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Matemática Discreta e Suas Aplicações SEXTA EDIÇÃO Kenneth H. Rosen Matemática Discreta e Suas Aplicações Sexta Edição Kenneth H. Rosen AT&T Laboratories Tradução Técnica Helena Castro Professora Doutora do Instituto de Matemática e Estatística da Universidade de São Paulo - IMEUSP. Professor João Guilherme Giudice Matemático pela Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP. Doutorando em Filosofia na área de lógica matemática pela Universidade Estadual de Campinas - UNICAMP, Atua como professor em instituições particulares de ensino. Versão impressa desta obra: 2009 a O AMGH Editora Ltda. 2010 Sumário Sobre o Autor vi Prefácio vii Ao Estudante xix 1 Os Fundamentos: Lógica e Demonstrações... 2 Estruturas Básicas: Conjuntos, Funções, Seqiências e Somatórios 21 Conjuntos ' ' 22. Operações com Conjuntos 23 Funções . 24 Seqlências e Somatórios... Termos-chave e Resultados. 167 180 =. 193 -. 200 no E) 3.6 Os Números Inteiros e os Algoritmos 37 Aplicações da Teoria dos Números 4 Indução e Recursão... corro 263 4.1 Indução Matemática - ... . 263 42. Indução Completa e Boa Ordenação . du 283 43 Definições Recursivas e Indução Estrutural . ee 4.4 Algoritmos Recursivos 3 45 Exatidão de Programas. mm Termos-chave e Resultados... .. 28 m dy Sumário s1 s2 s3 s4 ss 56 1 s2 e3 64 A 72 73 74 15 76 81 s2 83 84 as 86 1 s2 93 94 95 96 97 98 Contagem . As Bases da Contagem . O Princípio da Casa dos Pombos. Permutações e Combinações . Coeficientes Binomiais . ln Permutações e Combinações Generalizadas dd Probabilidade Discreta . Uma Introdução à Probabilidade. Teoria da Probabilidade . Teorema de Bayes .......... Valor Esperado e Variância . Termos-chave e Resultados Técnicas Avançadas de Contagem. Relações de Recorrência . Resolvendo Relações de Recorência Lineares. Algoritmos de Divisão e Resolução e Relações de Recorrênci . au Funções Generalizadas no creo am Inclusão-Exclusão. . 499 Aplicações da Inclusão- Exclusão . - 505 Termos-chave e Resultados .s13 Relações 519 Relações e Suas Propriedades ....... s19 Relações nárias e Suas Aplicações. E Representação de Relações . .57 Fecho de Relações . 544 Relações de Equivalência . .555 Ordens Parciais . - 566 Termos-chave e Resultados. «581 Grafos....... Grafos e Modelos de Grafos . " Terminologia dos Grafos e Tipos Especiais de Grafos... Representação de Grafos e Isomorfismo de Grafos. Conectividade Caminhos Eulrianos e Hamitonianos Problemas de Caminho mais Curto... Grafos Planares . Coloração de Grafos . a Termos-chave e Resultados .......... Sobre o Autor enneth HL. Rosen tem uma longa carreira como Membro Renomado da Equipe Técnica dos iboratórios AT&T em Monmouth County, Nova Jersey. Ele mantém atualmente a posi- ção de professor pesquisador convidado na Universidade de Monmouth, onde trabalha com as- pectos de segurança e privacidade no Projeto de Resposta Rápida em Database e também leciona um curso sobre aplicações criptográficas. Dr. Rosen recebeu seu diploma de bacharel em matemática na Universidade de Michigan, em Ann Arbor (1972), é seu Ph.D. em matemática no M.L.T. (1976), onde escreveu sua tese na área da teoria dos números sob a orientação de Harold Stark. Antes de ingressar nos Laboratórios Bell, em 1982, ele ocupou cargos na Universidade do Colorado, em Boulder; na Universidade do Estado de Ohio, em Columbus; e na Universidade de Maine, em Orono, onde foi professor asso- ciado de matemática. Enquanto trabalhava nos Laboratórios AT&T, ele ministrou, na Universida- de de Monmouth, cursos de matemática discreta, teoria de código e segurança de dados. Dr. Rosen publicou inúmeros artigos em revistas acadêmicas nas áreas de teoria dos números e modelos matemáticos. Ele é autor dos livros Teoria dos Números Elementares e Suas Aplica- ções, publicado pela editora Addison- Wesley e atualmente em sua quinta edição, e Matemática Discreta e Suas Aplicações, publicado pela McGraw-Hill, atualmente na sexta edição. Ambos os livros são muito usados por centenas de universidades em todo o mundo. Matemática Discreta e Suas Aplicações teve mais de 300 mil exemplares vendidos, com tradução para espanhol, fran- cês, chinês e coreano. Ele também é co-autor de UNIX: A Referência Completa; Sistema UNIX versus Release 4: Uma Introdução; e Os melhores tipos da UNIX, todos publicados pela editora de Osborne MeGraw-Hil, cujas vendas foram superiores a 150 mil cópias, com tradução para chinês, alemão, espanhol e italiano. Dr. Rosen também é editor do Livro de Bolso de Matemática Discreta e Combinatória, publicado pela CRC Press, e é o editor consultivo da série CRC de li- vros de matemática discreta, que contém mais de 30 volumes sobre diferentes aspectos em mate- mática discreta, dos quais a maioria está inserido neste livro. Ele também se interessa por software de integração matemática no âmbito educacional e profissional e trabalhou nessas áreas em projetos com o software Maple, da Waterloo Maple Inc. Nos Laboratórios Bell e AT&T, Dr. Rosen trabalhou em uma grande variedade de projetos, incluindo pesquisas operacionais e planejamento de linha de produção para computadores e equi- pamentos de comunicação. Ajudou no planejamento de produtos e serviços da AT&T na área de multimídia, incluindo comunicação em vídeo, reconhecimento e síntese da fala e transmissão de imagem. Ele avaliou a nova tecnologia para uso da AT&T e iniciou os trabalhos na área de trans- missão de imagens. Também desenvolveu diversos novos serviços, mantendo ou submetendo mais de 70 patentes. Um de seus projetos mais interessantes envolveu a ajuda de avaliação tec- nológica para a atração da AT&:T no EPCOT Center. Prefácio o escrever este livro, fui guiado pela minha longa experiência e pelo interesse em ensinar matemática discreta. Para o estudante, minha proposta foi oferecer um material que fosse preciso e de fácil leitura, com conceitos e técnicas da matemática discreta claramente apresenta- dos e demonstrados. Meu objetivo foi mostrar sua relevância e praticidade aos estudantes, que geralmente são céticos. Quis dar-lhes um estudo sobre a ciência da computação com todos os fundamentos da matemática de que eles precisarão em estudos futuros. Quis passar uma com- preensão da importância dos conceitos matemáticos com uma idéia do porquê esses conceitos são importantes para as aplicações. E o mais importante, quis alcançar esses objetivos sem diluir o conteúdo. Para o professor, minha proposta foi criar uma ferramenta de ensino flexível e compreensível, que usa técnicas pedagógicas aprovadas em matemática. Quis dar-lhes um material que eles pudes- Sem usar para ensinar efetivamente matemática discreta, de maneira eficiente e a mais apropriada possível, para os mais diferentes níveis de estudantes. Espero ter alcançado esses objetivos. Estou imensamente grato pelo grande sucesso deste livro. As muitas melhorias nesta edição! tornaram-se possíveis pelas revisões e pelas sugestões de muitos professores e estudantes de mais de 600 escolas norte-americanas onde este livro tem sido utilizado com muito sucesso. Há muito empenho nesta edição. Este livro foi elaborado para um ou dois semestres do curso introdutório à matemática dis- creta para estudantes das mais variadas áreas, incluindo matemática, ciência da computação e engenharia. O único pré-requisito explícito é álgebra de nível universitário, embora seja neces- sário determinado grau de maturidade matemática para estudar a matemática discreta de manei- ra significativa. Objetivos de um Curso de Matemática Discreta Um curso de matemática discreta possui mais de uma proposta. Os estudantes devem aprender um conjunto particular de fatos matemáticos e saber aplicá-los; o mais importante é como um curso deve ensinar os alunos a pensar lógica e matematicamente. Para alcançar esses objetivos, este. livro permeia a argumentação matemática e as diversas formas de resolver os problemas. Cinco temas importantes são abordados: argumentação matemática, análise combinatória, estruturas. discretas, pensamento algorítmico e aplicações e modelos. Um curso de matemática discreta completo deve unir e balancear cuidadosamente esses cinco temas. . Argumentação Matemática: Os estudantes devem entender à argumentação matemática para Jer, compreender e construir argumentos matemáticos. Este livro inicia-se com uma discussão sobre a lógica matemática, que é a base para as discussões subsequentes sobre métodos de. “demonstração. Tanto as ciências como a arte de desenvolver demonstrações são direcionadas A técnica da indução matemática é desenvolvida a partir de diferentes tipos de exemplos, desde demonstrações até uma explicação cuidadosa do porquê de a indução matemática ser uma técnica de demonstração válida. Análise Co ria: Uma importante maneira de solucionar problemas é a habilidade de contar ou enumerar objetos. A discussão sobre enumeração começa, neste livro, com as téc- nicas básicas de contagem. À ênfase é dada ao desempenho da análise combinatória, a fim de resolver problemas de contagem e análise de algoritmos, e não à aplicação de fórmulas. p 1 NE: Senta edição morto americana e primeira edição brasieira Lógica MO conteúdo sobre lógica foi ampliado com as idéias. chave explicadas com grande profundidade e com maior cuidado. HM Proposições condicionais é a lei de De Morgan tiveram seu conteúdo , A construção de tabelas-verdade foi introduzida antes e mais detalhadamente. Escrita e Entendimento de Demonstrações. M Métodos e estratégias de demonstração são tratados em seções separadas do Capítulo 1. M Um apêndice foi adicionado com uma listagem dos axiomas básicos para os números reais e para os núme- TOs inteiros « de como esses axiomas são usados para demonstrar novos resultados. O uso desses axiomas e os resultados básicos que os acompanham foram utili- zados em diversas demonstrações no livro. E O processo de criação de conjecturas, que usa diferen- tes métodos e estratégias de demonstração para desen- Algoritmos e Aplicações M Uma maior abordagem foi reservada ao uso da indução completa a fim de demonstrar que algoritmos recursi- vos estão corretos. M Está presente nesta edição a descrição de como o Teo- rema de Bayes pode ser usado para construir filtros de spam, Prefácio ix ME Atenção especial foi dada à introdução de predicados e quantificadores, assim como à explicação de como usá- los é trabalhar com eles, MM Foi expandida a aplicação da lógica a sistemas de espe- cificação — um tópico direcionado a sistema e enge- nharia de hardware e software. O material com argumentos e regras válidas de inferên- cia está agora em uma seção separada. volvê-las, é ilustrado por meio de um tópico acessível sobre peças do tabuleiro de xadrez. ME O Capítulo 4 inicia-se com seções separadas « amplia- das sobre indução matemática e indução completa. Es- sas seções incluem mais motivação e uma ricacoletânea de exemplos, muitos deles diferentes daqueles vistos normalmente. Mais demonstrações foram disponibilizadas, de modo que tomam possível a explicitação de todos os seus passos. Mi Foram acrescentados exemplos e exercícios de geometria computacional, incluindo triangulações de polígonos. Mi Foi introduzida a aplicação de grafos bipartidos para resolução de problemas. Teoria dos Números, Análise Combinatória e Teoria da Probabilidade E O conteúdo sobre teoria dos números está agora mais flexível, com quatro seções que abordam aspectos dife- rentes do assunto, sendo o conteúdo das três últimas seções opcional. A introdução das técnicas básicas de contagem, permu- tação e combinação foram melhoradas. Grafos e Teoria da Computação MA introdução à teoria dos grafos foi melhorada e racio- nalizada. MM Foi inserida uma rápida introdução à terminologia e às aplicações, com ênfase na escolha das melhores opções ao construir um modelo com grafos em vez da termino- logia. O material sobre grafos bipartidos e suas aplicações foi ampliado. E O conteúdo sobre técnicas de contagem foi expandido. Agora, abrange a contagem das maneiras como pode- mos distribuir objetos em caixas O conteúdo da teoria da probabilidade foi expandido, com a introdução de uma nova seção do Teorema de Bayes Mi Foram adicionados exemplos para ilustrar a construção de máquinas automatizadas de estado finito que reco- nhecem conjuntos específicos. MA minimização de máquinas de estado finito é agora mencionada e desenvolvida em uma série de exercícios. MO conteúdo sobre máquinas de Turing foi expandido com uma breve introdução sobre como elas surgem em um estudo de complexidade computacional, decidibili- dade e computabilidade. x Prefício Exercícios e Exemplos M Foram inseridos muitos exercícios de rotina novos e M Melhor correspondência foi feita entre os exemplos que exemplos, especialmente em lugares nos quais foram introduzem conceitos-chave e os exercícios de rotina. introduzidos conceitos-chave. ME Muitos novos exercícios de desafio foram acrescentados. MM Esforços extras foram feitos para assegurar que exercí- E Mais de 400 exercícios foram inseridos com mais con- cios numerados e os extras sejam providos de co ceitos-chave, assim como introduzidos novos tópicos. básicos e habilidades. Biografias Adicionais, Notas Históricas e Novas Descobertas M Biografias de Arquimedes, Hopper, Stirling e Bayes fo- As notas históricas inseridas ao longo do livro e em ram inseridas. notas de rodapé foram melhoradas. MM Muitas biografias existentes na edição anterior foram MM As novas descobertas eitas desde a publicação da edi- melhoradas, incluindo a biografia de Augusta Ada. ção anterior estão sendo apresentadas nesta edição. Características Especiais ACESSIBILIDADE Esta obra foi criada para ser facilmente lida e entendida por iniciantes. Não há pré-requisitos matemáticos, além da álgebra de nível universitário, para quase toda ela. Os estudantes que necessitarem de ajuda extra encontrarão ferramentas no site da MathZone (wwe mathzone.com), que lhes fornecerá a maturidade matemática necessária. As informações do site estão disponíves em inglês. Os poucos espaços neste livro nos quais noções de cálculo são expressas estão anotados explicitamente. A maioria dos estudantes entenderá facilmente o pseudo- código usado no texto para expressar algoritmos, independentemente do que é estudado formal- mente na linguagem de programação. Não há pré-requisito de ciência da computação formal. Cada capítulo inicia-se em um nível de fácil entendimento e acessível. Uma vez adquiridos. cuidadosamente os conceitos matemáticos básicos, vão sendo apresentados materiais e aplica- ções em outras áreas de estudo mais difíceis. FLEXIBILIDADE Este texto foi cuidadosamente criado para o uso flexível. A dependência dos capítulos anteriores foi minimizada. Cada capítulo está dividido em seções do mesmo tama- nho, aproximadamente, e estas divididas em subseções que formam blocos de material para es- tudo. Os docentes podem facilmente dividir as leituras a partir desses blocos. ESTILO DA ESCRITA O estilo da escrita neste livro é direto e pragmático. A linguagem matemática precisa é usada sem formalismo e abstração excessivos. É necessário tomar cuidado para balancear à mistura de notações e palavras nas proposições matemáticas. RIGOR E PRECISÃO MATEMÁTICOS Nesta obra, todas as definições e os teoremas são propostos com muito cuidado para que os estudantes apreciem a precisão de linguagem e o rigor necessários em matemática. As demonstrações são motivadas e desenvolvidas lentamente; seus passos são todos cuidadosamente explicados. Os axiomas usados nas demonstrações e as proprie- dades básicas que os seguem são claramente explicados em um apêndice, dando eos estudantes uma idéia clara do que eles podem assumir em uma demonstração. As definições recursivas são também explicadas e muito utilizadas. EXEMPLOS DESENVOLVIDOS Mais de 750 exemplos são utilizados para ilustrar concei- tos, relativos a diferentes tópicos, e introduzir aplicações. Na maioria deles, uma questão é pri- meiramente proposta, então sua solução é apresentada com a quantidade apropriada de detalhamento. Prefácio EXPLORANDO A COMPUTAÇÃO Um conjunto de exercícios que envolve computação está incluso no final de cada capítulo. Esses exercícios (em um total de 100, aproximadamente) foram elaborados para ser resolvidos com a ajuda de ferramentas de softwares existentes, como programas que estudantes ou docentes escreveram ou pacotes de computação matemática, como à Maple ou Mathematica. Muitos desses exercícios proporcionam aos estudantes a oportunidade de desvendar novos fatos e idéias no mundo da computação. PROJETOS Cada capítulo traz alguns projetos pera produzir textos. Para esses projetos, os estudantes precisam consultar a literatura matemática. Alguns deles são históricos e podem en- volver recursos originais. Outros são desenvolvidos para servir de portais para novos tópicos e idéias. Contudo, todos foram criados para expor idéias aos estudantes, e não abordá-las profun- damente no texto. Esses projetos integram conceitos matemáticos ao processo de escrita, ajudan- do à expor aos estudantes futuras áreas de estudo. (Sugestões de referências para esses projetos podem ser encontradas on-line ou na edição impressa do Guia de Solução do Estudante (Students Solutions Guide). Disponivel em inglês. APÊNDICES Há três apêndices no livro. O primeiro introduz axiomas dos números reais e inteiros e mostra como fatos são demonstrados diretamente a partir desses axiomas. O segundo abrange as funções exponenciais e logarítmicas, revendo o material básico muito usado no curso. O terceiro especifica o pscudocódigo usado para descrever algoritmos no texto. SUGESTÕES DE LEITURA Há, no final do livro, uma seção com uma lista de leituras suge- ridas para cada capítulo. Essa list inclui livros no mesmo nível ou abaixo dele, livros com maior grau de dificuldade, artigos expositivos e artigos originais sobre as descobertas em matemática discreta. Algumas dessas obras são clássicas, publicadas há muitos anos, enquanto outras foram publicadas recentemente. Como Utilizar Este Livro Este livro foi cuidadosamente escrito e elaborado a fim de auxiliar nos cursos de matemática dis- creta em diferentes níveis e com focos diferentes. A tabela a seguir identifica seu conteúdo e as seções opcionais. Um curso introdutório de um semestre em matemática discreta no nível de se- gundo ano pode se bascar nas seções principais do livro, com outras incluídas a partir do interesse do docente. Um curso introdutório de segundo semestre pode incluir todas as seções matemáticas opcionais, além das principais. Um curso com grande ênfase em ciência da computação pode ser ministrado a partir de algumas ou todas as seções opcionais de ciência da computação. Seções Opcionais sobre Seções Opcionais Capítulo Seções Centrais — Ciência da Computação sobre Matemática 1 LI-17 (pré-requisito) 2 21-24 (pré-requisito) 3 3.135,38 (pré-requisito) 36 31 4 4143 44,45 5 s1-53 56 54,55 6 1 64 62,63 7 FARA) 73 12,14,16 8 8.183,85 82 84,86 9 9.595 9698 10 10.1 102,103 10.4,10.5 n LHS 2 12.1-125 Prefácio xii Os professores que forem usar este livro podem ajustá-lo conforme o nível de dificuldade de seu curso, decidindo integrar ou omitir os exemplos mais desafiadores no final das seções, bem como os exercícios mais desafiadores. A dependência dos capítulos é mostrada na figura abaixo. Catulo Captuio2 Codos | Capínios Copdutos Cotuioo Capúlo7 Capíios Coínoo Ciploll — Catuol2 [ Caputo 10 Materiais Adicionais de Apoio Este livro conta com um pacote de suplementos para o professor e para o estudante. Esses mate- riais facilitam o uso do texto e intensificam a experiência de aprendizado, estão disponíveis em in- lês é são comerciais, ou seja, você precisa comprá-los. Para adquir-los, faça um pedido em uma livraria, informando o ISBN. Guia de Solução do Estudante (Student's Solutions Guide) Esse manual contém as resolu- ções detalhadas de todos os problemas com numeração ímpar. Essas resoluções explicam o por- quê do uso de um método em especial e como ele é trabalhado. Para alguns exercícios, uma ou luas outras possibilidades são descritas para mostrar que um problema pode ser resolvido de di- versas maneiras, Está também incluso um manual para o desenvolvimento de demonstrações e. uma extensa descrição dos erros mais comuns cometidos pelos estudantes em matemática discre- ta, além de testes amostrais e uma cópia das amostras para cada capítulo, a fim de auxiliar os estudantes em exames. (ISBN-10: 0-07-310779-4) (ISBN-13: 978-0-07-310779-0) Guia de Recursos para o Professor (Instructor's Resource Guide) Esse manual, disponível à pedido dos professores, contém as respostas completas dos exercícios pares. Sugestões de como usar o material de cada capítulo para o ensino são fornecidas, incluindo em quais pontos deve ser dada Enfase, e como usar o material nesta perspectiva. Testes amostras pera cada capítulo e um banco de exercícios com mais de 1,3 mil questões para escolher, incluindo todas as respostas deste banco e tests, também estão presentes. Por fim, diversas amostras de programas são apre- sentadas para cursos com diferentes ênfases e níveis de habilidade dos estudantes, e uma seção completa com guia de exereícios de migração foi incluída para ajudar os leitores da quinta edição a atualizar seu material do curso, (ISBN-10: 0-07-310781-6) (ISBN-13: 978-0-07-310781-3) CD e outros Recursos para o Professor (Instructor's Testing and Resource CD) Um enorme banco de dados com mais de 1,3 mil exercícios, que usa o software Brownstone Diploma, está disponível para os sistemas Windows e Macintosh. Os professores podem usar este software para criar seus próprios testes, selecionando as questões por conta própria ou aleatoriamente. Eles também podem escolher as questões por seção, nível de dificuldade e tipo; editar questões exis- tentes e adicionar suas próprias; incluir suas próprias instruções; imprimir versões do mesmo exportar exercícios da internet ou de um editor de textos; e criar e gerenciar livros para cursos. Uma versão impressa deste banco de dados, incluindo questões e suas respostas, está in- serida no Guia de Recursos para o Professor. (ISBN-10: 0-07-310782-4) (ISBN-13: 978-0-07-310782-0) Jonathan Knappenberger, LaSalle University Ed Kormived, Northwest Nazarene University Przemo Kranz, University of Mississippi Loredana Lanzani, University of Arkansas Yoonjin Lee, Smith College Miguel Lema, Northvestem University Jason Levy, University of Hawaii Lauren Lilly, Tabor College Ekaterina Lioutikova, Saint Joseph College Vladimir Logvinenko, De Anza College Joan Lukas, University of Massachusetts, Boston Lester McCann, University of Arizona Jennifer MeNulty, University of Montana Revisores das Edições Anteriores Eric Allender, Rutgers University Stephen Andrilli, La Salle University Kendall Atkinson, University of lowa, lona City Zhaojun Bai, University of California, Davis Jack R. Barone, Baruch College Klaus Bichteler, University of Texas, Austin John G. Michaels, SUNY Brockpont Michael Oppedisano, Morrisvile State College Michael O"Sullivan, San Diego State University Charles Parry, Virginia Polytechnic Institute Linda Powers, Virginia Polytechnic Institute Dan Pritikin, Miami University Anthony Quas, University of Memphis Eric Rawdon, Duquesne University Henry Ricardo, Medgar Evers College Oskars Rickst, Kitetown University Stefan Robila, Montclair State University Chris Rodger, Auburn University Robert Rodman, North Carolina State University Shai Simonson, Stonehill College Alfred E. Bom, Southvest Texas State University Ken W. Bosworth, Universiy of Maryland Lois Brady, California Polytechnic State University, San Luis Obispo Scott Buffett, Universiy of New Brunswick Russell Campbel, University of Northern lowa Prefício av Barbara Smith, Cochise College Wasin So, San Jose State Universioy Diana Staats, Dutchess Community College Loma Stewart, University of Alberta Bogdan Suceava, Califomia State Universiy Fulerton Kathleen Sulivan, Seantle University Laszlo Szekely, University of South Carolina Daniel Tauit, Universiy of Missouri, Rolla Don Vanderlagt, Grand Valley State University Fran Vasko, Kutetown University Susan Wallace, University of North Florida Zhenyuan Wang, University of Nebraska, Omaha Tom Wineinger, Universiy cf Wisconsin, Eau Claire Charlote Young, South Plains College E Rodney Canficid, University of Georgia Kevin Carolan, Marist College Tim Carroll, Bloomsburg University KitC. Chan, Bowling Green State University Allan C. Cochran, University of Arkansas Peter Collinge, Monroe Community College avi Prefácio Ron Davis, Millersvlle University Nachum Dershowitz, University of Hlinois, Urbana- Champaign “Thomas Dowling, The Ohio State Universiry Patrick €, Fischer, Vanderbilt University Jane Fritz, University of New Brunsuick Ladnor Geissinger, University of North Carolina Jonathan Golástine, Penmsylvania State University Paul Gormley, Vilanova University Brian Gray, Howard Community College Jonathan Gross, Columbia University Lami N. Gupta, Rochester Institute of Technology Daniel Gusfiea, University of California, Davis David E. Hayes, San Jose State University Xin He, SUNY at Bufalo Donald Hutchison, Clackamas Community College Kenneth Johnson, North Dakota State University David Jonah, Wayne State Universiry Akihiro Kanamori, Boston University W Thomas Kiley, George Mason University Takashi Kimura, Boston University Nancy Kinnersley, University of Kansas. Gary Kat, University of Wisconsin. Nicholas Krier, Colorado State University Lawrence 8. Kroll, San Francisco State University Shui E Lam, California State Universiny, Long Beach Robert Lavelle, Jona College Hasbir Lamba, George Mason University Sheau Dong Lang, University of Central Florida Cary Lee, Grossmont Community College i-Hsin Liu, University of Nebraska, Omaha Stephen C. Locke, Florida Atlantic University George Luger, University of New Mexico David S. MeAllister, North Carolina State University Robert MeGuigan, Westfield State College Michael Maller, Queens College Emie Manes, University of Massachusetss Francis Masat, Glassboro State College 1.M. Meteger, University of North Dakota Thomas D. Morley, Georgia Institute of Technology D.R Morrison, University of New Mexico Ho Kuen Ng, San Jose State University Timothy S. Norfolk, Sr. University of Akron Truc T. Nguyen, Bowling Green State Universiry George Novacky, University of Pitsburgh Jeffrey Nunemacher, Ohio Wesleyan University Jaroslav Opatry, Concordia University Jonathan Pakianathan, University of Rochester “Thomas W. Parsons, Hofitra University Mary K. Prisco, University of Wisconsin, Green Bay Halina Preymusinska, California Polytechmic State University, Pomona Don Reichman, Mercer County Communioy College Harold Reiter, University of North Carolina Adrian Riskin, Norhem Arizona State Universiry AmyL Rocha, San Jose State University Janet Rol, University of Findiay Mathew 1. Salteman, Clemson Universiry Alyssa Sankey, Slippery Rock University Dinesh Sarvate, College of Charleston Michael 1. Schloss, The Ohio State University Steven R. Seidel, Michigan Technological University Douglas Shier, Clemson Universiny Alistair Sinclair University of California, Berkeley xvilt Prefácio estão ligados diretamente ao conteúdo do texto, assim como aos exemplos e aos exercícios. Recursos adicionais são proporcionados para ajudar em seu uso e sua aplicação. Ato [79 = Auto-Avaliação (Se Assessment) Esses guias interativos ajudam você à avaliar se tem. avaliação dimento dos 14 principais conceitos, por meio de um banco de questões no qual cada questão inclui um pequeno tutorial seguido de uma questão de múltipla escolha. Se você selecionar uma resposta errada, uma dica é dada para ajudá-lo a entender seu erro. Usando este recurso, poderá diagnosticar seus problemas e focalizar as devidas soluções. EE3 "Guia de Recursos da Internet (eb Resources Guide) Esse guia fomese centenas de links tnts 53 que dão acesso a material relevante, como informações históricas e biográficas, desafios e problemas, discussões, applets, programas, entre outros. Ao Estudante que é matemática discreta? Matemática discreta é a parte da matemática voltada para o estudo dos objetos discretos. (Aqui, discreto significa elemento distinto ou desconexo). Os tipos de problemas resolvidos com a matemática discreta incluem: = Quantas formas existem para escolher uma senha válida em um sistema computacional? = Qual é a probabilidade de se ganhar na loteria? Existe um elo entre dois computadores em uma rede de transmissão? Como identificar e-mails com spam? Como posso criptografar uma mensagem para que nenhum destinatário não incluído pos- salê-da? Qual o menor caminho entre duas cidades usando o sistema de transporte? = Como se pode sortcar uma lista de números inteiros, na qual os números estão em ordem crescente? Quantos passos são necessários para se fazer uma escolha? Como é possível provar que um algoritmo escolhido corretamente resolve determinado pro- blema? = Como é determinado um circuito que soma dois inteiros? = Quantos endereços válidos da internet existem? Você vai aprender as estruturas e as técnicas discretas necessárias para resolver problemas como Generalizando, a matemática discreta é usada quando os objetos são contados, quando são estudadas as relações entre os conjuntos finitos (ou contáveis) e quando são analisados os proces- sos que envolvem um número finito de passos. A principal razão para o crescimento da importân- cia da matemática discreta é que a informação é administrada e manipulada por computadores de. uma maneira discreta. POR QUE ESTUDAR MATEMÁTICA DISCRETA? Há muitas razões importantes para se estudar a matemática discreta. Em primeiro lugar, o longo deste curso você poderá desenvol- ver sua maturidade matemática, ou seja, sua capacidade de entender e criar argumentos matemá- ticos. Você não conseguirá avançar muito em seus estudos matemáticos sem essas habilidades. Em segundo lugar, a matemática discreta é a porta de entrada para cursos mais avançados de todas as áreas das ciências matemáticas. Ela dá as bases matemáticas para muitos cursos de ciên- cia da computação, incluindo estruturas de dados, algoritmos, teoria da base de dados, teoria da automação, linguagens formais, teoria da compilação, segurança computacional e sistemas de. operações. Os estudantes encontram muito mais dificuldade nesses estudos quando não possuem os fundamentos básicos apropriados da matemática discreta. Uma estudante enviou-me um e- mail dizendo que costuma usar o conteúdo deste livro em todos os cursos de ciência da compu- tação que ela freqienta! Cursos de matemática que se baseiam no conteúdo estudado pela matemática discreta in- cluem lógica, teoria dos conjuntos, teoria dos números, álgebra lina, álgebra abstrata, análise. combinatória, teoria dos grafos e teoria da probabilidade (a parte discreta de cada tópico). Além disso, a ca contém o contexto tico rio para resolver problemas em pesquisas operacionais (incluindo muitas técnicas de otimização discreta), química, engenharia e biologia, entre outros. Nesta obra, estudaremos algumas aplicações nessas áreas, Muitos estudantes julgam que o curso de introdução à matemática discreta seja significativa- mente mais desafiante que os cursos que já tiveram. Uma razão para isso é que o objetivo incial deste curso é ensinar a argumentação matemática e a resolução de problemas, em vez das habil dades dos conjuntos discretos. Os exercícios neste livro são projetados para refletir esse objetivo. Embora haja diversos exercícios nesta obra similares aos tratados nos exemplos, uma grande. aix 
