Baixe Gabarito da Prova de Cálculus: Cálculo de Integrais Indefinidas e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Gabarito da Quest˜ao 1 - Prova Tipo A / 2010
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(1, 5) a)
√x^5 3 +x^2
dx
Fazendo a mudanc¸a de vari´aveis x =
3 tan u, temos que dx =
3 sec
2 udu, logo
∫ x
5
√ 3 + x^2
dx = 9
tan
5 u sec udu
(sec
2 u − 1)
2 (sec u tan u)du
(sec
4 u − 2 sec
2 u + 1)(sec u tan u)du
sec
5 u
sec
3 u
+ C
x
2
x
2
x
2
+ C
(3 + x
2 )
5 / 2 − 2(3 + x
2 )
3 / 2
2 )
1 / 2
(2, 0) b)
3 ex (ex+2)(e^2 x+ 2 ex+3)
dx
Fazendo a mudanc¸a de vari´aveis e
x = u, temos que e
x dx = du, logo ∫ 3 e
x
(e
x
2 x
x
dx =
(u + 2)(u
2
dx. (1)
Vamos agora encontrar A, B, C ∈ R tais que
(u + 2)(u^2 + 2 u + 3)
A
u + 2
Bu + C
u^2 + 2 u + 3
Isso implica que A, B, C satisfazem o sistema linear
A + B = 0
2 A + 2 B + C = 0
3 A + 2 C = 3
e portanto, A = 1 , B = −1 e C = 0. Voltando `a equac¸ ˜ao (1), temos que
∫ 3 e
x
(ex^ + 2)(e^2 x^ + 2 ex^ + 3)
dx =
u + 2
u
u^2 + 2 u + 3
du
= ln |u + 2 | −
u ( u+ 1 √ 2
du
= ln |u + 2 | −
2 v − 1
v
2
dv , onde v =
u + 1 √
2
= ln |u + 2 | −
ln(1 + v
2 ) +
arctan v + C
= ln(e
x
ln
e
x
2
arctan
e
x
2
+ C
Gabarito da Quest˜ao 1 - Prova Tipo B / 2010
Calcule as seguintes integrais indefinidas:
(1, 5) a)
√x^5 2 +x^2
dx
Fazendo a mudanc¸a de vari´aveis x =
2 tan u, temos que dx =
2 sec
2 udu, logo
∫ x
5
√
2 + x^2
dx = 4
tan
5 u sec udu
(sec
2 u − 1)
2 (sec u tan u)du
(sec
4 u − 2 sec
2 u + 1)(sec u tan u)du
sec
5 u
sec
3 u
+ C
x
2
x
2
x
2
+ C
(2 + x
2 )
5 / 2 −
(2 + x
2 )
3 / 2
2 )
1 / 2
(2, 0) b)
6 ex (ex+4)(e^2 x+ 4 ex+6)
dx
Fazendo a mudanc¸a de vari´aveis e
x = u, temos que e
x dx = du, logo ∫ 6 e
x
(ex^ + 4)(e^2 x^ + 4 ex^ + 6)
dx =
(u + 4)(u^2 + 4 u + 6)
dx. (1)
Vamos agora encontrar A, B, C ∈ R tais que
(u + 4)(u^2 + 4 u + 6)
A
u + 4
Bu + C
u^2 + 4 u + 6
Isso implica que A, B, C satisfazem o sistema linear
A + B = 0
4 A + 4 B + C = 0
6 A + 4 C = 6
e portanto, A = 1 , B = −1 e C = 0. Voltando `a equac¸ ˜ao (1), temos que
∫ 6 e
x
(ex^ + 4)(e^2 x^ + 4 ex^ + 6)
dx =
u + 4
u
u^2 + 4 u + 6
du
= ln |u + 4 | −
u ( u+ 2 √ 2
du
= ln |u + 4 | −
2 v − 2
v
2
dv , onde v =
u + 2 √
2
= ln |u + 4 | −
ln(1 + v
2 ) +
2 arctan v + C
= ln(e
x
ln
e
x
2
2 arctan
e
x
2
+ C
B
Questão 2. (2,5)
Seja R = {(X,y) E JR2: 1:S x:S e, 1.:S y:S 3+ln(x)}. Calcule o volume do
sólido obtido pela rotação de R em torno da reta y =^ 4.
lt.
~ -
3... _e:t_ .x:
'
I
0-
e
-A-
- Considere a func¸ ˜ao g(x) =
∫ (^) 2cos(x)
0
[ 3 + sen(t
2 )]dt definida em R.
(1,0) a) Calcule g
′ (x).
(1,0) b) Seja f (x) =
∫ (^) g(x)
0
x
2
√
4 + t
4
dt. Calcule f
′ ( π /2).
Solu¸c˜ao:
a) Usando o segundo teorema fundamental do C´alculo, obtemos
g
′ (x) =
d
dx
∫ 2 cos(x)
0
[ 3 + sen(t
2 )]dt)
[
3 + sen(4 cos
2 (x))
]
(−2sen(x))
b) Novamente, pelo segundo teorema fundamental do C´alculo
f
′ (x) =
d
dx
g(x)
0
x
2
√
4 + t
4
dt
d
dx
x
2
∫ (^) g(x)
0
4 + t^4
dt
= 2 x
∫ (^) g(x)
0
4 + t^4
dt + x
2 (
4 + (g(x))
4
)g
′ (x)
Fazendo x = π /2 na express˜ao acima e observando que g( π /2) = 0, obtemos
f
′ ( π /2) =
π
2
3 π
2
A
Quest˜ao 4.
(1,0) a) Mostre que para todo x ∈ R temos
sen(x
4 ) − (x
4 −
x
12
x
20
|x|
24
Sejam f (y) = sen(y) e y 0 = 0.
O polinˆomio de Taylor de f de grau 5, em torno de y 0 ´e dado por:
p 5 (y) = f (0)+f
′ (0)(y−0)+
f
′′ (0)
(y−0)
2
f
′′′ (0)
(y−0)
3
f
(4) (0)
(y−0)
4
f
(5) (0)
(y−0)
5 ,
com f (0) = sen(0) = 0, f
′ (0) = cos(0) = 1, f
′′ (y 0 ) = −sen(0) = 0, f
′′′ (0) =
−cos(0) = − 1 , f
(4) (0) = sen(0) = 0 e f
(5) (0) = cos(0) = 1.
Ou seja,
p 5 (y) = y −
y
3
y
5
Considere y = x
4 , segundo a f´ormula de Taylor, existe um ¯x entre 0 e x
4 tal que:
f (x
4 ) = p 5 (x
4 ) + E(x
4 ), onde E(y) =
f
(6) (¯x)
y
6
. Ou seja,
sen(x
4 ) − (x
4 −
x
12
x
20
f
(6) (¯x)
(x
4 )
6
|x|
24
, pois |f
(6) (¯x)| = | − sen(¯x)| ≤ 1
(1,0) b) Avalie
1
0
sen(x
4 )dx com erro inferior a
12
0
sen(x
4 )dx −
0
pn(x
4 )dx
0
sen(x
4 ) − pn(x
4 )
dx
0
∣sen(x^4 ) − p n(x
4 )
∣ (^) dx
0
∣f (n+1)(¯x)
x
4 n+
(n + 1)!
dx ≤
0
x
4 n+
(n + 1)!
dx =
[
x
4 n+
(n + 1)!(4n + 5)
] 1
0
(n + 1)!(4n + 5)
=⇒ n = 5.
(
Observe que
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) ≤ 1 , pois
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) = |cos(¯x)| ou
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) = |sen(¯x)|
0
sen(x
4 )dx ≈
0
p 5 (x
4 )dx =
0
x
4 −
x
12
x
20
dx =
[
x
5
x
13
x
21
] 1
0
B
Quest˜ao 4.
(1,0) a) Mostre que para todo x ∈ R temos
sen(x
4 ) − (x
4 −
x
12
x
20
|x|
24
Sejam f (y) = sen(y) e y 0 = 0.
O polinˆomio de Taylor de f de grau 5, em torno de y 0 ´e dado por:
p 5 (y) = f (0)+f
′ (0)(y−0)+
f
′′ (0)
(y−0)
2
f
′′′ (0)
(y−0)
3
f
(4) (0)
(y−0)
4
f
(5) (0)
(y−0)
5 ,
com f (0) = sen(0) = 0, f
′ (0) = cos(0) = 1, f
′′ (y 0 ) = −sen(0) = 0, f
′′′ (0) =
−cos(0) = − 1 , f
(4) (0) = sen(0) = 0 e f
(5) (0) = cos(0) = 1.
Ou seja,
p 5 (y) = y −
y
3
y
5
Considere y = x
4 , segundo a f´ormula de Taylor, existe um ¯x entre 0 e x
4 tal que:
f (x
4 ) = p 5 (x
4 ) + E(x
4 ), onde E(y) =
f
(6) (¯x)
y
6
. Ou seja,
sen(x
4 ) − (x
4 −
x
12
x
20
f
(6) (¯x)
(x
4 )
6
|x|
24
, pois |f
(6) (¯x)| = | − sen(¯x)| ≤ 1
(1,0) b) Avalie
1
0
sen(x
4 )dx com erro inferior a
12
0
sen(x
4 )dx −
0
pn(x
4 )dx
0
sen(x
4 ) − pn(x
4 )
dx
0
∣sen(x^4 ) − p n(x
4 )
∣ (^) dx
0
∣f (n+1)(¯x)
x
4 n+
(n + 1)!
dx ≤
0
x
4 n+
(n + 1)!
dx =
[
x
4 n+
(n + 1)!(4n + 5)
] 1
0
(n + 1)!(4n + 5)
=⇒ n = 5.
(
Observe que
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) ≤ 1 , pois
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) = |cos(¯x)| ou
∣f (n+1)(¯x)
∣ (^) = |sen(¯x)|
0
sen(x
4 )dx ≈
0
p 5 (x
4 )dx =
0
x
4 −
x
12
x
20
dx =
[
x
5
x
13
x
21
] 1
0
