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LUGARES GEOMÉTRICO DAS RAIZES - CONTROLE CLASSICO
Tipologia: Notas de aula
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Não perca as partes importantes!
Instituto Federal Fluminense
Prof. Elder Pereira Fenili
Engenharia de Controle e Automa¸c˜ao Disciplina: Controle Cl´assico
30 de Mar¸co de 2021
Instituto Federal Fluminense
Considere a seguinte fun¸c˜ao de transferˆencia
F (s) =
∏^ m
i=
(s + zi )
∏^ n
j=
(s + pj )
Qualquer n´umero complexo (σ + jω) pode ser representado de forma vetorial como na figura abaixo; Podemos represent´a-lo na forma polar como M∠θ. Neste caso, M ´e a magnitude e θ o ˆangulo do vetor.
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Zero em s + 1: M 1 =
θ 1 = 180◦^ − arctg
Polo em s: M 0 =
θ 0 = 180◦^ − arctg
Polo em s + 2: M 2 =
θ 2 = 180◦^ − arctg (4) ≈ 104 ◦. F (s) em s = −3 + j4: M∠θ =
∠(θ 1 − θ 0 − θ 2 ) = 0, 217 ∠ − 114 , 3 ◦.
Instituto Federal Fluminense
O LGR pode ser utilizado para analisar e projetar o efeito do ganho de malha sobre a resposta transit´oria e a estabilidade do sistema. Para mostrar o pontencial da ferramenta vamos a um exemplo!
Antes de tra¸car o LGR, vamos escrever a FT de malha fechada:
T (s) =
s^2 + 10s + K
em que K = K 1 K 2.
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Um sistema gen´erico de controle pode ser representado como mostra a figura abaixo.
Considere a equa¸c˜ao caracter´ıstica de T (s). Um valor de s ser´a polo de malha fechada de T (s) se
D(s) = 1 + KG (s)H(s) = 0 KG (s)H(s) = − 1 |KG (s)H(s)| = 1.
Instituto Federal Fluminense
Na forma vetorial temos
KG (s)H(s) = −1 + j 0.
Na forma polar temos:
M∠θ = |KG (s)H(s)|∠θ = 1∠ 180 ◦^ ⇔ 1 ∠(2k + 1)180◦,
em que k = 0, ± 1 , ± 2 ,....
Substituindo um valor de s em KG (s)H(s), se o ˆangulo do n´umero complexo obtido for m´ultiplo de 180◦ o valor de s ´e um polo de malha fe- chada para um valor espec´ıfico de K dado por
|G (s)||H(s)|
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Vamos trabalhar! Este exerc´ıcio ficar´a como desafio para o estudante.
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A seguir enumeramos algumas regras gerais para esbo¸car o LGR:
1 O n´umero de ramos do LGR ´e igual ao n´umero de polos em malha fechada; 2 O LGR ´e sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo real; 3 Para K > 0 o LGR existe `a esquerda de um n´umero ´ımpar de polos e/ou zeros finitos em malha aberta sobre o eixo real; 4 O LGR inicia nos polos finitos ou infinitos e termina nos zeros finitos ou infinitos de G (s)H(s); 5 O LGR tende a retas ass´ıntotas quando o LG tende a infinito. As equa¸c˜oes das ass´ıntotas s˜ao:
σa =
polos finitos −
zeros finitos np − nz
θa =
(2k + 1)π np − nz , k = 0, ± 1 , ± 2 ,...
σa: ponto de intese¸c˜ao com eixo real;
θa: ˆangulo de sa´ıda do LGR.
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Aplicando a regra 5: Aplicando a regra 3:
Instituto Federal Fluminense
Em qual ponto o LGR cruza o eixo jω?
Podemos utilizar o crit´erio de Routh-Hurwitz. Como?
1 For¸cando uma linha de zeros na tabela de Routh obtemos o ganho cr´ıtico;
2 As ra´ızes do polinˆomio par s˜ao os pontos de cru- zamento do LGR pelo eixo jω.
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Em alguns casos o LGR pode sair e posteriormente entrar em pontos dis- tintos do eixo real. Podemos calcular estes pontos da seguinte forma:
∑^ m
1
σ + zi
∑^ n
1
σ + pj
σ − 3
σ − 5
σ + 1
σ + 2
⇒ 11 σ^2 − 26 σ − 61 = 0
σ 1 = − 1 , 45 e σ 2 = 3, 82
Instituto Federal Fluminense
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Angulo de chegada no zero.^ ˆ
Qual o ˆangulo de chegada em z? Considere que z 1 esta a uma distˆancia suficientemente pequena de z, ent˜ao, por aproxima¸c˜ao o ˆangulo θz 1 = θz. Assim, podemos utilizar a seguinte equa¸c˜ao (2k + 1)180◦^ = (θz 1 + θz 2 + θz 3 ) − (θz 1 + θp 2 + θp 3 ) θz 1 = (θz 2 + θz 3 ) − [θp 1 + θp 2 + θp 3
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Do sistema de controle temos
KG (s) =
K (s + 2) (s + 3)(s − 1 + j)(s − 1 − j)
ou seja, dois polos complexos, ent˜ao, devemos calcular o ˆangulo de partida do LGR a partir destes polos.
