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Algebra Booleana
Tipologia: Notas de estudo
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Disciplina
Não sabemos precisar a origem do número. Provavelmente o conceito de número surgiu com a necessidade do homem em quantificar e comparar grandezas, quantidade de objetos ou riquezas, tais como distância, quantidade de cabeças de gado de um rebanho, quantidade sacas de alimentos, valor de pedras preciosas e jóias. Essa necessidade intensificou-se com o incremento do comercio ou troca de mercadorias. Para representar essas grandezas o homem utilizou primeiramente vocábulos e conseqüentemente foram criados os símbolos referentes a esses vocábulos nas mais diversas línguas que foram associados ao conceito de número. Para representar a quantidade de cabeças de gado de um rebanho houve a necessidade de empregar os números e para quantificar essa quantidade houve a necessidade de contar e, para obter um resultado de uma contagem o homem precisou criar um sistema de numeração. Para representar esses resultados o homem utilizou diversos formas e vocábulos representados por caracteres especiais que através dos tempos sofreram modificações e evoluções que culminaram com a criação dos algarismos que utilizamos atualmente: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 e 0. Existiu uma infinidade de sistemas de numeração até o advento do sistema atual. Um dos primeiros sistemas de numeração utilizado foi o quinário, sistema em que as unidades se agrupam de cinco em cinco. A cada cinco unidades é obtida uma coleção denominada quina. Assim, 7 camelos, são representados pela seqüência “12”, e lida da seguinte forma: “uma quina e mais dois”. Nesse sistema o algarismo da esquerda vale cinco vezes mais do que o da direita. Ou seja, a posição do algarismo tornou-se importante (sistema de notação posicional). Os matemáticos dizem que a base desse sistema é cinco (5). Na Babilônia foi utilizado um sistema cuja base era “60”. Assim a grandeza 128 era representada pela seqüência 28 e interpretada da seguinte forma duas coleções de sessenta mais 8. Parece óbvio que o sistema decimal (base dez) utilizado atualmente é conseqüência dos dez dedos existentes em nossas mãos. Os primeiros sistemas de numeração decimal utilizavam os algarismos representados pelos vocábulos: um, dois, três, quatro, cinco, seis, sete, oito e nove. Para representar coleções de “ dez ” eram utilizados além do sistema de representação posicional alguns sinais auxiliares como: d, c, m; para indicar dezenas, centenas e milhares. Esses símbolos eram utilizados ao lado dos algarismos. Por exemplo, o número 8.762 era representado pela seqüência “ 8m7c6d2 ”. Esses vocábulos adicionais foram necessários até a criação, pelo povo Indiano ou Maia ou Árabe do dígito “0” (zero).
Um número expresso numa base “ b” , possui dígitos que representam os seguintes valores:
As bases mais utilizadas são as bases: dez, dois, quatro, oito (octal) e dezesseis (hexadecimal). A base dez por ser utilizada no mundo real para representar grandezas. As bases dois, quatro, oito e dezesseis utilizadas em sistema computacionais ou sistemas eletrônicos digitais de forma geral. Será enfatizada a representação de números representados na base dois (binária), pois essa base é utilizada para representar grandezas dentro dos sistemas computacionais.
A base 10 ( decimal ) possui os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,8 e 9. A base 2 ( binária ) possui os dígitos 0 e 1 A base 4 possui os dígitos : 0, 1, 2, e 3. A base 8 ( octal ) possui os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 e 7. A base 16 ( Hexadecima l) possui os dígitos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F. Os símbolos A, B, C, D, E e F representam, respectivamente, as grandezas 10,11,12,13,14 e 15.
A tabela abaixo mostra a representação dos valores maiores ou iguais a zero até o valor quinze (15) nas bases dez, dois, quatro, oito e dezesseis.
Valor Dez (10) Dois (2) Quatro (4) Oito (8) Dezesseis (16) 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 2 2 10 2 2 2 3 3 11 3 3 3 4 4 100 10 4 4 5 5 101 11 5 5 6 6 110 12 6 6 7 7 111 13 7 7 8 8 1000 20 10 8 9 9 1001 21 11 9 10 10 1010 22 12 A 11 11 1011 23 13 B 12 12 1100 30 14 C 13 13 1101 31 15 D 14 14 1110 32 16 E 15 15 1111 33 17 F
Uma grandeza qualquer pode ser representada por uma seqüência de dígitos de um sistema numérico qualquer. Ou seja, uma grandeza pode ser representada por um número representado em qualquer base. Num sistema cuja base é b, um número positivo N expresso nessa base, é representado através da utilização do polinômio que segue.
N(b) = aq-1 b(q-1)^ + aq-2b(q-2)^ +...+ a 0 b^0 + a-1b(-1)^ +...+ a-pb(-p) onde:
seja, esse polinômio é também utilizado para transformar um número positivo representado em
N(10) = aq-1 b(q-1)^ + aq-2b(q-2)^ +...+ a 0 b^0 + a-1b(-1)^ +...+ a-pb(-p) onde:
Exemplo 1.4- Utilização do polinômio para representar e transformar o número 3201,23(4) (base Quatro) para a base Dez (225,6875(10)) 3201,23(4) = 6*4^3 + 2*4^2 + 041 + 14^0 + 2*4-1^ + 3*4-
Exemplo 1.5- Utilização do polinômio para representar e transformar o número 1101101,1001(2) (base Dois) para a base Dez (109,5625(10)) 1101101,1001(2) = 1*2^6 + 1*2^5 + 0*2^4 + 1*2^3 + 1*2^2 + 0*2^1 +1*2^0 + 12-1+ 02-2+ 02-3+ 1 2-
A base dois é composta pelos dígitos “ 0 ” e “ 1 ”. Todo e qualquer número representado nessa
binário). Para definir o conceito de bit, foi utilizado um mnemônico formado pelas duas primeiras letras da palavra inglesa “ bi nary ” concatenadas com a última letra da palavra “ digi t ”.
Como o homem, no mundo real, representa grandezas utilizando a base dez, há a necessidade de transformar essas grandezas (decimais) em uma grandeza representada utilizando apenas os dígitos da base dois. Para transformar um número representado na base dois para a base dez pode ser utilizado o polinômio dado.
Exemplo 1.6- Transformação de um número binário inteiro(1101(2)) para a base Dez (27(10)): (^1101) (2) = 1*2^4 + 1*2^3 + 0*2^2 + 1*2^1 + 1*2^0 = 16+8+0+2+1 = 27(10)
Exemplo 1.7- Transformação do número binário fracionário 10,11(2) para a base Dez (2,75(10))): 10,11(2) = 1*2^1 + 0*2^0 + 1*2-1^ + 1*2-2= 2,75(10)
A base oito ou octal é composta pelos dígitos “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6” e “ 7 ”. Todo e qualquer número representado nessa base utiliza apenas esses 8 dígitos. Para transformar um número representado na base oito para a base dez pode ser utilizado o polinômio dado.
Exemplo 1.8-Transformação de um número octal fracionário 25,4(8) para a base Dez (21,5 (^) (10)): 25,4(8) = 2*8^1 + 5*8^0 + 4*8-1^ = 16 + 5 + 0,5= 21,5 (^) (10)
A base dezesseis ou hexadecimal é composta pelos dígitos “0”, “1”, “2”, “3”, “4”, “5”, “6” , “ 7”, “8”, “9”, “A”, “B”, “C”, “D”, “E” e “F”. Todo e qualquer número representado nessa base utiliza apenas esses 16 dígitos. Para transformar um número representado na base hexadecimal ou dezesseis para a base dez pode ser utilizado o polinômio dado. Para efeito de cálculos para realizar transformações de bases os dígitos representados por letras na base dezesseis assumem os seguintes valores: A=10; B=11; C=12, D=13; E=14 e, F=15.
Exemplo 1.9- Utilização do polinômio para representar e transformar de um número Hexadecimal fracionário (B7,A3(H)) para a base Dez (183, 63671875(10)): B7,A3 (H) = 11*16^1 + 7*16^0 + 10*16-1^ + 3*16-2^ = = 176 + 7 + 10*0,0625 + 3 * 0,00390625 = = 183 + 0,625 + 0, = 183, 63671875(10)
Conforme visto nos itens anteriores, para transformar-se uma representação de um número representado em uma base qualquer para a base 10, aplica-se o “ polinômio” dado.
numa base qualquer para a base dez aplica-se o algoritmo que segue: “1- Inicie pelo dígito mais significativo (dígito à esquerda); 2- Desloque para a direita uma posição; 3- Multiplique o valor do dígito mais significativo pela base e some o dígito atingido obtendo-se um valor parcial; 4- Repita os deslocamentos, multiplicando os valores parciais já obtidos pela base e somando o dígito atingido, até atingir o dígito menos significativo. O algoritmo utilizado é obtido através da fatoração dos termos que representam a parte inteira de um número representado pelo polinômio “ N(b)” pela base “ b” “q-1” vezes.
Exemplo 1.11- Transformação do número 234(8) representado na base Octal para a respectiva representação na base Dez (156(10)): (^2 3 4) (8) = ?(10)
19 156 28+3 198+ p 1 p 2
Exemplo 1.12- Transformação do número 110010(2) representado na base Binária para a respectiva representação na base Dez ( (^50) (10) ): (^1 1 0 0 1 0) (2) = ?(10)
3 6 12 25 50 p 1 p 2 p 3 p 4 p 5 passo p 1 → 12+1 = 3 passo p 2 → 32+0 = 6 passo p 3 → 62+0 = 12 passo p 4 → 122+1 = 25 passo p 5 → 25*2+0 = 50(10)
Passos
Passos
Exemplo 1.13- Transformação do número D7(H) representado na base Hexadecimal para a respectiva representação na base Dez ( (^215) (10) ): D (^7) (H) = ?(10)
p 1
Conforme já relatado, o processo de Comunicação entre o mundo real e os equipamentos digitais é necessário para realizara a comunicação entre os homens e as máquinas digitais, implementando a atividade de entrada de dados nos equipamentos, transformando a representação desses dados, geralmente analógicos, em códigos numéricos discretos que os equipamentos consigam interpretar e processar. Para realizar esse processo é preciso realizar a transformação de dados representados na base dez para as bases dois, quatro, octal e hexadecimal. Essa transformação requer processos distintos para transformar a parte inteira e fracionária dos números representados na base dez. Portanto veremos um processo para transformar a parte inteira do número decimal e outro para transformar a parte fracionária do número decimal.
O processo de transformação da parte inteira de um número expresso na base dez para qualquer base é denominado “ algoritmo de divisões sucessivas ”. O processo consiste da realização de divisões inteiras sucessivas da parte inteira do número representado na base 10 pela base b. Em cada divisão inteira é obtido um quociente parcial e um resto que deve ser memorizado (guardado). Repete-se as divisões sucessivas até que o quociente parcial seja igual a zero. O número desejado será formado pelos restos das divisões, na ordem inversa da obtenção dos mesmos.
Exemplo 1.14- Transformação do número 19(10) para a base binária (19(10) -> ?(2)):
19 2 1 9 2 1 4 2 resultado: (^19) (10) →→→→ (^10011) (2) 0 2 2 0 1 2 Ordem 1 0 Inversa
Verifique, no exemplo 18, que o processo de transformação da base dez para a base dois foi exato. Esse fato ocorre em um número muito pequeno de transformações de números fracionários. A maioria das transformações de números fracionários não é exata.
Valor da fração parcial obtida diferente de zero caracteriza uma transformação não exata.
Resultados parciais repetem-se. Configurando uma dízima e, portanto a conversão não é exata.
Valor da fração parcial obtida diferente de zero caracteriza uma transformação não exata.
Todos os processos de conversões de base até agora explanados envolviam a base 10. Foram vistos processos de conversões de um número representado na base 10 para qualquer base e um número representado em uma base qualquer para a base 10. É possível realizar conversões entre as bases : Dois, Quatro, Oito e Hexadecimal (2, 4, 8 e
2 = 2^1 4 = 2^2 8 = 2^3 16 = 2^4
Os processos de conversões entre bases que são potências de 2 são simples e rápidos. Os dígitos das bases 4, 8 e 16 podem e são representados dentro dos circuitos eletrônicos digitais por um conjunto de zeros e uns. Ou seja, para cada dígito das bases 4, 8 e 16 é utilizada uma combinação de dígitos da base dois.
Resultados parciais repetem-se. Configurando uma dízima e caracterizando uma conversão não exata,
Exemplo 1.22- Representar o número 11000101011110110110(2) nas bases 4, 8 e 16. Associando-se os dígitos dois a dois teremos a transformação para a base 4 automaticamente:
(^1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0) (2)
(^3 0 1 1 1 3 2 3 1 2) (4)
Resultado: 11000101011110110110(2) = 301113231(4) Associando-se os dígitos três a três teremos a transformação para a base 8 automaticamente: (^0 1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0) (2)
Associando-se os dígitos quatro a quatro teremos a transformação para a base 16 automaticamente:
(^1 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0) (2)
Resultado: 11000101011110110110(2) = C57B6(H)
Exemplo 1.23- Representar o número 5307(8) nas bases 4 e 16: O método mais rápido para realizar estas conversões é transformar primeiramente o número dado para a base dois e, após essa transformação, realizar o procedimento do exemplo anterior. (^5 3 0 7) (8)
(^1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 1 1) (2)
Resultado: 5307(8) = 101011000111(2) = AC7(H)
Apesar da necessidade de realizar processos de conversão de bases para inserir e retirar e retirar dados de um sistema computacional, o sistema binário possui vários benefícios que são verificados através de fatos concretos que é a diversificação de aplicações e universalização do uso de sistemas que são construídos utilizando a tecnologia digital. Entre os benefícios auferidos pode relacionar os seguintes:
(2) e “ 0 ” quando o resultado a soma for igual a “1” ou “0” (um ou zero). Ou seja, a coluna “Vai” assume o valor “1” quando o resultado da operação de adição ultrapassa o valor da base. Esse fato é comumente denominado como estouro (overflow) da base. Adição Binária Entradas saídas a b Vem Soma Vai 0 0 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 A adição de dois números de n dígitos é realizada de forma seqüencial e interativa. Iniciando o processo de adição pelos dígitos menos significativos e repetindo-o até atingir os dígitos mais significativos. Dessa forma, os n dígitos são somados sucessivamente através da aplicação da tabela que define a operação “adição binária”. Deve ser observado que a coluna “ Vem ” assume o valor “ 1 ” quando a soma de dois dígitos menos significativos excede a capacidade de representação da base e o valor “ 0 ” quando o valor da soma dos dígitos menos significativos pode ser representado por um único dígito da base dois. Ou seja, a coluna “ Vem” utilizada na adição de dois dígitos do número assume o valor da coluna “ Vai” gerado no processo de adição dos dois dígitos imediatamente menos significativos. A diferença entre os dois está apenas nos instantes de geração e utilização do estouro da base. Exemplo 1.24- Mostra o processo de adição binária dos valores 25(10) e 9(10) representados na base dois pelas sequencias 11001(2) e 01001(2) respectivamente. O resultado na base dez é 24(10) ena base “dois” é 100010(2).
Adição Base Dez
Vai Gerado
Adição Binária (Base Dois)
Restos na ordem inversa de obtenção
Exemplo 1.25- Realização da adição binária dos números 1110(2) 1101 (2) e a respectiva operação de adição dos mesmos valores expressos na base Dez: (^1110) (2) -> (^14) (10) ⊕⊕ ⊕⊕ (^1101) (2) -> (^13) (10) (^11011) (2) -> (^27) (10)
1.5.1.1- Operação de adição nas bases 4, 8 e 16 As bases 4, 8 e 16 também são utilizadas em alguns sistemas digitais. Assim, o exemplo que segue ilustra a operação de adição nas bases 4, 8 e 16. O processo de obtenção da soma de dois operandos é idêntico para qualquer base. A única diferença é a própria base. Os cálculos devem levar em consideração a base utilizada. Na base decimal as unidades agrupam-se de dez em dez. Assim, quando ciframos o valor (^47) (10) na base dez, interpreta-se a sequencia de dígitos da seguinte forma: 4 dezenas mais 7. Na base octal as unidades agrupam-se de oito em oito. A seqüência representada pelos dígitos 75 (8) na base oito, é interpretada da seguinte forma: 7 octais mais 5, equivalendo ao valor (^61) (10) na base dez..
Exemplo 1.26- Realizar nas bases 4, 8 e 16, a soma dos números 348(10) e 61(10), representados na base Dez: Resolução: Primeiramente os valores 348 (10) e 61 (10) devem ser transformados para as bases 4, 8 e 16. Para tanto, deve ser utilizado o algoritmo de divisões sucessivas para obtenção das representações nas respectivas bases. Na base 16 o processo tem a seguinte seqüência:
348 16 28 21 16 12 5 1 16 1 0
Portanto, o valor 348 (10) assume a seqüência 15C (H). Repetindo o processo para as base 4 e 8 obtem-se os seguintes resultados: (^348) (10) = 15C (H) = 534 (8) = 11132 (4)
