solamente puede cambiar de forma; y entonces surge la pregunta: ¿qué otra forma de energía, aparte de las que ya conocemos, cinética y potencial (en terminología moderna), es capaz de tomar? Solamente la experiencia puede conducirnos a una solución." En ocasiones parecía que este principio de conservación iba a fallar; pero ese aparente fallo incitó a los físicos a la búsqueda de las causas; esto es, a la búsqueda de nuevos fenómenos hasta entonces desconocidos. Y siempre los encontraron. Por ejemplo, la energía de un sistema puede "disiparse" en forma de radiación; así se forman ondas sonoras en un choque entre dos objetos, o se emite radiación electromagnética por una carga eléctrica acelerada. En otras ocasiones, la aparente no-conservación de la energía llevó al descubrimiento de nuevas partículas elementales; este fue el caso del descubrimiento teórico del neutrino (PAULI, 1930) para explicar un aparente fallo del principio de conservación de la energía en los fenómenos de radiactividad β de los núcleos atómicos. Con posterioridad el neutrino fue detectado por C OWAN y R EINES, en 1956.
Así pues, el concepto de energía se ha ido generalizando para incluir otras formas, además de la cinética y potencial, y ha sido esta generalización la que ha permitido relacionar la Mecánica de los cuerpos en movimiento con fenómenos no mecánicos, o en los que el movimiento no se detecta fácilmente. En este sentido, el concepto de energía ha relacionado la Mecánica con las demás ramas de la Ciencia Natural y se ha convertido en una de las grandes ideas unificadoras de la Física.
§11.9. Crítica del concepto de energía.- En estas dos últimas lecciones hemos visto como podemos abordar ciertos problemas sobre el movimiento de la partícula cuando conocemos la fuerza en función de la posición de aquélla. Ha sido precisamente este problema el que nos ha llevado al concepto de energía.
Atribuimos el movimiento de la partícula a las interacciones que tienen lugar entre ella y su medio ambiente; esto es, otras partículas, en definitiva. Representamos dichas interacciones mediante los conceptos de fuerza y de energía. Tanto la fuerza como la energía son, pues, simples entes físico-matemáticos que no tienen otro propósito que representar convenientemente las diferentes interacciones que observamos en la Naturaleza, de modo que a través de ellas podemos analizar y predecir el movimiento de las partículas y de los sistemas de partículas. El concepto de energía potencial, al igual que el de fuerza, nos permite asociar con cada forma específica de interacción una forma específica de energía, y es precisamente esa relación la que llena de contenido y significado físico a la idea de energía. En las lecciones que siguen, iremos redundando en la idea de que la interacción entre dos cuerpos puede ser descrita como un intercambio de energía o de cantidad de movimiento. Cualquiera de ambas descripciones puede resultar útil para representar la interacción. De ese modo, parece como si relegásemos el concepto de fuerza a un papel secundario. En muchos problemas realmente será así (es el caso, como ya hemos dicho varias veces de la Física Atómica y Nuclear), pero no debemos olvidar que, en último extremo, los conceptos de cantidad de movimiento y de
§11.9.- Crítica del concepto de energía. 289
energía han sido desarrollados a partir del concepto de fuerza, aunque no era necesario proceder de ese modo, ya que tanto el concepto de cantidad de movimiento como el de energía pueden considerarse como primarios y autosuficientes.
§11.10. Principio de conservación de la masa.- Desde un punto de vista histórico, la primera ley de conservación en la ciencia fue la referente a la conservación de la materia. En su obra De rerum natura , el poeta romano LUCRECIO, contemporáneo de Julio Cesar y de Cicerón, enunciaba lo que puede considerarse como uno de los primeros indicios de un importante principio general de la Ciencia:
"Las cosas no pueden surgir de la nada y, una vez que son, no pueden regresar a la nada." Sin embargo, hemos de hacer notar que existe una gran distancia entre el panegírico de Lucrecio y la moderna ley de conservación de la masa que establece que
"... a pesar de los cambios de posición, forma, aspecto, composición química ..., la masa de un sistema cerrado permanece constante." La idea de un sistema cerrado, que surge como una consecuencia del trabajo de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos, fue un requisito previo a la formulación del principio de conservación de la masa. Aunque ya en tiempos de Newton se aceptaba que por encima de los cambios de forma, color, volumen, posición ... hay algo que es duradero y constante ( i.e. , la masa), el principio de conservación de la masa no fue establecido firmemente hasta mucho tiempo después. La contribución experimental más importante fue hecha por el químico francés Antoine Laurent DE L AVOISIER (1743-1794), quién demostró, por la incontrovertible evidencia de la balanza, que
"Debe considerarse como un axioma incuestionable que en todas las acciones del Arte y de la Naturaleza, nada se crea; antes y después del experimento existe la misma cantidad de materia ... y nada ocurre que no sean cambios y modificaciones en las combinaciones de estos elementos." Sin embargo, a pesar del enfático enunciado de Lavoisier, todavía quedaba lugar a duda. Un químico moderno, que examinase los resultados cuantitativos de los experimentos de Lavoisier y reparase en el grado de exactitud que éste pudo alcanzar con sus aparatos, quedaría en una actitud escéptica frente a la afirmación de que "el aumento de peso de uno coincide exactamente con la pérdida del otro". Sin embargo, la ley era plausible y la mayor parte de los científicos del siglo XIX la aceptaron. A partir de 1890, otro químico, Hans LANDOLT (1831-1910), animado por las dudas expresadas por Lothar MEYER (1830-1895), realizó una extensa investigación experimental sobre la conservación de la masa en las reacciones químicas; en 1909 estableció la siguiente condición:
" ... ningún cambio en el peso total puede determinarse en cualquier reacción química ... La prueba experimental de la ley de la conservación de la masa puede considerarse completa. Si existe alguna desviación, deberá ser menor de una milésima de miligramo."
§11.11. Masa y energía.- Si no dispusiéramos de más evidencia válida que la referente a los experimentos con sistemas que reaccionan químicamente, deberíamos
§11.11.- Masa y energía. 291
m m 0 ( 1 β 2 ) 1/2 [11.35]
de modo que desarrollando la expresión anterior por la fórmula del binomio
m m 0 ( 1 1 [11.36] 2 β^
2 3 8 β^
Entonces, si v c , o sea si β 1, con muy buena aproximación^7 podemos escribir
m ≈ m [11.37] 0 ( 1^
1 2 β^
(^2) ) m 0 ( 1^
v^2 2 c^2
) m 0
1 2 m^0 v
2
c^2
resultado que nos ofrece una sorprendente interpretación física del incremento de masa con la velocidad, ya que
Δ m m m [11.38] 0
1 2 m^0 v
2
c^2
donde podemos identificar el término ½ m 0 v^2 con la energía cinética clásica de la partícula; esto es,
Δ m E k [11.39] c^2
y llegamos a la idea, al tratar de comprender el cambio de la masa con la velocidad, de que la energía cinética adquirida durante el proceso de aceleración de la partícula ha aumentado su masa o inercia en la cantidad E k / c^2. Ese es el significado de la ecuación [11.39]; decir que la energía tiene masa, que la energía es masa, o que es equivalente a la masa, sólo son expresiones del lenguaje que no añaden nada nuevo al significado físico de la ecuación [11.39]. Aunque hemos llegado a establecer la ecuación [11.39] mediante una aproxi- mación, la citada ecuación es cierta en general. Pero es más, la idea básica de que la energía es equivalente a la masa puede extenderse a otras energías distintas de la cinética. Así, por ejemplo, al comprimir un resorte, realizando un trabajo sobre él y suministrándole, con ello, una energía potencial elástica E p, su masa se incrementa en E p / c^2. Igualmente, un cuerpo incrementa su masa cuando lo calentamos; en este caso si es Q la energía térmica (calor) que le hemos suministrado, su incremento de masa será Q / c^2.
En resumen, el principio de equivalencia entre la masa y la energía establece que por cada unidad de energía (1 joule) que suministramos a un objeto material su masa se incrementa en
1 J [11.40] ( 3 × 10 8 m/s )^2
1.1 × 10 17 kg
(^7) En general, es válida la aproximación (1 + ) n (^) = 1 + n , cuando 1.
292 Lec. 11.- Conservación de la energía.
y esto no significa que ahora haya más moléculas que antes; lo que se ha modificado es la masa o inercia observable del objeto. Obsérvese que, debido al factor c^2 , los cambios de masa sólo serán apreciables cuando se pongan en juego energías muy grandes. Por esa razón, los cambios de masa no son apreciables en las reacciones químicas, en las que las energías puestas en juego son relativamente pequeñas, pero tendrán una gran importancia en las interacciones nucleares o en la Física de Altas Energías.
La equivalencia entre la masa y la energía, esto es la famosa expresión de Einstein
E (Δ m ) c^2 [11.41]
puede ser considerada como la contribución más significativa de la Teoría de la Relatividad. De hecho, como la masa en reposo es tan sólo una forma de energía, podemos asignar una energía m 0 c^2 , llamada energía en reposo , a la partícula de masa m 0 y considerarla como un paquete de energía (este concepto puede generalizarse incluso para partículas, como el fotón, cuya masa en reposo es nula). Teniendo en cuenta la equivalencia masa-energía, el principio de conservación de la energía (o el de la masa) deben reformularse. Una forma simple de hacer esto es considerar todo objeto del sistema como una fuente potencial de aniquilación completa, esto es, como capaz de "desmaterializarse" para transformarse en energía "pura e inmaterial". De este modo, para un sistema cerrado y aislado, la cantidad de energía en reposo ( m 0 c^2 ) más las restantes formas de energía ( E ), es constante; esto es
( m 0 c^2 E ) cte [11.42]
expresión que podemos considerar como la generalización del principio de conservación de la energía total , o también como una generalización del principio de conservación de la masa, si preferimos escribir [11.42] en la forma
( m 0^ E [11.43] c^2
) cte
Las expresiones [11.42] y [11.43] tienen esencialmente el mismo contenido. Tal como fue escrito por Einstein ...
"La física prerrelativista contiene dos leyes de conservación de importancia fundamental; a saber: la ley de conservación de la energía y la ley de conservación de la masa; ambas aparecen con total independencia la una de otra. En la Teoría de la Relatividad, ambas se funden en un solo principio."
