IF Sudeste MG – Campus Juiz de Fora
Lista de Exerc´ıcios - Prof. Artur Rossini
C´alculo I - Aplica¸c˜oes da Derivada V0.1
Taxas Relacionadas
1. Uma escada com 5 m de comprimento est´a inclinada e apoiada numa parede vertical. Sua base,
apoiada no ch˜ao, est´a sendo empurrada na dire¸c˜ao da parede a uma velocidade de 0,5 m/s. Qual
a velocidade com que a ponta da escada (apoiada na parede) se move quando a base est´a a 4 m
da parede ?
2. Um tanque de ´agua com a forma de cone invertido e altura igual ao diˆametro est´a sendo enchido
`a raz˜ao de 3 m3/s. Qual a velocidade com que o n´ıvel de ´agua sobe, quando a parte cheia com
´agua tem 2 mde altura ?
3. De um orif´ıcio em um recipiente vaza areia, que forma um monte cˆonico cuja altura ´e sempre
igual ao raio da base. Se a altura aumenta `a raz˜ao de 6 cm/min, determine a taxa de vazamento
da areia quando a altura da pilha ´e 10cm.
4. Um ponto P(x, y ) se move sobre o gr´afico da equa¸c˜ao y= ln(x3) (x > 0) e sua abscissa xvaria `a
raz˜ao de 0,5 unidade por segundo. A ordenada ytamb´em varia a uma raz˜ao fixa ? Qual a taxa
de varia¸c˜ao da ordenada no ponto (e, 3) ?
5. Quando duas resistˆencias el´etricas R1 e R2 s˜ao ligadas em paralelo, a resistˆencia total R´e dada
por 1/R = (1/R1) + (1/R2). Se R1 e R2 aumentam `a raz˜ao de 0,01 ohms/s e 0,02 ohms/s,
respect., qual a taxa de varia¸c˜ao de Rno instante em que R1 = 30 ohms e R2 = 90 ohms?
6. Dois ciclistas partem de um mesmo ponto `as 8 horas da manh˜a, um viajando para leste, a 15
km/hora, e o outro para o sul, a 20 km/hora.
a) Como estar´a variando a distˆancia entre eles quando for meio-dia ?
b) Como estar´a variando a ´area do triˆangulo formado pelo ponto de partida e as posi¸c˜oes dos
ciclistas ao meio-dia ?
7. Uma bola de bilhar ´e atingida e inicia um movimento em linha reta. Se scm ´e a distˆancia da
bola a sua posi¸c˜ao inicial em tsegundos, ent˜ao s= 100t2+ 100t. Se a bola bate na tabela a 39
cm da sua posi¸c˜ao inicial, com qual velocidade ela bate? (obs: a velocidade ´e a taxa de varia¸c˜ao
instantˆanea da posi¸c˜ao sem rela¸c˜ao ao tempo t).
8. Um tanque tem a forma de um cilindro circular reto de 5mde raio de base e 10mde altura. No
tempo t= 0, a ´agua come¸ca a fluir no tanque `a raz˜ao de 25 m3/h.
a) Com que velocidade o n´ıvel de ´agua sobe?
b) Quanto tempo levar´a para o tanque ficar cheio?
9. Um trem deixa uma esta¸c˜ao e vai para a dire¸c˜ao norte, `a raz˜ao de 80km/h. Um segundo trem
deixa a mesma esta¸c˜ao 2 horas depois e vai na dire¸c˜ao leste `a raz˜ao de 120km/h. Achar a taxa
na qual est˜ao se separando os dois trens 2 horas depois do segundo trem sair da esta¸c˜ao.
10. Um holofote sobre o ch˜ao ilumina uma parede 12m distante dele. Se um homem de 2m de altura
anda do holofote em dire¸c˜ao `a parede com uma velocidade de 1,6m/s, qu˜ao r´apido decresce o
comprimento de sua sombra sobre a parede quando ele est´a a 4m dela?
