Kaplan W. - Cálculo avançado vol I , Notas de estudo de Cálculo Avançado

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WILFRED KAPLAN

Prof. do Departamento de Matematica da Universidade de Michigan (EUA)

VOLUME I

Coordenarao: Prof.• Elza F. Gomide, Assistente - Doutor do Instituto de Matematica e Estatistica da Universidade de Sao Paulo

Tradurao: Frederic Tsu

EDITORA EDGARD BLOCHER LTDA.

K26c v. 1-

FICHA CATALOGRAFICA

/

Kaplan, Wilfred, 1915-

Calculo avan9ado; coordena�o. Elza Gomide;

traducao, Frederic Tsu.' I Sa� Paulo I Edgard Blii c.her, j 1972j.

2v. ilust.

B_ibliografia.

1. Calculo I. Titulo.

CDD-

fndice para catalogo sistematico:

1. Calculo: Matematica 517

PREFACIO

Este livro foi planejado de modo a fornecer material suficiente para um curso de calculo avaw;:ado de ate um ano de dura<;iio. Pressupoem-se os conhecimentos usualmente obtidos em cursos basicos de algebra, geometria analitica e calculo. 0 capitulo introdut6rio fornece uma revisao sucinta desses assuntos; serve tambem como lista de referencia de de fini<;oes e formulas basicas. 0 conteudo do livro compreende. todos os t6picos habitualmente encon trados em textos de calculo avan<;ado. No entanto ha uma enfase maior do que e usual nas aplica<;oes e na motiva<;iio fisica. Vetores sao introduzidos desde o inicio e servem em muitas partes para indicar o significado geometrico e fisico intrinseco <las rela<;5es matematicas. Metodos numericos de integra<;llo e tesolu<;ao de equa<;oes diferenciais sao ressaltados, tanto pelo seu valor pra tico quanto pela compreensao que proporcionam d·o processo de limite. Um alto nivel de rigor e mantido sempre. As defini<;Oes sao claramente indicadas como tais e todos os resultados importantes sao enunciados como teoremas. Alguns pontos mais delicados referentes ao sistema dos numeros reais (o Teorema de Heine-Borel, o Teorema de Weierstrass-Bolzano, e con ceitos relacionados) sao omitidos. Os teoremas cujas demonstra�es se baseiam nesses instrumentos sao enunciados sem prova, com referencias a tratados mais avan<;ados. Um professor mais competente pode facilmente preencher essas lacunas, se o desejar, e assim apresentar um curso completo em analise real. Um grande numero de problemas, com respostas, aparece distribuido pelo texto. Ha exercicios simples do tipo "treino" e outros mais elaborados cuja finalidade e estimular a leitura critica. Algumas partes mais delicadas da teoria sao relegadas aos problemas, com sugestoes dadas quando .convem. Sao feitas numerosas referencias a literatura e cada capitulo termina com uma lista de livros para leitura suplementar.

SUMA.RIO DOS TOPICOS

0 capitulo primeiro introduz vetores e suas propriedades mais simples, com aplica<;oes a geometria e a mecanica. No Segundo capitulo; trata-se. de derivadas parciais, primeiro sem referencia a vetores, depois usando vetores para aplica<;oes geometricas. 0 terceiro capitulo introduz a divergencia e rotacional com mais identidades basicas; coordenadas ortogonais sao tratadas concisamente; a ultima se<;ao diz respeito a espa<;os vetoriais n-dimensionais e e fundamental para a teoria de fun<;oes ortogonais no capitulo setimo.

SUGESTAO PARA 0 USO DESTE LIVRO COMO TEXTO

PARA UM CURSO

Recomenda-se que o capitulo introdut6rio seja omitido ou seja tratado muito rapidamente. Sua finalidade principal e servir como referencia e para que o estudante reveja seus conhecimentos. Os capitulos s�o independentes uns dos outros no sentido de que cada um pode ser iniciado s6 com o conhecimento dos conceitos mais simples dos capitulos anteriores. As ser;oes finais de urn capitulo podem depender de al gumas ser;oes finais de capitulos anteriores. Assim, e possivel construir um curso usando s6 as partes iniciais de varios capitulos. Segue-se um exemplo de ta! piano de curso: 1-1a 1-14, 2 -1 a 2-14,3-1 a3-6,4-1 a 4-4, 4-6 a 4-9, 4-12, 5-1 a 5-6, 6-l a 6-7, 6-11 a 6-19, 7-1 a 7-5.

E possivel completar tal program a em urn curso semestral de 4 horas por semana.

Desejando-se dar maior enfase a um t6pico, entiio os capitulos correspon dentes poderiio ser tratados com todos os detalhes. Por exemplo, os capitulos pri rneiro, terceiro e quinto, juntos, constituern urn treino substancial em anailse vetorial; os Cl;lpitulos setimo e decimo, juntos, contem material suficiente para um curso semestral de equar;oes diferenciais parciais; o capitulo nono em si � urn curso elementar completo de variaveis complexas. As ser;oes menos importantes estiio marcadas com urn asterisco(

0 autor exprime seu reconhecimento a muitos colegas que deram sugestoes e estimulo durante o preparo deste frvro. Os,professores R. C. F. Bartels, F. E. Hohn, e J. Lehner merecem gratidlio especial e reconhecimento, por suas criticas ao manuscrito final; muitos aperfeir;oarnentos slio devidos a suas su gestoes. Outros cujos conselhos foram valiosos slio os professores R. V. Chur chill, C. L. Dolph, G. E. Hay, M. Morkovin, C. Piranian, G. Y. Rainich, L. L. Rauch, M. 0. Reade, E. Rothe, H. Sarnelson, Dr. R. Biichi, Dr. A. J: Lohwater, Mr. Gilbert Beguim, Mr. Walter Johnson. Asua esposa, o autor exprime seu profundo agradecimento, peta ajuda prestada em cada fase desta ardua tarefa. Os problemas tecnicos que envolvem a preparar;lio do original foram em muito simplificados pelos esplendidos servir;os prestados pela Sra. Betty Wikel, que datilografou a maior parte do texto manuscrito, pela Srta. Sylvia Biorn -Hansen, que ajudou na datilografia e na revisao, e pelos funcionarios da Edwards Letter Shop, que ajudaram na irnpresslio. A Addison-Wesley Press, o autor exprime seu reconhecirnento pela cons

tante cooperar;ao e pelo alto nivel editorial que estabeleceram e mantiveram.

Janeiro de 195 2 Wilfred Kaplan

Capitulo 4. CALCULO INTEGRAL DE FUN<;C>ES DE VARIAS

 - 0-2. 0 sistema dos n(1meros complexos 0-1. 0 sistema dos numeros reais - 0-3. A algebra dos n11meros reais e dos numeros complexos - 0-4. Geometria analitica no piano - 0-5. Geometria analitica no espai;:o ...· - 0-6. Funi;:oes, limites, continuidade - 0-7. As funi;:oes transcendentes elementares - 0-8. Calculo diferencial - 0-9. Calculo integral - 1-1. Introdu9ao Capitulo 1. VETORES 

• 1-2. Defini9oes basicas
  • 1-3. Adi9ao e subtra9lio de vetores
  • 1-4. Comprimento de um vetor
  • 1-5. Produto de um vetor por. um escalar
• 1-6. Aplicai;:oes de vetores a teoremas da geometria
  • 1-7. Produto escalar de dois vetores
• 1-8. Vetores de base
  • 1-9. Vetores unitarios, cossenos diretores, numeros diretores
  • 1-10. Orientai;:lio no espa90
  • 1-11. 0 produto vetorial
  • 1-12. 0 produto triplo escalar ;
• 1-13. Os produtos triplos vetoriais
  • 1-14. Identidades vetoriais..................................
• 1�15. Fun9oes vetoriais de uma variavel
  • 1-16. Derivada de uma fun9lio vetorial. 0 vetor-velocidade
  • 1-17. Propriedades da derivada. Derivadas superiores
• *1-18. Vetores na mecanica - 2�1. Fun9oes de varias varia veis VARIAVEIS - 2-2. Dominios e regioes - 2-3. Nota9oes para fun9oes. Curvas de nivel e superficies de nivel
  • 2-4. Limites e continuidade
  • 2-5. Derivadas parciais
  • 2-6. Diferencial total. Lema fundamental
  • 2-7. Derivadas· e diferenciais de fun9oes compostas :...
  • 2-8. Fun9oes implicitas. Fum;oes inversas. Jacobianos
  • 2-9. Aplica9oes geometricas
  • 2-10. A derivada direcional
  • 2-11. Derivadas parb.iais de ordem superior
  • 2-12. Derivadas superiores de fun9oes compostas
  • 2-13. 0 laplaciano em coordenadas polares, cilindricas e esfericas
  • 2-14. Derivadas superiores de fun9oes implicitas
  • 2-15. Maximos e minimos de fon9oes de varias variaveis - Multiplicadores de Lagrange *2-16. Mfucimos e minimos de fun9oes com condi9oes suplementares.
• *2-17. Dependencia funcional
• *2-18. Derivadas e diferen9as
  • 3-1. lntrodm;:ao Capitulo 3. CALCULO DIFERENCIAL VETORIAL
  • 3-2. Campos vetoriais e campos escalares
  • 3-3. 0 campo gradiente
  • 3-4. A divergencia de um campo vetorial
  • 3-5. 0 rotacional de um campo vetorial
  • 3-6. Combina9oes de opera9oes
• *3-7. Coordenadas curvilineas no espa90. Coordenadas· ortogonais
• *3-8. Opera9oes vetoriais em coordenadas curvilineas ortogonais - mensoes *3-9. Geometria analitica e vetores num espa90 a mais de^3 di-
  • 4-1. Introdu9ao VARIAVEIS
  • 4-2. Calculo numerico de integrais definidas
    • 4-3. Calculo numerico de integrais indefinidas. Integrais elipticas
  • 4-4. Integrais impr6prias : - numericos *4-5. Criterios de convergencia de integrais impr6prias. Ca.Iculos
    • 4-6. lntegrais duplas
    • 4-7. Integrais triplas e integrais multiplas em geral
  • 4-8. Mudan9a de variaveis em integrais
    • 4-9. Comprimento de arco e area de superficie
• *4-10. Calculo numerico de integrais multiplas
• *4-11. Integrais multiplas impr6prias - 4-12. Integrais dependendo de um parametro - Regra de Leibnitz - Parte I - A teoria em duas dimensoes Capitulo 5. CALCULO INTEGRAL VETORIAL
  • 5-1. Introducao
  • 5-2. Integrais cilrvilineas no piano
    • fundamentais das integrais curvilineas 5-3. Integrais com relacao ao comprimento de arco.Propriedades
  • 5-4. Integrl!is curvilineas vistas como integrais de vetores
  • 5-5. Teorema de Green
  • 5-6. lndependencia do caminho. Dominios simplesmente conexos
    • nexos 5-7. Extensao dos resultados para dominios multiplamente co-
    • Parte II - A teoria em tres dimensoes e aplica�oes
  • 5-8. Integrais curvilineas no espaco
  • 5-9. Superficies no espac;:o. Orientabilidade
  • 5-10. Integrais de superficie
  • 5-11. 0 teorema da divergencia
  • 5-12. 0 teorema de Stokes
    • e campos solenoidais... 5-13. Integrais independentes do c«minho. Campos irrotacionais
• *5-14. Mudanca de variaveis em integrais multiplas
• *5-15. Aplicacoes fisicas

introduc;:ao

REVISAO DE ALGEBRA GEOMETRIA ANALfTICA E CALCULO

Apresentamos neste capitulo uma revisao de conceitos basicos de algebra, geometria analitica e calculo. As ideias aqui discutidas serviriio de base para toda a teoria que segue e constituiriio uma fonte de referenda. Assim sendo, este capitulo serve tanto de preparo para os capitulos posteriores

como de lista conveniente de f6rmulas e teorenias para referencia.

0-1. 0 SISTEMA DOS NUMEROS REAIS. Podemos visualizar o sis tema dos numeros reais como composto pelas seguintes partes: (a) os numeros racionais: siio os inteiros positivos e negativos l, 2, 3,... ,

-1, - 2 , - 3 , ... , e o numero O; as frayoes p/q, onde p e q siio inteiros;

(b) .os numeros irracionais: siio numeros que podem ser expressos por numeros decimais infinitos (por exemplo, -3,14159.. .), mas niio por quocientes de inteiros. Juntos, esses numeros formam uma coleyao da qua! dois elementos quais quer podem ser somados, subtraidos, multiplicados, ou divididos (com excei;iio da divisiio por zero), verificando-se as seguintes regras elementares de algebra: a+b=b+a, a·b=b·a, a+(b+c) = (a + b) +c, a· (be)=(ab)· c (0-1) a(b +c)=a· b +a· c, a+ 0 =a, a· 1 =a. Os numeros reais podem ser identificados com os pontos de uma reta, como na Fig. 0�1. Um ponto 0 dessa reta foi escolhido como origem, e adotou-se uma unidade de comprim�nto e um sentido positivo. Nessas condiyoes, a cada

numerox esta associado um ponto p da reta; p acha-se em 0 sex e 0, e esta

afastado de 0 IlO sentido positivo OU negativo Conforme 0 Sinai de X, sendo que a distancia OP e igual ao valor absoluto lx l dex (o valOr absoluto xl l sera igual ax sex for positivo, e a -x sex for negativo). Dessa forma, cada numero x e representado por um ponto P e, reciprocamente, cada ponto P representa um unico numero x.

x 0

Figura 0-1. Os numeros reais

Essa representai;iio geometrica sugere que os numeros podem ser ordenados: a > b OU b < a significa simp]esmente que a - b e positivo, OU, entao, que a se acha a direita de b no eixo dos numeros acima. O simbolo =, os sirnbolos

OU <, e 0 .simbolo 11 obedecem as seguintes regras:

Leis da igua/dade:

se a =b e b =c, entiio a = c; se a = b, entiio b =a;

a =a, sempre; se a =a' e b = b', entiio (0-2)

a+ b >=a' + b' e a· b= a'· b'.

Leis da desigualdade:

se a < b e b < c, entiio a < c; se a < b, entiio b >a;

a <a e impossivel; se a < a' e b < b', entiio

a+ b < a'+ b' e, se a e b siio positivos, a·b < a'· b'.

Leis de valores absolutos:

lal � O; lal = 0 se, e somente se, a= O;

la·bl = lal·lbl;^ la+ bl� lal+ lbl.

0-2. 0 SISTEMA DOS NUMEROS COMPLEXOS. A menos de espe

cificar,:iio em COntrario, OS nfuneros que aparecem neste texto Sao OS numeros reais. Contudo o estudo das solur,:oes de equar,:oes algebricas. tais como

x2 + 1 = 0, x2 + 2x+ 2 = 0

leva-nos a introduzir os numeros complexos da forma a + bi, onde a e b siio

reais e i, chamado a unidade imaginaria, tern a propriedade: i2 = -1. A cada

par (a, b) de numeros reais corresponde um numero complexo a+ bi, e reci

procamente. Os numeros complexos podem ser identificados com os pontos de um piano - o piano xy - no qua! foram escolhidos dois eixos perpendiculares

(retas orientadas) e uma unidade de comprimento, como mostra a Fig. 0-2.

y

Figura 0-2. Os numeros complexos

x

0 Q(x,0)

.Ao numero complexo z = x+ iy corresponde o ponto P, tendo este coorde

nadas retangulares (x, y). 0 numero 0 + Oi = 0 e representado pela origem

0 (ponto de interser,:iio do eixo x com o eixo y). Os numeros x + Oi =x (nume

ros reais) slio representados pelos pontos (x, 0) do eixo x, exatamente como

antes; analogamente, os numeros 0 + iy =iy (numeros. imaginarios puros)

siio representados pelos pontos (0, y) do eixo y. 0 numero complexo geral

z= x +. iy e representado pelo ponto p cuja projer,:iio Q sobre 0 eixo x e (x, 0)

e cuja projer,:iio R sobre o eixo y e (0, y); diz-se que x e a parte real de z e que

Calculo Avan<;ado

Por conseguinte, l z1^ ·^ z2^1 =^ l z1^ i · lz2^1 ,^ arg(z1^ • z2)^ = argz1 + argz2• (0-9)

Dessas ultimas relar;:oes segue-se que os triangulos I e II da Fig. 0-4 slio seme

lhantes. Com isso, pode-se construir graficamente z1 ·^ z2 a partir de z1 e z2-. Valern, para os numeros complexos, as rilesmas leis de igualdade que para os numeros reais, mas nlio faz sentido falar em desigualdades entre numeros complexos. Valero tambem as leis do valor absoluto enunciadas para o caso real. A lei

retrata a condir;:lio geometrica OQ � OP1 + P1Q da Fig. 0-3.

0-3. A ALGEBRA DOS NUMEROS REAIS E DOS NUMEROS COM

PLEXOS. Se x e urn nurnero real e n um inteiro positivo, entlio define-se x",

a n-esima potencia de x, como sendo x · x... x (n fatores). Assim sendo, valem

as regras

Um polinomio em x, de grau n, e uma expresslio do tipo

onde a 0 , a 1 ; ... , a. slio numeros reais e a 0 =I- 0. Assim, x2 + 2x - 3 e um po

linomio em x, de grau 2.

Uma equar;:lio algebrica em x, de grau n, e um polinomio em x, de grau

n, que foi igualado a O; poi exemplo,

x2-4x-5 = 0.

Demonstra-se em .algebra que uma ta! equar;:l? possui no maximo n raizes

reais. Em particular, se a > 0, a equar;:lio

x" =a

tern exatainente uma raiz real positiva, indicada por Ta ou a11". As definir;:oes acima se estendem de imediato as potencias de numeros complexos, polinomios e equar;:oes algebricas envolvendo numeros complexos. Assim sendo,

z^2 +^1 =^0

e uma equar;:lio algebrica de grau 2; e tambem de grau 2 a equar;:lio algebrica

(1 .,.. i)z2 + iz - 1 = 0,

onde aparecem coeficientes complexos. pemonstra-se, em cursos de calculo avanr;:ado, que uma equa�o de grau n possui n raizes complexas, podendo

lntroduciio

algumas delas coincidir; se os coeficientes forem reais, entao as raizes imagi narias aparecem em pares conjugados. Chama-se equai;:iio linear a uma equai;:ao do primeiro grau, por exemplo,

3x - 2 =0, 5z + 4i=0.

Ela possui sempre uma solm;ao, apenas: ax + b = 0 admite para raiz x = -{b/a).

Uma equa9ao quadratica e aquela do segundo grau, por exemplo,

x2-5x + 6 = 0.

A equai;:iio geral

admite para raizes

az2 + bz + c = 0

-b ± J^ b2-4ac Z=.

2 a

Se a, b, c forem reais, entao a natureza das raizes sera determinada pelo discri

minante: b2 - 4ac. Se b2 - 4ac > 0, ·entao as raizes sao reais e distintas; se b2 -.

-4ac= 0, entao as raizes siio reais e iguais; se b2-4ac < 0, entiio as raizes

sao os nurneros complexos conjugados x ± iy.

Existem formulas explicitas para a resolui;:iio das equai;:oes gerais do ter ceiro e quarto graus. [Vide L. E. Dickson, First Course in the Theory of Equa

tions (New York: Wiley, 1922) Cap. IV.] Nao existem formulas expllcitas para

as equai;:oes de grau superior. Existem,porem,metodos numericos e mecanicos para determinar as raizes reais e complexas dessas equai;:oes, e uma discussao de tais metodos esta apresentada no Cap. VIII do livro de Dickson. Equai;:oes da forma z"^ =a admitem solui;:oes dentre os complexos z, seja a real ou complexo. As raizes sao as "raizes n-esimas de a". As solui;:oes sao baseadas na formula de De Moivre (cos 8 + i sen 8)\ = cos n8 + i sen n8, (0-13)

que e uma conseqi.iencia da regra (0-8) para a multiplicai;:ao. Dessa ultima

formula conclui-se que, se a tiver coordenadas polares r e 8, de sorte que a = =r(cos 8 + i sen 8), entao

� =^ Vr^ [cos^ (^ :^ +^ k^ 2nn)^ +^ i^ sen^ (:^ +^ k^

n n)}^ (0- 14 )

. onde. k toma todos os valores inteiros 0, 1, 2, ... , n - 1 e � e a raiz n-esi

ma real positiva de r. Na Fig. 0-5, ilustramos o caso de z =2 + i e n = 5.

Chama-se sistema de equa�oes lineares simultc1neas um siste,ma como, por exeinplo, aLx (^) + bly + (^) C1Z =kl' GzX +^ bzy^ +^ C 2 Z=kz, a3x + b3y + c3z = k3.