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MULENGA, ALBERTO

Investigação Operacional

Uma abordagem introdutória

Maputo, 2006 Volume I

Prefácio

Investigação Operacional é uma metodologia administrativa que agrega um conjunto de ciências fundamentais para o processo de análise e preparação das decisões: a economia a matemática, a estatística e a informática. Não sendo necessário explicar a importância relativa que estas disciplinas têm para o processo de tomada de decisão ao nível empresarial ou mesmo individual, nestas disciplinas, são tomadas e usadas como ferramentas para a manipulação das variáveis usadas na análise e preparação das decisões.

O manual de apontamentos de Investigação Operacional, é apresentado em dois volumes num total de 12 capítulos, o volume 1, apresenta os 6 capítulos com cerca de 54 exemplos e 51 exercícios, dando mais relevância aos problemas de optimização linear, o volume II, apresenta 71 exemplos e 49 exercícios. Este volume dá mais ênfase a modelos de apoio a decisão. E cada capítulo, é apresentado os conceitos teóricos, exemplos resolvidos, uma lista de propostos com indicação das soluções e no fim uma lista de referências com pelo menos três livros

Os conteúdos dos capítulos são apresentados de forma simples e elementar para facilitar a compreensão dos mesmos. Sendo assim, muitos dos problemas, estão estruturadas de forma a motivar o estudante na criação de modelos económico matemático, sem deixar de lado a investigação económica das variáveis bem como soluções modelos elaborados

• Prefácio ------------------------------------------------------------------------------------------------------
• Índice --------------------------------------------------------------------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 1. Introdução ------------------------------------------------------------------------------------------------
• 1.1 Definição da investigação operacional -------------------------------------------------------------
• 1.2 Características e técnicas da investigação operacional -------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 2 Programação linear -------------------------------------------------------------------------------------
• 2.1 Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------------
• 2.1.1 Formulação do modelo matemático dos problemas de programação linear ---------------
• 2.1.2 Definição geral dos problemas de programação linear ---------------------------------------
• 2.1.3 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
• 2.2 Resolução de problemas de PL pelo método gráfico --------------------------------------------
• 2.2.1 Domínio das soluções admissíveis---------------------------------------------------------------
• 2.2.2 Procedimento do método --------------------------------------------------------------------------
• 2.2.3 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
• 2.3 Resolução dos problemas de programação linear pelo método simplex ---------------------
• 2.3.1 Variáveis de folga, excesso e não restritas -----------------------------------------------------
• 2.3.2 Maximização com restrições da forma -------------------------------------------------------
• 2.3.3 Minimização com restrições da forma -------------------------------------------------------
• 2.3.4 Maximização e minimização com restrições do tipo ; =; ------------------------------
• 2.3.5 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 3. Dualidade e análise de sensibilidade ----------------------------------------------------------------
• 3.1 Dualidade em programação linear -----------------------------------------------------------------
• 3.1.1 Transformação de um problema primal, em dual----------------------------------------------
• 3.1.2 Interpretação económica das variáveis duais ---------------------------------------------------
• 3.1.3 Propriedades operacionais entre o primal e dual ----------------------------------------------
• 3.2 Método dual – simplex ------------------------------------------------------------------------------
• 3.2.1 Regras de entrada e saída de variáveis na base ------------------------------------------------
• 3.2.2 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
• 3.3 Análise de sensibilidade em programação linear ------------------------------------------------
• 3.3.1 Variação nas quantidades dos recursos ---------------------------------------------------------
• 3.3.2 Variação nos coeficientes da função objectivo ------------------------------------------------
• 3.3.3 Variações nos coeficientes das actividades -----------------------------------------------------
• 3.3.4 Adição de uma nova variável ---------------------------------------------------------------------
• 3.3.5 Adição de uma nova restrição --------------------------------------------------------------------
• 3.3.6 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 4. Programação linear inteira ----------------------------------------------------------------------------
• 4.1 Introdução ---------------------------------------------------------------------------------------------
• 4.2 Método de bifurcação e limite ----------------------------------------------------------------------
• 4.3 Método de corte de gomory -----------------------------------------------------------------------
• 4.4 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 5. Problemas de transporte e afectação --------------------------------------------------------------
• 5.1 Introdução -------------------------------------------------------------------------------------------
• 5.2. Método do canto noroeste ------------------------------------------------------------------------
• 5.3 Método de gusto mínimo (LUCRO MAXJMO) -----------------------------------------------
• 5.4 Método de aproximação de vogel ----------------------------------------------------------------
• 5.5 Teste de optimidade e melhoramento de solução ----------------------------------------------
• 5.5.1. Método das Pedras para o teste de solução --------------------------------------------------
• 5.5.2 Método de MODI para o teste de solução ----------------------------------------------------
• 5.5.3 Método de Stepping Stone para o Melhoramento da Solução -----------------------------
• 5.6 Problemas de afectação ----------------------------------------------------------------------------
• 5.7 Exercícios propostos -------------------------------------------------------------------------------
  • CAPÍTULO
• 6 Programação dinâmica -------------------------------------------------------------------------------
• 6.1 Introdução -------------------------------------------------------------------------------------------
• 6.2 Métodos de resolução dos problemas de programação dinâmica ---------------------------
• 6.3 Aplicações e dificuldades da programação dinâmica -----------------------------------------
• 6.4. Exercícios Propostos ------------------------------------------------------------------------------

A investigação operacional pode ser definida como:  A arte de dar respostas óptimas a problemas que tratados de outra forma teriam respostas piores;  O bom censo expresso em termos quantitativos;  Ciência da preparação das decisões;  A aplicação do método científico à direcção de uma empresa ou projecto, visando a optimização de suas decisões ou políticas, etc.

A abordagem mais característica da investigação operacional, utilizada pelos especialistas, consiste em procurar desenvolver um modelo científico do sistema em estudo, incorporando a medição ou quantificação de factores, tais como: o acaso e o risco: mediante os quais se podem prever e comparar os resultados através do controle da estratégia usada, do número de alternativas de decisão, etc. O objectivo da pesquisa operacional é ajudar ao gestor a estabelecer suas linhas de ação de maneira científica, como resultado do emprego do método quantitativo, para equacionar e solucionar os problemas existentes.

A Investigação Operacional tem sido vista pelos gestores e outros praticantes sob dois enfoques diferentes quanto à abordagem, mas coerentes e complementares na aplicação prática no campo da gestão empresarial: a) Enfoque clássico - busca da solução óptima; b) Enfoque actual - uso de modelos para identificação correcta do problema.

Pela natureza da investigação operacional muitas definições da investigação operacional podem ser feitas, todas estarão correctas se tiverem argumentos aceitáveis. Devemos salientar que historicamente o sucesso da investigação operacional sempre ficou relacionado com:  A aplicação do método científico;  A abordagem por equipa e interdisciplinar;  O envolvimento no controlo e organização dos problemas dos sistemas (pessoas - máquinas) para a obtenção de soluções óptimas.

1.2 Características e técnicas da investigação operacional

Características da Investigação Operacional

As principais características da investigação operacional são:

1. Visão sistémica - o estudo da Investigação Operacional consiste em construir um modelo de um sistema real existente como meio de analisar e compreender o comportamento desta situação. Esta visão é atualmente a mais importante da tendência da administração. O método da visão sistémica consiste em considerar a empresa ou cada parte da mesma como um sistema com várias variáveis inter- relacionadas. O sistema aqui considerado pode existir atualmente ou pode estar em concepção. No primeiro caso, o objectivo do estudo tem sido de analisar o desempenho do sistema para escolher um curso de acções no sentido de aprimorá- lo. No segundo caso, o objectivo é identificar a melhor estrutura do futuro sistema.
2. A abordagem por equipa - que consiste no uso de conhecimentos científicos por equipas inter-disciplinares (formação de conjuntos e subconjuntos de equipas entre pessoal técnico, treinado, mestres, especialistas, etc.) para fazer um esforço conducente a determinação da melhor forma de utilização de recursos limitados. Esta característica multi-disciplinar de resolver os problemas organizacionais deu um novo enfoque a investigação operacional - a visão sistémica dos problemas.
3. Uso de modelos matemáticos mais formais através das técnicas estatísticas e ou quantitativas - esta característica facilita o processo de análise de decisão pela visualização da estrutura real em análise e pela representação das informações e suas inter-relações.
4. Buscar a optimização da solução dum problema - que consiste em seleccionar a alternativa que melhor conduzirá a maximização dos lucros ou minimização dos custos.
5. Emprego de simulação sobre os modelos - que consiste em imitar o funcionamento de um sistema real, que não pode ser compreendido tal como está, recorrendo a uma representação adequada para fins experimentais ou de estudo do sistema real, desde que o sistema real seja determinístico e não escolástico.

O desenvolvimento dos computadores digitais, face a sua velocidade de processamento, capacidade de armazenamento e recuperação das informações, constituiu um imenso

1. Estatística matemática: teoria das probabilidades e estatística;
2. Teoria de informação e apoio a decisão: análise de decisão e jogos, problemas das filas de espera, gestão de estoques, planeamento e controlo de projectos, etc.,
3. Programação matemática: linear, inteira, dinâmica, não linear, problemas de transporte e distribuição ou afectação de recursos, etc.,
4. Simulação e método de Monte Cano, dinâmica industrial, análise de redes, etc.

Mesmo considerando que a análise quantitativa é importante para a tomada de decisão, é necessário esclarecer aos utilizadores das técnicas ou métodos quantitativos, que nem todos os problemas são susceptíveis de solução pelas técnicas quantitativas, Uma aplicação bem sucedida dos métodos quantitativos, implica uma interacção entre a ciências matemáticas e as ciências do comportamento, pois o sistema em estudo interage com seres humanos, pois:  Nem todos factores de um dado problema podem ser quantificados quando tema variáveis qualitativas.  Variáveis não controláveis dificultam ao máximo o processo de modelação do problema, fazendo com que os modelos sejam menos perfeitos.  O uso de números e de equações, dá urna aparência de exactidão científica.  O desejo de confrontar demais os métodos quantitativos pode ser perigoso, pois chega-se a soluções matemáticas que carecem de uma interpretação social.

(Modelos de Optimização Linear --- Modelos de Apoio a Decisão)

Matemática, Soluções exactas Objectivo : solução óptima

Teoria de Informação Soluções viáveis Objectivo : Gerir melhor o recurso e satisfazer os interesses de uma organização

Referências: ACKOFF, RL, Sasieni, M.W (1968) - Fundamentals of Operations Research , John Wiley & Sans, |Inc USA ANDRADE, EL (1998) - Introdução à Pesquisa Operacional - métodos e modelos para a análise de decisão , 2ª edição, editora LTC, RJ, Brasil

FARIA, AN (1978) - Dinâmica da Administração - perspectivas e projectos , editora LTC, Rio de Janeiro,

HILLIER, FS; Gerad. J.L (1995) - Introduction to Operations Research - sexth Edition, McGraw-Hill, International Editions, Singapure; TARA, HA(1997) - Operations Research au Introduction , sixth edition, Prentice - Hall International, Inc.

2. Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura que corresponde ao custo mínimo?
3. Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o conjunto de mão-de- obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o objectivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência?

Exemplo 2.1. Uma companhia de montagem de lâmpadas, usa dois modelos para a montagem: o modelo actual automático e o modelo antigo com acessória. Cada pessoa no modelo actual requer 1 hora de trabalho se vier do departamento de corte e 3 horas se vier do departamento de verificação. No modelo antigo, cada pessoa necessita de 2 horas de trabalho, se vier do departamento de corte e 4 horas de trabalho se, for do departamento de verificação. O número máximo de horas de trabalho por dia para o departamento de corte e de verificação é 32 e 84, respectivamente. Se a companhia recebe um lucro de 50 u.m. por cada lâmpada vinda do modelo actual e 80 u.m. do modelo antigo, quantas lâmpadas devem ser produzidas por dia em cada modelo de modo que a companhia maximize o lucro diário?

Resolução

Este é um exemplo típico de um problema de programação linear. Para tomar claro, as relações entre o objectivo e as restrições, apresenta-se a tabela 1.

Tabela 1.1. Resumo dos dados do problema

Departamento Horas de trabalho por pessoa Modelo actual Modelo antigo

Número máximo de horas de trabalho De corte De verificação

Lucros por lâmpada 50 80

2.1.1 Formulação do modelo matemático dos problemas de programação linear

O método usado para a formulação dos problemas de programação linear tem uma determinada lógica, ainda que esta não seja rigorosamente seguida:

1. Análise qualitativa do problema, que depende da experiência adquirida anteriormente, isto é, a sensibilidade de analisar e relacionar a informação;
2. Formulação do problema, i.é, a definição das variáveis de decisão, da função objectivo e das restrições;
3. Elaboração do modelo matemático que consiste na indicação das relações entre as variáveis de decisão, a função objectivo e as restrições.

Retomando ao exemplo 2.1, teremos: Variáveis de decisão: x 1 - número de lâmpadas produzidas no modelo actual por dia; x 2 - número de lâmpadas produzidas no modelo antigo por dia.

Função objectivo: O objectivo do administrador da companhia é decidir quantas lâmpadas são necessárias por dia para cada modelo, de modo que ele tenha o lucro máximo diário. L  50 x 1  80 x 2  função objectivo (a)

Restrições

Restrições são inequações ou equações que representam as relações entre as quantidades produzidas, as composições das horas e a disponibilidade máxima do recurso (hora). Restrição para o departamento de corte: 1 x 1  2 x 2  32

Restrição para o departamento de verificação:^3 x 1 ^4 x 2 ^84 Como não podemos produzir um número negativo de lâmpadas, então adiciona-se a restrição de não negatividade: x 1  0 e x 2  0 ou usualmente x 1 , x 2  0.

Partindo das situações anteriores, escreve-se o modelo matemático do problema de programação linear.

Maximizar Z  50 x 1  80 x 2 função objectivo

Sujeito à 

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

Qualquer solução que satisfaz todas as restrições do modelo é uma solução possível (admissível). Por exemplo, a solução x 1  2 e x 2  5 é uma solução possível pois não viola

O modelo matemático correspondente é: Maximizar Z  30 x 1  1 x 2  16 função objectivo max Z  f ( x 1 , x 2 )

Sujeito à 



2

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

x x

i

conjunto de restrições incluindo a de não negatividade

Exemplo 2.3. Um individuo pretende fazer urna selecção dum conjunto de 5 alimentos básicos. Por forma a conseguir estruturar uma dieta que, do ponto de vista nutritivo, tenha como normas mínimas de calorias e vitaminas, respectivamente, 70 e 50 unidades, gastando o mínimo possível. Os preços de venda dos alimentos, bem como a sua composição em elementos nutritivos são dados pelo seguinte quadro.

Elemento nutritivo Alimentos A B C D E Calorias Vitaminas

Custo unitário 2 20 3 11 12

Elabore o modelo matemático do problema.

Resolução Minimizar W  2 x 1  20 x 2  3 x 3  11 x 4  12 x 5

Sujeito à 

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

1 2 3 4 5

x x x x x

x x x x x

x x x x x

Exemplo 2.4. Um agricultor precisa de 100 kg de Azoto (N), 120kg de Fósforo (P) e 120 kg de Potássio (K), para adubar a sua plantação. Ele tem duas possibilidades no mercado, sendo uma na forma líquida em tambores que contém 50 kg de N, 20 kg de P e 10 kg de K ao preço de 30 u.m cada; outra empresa fornece adubo em sacos, contendo 10, 20 e 40 kg de N, .P e K, respectivamente, ao preço de 20 u.m cada saco. Quantas embalagens de cada fonte deverá o agricultor comprar para suprir as suas necessidades pelo menor custo.

Resolução

Composição de adubo

Possibilidades de Mercado Tambor Sacos Necessidade mínima Azoto Fósforo Potássio

Custo (u.m) 30 20

O modelo matemático correspondente é: Minimizar W  30 x 1  20 x 2

Sujeito à



1 2

1 2

1 2

1 2

x x

x x

x x

x x

2.1.2 Definição geral dos problemas de programação linear

Todos os problema de optimização linear (programação linear), podem ser representados na forma: Maximizar (^) Z  c 1 x 1  c 2 x 2 ... cm xm função objectivo ou de oportunidades

Sujeito à



1 2

11 2 2

211 22 2 2 2

111 12 2 1 1

n

n n nm m n

m m

m m

x x x

a x a x a x b

a x a x a x b

a x a x a x b

Admite-se que, em lugar de maximizar, haja minimizar, e em lugar de menor ou igual ( ) seja maior ou igual ( ) ou mesmo igual (=).

Assim, para os problemas de maximização usa-se o sinal ( ) e para os problemas de minimização usa-se o sinal ( ). Se uma ou mais restrições apresentar o sinal de igualdade (=), esta pode ser substituída por duas inequações, em seguida uma das inequações deverá ser multiplicada por (-1), caso seja necessário, para satisfazer a função objectivo.

Exercício 2.3. Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2, O lucro por unidade de P1 é de 100 contos e o lucro unitário de P2 é de 150 contos. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas actividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os dois produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa e resolva o modelo do sistema de produção mensal com o objectivo de maximizar o lucro da empresa.

Exercício 2.4. A empresa Sementes de Moçambique (SEMOC), pretende semear arroz e milho, dispondo para tal de áreas que não excedem, respectivamente, 3 e 4 hectare nos arredores de Boane. Por outro lado, as suas disponibilidades em trabalho são apenas de 9 horas diárias. Admitindo que, por cada hectare semeado de arroz é necessário 1 hora de trabalho diário e por cada hectare de milho são necessárias 2 horas. Sabendo que por cada hectare de arroz semeado o lucro é de 5 u.m. e por cada hectare de milho 2 u.m, formule o problema como um problema de programação linear.

Exercício 2.5. Dois países A e B, emprestam dinheiro a outro pais C. Por cada unidade monetária concedida pelo pais A, este cobra anualmente do pais C, uma tonelada de cortiça, 5 toneladas de trigo e 3 toneladas de peixe. Por cada unidade monetária concedida pelo país 8, são cobrados anualmente ao país C, uma tonelada de cortiça, 2 toneladas de trigo e 8 toneladas de peixe. Anualmente o país C não tem disponíveis mais de 20 toneladas de cortiça, 100 toneladas de trigo e 120 toneladas de peixe. Sabendo que por cada unidade monetária emprestada, o país C recebe do país A 500 espingardas e do país 8 300 metralhadoras, formule o problema de programação linear que maximize o número de armas que C pode adquirir por este processo.

Exercício 2.6. Uma companhia de aluguer de camiões possui dois tipos; o tipo A com 2 m^3 de espaço refrigerado e 4 m^3 de espaço não refrigerado e o tipo B com 3 m^3 refrigerado e 3 m^3 não refrigerado. Uma fábrica de produtos alimentícios precisou transportar 9 m^3 de produto refrigerado e 12 m^3 de produto não refrigerado. Quantos camiões de cada tipo deve ser ela alugado, de modo a minimizar o custo, se o aluguer de um camião do tipo A é 30 um. por 1cm e do B é 40 u.m. por km. Formule o problema de programação linear da fábrica que necessita de transportar os seus produtos.

Exercício 2.7. Uma pequena manufactura produz dois modelos, Standart e Luxo, de um certo produto. Cada unidade do modelo standart requer 3 horas de lixação e 1 hora de polimento. Cada unidade do modelo de luxo exige 1 hora de lixação e 4 horas de polimento. A fábrica dispõe de 2 lixadores e 3 polidores, cada uma trabalha 40 horas semanais. As margens de lucro são 24 e 32 unidades de medida, respectivamente, para cada unidade standart e luxo. Não existem restrições de demanda para ambos os modelos. Elabore um modelo de programação linear que permita calcular a produção semanal que maximiza a margem total de lucro do fabricante.

Exercício 2.8. Um médico tem de escrever um artigo, para publicação numa revista, subordinada ao tema da composição de uma refeição à base de carnes e legumes, em quantidades de acordo com um mínimo nutricional exigido e de modo a que o custo dessa refeição fosse mínimo. Ele sabe que cada refeição deve conter um mínimo de 8 unidades de carbohidratos, 15 unidades de proteínas e 6 unidades de vitaminas. Sabe também, que o custo de cada unidade de carne é de 5 u.m. e o custo de cada unidade de legumes é de 4 u.m. O número de unidades dos três factores contidos em cada unidade dos dois alimentos acima descritos são:

Carne Legumes Carbohidratos Proteínas Vitaminas

O dietista pretende indicar que quantidades de cada alimento devem ser compradas para que se possa obter o mínimo nutricional requerido com um custo mínimo. A que conclusão terá chegado?

Exercício 2.9. Um joalheiro produz colares e braceletes. As margens de lucro são $ 32, para os colares e $ 24,00 para os braceletes. Os colares requerem 2 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e 6 horas para o polimento. Os braceletes requerem 5 horas para o corte das pedras, 7 horas para a montagem e 3 horas para o polimento. O joalheiro trabalha sozinho e dispõe mensalmente de 40 horas para o corte das pedras, 70