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CAPÍTULO 3
REQUISITOS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS
INTRODUÇÃO
O estudo referente à análise de circuitos sob um ponto de vista completo, normalmente envolve cálculos complicados e são muitos os livros que podem ser encontrados tratando desse assunto. Aqui, abordaremos a análise de alguns circuitos que empregam somente corrente contínua, onde as impedâncias são essencialmente resistências lineares e as tensões são constantes. Para o estudo de circuitos elétricos, dois objetivos principais são importantes: um, é determinar a impedância (ou resistência, para circuitos de CC) de um dado circuito, entre dois pontos quaisquer; outro é determinar a corrente ou tensão através de um elemento qualquer do circuito, quando uma tensão é aplicada a uma outra parte do referido circuito.
FONTES OU GERADORES DE TENSÃO CONSTANTE
Uma fonte de tensão é, na verdade, um gerador de tensão que possui uma resistência interna muito baixa, entregando em sua saída um valor de tensão constante, para uma extensa gama de valores de carga a ele conectado. Existe o gerador de tensão ideal e o gerador de tensão real. No primeiro caso, a diferença de potencial é mantida constante, qualquer que seja a caga à qual esteja ligado. Um gerador de tensão ideal, na prática, não existe, pois todo gerador possui uma resistência interna fazendo, com que a tensão nos seus terminais dependa da carga, atuando, portanto, com um gerador de tensão real. Nas figuras 3- e 3-2 ilustramos esquematicamente os dois tipos de geradores de tensão acima mencionados.
Figura 3-1 Gerador de tensão ideal
Figura 3-2 Gerador de tensão real
Nota-se, em ambos os circuitos, uma seta colocada ao lado da f. e m. A posição da seta é para indicar que, caso a fonte atuasse sozinha, provocaria o movimento de cargas positivas no sentido mostrado, indicando desta forma, o sentido da f. e. m. do gerador. São vários os tipos de geradores de tensão e poderíamos citar, como exemplos típicos desses geradores encontrados na prática, as fontes de C C reguladas, uma bateria ou circuitos seguidores de emissor etc. Os geradores de tensão constante têm grandes aplicações em circuitos onde desejamos que a tensão de saída seja estável ou constante. É o caso, por exemplo, dos reguladores de tensão eletrônicos, cuja finalidade é manter uma tensão constante nos seus terminais de saída, embora varie a tensão de entrada, ou o valor da carga. Ocorre, entretanto, que geradores de tensão constante, a exemplo dos reguladores de tensão eletrônicos, são constituídos de dispositivos semicondutores, tais como: diodos comuns, diodos zener e transistores, isto sem falar de vários dispositivos totalmente integrados, os chamados CI (circuitos integrados). Portanto, uma análise, agora, destes circuitos, certamente estaria fora dos nossos objetivos iniciais. Circuitos dessa natureza poderão ser abordados, quando tivermos alguns conhecimentos básicos de dispositivos semicondutores, numa fase mais adiantada do nosso curso de eletrônica. No nosso estudo referente à análise de circuitos, faremos utilização de um dispositivo gerador de tensão constante, chamado “Equivalente de Thévenin”, muito empregado na resolução de circuitos considerados complexos.
Este dispositivo eletrônico representa o circuito equivalente de qualquer circuito eletrônico, que tenha características de manter uma tensão constante de saída.
FONTES OU GERADORES DE CORRENTE CONSTANTE
Podemos definir fontes de corrente constante como sendo dispositivos capazes de fornecer uma corrente de valor constante a qualquer carga, desde um circuito aberto (carga infinita) até um curto-circuito (resistência de carga zero). Um gerador de corrente constante ideal, na prática, não existe. O que existe é o gerador de corrente real, possuindo certas limitações, e sendo capaz de manter constante a corrente nos terminais da carga, dentro de uma faixa de variações desta referida carga. As figuras 3-3 e 3-4 ilustram os dois tipos de geradores, que acabamos de mencionar. Naturalmente, trata-se de uma representação simbólica.
Figura 3-3 Gerador de corrente ideal
Figura 3-4 Gerador de corrente real
O gerador de corrente ideal teria uma altíssima resistência interna (idealmente infinita). Um gerador de corrente real compõe- se de um gerador ideal em paralelo com sua resistência interna. Outro símbolo muito empregado para as fontes de corrente constante é o da figura 3-5.
Figura 3-5 Representação simbólica de um gerador de corrente real
Um gerador de corrente constante prático é, portanto, aquele capaz de estabilizar a corrente em uma carga que varia dentro de uma grande faixa de valores. Queremos chamar a atenção dos nossos leitores, para o seguinte: embora o assunto em pauta não se trate propriamente de geradores de corrente constante e geradores de tensão constante, achamos por bem, dar alguns conceitos básicos, os quais julgamos de grande utilidade para que, juntando aos demais assuntos que se seguirão, nos dêem uma melhor idéia daquilo que pretendemos expor. Na prática, os geradores de corrente podem assumir diversas configurações. O que vemos aqui, entretanto, serão alguns circuitos de caráter puramente didáticos. Ocorre que, como no caso dos geradores de tensão, os geradores de corrente constante, na prática, envolvem dispositivos semicondutores, tais como: transistores, diodos, zener, etc. Uma análise, agora, destes circuitos, estaria fora de nossas cogitações iniciais. O leitor poderá ter uma noção bem melhor de fontes de corrente constante (fontes práticas), no assunto referente a dispositivos semicondutores. Conhecemos pelo circuito da figura 3-
Figura 3-6 Circuito básico de um gerador de corrente constante
O circuito da figura 3-6 é constituído de um gerador de tensão, que tem conectado um resistor em série. Este dispositivo se aproxima relativamente bem de um gerador de corrente constante.
Ainda, com referência aos dados da tabela, podemos observar que, se quiséssemos utilizar uma RL = 9K , teríamos que dispor de uma Ri = 900 K m no mínimo. Entretanto, para que a corrente fosse mantida em 0,1 mA, necessitaríamos de uma fonte de 90 V, o que nos levaria a uma solução não muito prática.
: :
Queremos lembrar, aqui aos nossos leitores, que qualquer circuito capaz de manter uma corrente constante, independente do valor da carga ( dentro de certos limites) estará sendo representado por um circuito chamado “Equivalente de Norton”. Este será, portanto, nosso gerador de corrente constante. A exemplo do “Equivalente de Thévenin”, o “Equivalente de Norton” encontra muita aplicação na resolução de circuitos considerados complexos, conforme veremos mais tarde nesse assunto referente a análise de circuitos.
ELEMENTOS DE CIRCUITOS
Denomina-se elemento de um circuito o menor componente individual, que é considerado na resolução de um problema. Tal elemento pode ser uma simples resistência, uma f. e. m., ou ainda um valor equivalente à associação de diversas resistências ou tensões. Na figura 3-10 temos uma representação esquemática para ilustrar os elementos de um circuito.
Figura 3-10 Diagrama para ilustrar os elementos de um circuito
Na figura 3-10, E1, E2, E3, R1, R2, R3 e R4 são elementos do circuito. É importante ressaltarmos que E1, E2 e E3 podem representar uma simples pilha, um gerador, ou mesmo uma fonte eletrônica (um retificador, por exemplo). Da mesma forma, R!, por exemplo, tanto pode ser um simples resistor, quanto a resistência à CC de um indutor, etc.
Terminologia usual Como propósito de facilitar a análise de circuitos elétricos, existem certos termos com os quais devemos nos familiarizar. a) Rede ou Circuito Dá-se o nome de rede a um conjunto de condutores, geradores e receptores ligados de uma maneira qualquer, ou seja, em série em triângulo, em paralelo, etc. A figura 3-10 nos mostra um exemplo de uma rede ou circuito. b) Nó de Intensidade ou Nó (ou ainda NODO) Nó pode ser definido como a junção de três ou mais elementos componentes de uma rede. Se observarmos o circuito da figura 3-10, vamos notar que existem pontos comuns a diversos condutores, ou geradores, ou receptores. A exemplo temos os pontos a , c , e e f. Portanto, o Nó é o ponto de concorrência de três ou mais braços. c) Braço ou Ramo Qualquer porção de uma estrutura (de um circuito), ligando diretamente dois nós, sem passar através de um terceiro, chama-se braço ou ramo. Na figura 3-10, podemos observar que os elementos E1 e R1, por exemplo, constituem um ramo que une os nós a e c; da mesma forma, o elemento R2 forma o ramo que une os nós c e f. Em um braço ou ramo, todos os elementos que nele figuram estão em série. Neste circuito temos seis braços. d) Laço de Circuito Observando a figura 3-10, notamos um circuito fechado a, b, c, f, a , incluindo E1, R1, R2 e R6. Isto constitui exemplo do laço ou “loop”. Desta forma podemos dizer que o laço é a combinação de todos os elementos formadores de um circuito fechado. Outros exemplos de laço: abcdefa , fcdef , etc. e) Malha Podemos dizer que a malha é o menor laço. A malha nada mais é do que um laço, que não pode ser subdividido em outros. São exemplos de malhas: abcfa , fcdef e afegha. Portanto, a malha é todo circuito fechado que possa ser considerado dentro da rede, que não pode ser dividido.
TEOREMAS DAS ESTRUTURAS
ELÉTRICAS
Os teoremas a serem abordados aqui, serão enumerados sem qualquer comprovação. Existem quatro teoremas largamente empregados na análise de circuitos, e que constituem a base para muitos outros teoremas existentes, São eles: Leis de Kirchoff, Teorema de Thévenin, Teorema de Norton e Teorema de Superposição.
1. Leis de Kirchoff Fundamentalmente existem duas Leis de Kirchoff para o estudo das estruturas:
a) Primeira Lei de Kirchoff ou Lei dos Nós
“A soma das correntes que entram em um nó, é igual à soma das correntes que saem do nó”. É o que nos ilustra a figura 3-11.
Figura 3-11 Ilustração da primeira Lei de Kirchoff Da mesma forma, é válido enunciar que: “a soma algébrica das correntes que entram e saem de um nó é nula”. Então podemos escrever inicialmente, que: i 1 i 2 i 3 i 4 i 5
ou então: i 1 i 2 i 3 i 4 i 5 0
b) Segunda Lei de Kirchoff ou Lei das Malhas Esta lei é relativa às tensões, podendo ser enunciada da seguinte maneira:
“Em qualquer circuito elétrico fechado, a soma algébrica das quedas de potencial deve ser igual à soma algébrica das elevações de potencial”.
R. I (Queda de potencial) = E (Ele- vação de potencial)
Em outras palavras: “a soma algébrica de todas as quedas de potencial e a f.e.m. devem ser iguais a zero”. R x I – E = 0
2. Aplicação das Leis de Kirchoff Para aplicarmos as leis de Kirchoff aos circuitos elétricos, levamos em conta o sentido do fluxo de elétrons através desses circuitos. Em conseqüência usamos normalmente sentidos arbitrários de circulação, desde que não sejam evidentes os sentidos reais. Devemos empregar, por exemplo, a lei das correntes ou lei dos nós, a fim de reduzirmos o número das correntes desconhecidas. Em seguida escrevemos uma equação de Kirchoff relativa á segunda lei, ou lei das malhas, para cada circuito fechado do conjunto; e assim prosseguimos, escrevendo equações de modo que cada elemento do conjunto seja usado pelo menos uma vez em uma das equações. Deste modo, resolveremos as equações resultantes, determinando, em seguida, o valor de cada corrente. De um modo geral, é possível prescrever várias regras que nos levem a escrever equações de tensão, ou mesmo de corrente, para qualquer circuito, todas conduzindo-nos a um resultado correto. Entretanto, para atender nossos objetivos, iremos nos limitar às seguintes regras: a) uma rede contendo b ramos, necessita de b equações para a solução do problema, já que, para cada ramo há uma corrente. b) começamos sempre aplicando inicialmente a lei dos nós. c) se houver n nós aplicamos a primeira lei n-1 vezes, conseguindo n- equações independentes entre si. d) em virtude de serem necessárias b equações e a primeira lei ser utilizada n-1 vezes, podemos aplicar a segunda lei, b-(n-1) vezes, ou seja, igual ao número de malhas. e) devemos atribuir, arbitrariamente, um sentido para a corrente em cada braço ou ramo do circuito. f) é necessário atribuirmos, também, um sentido de percurso para cada malha. g) a força eletromotriz terá sinal positivo, desde que não se oponha ao
resistores, tem sentido igual ao arbitrado para o percurso. Portanto, de acordo com a 2ª Lei de Kirchoff, podemos dizer que:
E 1 E 2 iR 1 iR 2
Invertendo as posições dos membros da equação e colocando o fator i em evidência, temos:
iR 1 iR 2 E 1 E 2
i (R 1 R 2 ) E 1 E 2
Agora, tirando o valor de i, vem:
1 2
1 2 R R
E E i
(c) Vejamos na figura 3-14 um circuito idêntico ao anterior, sendo que seus elementos têm valores numéricos.
Figura 3-14 Circuito para comprovação das Leis de Kirchoff
Adotando o sentido ABCDA para o percurso, bem como o sentido adotado para a corrente, e aplicando a segunda lei de Kirchoff, teremos:
+E 1 – E 2 = iR 1 + iR 2 + iR 3
Colocando “i” em evidência e tirando o seu valor na equação, teremos:
1 2 3
1 2 R R R
E E
i
Substituindo o numerador e o denominador por seus respectivos valores, vem:
i A
V V
i 0 , 25 2 10 4
Uma vez achada a corrente, as quedas de potencial podem ser facilmente encontradas. É importante observarmos que, se o sentido da corrente fosse arbitrado ao contrário, certamente teríamos um resultado positivo para a corrente, indicando, desta forma, que o sentido arbitrado anteriormente para “i”, estaria errado. Em ambos os casos, o resultado da corrente, em módulo é o mesmo.
(d) O circuito que analisaremos, agora, já não é tão simples quanto os três primeiros.
Sentido do percurso nas malhas I e II Figura 3-15 Circuito para cálculo das leis de Kirchoff
Cabem aqui, algumas considerações Sentido importantes, a saber: de per- curso adotado
- Como existem dois nós, D e C, temos uma equação para a primeira lei, ou Lei dos Nós. Observando o circuito notamos que a corrente I 1 se subdivide em I 2 e I 3 ; portanto: I 1 = I 2 + I (^3) (primeira equação).
- No circuito temos 2 malhas, portanto a segunda lei será escrita duas vezes.
- Como no circuito há três ramos, teremos 3 equações: uma para a corrente e duas para as tensões.
- Aplicando a segunda lei na malha I, adotando o percurso ABDCA, obtemos: -E 1 = -I 1 R 1 – I 3 R 3? -10V = -20I 1 – 10I 3 (segunda equa- ção) 5 Aplicando a segunda lei na malha II, adotando o percurso CDFEC, obtemos: +E 2 = +I 1 R 1 + I 2 R 2? +10V = 20I 1 + 10I 2 (terceira equação)
6 Temos então três equações com incógnitas. Para resolvermos devemos fazer uso de um método simples conforme se segue. (a) Substituímos a primeira equação (corrente) em uma das equações de tensão, obtendo uma quarta equação de tensão. Substituímos o valor de I 3 na segunda equação teremos: I 3 = I 1 – I (^2) +10 = + 20I 1 + 10(I 1 – I 2 )? +10 + 30I 1 – 10I 2 (quarta equação). Esta quarta equação possui as mesmas incógnitas que a terceira equação, assim podemos compara-las, arranja-las e soma- las, obtendo: 20 = 50I 1? 2 = 5I 1? I 1 = 2/5 A = 0,4 A (b) Substituímos I 1 na segunda equação e obtemos: 10 = 20 x 0,4 + 10I 3?
10 = 8 + 10I 3? 10
3
I
I 3 =0,2A
(c) Como I 1 = I 2 + I (^3)
I 2 = I 1 – I 3 = 0,4 – 0,2 = 0,2A
ou substituindo I 1 na terceira equação obtemos:
+10 = 20I 1 + 10I 2?
+10 = 20 x 0,4 + 10I 2?
I 2 = 0,2A
7 Verificando a primeira equação I 1 = I 2 + I 3 então 0,4 = 0,2A+0,2A. Esta equação está correta com o resultado que obtemos. Podemos também verificar a igualdade de todas as equações e chegamos à conclusão que estão corretas.
e) Analisemos, agora, o circuito da figura 3-16.
Figura 3-16 Circuito para análise das leis de Kirchoff Para encontrarmos os valores de I 1 , I (^2) e I 3 , seguiremos os sete passos seguintes. 1 Pela primeira Lei de Kirchoff, ou Lei dos Nós, obtemos a seguinte equação: I 3 = I 1 + I 2 (equação I) 2 Na malha I, pela segunda Lei de Kirchoff, obtemos: -E 2 = I 1 R 1 – I 2 R 2 -5V = 5I 1 – 5I 2 (equação II) 3 Na malha II, pela segunda Lei de Kirchoff, obtemos: E 1 + E 2 = I 2 R 2 + I 3 R 10V = 5I 2 + 5I 3 (equação III) 4 Substituímos a equação I na equação III: 10V = 5I 2 + 5(I 1 + I 2 ) 10V = 5I 2 + 5I^1 + 5I^2 10V = 5I 1 + 10I 2 (equação IV) Comparamos a equação IV com a equação de tensão que ainda não foi usada, que é a II, que possui as mesmas incógnitas que a equação IV. Se multiplicarmos a equação II por –1 podemos cancelar I 1 e encontrar o valor de I 2. Somando II com IV, obtemos: 5V = - 5I 1 + 5I (^2) 10V = +5I 1 + 10I (^2) 15V = 15I 2 ? I 2 = 1A 5 Aplicando o valor de I 2 na equação II obtemos o valor de I 1 : -5V = 5I 1 – 5I (^2) -5V = 5I 1 – 5 5I 1 = 0? I 1 = 0 6 Aplicando o valor de I 2 na equação III obtemos o valor de I 3 10V = 5I 2 + 5I (^3)
No circuito da figura 3-18 temos: I (^) T = I 1 + I 2 e E (^) T = E 1 = E 2
?
x x (^111222) 1 2
1 2 ; E IR ; E I R
R R
R R
E T IT
1 1 2 2 1 2
1 2 I R I R
R R
R R
I T
x x
a) Cálculo de I (^1)
1 1 1 2
1 2 I R
R R
R R
I T
x x
1 2 1
1 2 1
1 2
1 2
1
R R R
R R I
R
I
R R
R R
I T
T x
x x
x
x
1 2
2 1 R R
I R
I T
x
b) Cálculo de I (^2)
2 2 1 2
1 2 I R
R R
R R
I (^) T x
x x
1 2 2
1 2 2
1 2
1 2
2
R R R
R R I
R
R R
R R
I
I T
T x
x x
x x
1 2
1 2 R R
I R
I T
x
c) A finalidade do divisor de corrente é nos proporcionar o cálculo da corrente que passa por um braço do circuito sem o uso da tensão do circuito.
TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO
Enunciado
O teorema da superposição estabelece que “em qualquer rede contendo uma ou mais fontes de tensão (e/ou corrente), a corrente em qualquer elemento do circuito é a soma algébrica das correntes que seriam causadas por cada fonte individualmente, estando as demais substituídas por suas respectivas resistências internas”.
Aplicação
Para ilustrar a aplicação do teorema vamos analisar o circuito da figura 3-19, onde
desejamos encontrar o valor e o sentido das correntes em R 1 , R 2 e R 3.
Figura 3-
Primeiramente usaremos E 1 e substituiremos E 2 por um curto (consideramos E 2 com Ri = 0).
Figura 3-
RT = R 1 + :
x 6 3 9 2 3
2 3 R R
R R
ET = R 1 = 4V
A
V
I T IR 0 , 444
As correntes no circuito ficam como distribuídas a seguir:
Figura 3- Em seguida usaremos E 2 e substituiremos E 1 por um curto (também consideramos R 1 de E 1 = 0).
Figura 3-
x 6 3 9 1 2
1 2 (^3) R R
R R
RT R
ET = E 2 = 6 V
A
V
I T IR 0 , 666
3
As correntes no circuito ficam como distribuídas na figura 3-23:
Figura 3-
Como último passo fazemos a superposição das correntes causadas por E 1 e por E 2.
Em R 1 a corrente real será a soma algébrica de 0,444A e 0,333A no mesmo sentido, de F para A, de onde I (^) R1 = 0,777 A.
Em R 2 obtemos 0,333A de E para B, e 0,222A de B para E;. O resultado final é de 0,111A no sentido de E para B.
Em R 3 obtemos 0,222A e 0,666A no mesmo sentido, de C para D, de onde I (^) R3 = 0,888A.
O resultado final está mostrado a seguir na figura 3-24.
Verificação: I (^) R3 = I (^) R1 + I (^) R 0,888A = 0,777A + 0,111A. De acordo com a primeira Lei de Kirchoff está correto.
Figura 3-
TEOREMA DE THÉVENIN
Nem sempre as leis de Ohm e de Kirchoff constituem a ferramenta necessária para a resolução de circuitos mais complexos. O teorema de Thévenin faz parte de um grupo de teoremas sobre estruturas elétricas complexas, possibilitando-nos meios mais eficazes para a análise simplificada de circuitos dessa natureza. A técnica utilizada possibilita a redução de um circuito complexo a um circuito equivalente simples, que passa a atuar como a rede original. O teorema de Thévenin pode ser enunciado da seguinte maneira: “qualquer rede de dois terminais pode ser substituída por um circuito equivalente simples, constituído por um gerador, chamado gerador de Thévenin, cuja tensão ETH, atuando em série com sua resistência interna RTH, obriga a corrente a fluir através de uma carga” (Ver a figura 325 b).
a
b
Figura 3- Os circuitos a seguir nos mostram uma sequência de operações, que visam a determinar os dois elementos fundamentais constituintes do teorema de Thévenin, ou seja, ETH e RTH.
(a)
ETH e RTH, são grandezas independentes do valor de RL. Vejamos mais um exemplo bem simples, de aplicação do teorema de Thévenin, para em seguida entrarmos na análise de circuitos mais complexos.
Figura 3-
Para calcularmos a tensão de Thévenin (ETH), basta acharmos a tensão entre os pontos A e B. Portanto, ao retirarmos RL do circuito, a
tensão VAB =ETH = x 1 ^22
R
R R
E
= ETH
R R
E R
x
x 1 2
(^2) sendo igual a 1 2
2 R R
E R
x
equivale à f.e.m. do gerador equivalente de Thévenin. Agora, com a fonte “E” em curto-circuito, passemos ao cálculo de RTH, que por natureza
do circuito, será: 1 2
1 2 R R
R R
R AB RTH
x
Finalmente, teremos o circuito equivalente de Thévenin, seguido dos seus elementos fundamentais, (RTH e ETH), conforma a figura 3-28 a seguir.
Figura 3-
1 2
2 1 2
1 2 R R
E R
ETH
R R
R R
RTH
x
x
Vamos supor que quiséssemos calcular a potência dissipada no resistor R 2 do circuito da figura 3-29, aplicando o teorema de Thévenin.
Figura 3-29 Ilustração do teorema de Thévenin
Precisamos encontrar o equivalente de Thévenin para o circuito da figura 3-29. Vamos abrir o circuito nos pontos A e B, pois R (^2) representa nossa RL. O circuito passa a ser como o da figura 3-30.
Figura 3-30 R 2 removida do circuito
As fontes E 1 e E 2 estão em oposição. Logo a corrente total será:
A
V V V
I (^) t 0 , 5 20
Esta corrente, passando em R 3 produzirá uma queda de tensão de 2,5,V; e passando em R 1 produzirá uma queda de tensão de 7,5 V. Assim, já podemos achar a tensão VAB que será 12,5 V, conforme ilustrado na figura 3-31.
Figura 3-31 Potencial entre os pontos A e B, igual a 12,5 V
Pelo exposto no circuito da figura 3-31, observamos que a fonte E 1 é que determina o fluxo de corrente, pois esta fonte tem valor maior que E 2. Assim sendo, de acordo com o sentido de corrente estabelecido, temos que, pelo lado de E 2 , a tensão VAB = E 2 + VR3 , pois estas duas tensões estão em série e se somam, dando VAB = 12,5 V. Pelo lado de E 1 , a tensão VAB = E 1 - VR1 , pois estas duas tensões estão se opondo.
Logo: VAB = 20V – 7,5V; ou VAB = 12,5V. Portanto, sendo VAB = 12,5V, concluímos que a tensão de Thévenin é 12,5V. Agora vamos calcular a resistência de Thévenin. E só abrir o circuito da figura 3- nos terminais A e B e curto-circuitar as fontes E1 e E2. O circuito ficará como o da figura 3-32a e 3-32b.
Figura 3-
Assim, podemos fazer o equivalente de Thévenin para o circuito da figura 3-29, usando o circuito da figura 3-33.
Figura 3-33 Equivalente de Thévenin
Deste modo, ficou fácil calcularmos a potência de R 2 É só achar a corrente total, elevar ao quadrado e multiplicar por R 2. Isto pode ser feito da seguinte maneira:
RTH R 2
ETH
It
; (It) 2 x R 2 = P 2. Ou seja:
2 (^2 x W
V
P :
Outros exemplos
Exemplo 1 Vamos encontrar o equivalente de Thévenin do circuito da figura 3-34 a.
Figura 3-34 a
a
(b)
b
(c)
(d)
(e)
(f)
Figura 3-34 Ilustração do teorema de Thévenin
O ramo de I 2 possui uma resistência de 700 : e o outro 100:. O ramo de R 3 é o que nos interessa, uma vez que precisamos conhecer a queda de tensão em R 3. Sabemos que correntes em ramos paralelos se dividem inversamente proporcionais às resistências. Portanto, podemos afirmar que em R 1 passa uma corrente sete vezes maior que a do ramo de R 2 com R 3 , pois R 1 = 100:, e R 2 + R 3 = 700:. Isto nos leva a escrever o seguinte:
I 1 + I 2 = I (^) t = 10A I 1 = 7 I^2
7 I 2 + I 2 = 10A; 8 I 2 = 10A? I 1 , 25 A 8
2
Mas, I 2 = I 3 = 1,25A. Então, VR3 = I 3 x R 3 =
= 1,25 x 200 = 250V. Assim, VR3 = VAB = = ETH = 250V. Na parte “f” temos o equivalente de Thévenin, constituído por um gerador de tensão constante e sua resistência interna.
TEOREMA DE NORTON
Até aqui observamos o uso do teorema de Thévenin na simplificação da análise dos circuitos de malhas complexas, pela substituição do circuito original por um circuito equivalente envolvendo uma fonte de tensão constante, e o gerador de Thévenin (ETH), atuando em série com uma resistência interna (RTH). O gerador de Thévenin fornece corrente à resistência de carga RL. Estudaremos agora, o teorema de Norton, que emprega uma técnica bem semelhante à empregada pelo teorema de Thévenin, e que pode ser enunciado do seguinte modo: “Dois terminais de uma rede podem ser substituídos por um circuito equivalente, que consiste de um gerador de corrente constante In, em paralelo com sua resistência interna Rn”. Na figura 3-36 vemos uma malha original atuando como um bloco bem como seu circuito equivalente.
Figura 3-
Pela figura 3-36b observamos que a corrente de Norton (In) é distribuída entre a resistência de Norton (Rn) e a resistência de carga (RL). Podemos observar pelo circuito da figura 3-36b, que: ERL = ERn. Ora, ERL = IL x RL; ERn = I1 x Rn e In = I1 + IL. Assim sendo , podemos estabelecer a seguinte proporção:
I 1
IL
RL
Rn .
Aplicando uma das propriedades das proporções, teremos:
IL
IL I
Rn
Rn RL 1 ou, então, IL(Rn + RL) =
= Rn(IL + I1)? IL = Rn RL
RnxIn Rn RL
Rn IL I
Portanto, para calcularmos a corrente em RL, basta usarmos a fórmula:
Rn RL
InxRn IL
Seja agora, o circuito da figura 3-
Figura 3-37a
Figura 3-37b
Figura 3-37c
Figura 3-37d
Vamos determinar o equivalente de Norton para o circuito da figura 3-37. Para isto, inicialmente, coloquemos A e B em curto-circuito, ou seja, daremos um curto em RL. Deste modo, a corrente externa será:
R 1
E
I (^) AB IN. Em seguida achemos a
resistência de Norton: 1 2
1 2 R R
RxR R (^) AB
, estando a
fonte em curto-circuito (3-37c). Assim, podemos escrever duas regras simples, para determinação da corrente e da resistência de Norton:
a) A corrente de Norton I (^) N é uma corrente constante que flui num curto-circuito entre os terminais da resistência de carga, quando esta é substituída por um curto- circuito (figura 3-37b). b) A resistência de Norton R (^) N é aquela resistência vista dos terminais da carga aberta, olhando-se para a malha, quando sua fonte de tensão é substituída por sua resistência interna (RN é definida da mesma maneira que a resistência de Thévenin – RTH), conforme a figura 3-37c. Na figura 3-37d temos o equivalente de Norton: um gerador de corrente constante IN com sua resistência interna, em paralelo RN. Consideremos o circuito da figura 3-38, no qual desejamos calcular a IN, RN e I (^) L.
Figura 3-
Inicialmente, estabelecendo um curto- circuito em RL, forçosamente R 3 ficará em curto, o que nos permite empregar a seguinte fórmula:
m
V V
R R
E
I N 500
1 ^2 : : :
A
Figura 3-
O circuito da figura 3-39 ilustra o que acabamos de mencionar. A corrente I (^) N é a corrente que flui no curto-circuito (RL = 0). Em seguida, calculamos a resistência de Norton. Para tal, podemos utilizar o circuito da figura 3-40.
Figura 3-
Desta forma, teremos:
RN = RAB = 100 Ohm 200 ( 5 195 )
Finalmente, observando o circuito da figura 3-41, temos o circuito equivalente, contendo a corrente de Norton, a resistência de Norton e a corrente I (^) L.
Figura 3-43c
Figura 3-43d
Figura 3-43e
Figura 3-43f Figura 3-43 Ilustração do Teorema de Norton Para calcularmos a corrente de Norton (IN) basta colocarmos um curto entre os pontos A e B da figura 3-43d. A corrente no curto-circuito é a corrente de Norton. Neste caso, I (^) N é igual à corrente total, podendo ser calculada assim:
6
A
V
I (^) N Então, na parte”c” temos a
corrente equivalente de Norton (IN). Juntando a resistência equivalente (parte “c”) à corrente equivalente (parte “e”), formamos o equivalente de Norton (figura 3-43 f).
Vamos encontrar o equivalente de Norton da figura 3-44a.
Figura 3-44a
Figura 3-44b
Figura 3-44c
Figura 3-44d
Figura 3-44e
Figura 3-44f
Figura 3-44 Ilustração do Teorema de Norton
Solução: Na figura 3-44b a carga foi removida. Aí, temos R 1 em série com R 2. Estes dois resistores estão em paralelo com R 3. Este conjunto está em série com R 4. Portanto, o cálculo da resistência equivalente de Norton (RN) pode ser feito do seguinte modo:
x
1 2 3
1 2 3 4
K
x K
R R R
R R R
RN R
A parte”c” nos mostra o que acabamos de demonstrar.
Ao colocarmos a fonte de corrente no circuito (10A), e substituirmos RL por um curto-circuito(figura 3-44d), vamos procurar a corrente de Norton (I (^) N). A corrente de Norton é a mesma que flui nos terminais da carga em curto. Fazendo uma observação da figura 3-44d vemos que a corrente total “It” se distribui do seguinte modo: It = I 1 + I (^) 2. E que I 2 = I 3 + I 4. Ocorre que I 4 = I (^) N, ou seja, I 4 é igual à corrente de curto-circuito equivalente. Resolvendo, inicialmente, o circuito da figura 3- 44d por I 2 , temos:
3 4
3 4 1 2
1 2
x K
R R
R xR R R
R
I It
I 1 , 305 A
Agora, resolvendo por I 4 , teremos:
A
R R K
R
I I 0 , 217
3 4
3 4 2
Logo, I 4 = I (^) N = 0, 217 A
O gerador equivalente de Norton é mostrado na figura 3-44 f.
CONVERSÃO DO EQUIVALENTE DE
NORTON PARA O DE THÉVENIN E
VICE-VERSA
Às vezes, por questões de conveniência, torna-se mais fácil solucionar certos problemas de análise de circuitos empregando um método de equivalência entre geradores de corrente e de tensão. Para isto, é recomendável adotarmos uma equivalência entre uma fonte de tensão e uma fonte de corrente. Considerando os circuitos da figura 3-45, vamos observar que em “a” temos um gerador de tensão e em “b”, um gerador de corrente. Nestes dois circuitos, há uma carga R (^) L que é alimentada, portanto, por um gerador de tensão e por um gerador de corrente.
Recordemos, agora, as fórmulas já vistas anteriormente para o cálculo de IL, em ambos os circuitos da figura 3-41.
a
b
Figura 3-45 Conversão Norton para Thévenin e vice-versa Na figura 3-45, por exemplo, temos na parte “a” IL = RTH R L
E
e na parte “b” temos: N L
N N L R R
I xR I
Uma vez que nos propomos a estabelecer uma equivalência entre “a” e “b” da figura 3-45, teremos:
N L
N N TH L R R
I xR R R
E
Fazendo RTH = RN = r , teremos:
L
N L r R
I xr r R
E
Agora, eliminando o denominador da equação, vem:
(I (^) N x r) (r + RL) = E (r+RL).
Tirando o valor de I (^) N , temos:
L
L N rr R
E r R I
.
