Introdução à Matemática Financeira: Juros Simples e Compostos, Notas de estudo de Matemática Financeira

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Matem´atica Financeira

Departamento de Matem´atica - UFJF

Notas de aulas

Wilhelm Passarella Freire

(Colabora¸c˜ao: Andr´e Arbex Hallack)

Mar¸co/

´Indice

Cap´ıtulo 1

Conceitos b´asicos e simbologia

1.1 Introdu¸c˜ao

A MATEM ATICA FINANCEIRA ´´ e o ramo da Matem´atica que estuda o comportamento do dinheiro no tempo.

A opera¸c˜ao b´asica da Matem´atica Financeira ´e a opera¸c˜ao de empr´estimo: algu´em que disp˜oe de um CAPITAL (C), tamb´em chamado PRINCIPAL (P ) ou VALOR PRE- SENTE (V P ou P V ), empresta-o a outra pessoa por um certo per´ıodo de tempo (dias, meses, anos, etc.). Ap´os esse per´ıodo, recebe seu capital de volta acrescido de uma remunera¸c˜ao pelo empr´estimo chamada JUROS (J).

A soma C + J ´e chamada MONTANTE (M ) ou VALOR FUTURO (V F ou F V ).

A raz˜ao (^) CAPITALJUROS ´e a taxa de crescimento do capital, dita TAXA DE JUROS (i),

´e sempre referida ao per´ıodo da opera¸c˜ao e indica a PORCENTAGEM do capital representada pelos juros.

2 CAP´ITULO 1

Exemplo 1. Pedro pegou um empr´

E muito importante observar que Pedro e quem lhe emprestou o dinheiro concordaram que´ R$ 100,00 no in´ıcio do bimestre em quest˜ao tˆem o mesmo valor que R$ 140,00 no final daquele bimestre. Esse pensamento nos leva `a principal no¸c˜ao da matem´atica financeira:

O VALOR DE UMA QUANTIA DEPENDE

DA ´EPOCA `A QUAL ELA SE REFERE.

No Exemplo 1.1, quantias diferentes (R$100,00 e R$140,00) referidas a ´epocas diferentes tˆem o mesmo valor.

S˜ao ERROS comuns em racioc´ınios financeiros :

• Achar que, por exemplo, R$ 140,00 valem sempre mais que R$ 100,00 : R$140,00 tˆem maior valor que R$100,00 se referidos `a mesma ´epoca. Referidos a ´epocas diferentes, R$140,00 podem ter o mesmo valor que R$100,00 ou at´e mesmo valor inferior.
• Achar que, por exemplo, R$100,00 tˆem sempre o mesmo valor : R$100,00 hoje valem mais que R$100,00 daqui a um ano.
• Somar quantias referidas a ´epocas diferentes : Pode n˜ao ser verdade, como veremos mais adiante, que comprar em 3 presta¸c˜oes de R$21, seja melhor que comprar em 2 presta¸c˜oes de R$32,00 , embora tenhamos que 21 + 21 + 21 = 63 < 64 = 32 + 32.

estimo de R$ 100,00. Dois meses depois pagou R$ 140,00. Calcule os juros e a taxa de juros pagos por Pedro.

4 CAP´ITULO 1

• JUROS COMPOSTOS: Os juros de cada per´ıodo s˜ao calculados sempre em fun¸c˜ao do saldo existente no in´ıcio do per´ıodo correspondente.

Exemplo 1.3.b Evolu¸c˜ao de R$ 100,00 a juros compostos de 10% ao ano durante 4 anos:

ano in´ıcio do ano juros fim do ano 1 100,00 10,00 110, 2 110,00 11,00 121, 3 121,00 12,10 133, 4 133,10 13,31 146,

1.3 Fluxos de Caixa

Diagrama de Fluxo de Caixa

O Diagrama de Fluxo de Caixa (DFC) ´e a representa¸c˜ao gr´afica das opera¸c˜oes financeiras em uma linha de tempo crescente a partir da data inicial da opera¸c˜ao.

Representa-se as entradas de capital por setas verticais apontadas para cima e as sa´ıdas de capital por setas verticais apontadas para baixo.

Exemplo 1. Uma aplica¸c˜ao financeira de R$ 1.000,00 realizada pelo prazo de 4 meses permitiu resgatar R$ 1.080,00. Pede-se desenhar o DFC.

Exemplo 1. Represente o DFC das seguintes opera¸c˜oes financeiras: a) Um investidor aplicou R$ 30.000,00 e recebeu 3 parcelas trimestrais de R$ 18.000,00, sendo a 1a^ ap´os 6 meses da aplica¸c˜ao.

Conceitos b´asicos e simbologia 5

b) Uma pessoa, durante um ano, fez dep´ositos de R$ 10.000,00 em caderneta de poupan¸ca, sempre no in´ıcio de cada mˆes, que renderam, ao final de um ano R$ 200.000,00.

c) Uma pessoa, durante 6 meses, fez dep´ositos de R$ 2.500,00 uma caderneta de poupan¸ca, sempre no in´ıcio de cada mˆes. Nos 3 meses que se seguiram, ficou sem o emprego e foi obrigada a fazer saques de R$ 6.000,00 tamb´em no in´ıcio de cada mˆes, tendo zerado seu saldo.

Valor Presente e Taxa de Desconto

Quando calculamos valor futuro, estamos respondendo a perguntas do tipo: quanto teremos daqui a 10 anos se investirmos R$ 1.000,00 hoje a uma taxa de juros de 8% ao ano?

Entretanto, vamos supor que desejamos saber quanto devemos investir hoje a fim de al- can¸carmos um certo objetivo em uma data futura.

Por exemplo, se precisamos de R$ 12.000,00 para uma viagem daqui a 2 anos, quanto precisamos aplicar agora? Para responder a este tipo de pergunta ´e preciso calcular o valor presente de um determinado montante.

O valor presente de um fluxo de caixa ´e o valor monet´ario na data zero da escala de tempo igual `a soma dos capitais futuros quando calculados na data zero com uma certa taxa de juros.

Calcular valores presente chama-se DESCONTAR e ´e o oposto de calcular valores futuros. Dizemos que os capitais futuros foram descontados para o ponto zero e a taxa de juros utilizada ´e denominada taxa de desconto.

O desconto em Finan¸cas ´e muito diferente do desconto no varejo. No varejo, significa reduzir o pre¸co a fim de vender mais mercadorias e em Finan¸cas significa calcular o valor presente de uma ou mais quantias futuras de dinheiro.

Conceitos b´asicos e simbologia 7

Exemplo 1. Uma loja oferece duas op¸c˜oes para a compra de uma TV cujo pre¸co ´e R$ 1.000,00:

1. `a vista com desconto de 10%.
2. em duas presta¸c˜oes iguais de R$ 500,00 sendo a primeira no ato da compra e a segunda 30 dias ap´os a compra.

Se uma determinada aplica¸c˜ao financeira remunera o capital aplicado com uma taxa de 25% ao mˆes, determine qual a melhor op¸c˜ao para o pagamento.

Exemplo 1. Resolva o Exemplo 1.7 considerando as seguintes taxas : a) 20% am

8 CAP´ITULO 1

b) 30% am

Obs.: Nos cap´ıtulos seguintes escreveremos am para indicar ao mˆes, ab para indicar ao bimestre, at para indicar ao trimestre, as para indicar ao semestre, aa para indicar ao ano, etc. Assim, 10% am significa 10% ao mˆes, 25% aa significa 25% ao ano, etc.

1.4 Exerc´ıcios

1.1) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em um banco que remunera seus dep´ositos com uma taxa de 5% am, no regime de juros simples. Mostre o crescimento desse capital nos pr´oximos 3 meses e calcule o montante a ser resgatado no final do 3o^ mˆes.

1.2) Um investidor aplicou R$ 1.000,00 em um banco que remunera seus dep´ositos com uma taxa de 5% am, no regime de juros compostos. Mostre o crescimento desse capital nos pr´oximos 3 meses e calcule o montante a ser resgatado no final do 3o^ mˆes.

1.3) Preciso de R$ 12.000,00 para uma viagem daqui a 2 anos. Se uma determinada aplica¸c˜ao financeira remunera a uma taxa de 7% as (juros compostos), qual a quantia m´ınima que devo aplicar hoje para que possa resgatar os R$ 12.000,00 que necessito daqui a 2 anos?

1.4) Vocˆe quer comprar um carro novo e recebe as seguintes ofertas do vendedor para quitar o neg´ocio em 2 anos: a) Uma entrada e mais duas parcelas anuais de R$ 21.000,00. b) Duas parcelas anuais de R$ 32.000,00, a primeira delas daqui a 1 ano (sem entrada). Se vocˆe tem a garantia de que consegue o rendimento de 15% aa em aplica¸c˜oes financeiras (juros compostos), qual a melhor forma de pagamento?

Quanto dinheiro vocˆe precisa ter hoje para poder cumprir com o pagamento do melhor (para vocˆe) dos planos acima?

• 1 Conceitos b´asicos e simbologia
  • 1.1 Introdu¸c˜ao
  • 1.2 Tipos de juros
  • 1.3 Fluxos de Caixa
  • 1.4 Exerc´ıcios
• 2 Juros simples
  • 2.1 Conceitos b´asicos
  • 2.2 Exemplos
  • 2.3 Exerc´ıcios
• 3 Juros compostos
  • 3.1 Conceitos b´asicos
  • 3.2 Exemplos
  • 3.3 Exerc´ıcios
• 4 Taxas de juros
  • 4.1 Introdu¸c˜ao
  • 4.2 Juros simples - Taxas proporcionais
  • 4.3 Juros compostos - Taxas equivalentes
  • 4.4 Taxa Nominal
  • 4.5 Taxa Bruta X Taxa L´ıquida
  • 4.6 Per´ıodo de capitaliza¸c˜ao fracion´ario
  • 4.7 Exerc´ıcios
• 5 Descontos
  • 5.1 Desconto Simples
  • 5.2 Desconto Composto
  • 5.3 Exerc´ıcios
• 6 S´eries uniformes
  • 6.1 S´eries Postecipadas
  • 6.2 S´eries Antecipadas
  • 6.3 Exemplos
  • 6.4 S´erie Perp´etua
  • 6.5 Exerc´ıcios
• 7 Valor Presente L´ıquido e Taxa Interna de Retorno
  • 7.1 Valor Presente L´ıquido
  • 7.2 Taxa Interna de Retorno
  • 7.3 Exerc´ıcios
• 8 Planos equivalentes de financiamento
  • 8.1 Introdu¸c˜ao e exemplos
  • 8.2 Exerc´ıcios
• 9 Infla¸c˜ao
  • 9.1 Conceitos b´asicos
  • 9.2 Exemplos
  • 9.3 Exerc´ıcios
• Referˆencias
• 10 CAP´ITULO

Cap´ıtulo 2

Juros simples

2.1 Conceitos b´asicos

No regime de JUROS SIMPLES, os juros de cada per´ıodo s˜ao calculados aplicando-se a taxa de juros sempre sobre o capital inicial, produzindo o mesmo valor dos juros em todos os per´ıodos.

Evolu¸c˜ao de um capital P `a taxa i ap´os n per´ıodos

per´ıodo in´ıcio juros fim 1 P P i P + P i = P (1 + i) 2 P + P i P i P + 2P i = P (1 + 2i) 3 P + 2P i P i P + 3i = P (1 + 3i) ... ... ... ...

n P + (n − 1)P i P i P + nP i = P (1 + ni)

Ap´os n per´ıodos de capitaliza¸c˜ao no regime de juros simples, os JUROS s˜ao dados por

J = nP i

e o MONTANTE (ou VALOR FUTURO) por

M = P + J = P + nP i = P (1 + ni)

Juros simples 13

Exemplo 2. Qual a taxa mensal de juros simples que faz um capital de R$ 1.000,00 se transformar em um montante de R$ 1.500,00 em 20 meses?

Exemplo 2. Um equipamento de som ´e vendido `a vista por R$ 10.000,00 ou por R$ 2.000,00 de entrada e R$ 8.800,00 ap´os 2 meses. Qual a taxa mensal de juros simples cobrada pela loja?

14 CAP´ITULO 2

Exemplo 2. A quantia de R$ 4.500,00 foi tomada como empr´estimo a 4,9% am de juros simples, durante 6 meses. Como ser´a paga a d´ıvida se : a) o capital e os juros forem pagos no final do prazo? b) os juros forem pagos no final de cada mˆes e o capital for pago no final do prazo? c) os juros forem pagos antecipadamente e o capital for pago no final do prazo? Neste caso, qual a taxa mensal realmente paga pelo devedor?

Exemplo 2. Um capital de R$ 500,00 ficou aplicado durante 1 ano a juros simples. Inicialmente foi aplicado a 1,6% am e, depois de um tempo, foi somado aos juros e o montante foi aplicado a 3% am, rendendo R$ 113,40 de juros. Por quanto tempo o capital ficou aplicado a 1,6% am?

16 CAP´ITULO 2

2.11) O pre¸co de um fog˜ao ´e R$ 260,00 e a loja d´a 5% de desconto para pagamento a vista. O pagamento a prazo exige uma entrada de 40% e R$ 160,00 ap´os 60 dias. Um cliente tem dinheiro para comprar o fog˜ao a vista mas poder´a compr´a-lo a prazo e aplicar o restante a 4% am. Qual a melhor op¸c˜ao para esse cliente?

2.12) Apliquei R$ 20.000,00 a 2,5% am no banco A e R$ 18.000,00 a 3% no banco B. Depois de quanto tempo os 2 montantes ser˜ao iguais?

2.13) Apliquei a ter¸ca parte do meu capital em letras de cˆambio, que renderam 28% em um ano. O restante apliquei em caderneta de poupan¸ca que rendeu 31% no mesmo per´ıodo. Meu capital aumentou em R$ 27.000,00. Qual o capital inicialmente aplicado e quanto foi aplicado em cada investimento?

2.14) A financeira A empresta a juros simples de 10% am e cobra, no ato do empr´estimo, 4,5% do valor emprestado como taxa de servi¸co. A financeira B cobra juros de 12% am mas somente 1,5% de taxa de servi¸co, tamb´em no ato de empr´estimo. a) para empr´estimos de 1 mˆes, quais as taxas realmente cobradas? b) e para empr´estimos de 6 meses? c) estabele¸ca f´ormulas que d˜ao as taxas realmente cobradas pelas financeiras em prazos de n meses. d) para que prazo as taxas reais de ambas seriam iguais?

2.15) Uma firma comprou a prazo um equipamento cujo pre¸co a vista ´e R$ 116.000,00. Pagou R$ 50.000,00 de entrada, R$ 40.000,00 ap´os 3 meses e saldou a d´ıvida com uma terceira parcela 6 meses ap´os a compra. Se a taxa de juros ´e 3% am, qual o valor da terceira parcela? (Considere os saldos devedores em cada pagamento)

Juros simples 17

Respostas

2.1) R$ 16.000,

2.2) R$ 3.893,

2.3) 4,3% am 2.4) 16,6667% am 2.5) 9 meses e 3 dias 2.6) 12% am 2.7) Se a taxa do mercado for maior que 5,2632% am ´e melhor comprar a prazo. Caso contr´ario, ´e melhor comprara vista. 2.8) 7,0175% am 2.9) a) R$ 2.640,00 b) R$ 1.000,00 c) 3,8% am 2.10) R$ 5.628, 2.11) Taxa da loja = 5,9441% am Taxa de mercado = 4% am Melhor comprar `a vista. 2.12) 4 anos e 2 meses 2.13) C=R$ 90.000,00 Letras de Cˆambio=R$ 30.000,00 Poupan¸ca=R$ 60.000, 2.14) a) iA=15,1832% am iB =13,7056% am b) iA=11,2565% am iB =12,4365% am

c) iA = 45 + 100 955 n n iB = 15 + 120 985 n n d) 1 mˆes e 26 dias 2.15) R$ 34.814,