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Lista de Exerc´ıcios 5
Gex102 - Geometria Anal´ıtica e ´Algebra Linear
UFLA - Departamento de Ciˆencias Exatas
Produto Escalar e Proje¸c˜ao Ortogonal
- Dados vetores ~u,~v e w~:
(a) Como calcular a norma de um vetor no espa¸co?
(b) Qual a defini¸c˜ao de produto escalar? Como calcular o ˆangulo entre dois vetores n˜ao-nulos?
(c) O que s˜ao vetores ortogonais? Como verificar se ~u e ~v s˜ao ortogonais usando produto
escalar?
(d) Qual a proje¸c˜ao ortogonal de ~u sobre ~v, sendo ~v um vetor n˜ao-nulo?
- Calcule a norma dos vetores abaixo:
(a) ~u = (2, − 1 , 0);
(b) ~v = (3, 4);
(c) w~ = (2, 2 , 1).
- Sejam ~u = (2, − 2 , 3), ~v = (0, − 3 , 4) e w~ = (− 4 , 4 , 4). Calcule as seguintes normas:
(a) ||~u||
(b) ||~v||
(c) || w~||
(d) ||~u + ~v||
(e) ||~u|| + ||~v||
(f) || 3 ~u + − 4 ~v + w~||
- (a) Defina o que ´e um versor no espa¸co.
(b) Apresente dois exemplos de versores no espa¸co.
- Calcule o produto escalar entre os seguintes vetores. Quais s˜ao ortogonais? Justifique.
(a)
u = (0, 0 , 0) e
v = (−
3
(b)
u = (1, 1 , 1) e
v = (0, − 7 , −8).
(c)
u = (1, 2 , 3) e
v = (− 7 , − 1 , −3).
- Calcule os produtos abaixo se fizer sentido.
(a) ~u · ~s, com ~u = (− 2 , 3) e ~s = (0, 7);
(b) w~ · ~s, com w~ = (1, 2 , −1) e ~s = (0, 6);
(c) ~u · ~v, com ||~u|| = 6, ||~v|| = 2 e ˆangulo entre ~u e ~v ´e 2π/3.
(d)
i ·
i,
i ·
k,
j ·
k,
j ·
j, onde
i,
j e
k s˜ao os vetores canˆonicos do espa¸co, isto ´e,
i = (1, 0 , 0),
j = (0, 1 , 0) e
k = (0, 0 , 1).
(e) ~a ·
b, com ~a = 2
i + 3
j − 2
k e
b =
i − 2
j +
k;
(f) ~u · ~u, onde ||~u|| = 2;
(g) ~u ·
- Considere um cubo gerado pelos vetores
i = (1, 0 , 0),
j = (0, 1 , 0) e
k = (0, 0 , 1).
(a) Determine o ˆangulo θ formado pela aresta
i e a diagonal
d = (1, 0 , 1). Os vetores
i e
d s˜ao
ortogonais? Justifique a sua resposta.
(b) Determine o ˆangulo θ 1
formado pela aresta
j e a aresta
k. Os vetores
j e
k s˜ao ortogonais?
Justifique a sua resposta.
- Sejam ~u = (3, 2 , −1), ~v = (0, 3 , 2) e w~ = (2, 2 , 3). Calcule:
(a) ~v · ~u,
(b) (~v · w~)~u
(c) (~u · ~v)(~v · w~)
(d) Calcule o ˆangulo aproximado entre os ve-
tores ~v e ~u, ~v e ~w, ~u e ~w
- Calcule as proje¸c˜oes ortogonais proj ~v
~u onde:
(a) ~u = (2, 2) e ~v = (2, −3);
(b) ~u = (1, 0 , 1) e ~v = (0, 1 , 0);
(c) ~u = (2, − 1 , 5) e ~v = (1, 1 , 3).
- Decomponha o vetor w~ = −
i + 10
j − 2
k como soma de
w 1
e
w 2
, sendo
ω 1
paralelo ao vetor
v =
j −
k e
w 2
ortogonal a
v.
- Sabendo que ~x ´e ortogonal a (1, 1 , 0) e a (− 1 , 0 , 1), tem norma
3 e, sendo θ a medida do
ˆangulo entre ~x e (0, 1 , 0), tem-se cos θ > 0. Ache ~x.
- Sejam ~v um vetor n˜ao-nulo no espa¸co e α, β e γ a medida dos ˆangulos que ~v forma com os
vetores
i,
j e
k, respectivamente. Demonstre que
cos
2
(α) + cos
2
(β) + cos
2
(γ) = 1.
Observa¸c˜ao: cos
2 (x) = cos(x).cos(x).
- w~ 1
= (0, 6 , −6) e w~ 2
- ~x = (− 1 , 1 , −1)
- Da defini¸c˜ao de produto escalar sabemos que
cos(α) =
~v.~i
||~v||||
i||
, cos(β) =
~v.~j
||~v||||
j||
e cos(γ) =
~v.
k
||~v||||
k||
Sabemos tamb´em que ||
i|| = ||
j|| = ||
k|| = 1. Se escrevermos ~v = (a, b, c), temos ~v.~i = a,
~v.~j = b e ~v.
k = c. Logo,
cos(α) =
a
||~v||
, cos(β) =
b
||~v||
e cos(γ) =
c
||~v||
Segue que cos
2
(α) + cos
2
(β) + cos
2
(γ) =
a
2
2
2
||~v||
2
a
2
2
2
a
2
2
2
