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Alegebra Booleana
Tipologia: Notas de estudo
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Bacharelado em Sistemas de Informação
Disciplina
Capítulo III
A álgebra da comutação foi primeiramente estudada em detalhes por George Boole no século 18, em homenagem a ele a Álgebra por ele proposta foi denominada Álgebra Booleana ou Álgebra de Boole. Na área de software, várias linguagens de programação também denominam as variáveis do tipo lógica, que assumem valores verdadeiro e falso, importantes e indispensáveis na elaboração de programas de computadores de variáveis do tipo Boolean. George Boole utilizou dois conceitos abstratos da matemática: conjunto Vazio e conjunto Universo e utilizou em sua álgebra como sendo os seus elementos que formam um conjunto contendo apenas esses dois elementos e criou três operações lógicas denominadas: OU, E e NÃO, que geram resultados lógicos Verdadeiro ou Falso quando atuam sobre os elementos Vazio e Universo. A Álgebra de Boole é isomórfica a teoria dos conjuntos quando é realizada a seguinte equivalência: reduz os elementos da álgebra dos conjuntos aos conjuntos Vazio e Universo; a operação OU é isomórfica a operação União de conjuntos, a operação E é equivalente a operação Intersecção de conjuntos e a operação NÃO equivalente a operação Complemento de conjuntos. Com o desenvolvimento da tecnologia e a descoberta das propriedades dos elementos semicondutores, Germânio e Silício, o elemento Vazio foi substituído pelo constante Zero (Falso) e o elemento Universo foi substituído pela constante Um (Verdade) e a Álgebra de Boole forneceu todo embasamento que garantiu a funcionalidade e o desenvolvimento de circuitos eletrônicos digitais que gerou os computadores digitais. Esse fato torna incontestável a capacidade visionária de George Boole que formulou esse sistema algébrico há mais de 300 anos..
axiomas são válidos:
- Propriedade do Fechamento
Com as definições e propriedades acima, fica evidente que a Álgebra Booleana é isomórfica à álgebra de conjuntos, seguindo a seguinte analogia: “∪∪∪∪” (união de conjuntos) como “ + ” (operação Ou ) ; “∩∩∩∩” (intersecção de conjuntos) como “. ” (operação E ); “∅∅∅∅” (conjunto vazio); como “ 0 ” (elemento zero ) “ Ụ ” (conjunto Universo), como “ 1 ” (elemento um )
Assim, a Álgebra Booleana pode ser definida da seguinte forma:
A Álgebra Booleana é um sistema algébrico consistindo do conjunto S = {0, 1}, duas operações binárias chamadas “ E” e “ OU” , representados por “. ” (ponto) e “ + ” (adição) respectivamente, e uma operação unária chamada “ NÃO” (complementação) denotada por “ ‘ “, (apóstrofe). A funcionalidade e da álgebra de Boole é comprovada através da definição e prova de todas as propriedades descritas e também da definição e prova de seus postulados. O texto que segue contém tanto a descrição e prova de todas as propriedades quanto a definição de diversos postulados.
somente valores pertencentes ao conjunto S = {0, 1}.
Definição das operações da Álgebra de Boole:
A tabela 1 contém as definições das operações “ OU” , “ E” e “ NÃO” (Complemento) quando seus operandos assumem valores sobre os elementos do conjunto S = {0, 1}
Tabela 1- Definição das operações “OU”, “E” e “NÃO”
A figura 3.1 mostra as representações gráficas das operações OU , E e NÃO. Essas representações gráficas serão utilizadas como uma das formas existentes para descrever, projetar, implementar e documentar circuitos lógicos digitais combinacionais, além de sua representação clássica através da utilização de expressões algébricas (expressões booleanas).
Figura 3.1- representação gráfica das operações E (AND), OU (OR) e NÃO (INV)
A atividade de descrever, projetar, implementar e documentar circuitos eletrônicos digitais pode também ser realizada através de linguagens de programação específicas, tal como a linguagem HDL (Hardware Description Language) ou similares e também suas derivadas, tal como a linguagem VHDL.
amostrados e provados os 12 postulados fundamentais da Álgebra Booleana. Cada postulado possui o seu dual, assim os postulados são amostrados sempre aos pares. Esse fato é garantido pelo princípio da dualidade que será oportunamente descrito mais detalhadamente. O texto que segue mostra os postulados na sua forma algébrica e também a sua representação gráfica na forma de portas lógicas. Pois, o principal objetivo do texto é utilizar a Álgebra de Boole para sintetizar, projetar, implementar e validar circuitos eletrônicos digitais funcionais e otimizados (menor custo e maior eficiência) A prova dos primeiros sete postulados será realizada por indução perfeita. Nessa técnica, são aplicados sobre a expressão algébrica que descreve o postulado todos os possíveis valores (universo de valores) que as variáveis que participam da expressão pode assumir. A verificação dos resultados amostrada em uma tabela denominada tabela verdade. A veracidade do postulado é verificada nessa tabela verdade, pois existe um princípio que garante que duas expressões são iguais se e somente se suas tabelas verdades são iguais.
Postulado Expressão Diagrama Lógico
A tabela 3 mostra a prova do postulado 2 e seu dual (postulado 2’ ), por indução perfeita. Assim como ao postulado anterior, esse também apresenta uma única variável em sua expressão algébrica. A variável “ x ” pode assumir os valores: “ 0 ” e “ 1 ”, aplicando as definições das operações OU e E , tem-se:
Postulado 2 Postulado 2’ x x + 1 = 1 x x. 0 = 0 0 0 + 1 = 1 0 0. 0 = 0 1 1 + 1 = 1 1 1. 0 = 0 Tabela 3- Prova da propriedade 2
Elemento Neutro Postulado (^) Expressão Diagrama Lógico
A tabela 4 mostra a prova do postulado 3 e seu dual (postulado 3’), por indução perfeita. A variável “ x ” pode assumir os valores: “ 0 ” e “ 1 ”; com as definições das operações OU e E , tem-se:
Postulado 3 Postulado 3’ x x + 0 = x x x. 1 = x 0 0 + 0 =^^0 0 0. 1 =^^0 1 1 + 0 = 1 1 1. 1 = 1 Tabela 4- Prova da propriedade do Elemento Neutro
Comutativa Postulado Expressão Diagrama Lógico
A tabela 5 mostra a prova do postulado 4 e seu dual (postulado 4’ ), por indução perfeita. A propriedade comutativa apresenta duas variáveis lógicas, denominadas x e y. Para utilizar a técnica de prova da indução perfeita é necessário gerar todas as possíveis combinações valores duas variáveis lógicas podem assumir, como as variáveis x e y podem assumir os valores: “ 0 ” e “ 1 ”, existem quatro combinações de valores possíveis (2^2 = 4); aplicando as definições das operações OU e E sobre esse valores tem-se:
Postulado 4 Postulado 4’
Tabela 5- Prova da propriedade Comutativa
A tabela 7 mostra a prova do postulado 6 e seu dual (postulado 6’ ), por indução perfeita. A variável “ x ” pode assumir os valores: “ 0 ” e “ 1 ”, aplicando as definições das operações “ OU ”, “ E ” e “ NÃO ”, tem-se:
Postulado 6 Postulado 6’ x x + x’ = 1 x x. x’ = 0 0 0 + 1 = 1 0 0. 1 = 0 1 1 + 0 = 1 1 1. 0 = 0 Tabela 7- Prova da propriedade Elemento Inverso
A propriedade 7 mostra a distributividade da operação “E” em relação a operação “OU” e, a propriedade 7’ mostra a distributividade da operção “OU” em relação a operação “E”.
Elemento Inverso
Postulado (^) Expressão Diagrama Lógico
Para verificar a validade das expressões da propriedade distributiva será utilizado o recurso de uma tabela verdade mostrada na tabela 8, nela estão tabulados todos os possíveis valores que as variáveis podem assumir e os respectivos valores lógicos das expressões.
Tabela 8- Prova da propriedade Distributiva Todas as propriedades já descritas foram definidas aos pares. Uma propriedade de um par pode ser obtida da outra propriedade, realizando a troca das operações “ E ” por “ OU ”, “ OU ” por “ E ”, e a troca das constantes: “ 0 ” por “ 1 ” e “ 1 ” por “ 0 ”. Então, quaisquer duas equações obtidas através das trocas das operações E por O U , OU por E e das trocas dos valores 0 por 1 e 1 por 0 , são chamadas equações duais.
Postulado 7
Diagrama Lógico
Postulado 7’
Diagrama Lógico
x y z x + y x + z y. z (x+y).(x+z) x + (y.z) 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
A tabela 9 mostra o circuito que implementa a expressão original (expandida) e o circuito que implementa a expressão mínima obtida: Circuito expandido Circuito mínimo
Tabela 9- Circuito das expressões lógicas do exercício de aplicação 1 Comparando-se o circuito que implementa as expressão expandida com o circuito que implementa a expressão mímima, pode ser verificado que: o circuito máximo necessita de três portas inversoras, duas portas E de duas entradas e uma porta OU de três entradas mínima e; o circuito mínimo necessita de apenas dois inversores e um porta OU de três entradas, economizando, dessa forma um inversor e duas portas E de duas entradas. Ou seja, o circuito mínimo possui menor custo e também maior velocidade.
Exercício 3.2 - Simplifique a expressão booleana da função de três variáveis denominadas: x , y e z que segue utilizando os axiomas 1 até 7: f(x,y,z) = x’. (y + x). (x + z)
- Resolução Minimização ou simplificação da expressão lógica utilizando os axiomas: f(x,y,z) = x’. (y + x). (x + z) = x’. x’ (y + x). (x + z) (1’) = x’. (x + y). x’. (x + z) (4’) = ((x’.x) + (x’.y)).((x’.x) + (x’.z)) (7)(7) = (0 + x’.y).(0 + x’.z) (6’)(6’) = (x’.y).(x’.z) (3)(3) = x’.y. x’.z = x’.x’.y.z (4’) = x’.y.z (1’)
A tabela 10 mostra o circuito que implementa a expressão original (expandida) e o circuito que implementa a expressão mínima obtida:
Circuito expandido Circuito mínimo
Tabela 10- Circuito das expressões lógicas do exercício de aplicação 2
Nesse caso o circuito mínimo implementa a expressão lógica eliminando duas portas Ou de duas entradas. A velocidade do circuito mínimo é equivalente ao circuito expandido.
Exercício 3.3 - Prove as igualdades das expressões booleanas que seguem utilizando os axiomas 1 a 7 (sem utilizar indução perfeita). a - (x’+y). (y’+x). (x’+y’). (y+x) = 0 b - (x.y) + (y’.x) + (x’.y) + (x’.y’) = 1
- Resolução do item a Simplificação ou minimização da expressão lógica utilizando os axiomas: (x’+y). (y’+x). (x’+y’). (y+x) = 0 (x’+y). (x’+y’). (x+y’). (x+y) = 0 (4’) (4) (x’+ (y. y’)). (x + ( y’.y)) = 0 (7’) (7’) (x’+ 0). (x + 0) = 0 (6’) (6’) x’. x = 0 (3) (3) 0 = 0 (6’) - Resolução do item b Forma 1- verifique que a e expressão do item b é a dual da expressão do item a, o princípio da dualidade garante que a expressão do item b também é verdadeira.
Pelo princípio da dualidade está também satisfeita a equação 8’. O principio da dualidade também garante que, para provar o postulado 8’ , basta utilizar, na mesma seqüência de transformações utilizada para provar a propriedade 8, trocando os respectivos axiomas pelos seus duais, para provar o postulado 8’. Assim, a prova do postulado 8’, pode ser realizada aplicando os respectivos axiomas, e na mesma seqüência utilizada para provar o axioma 8, conforme mostrado na tabela abaixo.
Prova de 8 Prova de 8’ x + (x. y) = (x. 1) + (x. y) (3’) = x. (1 + y) (7) = x. 1 (2) = x (3’)
x. (x + y) = (x + 0). (x + y) (3) = x + (0. y) (7’) = x + 0 (2’) = x (3) Tabela 11- Prova da propriedade da Absorção
Prova do postulado 9’ utilizando os postulados já provados anteriormente: x. (x’ + y) = x. x’ + x. y (7) = 0 + (x. y) (6’) = x. y (3)
Pelo princípio da dualidade está também satisfeita a equação 9. Ou seja: x + (x’. y) = (x + x’). (x + y) (7’) = 1. (x + y) (6) = x + y (3’)
Verifica-se na implementação do circuito mínimo que implementa o postulado 9 que ele possui apenas uma porta lógica OU de duas entradas, eliminando a necessidade de uma porta inversora e uma porta Ou de duas entradas. Além do menor custo, o circuito mínimo também é mais rápido que o circuito que implementa a expressão expandida. De forma semelhante, essas características podem ser verificadas nos circuitos expandido e mínimo que implementam o postulado 9’.
Prova da propriedade 10 utilizando os postulados anteriores:
x. y + x’. z + y. z = = x. y + x’. z + y. z. 1 (3’) = x. y + x’. z + y. z. (x + x’) (6) = x. y + x’. z + y. z. x + y. z. x’ (7) = x. y + x’. z + x. y. z + x’. z. y (4’)(4’) = x. y + x. y. z + x’. z + x’. z. y (4)(4) = x. y + x’. z (8)(8)
Eliminação
Postulado (^) Expressão Diagrama Lógico
(^9) x + x’. y = x + y
9’ x. (x’ + y) = x. y
Postulado 10
Diagrama Lógico
O teorema de De Morgan estabelece que o complemento de qualquer expressão booleana pode ser obtido pela troca de cada variável ou constante pelo seu complemento e a troca das operações E por OU e OU por E.
Prova da propriedade 12’: Se (x. y)’ = x’+ y’ então pela propriedade 6 tem-se: ((x. y)’)’ + x’ + y’ = 1 (6) x. y + x’ + y’ = 1 (11) x’ + x. y + y’ = 1 (4) x’ + y + y’ = 1 (9) x’ + 1 = 1 (6) 1 = 1 (2)
O principio da dualidade garante a veracidade da propriedade 12.
Complementação Postulado Expressão Diagrama Lógico
Teorema de De Morgan Postulado Expressão Diagrama Lógico
Expressão booleana: é uma combinação de um número finito de variáveis e/ou constantes booleanas, através das operações booleanas E, OU e NÃO. Uma constante ou variável booleana é uma expressão booleana, e se T 1 e T 2 são expressões booleanas, então T 1 ’ , T 2 ’, T 1 + T 2 e T 1 .T 2 também o são. A simplificação de uma expressão booleana consiste na obtenção de uma expressão equivalente com um número menor de variáveis e operações booleanas. As ferramentas a serem utilizadas para a simplificação de expressões booleanas são as propriedades 1 até 12 e suas duais. A tabela 12 contém todas as propriedades vistas anteriormente.
Postulados da Álgebra Booleana x + x = x (1) x. x = x (1’) Fechamento
x .(y + z) = x.y + x.z (7) x + y.z = (x + y).(x + z) (7’) Distributiva x + 1 = 1 (2) x. 0 = 0 (2’)
x + x. y = x (8) x. (x + y) = x (8’) Absorção x + 0 = x (3) x. 1 = x (3’) Elemento Neutro
x + x’. y = x + y (9) x. (x’ + y) = x. y (9’) Eliminação x + y = y + x (4) x. y = x. y (4’) Comutativa
x.y + x’.z + y.z = x.y + x’.z (10) (x+y).(x’+z).(y+z)=(x+y).(x’+z) (10’) Consenso (x + y)+ z = x +(y + z) (5) (x.y). z = x .(y.z) (5’) Associativa
(x’)’ = x (11) Complementação
x + x’ = 1 (6) x. x’ = 0 (6’) Elemento Inverso
(x + y)’ = x’. y’ (12) (x. y)’ = x’ + y’ (12’) Teorema de De Morgan Tabela 12- Postulados da Álgebra de Boole
Com o intuito de auxiliar a assimilação e memorização do conjunto de axiomas da Álgebra de Boole serão propostos exercícios de aplicação e apresentadas as suas respectivas soluções. Os exercícios propostos e resolvidos utilizam os axiomas da Álgebra Booleana para simplificar as expressões ou provar asserções.
