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Apostila de Matrizes com questões para exercitar.
Tipologia: Exercícios
1 / 17
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Como podemos notar nos exemplos 1, 2 e 3 respectivamente, uma matriz pode ser representada por colchetes, parênteses ou duas barras verticais.
2. Representação de uma matriz:
As matrizes costumam ser representadas por letras maiúsculas e seus elementos por letras minúsculas, acompanhadas de dois índices que indicam, respectivamente, a linha e a coluna ocupadas pelo elemento.
Exemplo: Uma matriz A do tipo m x n é representada por:
+++
ou, abreviadamente, A=, onde i e j representam, respectivamente, a linha e a coluna que o elemento ocupa,.
Por exemplo, na matriz anterior, é o elemento da segunda linha com o da terceira coluna.
Exemplo 1: Seja a matriz A=, onde :
Genericamente, temos:. Utilizando a regra de formação dos elementos dessa matriz, temos:
Assim, A=.
3. Matrizes especiais:
3.1 Matriz linha: É toda matriz do tipo 1 x n, isto é, com uma única linha.
3.4 Matriz nula: É toda matriz em que todos os elementos são nulos.
Notação:
Exemplo:
3.5 Matriz diagonal: É toda matriz quadrada onde só os elementos da diagonal principal são diferentes de zero.
Exemplo:.
3.6 Matriz identidade: É toda matriz quadrada onde todos os elementos que não estão na diagonal principal são nulos e os da diagonal principal são iguais a 1.
Notação: onde n indica a ordem da matriz identidade.
Exemplo:
ou :
3.7 Matriz transposta: Chamamos de matriz transposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se ordenadamente suas linhas por colunas ou suas colunas por linhas.
Notação:.
Exemplo: Se então =
Desse modo, se a matriz A é do tipo m x n, é do tipo n x m. Note que a primeira linha de A corresponde à primeira coluna de e a segunda linha de A corresponde à segunda coluna de.
3.8 Matriz simétrica: Uma matriz quadrada de ordem n é simétrica quando
A=.
OBS: Se A = -, dizemos que a matriz A é anti-simétrica.
Exemplo: Se
3.9 Matriz oposta: Chamamos de matriz oposta de uma matriz A a matriz que é obtida a partir de A, trocando-se o sinal de todas os seus elementos.
Notação: - A
Exemplo: Se então =
3.10 Igualdade de matrizes: Duas matrizes, A e B, do mesmo tipo m x n, são iguais se, todos os elementos que ocupam a mesma posição são idênticos.
Notação: A = B.
Exemplo: Se e A = B, então c = 0 e b = 3
Simbolicamente: para todo e todo.
Resolver a primeira lista de exercícios
7-) Escreva a matriz A=, onde
8-) Chama-se traço de uma matriz quadrada a soma dos elementos da diagonal principal. Determine o traço de cada uma das matrizes A =.
9-) Dada a matriz A= , determinar:
a-) a transposta de A
b-) a oposta de A
a-) b-)
RESPOSTAS
1-) A=
2-) B=
3-) C=
4-) D=
5-) A=
6-) A= 7-) 8-) trA = 4 e trB = 4 9-) a-) b-) –A= 10-) a = 3, b = 2 e x = 1
11-) a = 1 e b = 1 12-) x = 81 e y= 13-) m = -2 n = 4 e p = - 14-) a = 2, b = 1, x = 1 e y = 1 15-) a-) x = 8 e y =
b-) x = e y =
5. Subtração de Matrizes:
Dadas as matrizes A= e B=, chamamos de diferença entre as matrizes A e B a soma de A com a matriz oposta de B
Notação: A - B = A + (-B)
OBS: A + B existe se, e somente se, A e B são do mesmo tipo (m x n).
Exemplo:
6. Multiplicação de um número real por uma matriz:
Dados um número real x e uma matriz A do tipo m x n , o produto de x por A é uma matriz do tipo m x n, obtida pela multiplicação de cada elemento de A por x.
Notação: B = x .A
OBS.: Cada elemento de B é tal que = x
Propriedades : Sendo A e B matrizes do mesmo tipo (m x n) e x e y números reais quaisquer, valem as seguintes propriedades:
x.(y.A) = (x.y).A
x.(A+B) = x.A + x.B
(x + y).A = x.A + y.A
Exemplo:
7. Multiplicação de matrizes:
O produto de uma matriz por outra não pode ser determinado através do produto dos seus respectivos elementos. A multiplicação de matrizes não é análoga à multiplicação de números reais.
Assim, o produto das matrizes A= e B= é a matriz C=, onde cada elemento é obtido através da soma dos produtos dos elementos correspondentes da i-ésima linha de A pelos elementos da j-ésima coluna de B.
OBS: Elementos correspondentes de matrizes do mesmo tipo m x n, são os elementos que ocupam a mesma posição nas duas matrizes. Exemplo: Sejam e. Os elementos são elementos correspondentes.
Decorrência da definição:
A matriz produto A.B existe apenas se o número de colunas da primeira matriz ( A ) é igual ao número de linhas da segunda matriz ( B ).
Exemplos:
Solução:
Assim:
Comparando os resultados, observamos que A.B B.A , ou seja, a propriedade comutativa para multiplicação de matrizes não vale.
a. A.B
b. (^) B.A
Solução:
a) A.B = =
=
b) B.A = =
=
Conclusão: Verificamos que A.B B.A
8. Matriz Inversa:
Dada uma matriz A , quadrada, de ordem n, se existir uma matriz , de mesma ordem, tal que A .= .A = , então é matriz inversa de A. (Em outras palavras: Se A .= .A = , isto implica que é a matriz inversa de A , e é indicada por ).
Notação:
Exemplo: Sendo A = , vamos determinar a matriz inversa de A , se existir.
Solução:
Existindo, a matriz inversa é de mesma ordem de A.
Como, para que exista inversa, é necessário que A.= .A = , vamos trabalhar em duas etapas:
Passo: Impomos a condição de que A. = e determinamos :
A partir da igualdade de matrizes, resolvemos o sistema acima pelo método da adição e chegamos à:
3-) Sendo A=, onde =2i-j, e B=, com = calcule:
a-) A – B b-) B – A c-)
4-) Verifique experimentalmente que, se A e B são matrizes do mesmo tipo, então.
Sugestão: Considere A e B as matrizes encontradas no exercício 3.
5-) Sendo A= e , determinar as matrizes X e Y, tais que: X + Y = A + B e 2X – Y = A – B.
6-) Dadas as matrizes A=, e C= calcule:
a-) 3.(A – B) + 3.(B – C) + 3.(C – A)
b-) 2.(A - B) – 3.(B – C) – 3.C
c-) a matriz X, tal que
3.(X – A) + 2.B = 4.(X – A + 2.C)
7-) Sendo A= e B=, determine as matrizes X e Y, tais que 3X – Y = 2A – B e X + Y = A – B
16-) Dadas as matrizes A= e C=. Calcule:
a-) A.B
b-) B.A
c-) A.C
d-) C.A
17-) (UFPA) A matriz A= é definida de tal modo que. Então, A é igual a:
a-) b-) c-) d-) e-)
18-) (PUC-SP) Dadas as matrizes A= e B=,
10-) Sendo A=, onde =2i-j, e B=, com = , determine X tal que 3A + 2X = 3B.
11-) Sendo A= e , calcule as matrizes X e Y no sistema. 12-) Sendo A= e B=-2A, determine a matriz X, tal que
13-) Dadas as matrizes A=, tal que = i - j, B=, tal que com = e C = AB, determine o elemento.
14-) Sendo A=, calcule.
15-) Determine a matriz X, tal que , sendo A= e B=.
19-) Verifique se B=é inversa de A=
20-) Determinar, se existir, em cada caso: a-) A= b-) A=.
21-) Sendo A=, calcule.
22-) As matrizes A, B e C são invertíveis e de mesma ordem 2. Sendo B. e C.B = A, determine C e.
23-) (MACK) A é uma matriz mxn e B é uma matriz mxp. A afirmação falsa é: a-) A + B existe se, e somente se, n = p
b-) A= implica m = n (= transposta de A) c-) A.B existe se, e somente se, n = p d-) A. existe se, e somente se, n = p e-) .B sempre existe
quadradas de ordem 2, com , se C=A + B, então é igual a:
a-) b-) c-) d-) e-)
Respostas
