Mínimos e Máximos de Funções: Definições, Crítérios e Exercícies, Resumos de Matemática Aplicada

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MÁXIMOS E MÍNIMOS DE UMA VARIÁVEL

REAL.

SEÇÕES:9.6,9.7 E 9.

ORIENTADOR:ODÉCIO SALES

NOME: FRANCISCA NATALIA VIANA SILVA

DEFINIÇÕES DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

• Definição 1: Sejam f uma função, A ⊂ Df e p ∈ A. Dizemos que f(p) é o valor máximo de f em A ou que p um ponto de máximo de f em A se f (x) ≤f (p) para todo x em A. Se f (x) ≥ f (p) para todo x em A, dizemos então que f(p) é o valor mínimo de f em A ou que p é um ponto de mínimo de f em A.
• Definição 2: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que f(p) é o valor máximo global de f ou que p é um ponto de máximo global de f se, para todo x em Df, f ( x) ≤ f (p).Se, para todo x em Df, f(x) ≥ f(p),diremos então que f(p) é o valor mínimo global de f ou que p é um ponto de mínimo global de f.
• Definição 3: Sejam f uma função e p ∈ Df. Dizemos que p é ponto de máximo local de f se existir r > 0 tal que f(x) ≤ f(p).Para todo x em (p-r,p+r)∩ Df. Por outro lado, dizemos que p é ponto de mínimo local de f se existir r>0 tal que f(x) ≥ f(p) para todo x em (p-r,p+r)∩ Df.

• USO DA SEGUNDA DERIVADA PARA MÁXIMOS

E MÍNIMOS

• Uso da segunda derivada para máximos e mínimos
• Seja f uma função derivável sobre um conjunto S, tal que a sua derivada f' seja uma função contínua e vamos supor que f possui um ponto crítico x=c em S, isto é, f'(c)= 0.
• Se f"(c)< 0 então x=c é um ponto de máximo para a função f.
• Se f"(c)> 0 então x=c é um ponto de mínimo para a função f.

VALORES EXTREMOS – MÁXIMO E MÍNIMO

GLOBAL

• Dizemos que f : D ⊆ R → R tem • máximo global em c se f(c)

≥ f(x), ∀x ∈ D. O valor f(c) é chamado valor máximo de f em D.

• mínimo global em c se f(c) ≤ f(x), ∀x ∈ D. O valor f(c) é

chamado valor mínimo de f em D

EXERCÍCIOS DE MÁXIMOS E MÍNIMOS

• Estudar a função dada com relação a máximos e mínimos locais e globais.
• 1. F(x)=x^2+3x+
• Resolução: realizando a primeira derivada temos como resultado 2x+3,igualando a 0 temos: 2x+3=0,x=- 3 \2,como f(x) é uma função quadrática com a maior que 0,então - 3 \2 é ponto de mínimo global.
• 2. F(x)=xe^-x
• Resolução: para calcular a primeira derivada vamos utilizar a regra do produto, temos 1.e^-x+x.(-1)e^-x, colocando e^-x em evidência ficamos com e^-x(1-x)=0.Temos que e^-x é sempre positivo, pois é uma função exponencial, logo vamos igualar o que está dentro do parênteses a 0. temos 1 - x=0,-x=-1 (-1), x=1,realizando a segunda derivada para verificação temos: e^-x.(1-x)+e^-x.(-1),ou seja e^-x(1-x-1)=0, colocando e^-x em evidência temos e^-x(1-x-1)=0,portanto temos – x+0=0,resultando em – x, logo - 1 < 0,portanto é ponto de máximo global.
• 3. F(x)=2x^3-3x^2-12x+15 no intervalo [0,3 ]
• Resolução: calculando a primeira derivada temos 6x^2-6x-12,temos x=-1 e x=2,6x-6x-12=0,- 1 ∉ [0,3 ] assim temos que 2 é um ponto crítico de f. calculando f(2)=2.2^3-3.2^2-12.2+15=16- 12 - 24 - 9=-5, f(0)=2.0^3-3.3.0^2-12.0+15=15, f(3)=2.3^3-3.3^2-12.3+15=27-21=6, portanto 2 é mínimo local,e 0 é máximo local, pois f(3) nem é ponto de máximo e nem de mínimo. -

• TEOREMA DO VALOR MÁXIMO (KARL WEIERSTRASS)
• Se f é uma função contínua sobre um intervalo fechado e limitado [a,b], então f assume o seu valor máximo M e também o seu valor mínimo m, no intervalo [a,b]. Isto é o mesmo que garantir a existência de valores x 1 e x 2 em [a,b] tal que para todo x em [a,b]: - f(x 1 ) = m < f(x) < M = f(x 2 )

CONDIÇÃO NECESSÁRIA E CONDIÇÕES

SUFICIENTES PARA MÁXIMOS E MÍNIMOS LOCAIS

• TEOREMA 1: SEJA F UMA FUNÇÃO DERIVÁVEL EM P, EM

QUE P É UM PONTO INTERIOR A Df. UMA CONDIÇÃO

NECESSÁRIA PARA QUE P SEJA PONTO DE MÁXIMO OU

DE MÍNIMO LOCAL É QUE A DERIVADA EM F(P) SEJA

IGUAL A ZERO.

DEMONSTRAÇÃO DO TEOREMA 1.

• Suponhamos que p seja ponto de máximo local(a demonstração será análoga se p for ponto de mínimo local). Assim, existe r >0 tal que f(x)≤f(p) em (p-r,p+r)∩ Df,como, por hipótese, p é interior a Df, podemos escolher r de modo que (p-r,p+r)⊂ Df. Assim f(x)≤f(P) para todo x em (p-r,p+r). Como f é derivável em p, os limites laterais
• Lim x→p+ f(x)-f(p)\x-p e Lim x→p(- ) f(x)-f(p)\x-p existem e são iguais a f′(p): f′(p)=Lim x→p+ f(x)-f(p)\x-p = Lim x→p(- ) f(x)-f(p)\x-p para p<x<p+r, f(x)-f(p)\x-p≤0; pela conservação do sinal Lim x→p+ f(x)-f(p)\x-p≤0,logo f′(p)≤0. Para p-r<x<p, f(x)-f(p))\x-p≥0; daí Lim x→p(-) f(x)-f(p)\x-p≥0 ,logo f′(p)≥0.Como f′(p)≥0 e f′(p)≤0 resulta f′(p)=0.

DEMOSTRAÇÃO DE 1

• Como f′′ é contínua em I e f′′(p) >0,pelo teorema da conservação do sinal, existe r>0(tal r pode ser tomado de modo que (p-r,p+r) esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p ∈ I) tal que f′′(x) >0 em (p-r,p+r). Segue que f′ é estritamente crescente neste intervalo; como f′(p)=0,resulta:
• f′(x) < 0 em (p-r,p),f′(x) >0 em (p,p+r) e logo, f é estritamente decrescente em (p-r,p] e estritamente crescente em [p,p+r).Portanto, p é ponto de mínimo local.

DEMONSTRAÇÃO DE 2

• Como f′′ é contínua em I e f′′(p) < 0,pelo teorema da conservação do sinal, existe r > 0(tal r pode ser tomado que (p-r,p+r) esteja contido em I, pois estamos supondo I intervalo aberto e p∈ I) tal que f′′(x)< 0 em (p-r,p+r),segue que f′ é estritamente decrescente neste intervalo, como f′(p)=0,resulta:f′(x) < 0 em [p,p+r),f′(x) >0 em (p- r,p],logo f é estritamente decrescente em [p,p+r),e estritamente crescente em (p- r,p],portanto p é ponto de máximo local.

MÁXIMO E MÍNIMO DE FUNÇÃO CONTÍNUA EM

INTERVALO FECHADO

• Seja f uma função contínua no intervalo fechado [ a,b]. O

teorema de Weierstrass garante-nos que f assume em [ a,b]

valor máximo e valor mínimo.

MÉTODO DO INTERVALO FECHADO PARA DETERMINAR

OS VALORES EXTREMOS (MÁXIMO E MÍNIMO GLOBAIS)

DE UMA FUNÇÃO F : [A, B] → R CONTÍNUA.

1. Encontre os valores de f nos pontos críticos de f em (a, b). 2.

Encontre os valores de f nos extremos a e b do domínio. • O

valor máximo de f é o maior entre as etapas 1 e 2. • O valor

mínimo de f é o menor entre as etapas 1 e 2.

REFERÊNCIA BIBLIOGRÁFICA

• GUIDORIZZI,VOL 1,5ª edição.