Baixe Lista de funções vetoriais e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Universidade Tecnol´ogica Federal do Paran´a
Departamento de Matem´atica
Disciplina: C´alculo Professor: Ronie P Dario
Lista de Exerc´ıcios 02
Fun¸c˜oes Vetoriais
(1) Considere a fun¸c˜ao f (t) =
arctg(1/t), se t 6 = 0
0 , se t = 0
e a fun¸c˜ao vetorial
r(t) = 〈
t + 1, f (t), ln(t
2
(a) Determine o dom´ınio de r.
(b) Calcule o limite de r quando t → 0, ou mostre que o limite n˜ao existe.
(c) Determine em que pontos a fun¸c˜ao vetorial r ´e cont´ınua.
(2) [1, Ex. 41 p. 785] Se dois objetos viajam pelo espa¸co ao longo de duas curvas diferentes,
´e sempre importante saber se eles v˜ao colidir (Um m´ıssil vai atingir seu alvo m´ovel? Duas
aeronaves v˜ao colidir?). As curvas podem se interceptar, mas precisamos saber se os objetos
estar˜ao na mesma posi¸c˜ao no mesmo instante. Suponha que as trajet´orias de duas part´ıculas
sejam dadas pelas seguintes fun¸c˜oes vetoriais
r 1
(t) = 〈t
2
, 7 t − 12 , t
2
〉 e r 2
(t) = 〈 4 t − 3 , t
2
, 5 t − 6 〉
para t ≥ 0. As part´ıculas colidem?
(3) [1, Ex. 42 p. 785] Duas part´ıculas se movem ao longo das curvas espaciais
r 1
(t) = 〈t, t
2 , t
3 〉 e r 2
(t) = 〈1 + 2t, 1 + 6t, 1 + 14t〉
As part´ıculas colidem? Suas trajet´orias se interceptam?
Derivadas de Fun¸c˜oes Vetoriais
(4) Considere r(t) = 〈3 cos t, 2 sin t〉, t ∈ [0, 2 π].
(a) Esboce r(t) e indique a dire¸c˜ao de crescimento de t.
(b) No seu esbo¸co, desenhe os vetores r(π) e r
′ (π).
(5) Calcule as derivadas das fun¸c˜oes vetoriais
(a) r(t) = sin(2t)
i + cos(t
2
)
j
(b) s(t) = (t
4 − 1)
i + cosh(t)
k
(c) u(t) = 2 cos(t)
i + 4 sin(t)
j + t
k
(6) A curvatura de uma curva γ em um dado ponto t ´e a medida de qu˜ao rapidamente a curva
muda de dire¸c˜ao em t e ´e dada por
κ(t) =
||T
′ (t)||
||r
′ (t)||
||r
′ (t) × r
′′ (t)||
||r
′ (t)||
3
onde T (t) ´e o vetor tangente unit´ario em t.
(a) Mostre que a curvatura de um c´ırculo de raio R ´e 1/R.
(b) Determine a curvatura da c´ubica retorcida r(t) = 〈t, t
2
, t
3
〉 em t = 0.
Integrais de Fun¸c˜oes Vetoriais
(7) Calcule o comprimento de arco da curva parametrizada, para t ∈ [0, 1].
(a) r(t) = (1 + t)
i + (1 − t
2 )
j
(b) r(t) = (1 − t
2
)
i + (t
2
3
)
j + (1 + t
2
− t
3
)
k
(8) (Quest˜ao 5, P1 2023-2) Para a curva parametrizada pela fun¸c˜ao abaixo, determine
~r(t) = 〈 12 t, 8 t
3 / 2
, 3 t
2
〉
(a) (1.5 pontos) O comprimento de arco quando t percorre o intervalo [0, 1].
(b) (1.5 pontos) A curvatura κ(t) =
||r
′ (t) × r
′′ (t)||
||r
′ (t)||
3
no ponto 〈 12 , 8 , 3 〉
(9) Resolva o problema de valor inicial
dr
dt
= e
−t
i + 3t
2
j
r(0) = 2i − 8 j
(10) Uma part´ıcula move-se no espa¸co tridimensional com velocidade ´e v(t) = ti + t
2 j + t
3 k. Se a
posi¸c˜ao inicial da part´ıcula no tempo t = 0 ´e (1, 2 , 3), qual ´e a posi¸c˜ao da part´ıcula quando
t = 1?
