INTRODUÇÃO A ANÁLISE REAL - Aldo B, Osmundo A, Manuais, Projetos, Pesquisas de Análise Matemática

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IInnttrroodduucc¸¸ aoao˜˜ aa`` AAnnalisealise´´ RRealeal

AAldoldo B.B. MMacielaciel

ee

OOsmundosmundo A.A. LLimaima

a

EEddiicc¸¸ aoao˜˜

PrefPrefacios ´acios´

A nossa motivac¸ ao para escrever este texto nasceu no˜

segundo semestre do ano letivo de 2003 quando ministramos,

pela terceira vez, a disciplina Introduc¸ ao˜ a` An alise no Curso´

de Licenciatura em Matem´atica da Universidade Estadual da

Para´ıba. Essa disciplina e oferecida para os alunos do´ ultimo´

ano do curso, quando estes j ´a est˜ao praticamente prontos

para o exerc´ıcio da profiss ao de professor, tendo adquirido um˜

senso bastante cr

ıtico para a leitura de textos de Matem

atica

e, por conseguinte, passam a, aparentemente, apresentar al-

guma dificuldade no aprendizado do asunto a partir dos textos

comumente utilizados. N´osj´a t´ınhamos uma longa experiˆencia

no ensino de An alise Real para cursos de Bacharelado em´

Matem´atica em outras universidades e sempre adot´avamos os

textos conhecidos na literatura sobre o assunto publicados no

Brasil.

Quando passamos a ensinar no Curso de Licenciatura em

Matem atica da Universidade Estadual da Para´ ´ıba, cujo projeto

pedag´ogico prioriza fortemente a formac¸ ao do professor, sem,˜

contudo, negligenciar o rigor na apresentac¸ ao e desenvolvi-˜

mento dos conte udos espec´ ´ıficos de Matem atica, passamos a´

observar que os textos usuais da literatura n ao contemplavam˜

esta perspectiva e residia a ´ı a aparente dificuldade no apren-

dizado encontrada pelos estudantes. Sentimos, ent ao˜ , a aus enciaˆ

na literatura de um texto introdut orio de An´ alise Real que, ao´

mesmo tempo em que apresentasse o assunto com o rigor

nescess ario para a transmiss´ ao das id˜ eias, utilizasse uma lin-´

guagem leve e dialogada de tal modo a estimular o estudante

do ultimo ano do Curso de Licenciatura a´ aprender para en-

sinar An ali´ se Real. Este e, portanto, o objetivo deste texto o´

qual cobre todo o material de um primeiro curso de An alise´

Real a ser ministrado no ult´ imo ano da graduac¸ ao.˜

A primeira edic¸ ao˜ deste livro alcanc¸ou um relativo sucesso,

tendo sido usado como texto b as´ ico ou como texto de refer enciaˆ

em disciplinas introdut

orias de An

alise Real tanto em cursos

de licenciatura como em cusos de bacharelado em Matem atica´

e, tamb em´ , em cursos de nivelamento para ingresso em Mestra-

dos em Matem atica de diversa´ s universidades brasileiras. A

todos os colegas que adotaram o texto os autores agrade-

cem, n ao˜ s o pelas mensagens de est´ ´ımulo a uma segunda

edic¸ ao, mas, principalmente pelas v´˜ arias sugest˜oes encamin-

hadas, tendo sido acolhidas e incorporadas neste nesta se-

gunda edic¸ ao todas aquelas que, na opini˜ ao dos autores, con-˜

tribuiram para o aperfeic¸oamento da apresentac¸ ao dos assun-˜

tos, dentro da filosofia do texto destacada no pref ac´ io da primeira

edic¸ ao.˜

diversos cursos de Matem ati´ ca nossa motivac¸ ao para es-˜

crever este texto nasceu no segundo semestre do ano letivo

de 2003 quando ministramos, pela terceira vez, a disciplina

Introduc¸ ao˜ a A` n alise no Curso de´ Licenciatura em Matem´atica

da Universidade Estadual da Para ´ıba. Essa disciplina e ofer-´

ecida para os alunos do ´ultimo ano do curso, quando estes j´a

est ao praticamente prontos para o exerc˜ ´ıcio da profiss ao de˜

professor, tendo adquirido um senso bastante cr ´ıtico para a

leitura de textos de Matem atica e, por conseguinte, passam´

a, aparentemente, apresentar alguma dificuldade no apren-

dizado do asunto a partir dos textos comumente utilizados.

N os´ j a´ t´ınhamos uma longa experi encia no ensino de Anˆ alise´

Real para cursos de Bacharelado em Matem´ atica em outras

universidades e sempre adot ava´ mos os textos conhecidos na

literatura sobre o assunto publicados no Brasil.

Quando passamos a ensinar no Curso de Licenciatura em

Matem atica da Universidade Estadual da Para´ ´ıba, cujo projeto

pedag ogico´ prioriza fortemente a formac¸ ao do professor, sem,˜

contudo, negligenciar o rigor na apresentac¸ ao e desenvolvi-˜

mento dos conte udos espec´ ´ıficos de Matem atica, passamos a´

observar que os textos usuais da literatura n ao contemplavam˜

esta perspectiva e residia a

ı a aparente dificuldade no apren-

dizado encontrada pelos estudantes. Sentimos, ent ao˜ , a aus enciaˆ

na literatura de um texto introdut´orio de An´alise Real que, ao

mesmo tempo em que apresentasse o assunto com o rigor

nescess´ario para a transmiss˜ao das id´eias, utilizasse uma lin-

guagem leve e dialogada de tal modo a estimular o estudante

do ultimo ano do Curso de Licenciatura a´ aprender para en-

sinar An ali´ se Real. Este e, portanto, o objetivo deste texto o´

qual cobre todo o material de um primeiro curso de An alise´

Real a ser ministrado no ult´ imo ano da graduac¸ ao.˜

Gostar´ıamos de expressar nossos agradecimentos: aos

colegas do Departamento de Matem atica e´ Estat´ıstica da Uni-

versidade Estadual da Para´ıba por utilizarem nossas notas de

aulas e pelo incentivo `a publicac¸ ao das mesmas; aos nossos˜

ex-alunos de Introduc¸

ao

`

a An

alise, particularmente a Anselmo

Ribeiro Lopes, pelo trabalho na elaborac¸ ˜ao e resoluc¸ ao de˜

parte das listas de exerc ´ıcios; aos professores Luiz Adauto

Medeiros e Manoel Milla Miranda da Universidade Federal do

Rio de Janeiro pela leitura cr´ıtica e valiosas sugest oes ao texto˜

e, finalmente, agradecer

`

a Editora da Universidade Estadual

da Para´ıba (eduep) pela oportunidade de publicac¸ ao do texto.˜

Campina Grande-PB, dezembro de 2005

Os Autores

ConteConte udoudo´´

PrefPref acioacio´´ dada PrimPrimeireira Ea Edicdic¸¸ aoao˜˜ 22

PrefPref

acioacio dada SeguSegundanda EdicEdic¸¸

aoao 44

11 SiSiststememasas dede NN uu´´mmeerrooss 1111

1.1 Introduc¸ a˜o..................... 11

1.2 Conjuntos e Func¸ o˜es............... 12

1. 3 N u´meros Naturais.................

1. 4 N u´meros Inteiros................. 18

2. 5 N´umeros Racionais................ 19

3. 6 N u´meros Reais.................. 26

1.6. 1 Valor Absoluto e Intervalos........ 30

1.6.2 Propriedade Arquimediana de R..... 31

1. 7 Conjuntos Cont´aveis............... 33
2. 8 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 1............. 38

22 SSeeq¨q¨uu encias Num´encias Num´ˆˆ eerriiccaass 4477

2.1 Introduc¸ a˜o..................... 47

2. 2 Seq u¨ encias de Nˆ umeros Reais......... .´ 47

3. 3 Limite de Uma Seq u¨ eˆncia............. 51

4. 4 Seq¨u eˆncias de Cauchy.............. 61

5. 5 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo 2............. 64

8 CONTE CONTE

66 FuncFunc¸¸

oes Contoes Cont

• 33 SS eries Numeries Num´´ ee´´rriiccaass UDO UDO
  • 3.1 Introduc¸ a˜o
  • 3 2 S e´ries
    • 3 2 1 S eries de Termos n´ ao Negativos .˜
    • 3 2 2 S e´ries Alternadas
  • 3. 3 Converg eˆncia Absoluta
  • 3.4 Outros Testes de Converg eˆncia
  • 3. 5 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo
• 44 NocNoc¸¸ oo˜˜eess ddeeTTooppoollooggiiaa ddaa RReettaa
  • 4.1 Introduc¸ a˜o
  • 4. 2 Limite Superior e Limite Inferior
  • 4.3 Noc¸ o˜es de Topologia da Reta
    • 4 3 1 Conjuntos Abertos
    • 4 3 2 Conjuntos Fechados
    • 4 3 3 Conjuntos Compactos
    • 4 3 4 Conjuntos Completos
  • 4. 4 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo
• 55 LimitesLimites dede FuncFunc¸¸ oo˜˜eess
  • 5.1 Introduc¸ a˜o
  • 5.2 Func¸ o˜es Limitadas
  • 5.3 Limites de Func¸ o˜es Reais
  • 5. 4 Limites Laterais, Infinitos e no Infinito
    • 5 4 1 Limites Laterais
    • 5 4 2 Limites Infinitos
    • 5 4 3 Limites no Infinito
  • 5.5 Func¸ oes Mon´˜ otonas
  • 5. 6 Exerc´ıcios do Cap´ıtulo
       • ıınnuuaass ´´
  • 6.1 Introduc¸ a˜o
  • 6.2 Func¸ oes Cont˜ ´ınuas
    • 6.2.1 Func¸ oes Cont˜ ´ınuas em Intervalos

10 CONTE CONTE

UDO UDO

BBiibblliiooggrraafifiaa 226699

CapCap´´ıtulo 1ıtulo 1

Sistemas de NSistemas de N umerosumeros´´

1.11.1 IntroducIntroduc¸¸ aoao˜˜

A Analise Real trabalha conceitos que, de um jeito ou de´

outro, conforme o pr´oprio nome indica, est˜ao relacionados com

n ume´ ros reais. Sendo assim, entendemos ser importante fazer

uma apresentac¸ ao desse sistema num˜ eric´ o, bem como co-

mentar suas principais propried ades. Esse e o principal obje-´

tivo deste cap´ıtulo. Contudo, n ao˜ faremos aqui uma construc¸ ao˜

detalhada do sistema dos n umeros reais, tarefa esta mais per-´

tinente a um curso de Fundamentos da Matem at´ica. Aqui

nos limitaremos a fazer uma breve apresentac¸ ao de um dos˜

m eto´ dos, dentre os v ari´ os conhecidos na literatura matem atica,´

de introduc¸ aodosn´˜ umeros reais a partir do sistema mais prim-

itivo dos n umero´ s naturais. Antes, por em, a fim de facilitar a´

comunicac¸ ao com˜ o leitor, achamos conveniente dedicar uma

sec¸ ao˜ do texto para apresentar a notac¸ ao e a terminologia˜

m´ınima necess arias´ para tratar conjuntos e func¸ oes.˜

1.2.1.2. CONJU CONJUNTOS E FUN NTOS E FUNCC¸¸

OES OES 13

No entanto, quando isso ocorre a diferenc¸a A − B e chamada´

de complementar de B com respeito a A.

Para simplificar alguns argumentos utilizamos os s

ımbolos

∀ (quantificador universal) e ∃ (quantificador existencial) para

significar para todo e existe, respectivamente.

Dados dois conjuntos n ao vazios˜ A e B, uma func¸ ao˜ f de

A em B e´ uma regra ou associac¸ ao que a cada˜ x ∈ A corre-

sponde um unico elemento´ y ∈ B. O conjunto A e denominado´

dom´ınio e o B de contradom´ınio da func¸ ao˜ f.

Usamos a notac¸ ao˜

f

A

−→ B

x −→ f ( x)

para denotar uma func¸ ao˜ f de A em B.

Dados dois conjuntos A e B construimos um novo conjunto,

denominado produto cartesiano de A por B, e denotado por

A × B (l e-se:ˆ A cartesiano B), cujos elementos s˜ao os pares

ordenados ( a, b), onde a

∈

A e b

∈

B, isto e´

A × B = {( a, b); a ∈ A e b ∈ B}.

Um conjunto impor tante associado a uma func¸ ao˜ f : A → B

e o seu gr´ ´ afico, denotado por G( f ), que ´e o subconjunto de

A × B dado por

G( f ) = {( x, y) ∈ A × B; y = f ( x)}.

Dadas uma func¸ ao˜ f : A → B e S um subconjunto de A,

denominamos de imagem de S por f , e denotamos por f ( S ),

o subconjunto de B definido por

f ( S ) = { y ∈ B; y = f ( x) para algum x ∈ S }.

Analogamente, se C e um subconjunto de´ B, denominamos de

imagem inversa de C por f e denotamos por f

1

C

o subcon-

junto de A definido por

f

( C ) = { x ∈ A; f ( x) ∈ C }.

14 CAP CAP

ITUL ITULO 1. O 1. SISSISTEMA TEMA S DE NS DE N

UMEROS UMEROS

Seja f : A → B uma func¸ ao:˜

• Dizemos que f e injetiva quando´ f ( x

1

)  f ( x

2

) sempre

que x 1

 x 2

, ou equivalentemente, f

x 1

f

x 2

acarreta

x 1

= x 2

• Dizemos que f e sobrejetiva quando para cada´ y ∈ B

existe x ∈ A tal que f ( x) = y.

• Quando f e simultaneamente injetiva e sobrejetiva dize-´

mos que ´e uma bijec¸ ao.˜

Quando f : A → B e´ uma bijec¸ ao˜ , fica bem definida a

func¸ ao inversa de˜ f , denotada por f

, cujo dom´ınio ´e B e

contradom´ınio e´ A, como sendo a func¸ ao que a cada˜ y ∈ B

associa o ´unico x ∈ A tal que f ( x) = y.

Dadas f : A → B e g: B → C definimos a func¸ ˜ao composta

g ◦ f : A → C por ( g ◦ f )( x) = g( f ( x)), ∀ x ∈ A.

Por enquanto o material at e aqui exposto´ e´ suficiente para

o trabalho nas pr´oximas sec¸ oes, e a medida que formos ne-˜

cessitando iremos introduzindo a linguagem adicional necess aria´

para trabalharmos com conjuntos e func¸ oes.˜

11 .. 33 NN umeros Naturaisumeros Naturais´´

A partir desta sec¸ ao˜ vamos apresentar os sistemas de

n umero´ s com os quais trabalha remos neste texto. Admitire-

mos a exist encia de um conjunto nˆ ao vazio˜ N, chamado de

N ume´ ros Naturais, para o qual vale os seguintes axiomas,

conhecidos como Axiomas de Peano

1 , 2

1

Giuseppe Peano (1858-1932).

2

Os Axiomas de Peano aparecem na sua obra Princ´ıpios de Aritm´etica,

publicada em 1889.

16 CAP CAP

ITUL ITULO 1. O 1. SISSISTEMA TEMA S DE NS DE N

UMEROS UMEROS

• Comutatividade:Comutatividade: m + n = n + m e m · n = n · m para

quaisquer m, n ∈ N.

• Leis do Cancelamento:Leis do Cancelamento: Se m + p = n + p, ent˜ao m = n

e se m · p = n · p, ent ao˜ m = n para quaisquer m, n, p ∈ N.

• Distributividade:Distributividade: m ·( n + p) = m · n + m · p para quaisquer

m, n, p ∈ N.

ObObseserrvavacc¸¸ ao:ao:˜˜ Na prati ´ ca, quando n ao˜ h a´ risco de ambig uidade,¨

omitimos a notac¸ ao˜ · para indicar a operac¸ ao˜ de multiplic¸ ao.˜

O Axioma 1.5 ´e conhecido na literatura matem´atica como

PrimePrimeiroiro PrinPrincc´´ıpioıpio dede InducInduc¸¸ aoao˜˜ e se constitui numa ferramenta

muito utilizada para demonstrar afirmac¸ oe˜ s sobre n´umeros nat-

urais. O procedimento e feito da seguinte forma: suponhamos´

que uma determinada afirmativa A( n) sobre n ∈ N cumpre as

seguintes condic¸ oes:˜

a)a)

A(1)

e verdadeira, isto ´´ e, a afirmativa ´e v alida para´

n = 1 .

b)b) A( k) verdadeira ⇒ A( k + 1) verdadeira

4

, isto ´e, admitindo

a veracidade da afirmativa para um natural k abitr ario,´ e´

poss´ıvel demonstrar a veracidade da mesma para k + 1.

Nestas condic¸ oes˜ A( n) e verdadeira para todo´ n ∈ N.

Exemplo 1.1Exemplo 1. Considere a seguinte afirmativa: Para n

∈ N

2 + 4 + 6 + ·· · + 2 n = n( n + 1). (1.1)

Vamos mostrar que a f´ ormula (1.1) e´ v alida para todo´ n ∈ N

usando o primeiro princ´ıpio de induc¸ ao. Se˜ n = 1 temos que

4

O s´ımbolo ⇒ significa implica.

1.1.3.3. NN

UMEROS NATURAIS UMEROS NATURAIS 17

ou seja, a f ormula vale para´ n = 1. Admitindo agora a veraci-

dade da f ormula para um´ k arbitr ario de´ N, tentemos demon-

strar a veracidade da mesma para k

. Temos, ent

ao, que

2 + 4 + 6 + · · · + 2 k + 2( k + 1) = k ( k + 1) + 2( k + 1) =

( k + 2)( k + 1) = ( k + 1)[( k + 1) + 1],

de modo que a afirmativa vale para k+ 1. Pelo primeiro princ´ıpio

de induc¸ ao˜ , segue que a afirmativa (1.1) e verdadeira para´

todo n ∈ N.

No conjunto

N

est

a definida a relac¸

ao “ < ” do seguinte

modo: dados m, n ∈ N dizemos que m e menor que´ n, e es-

crevemos m < n, quando existe k ∈ N tal que m + k = n.

Quando m < n dizemos tamb´em que n e maior que´ m e es-

crevemos n > m. As principais propriedades da relac¸ ao˜ “ < ”

s ao:˜

Tricotomia:Tricotomia: Para cada par de n

umeros naturais m e

n, uma, e somente uma, das sentenc¸as abaixo ´e ver-

dadeira:

i) m = n ou ii) n < m ou iii) m < n.

• Monotonicidade:Monotonicidade: Se m, n ∈ N e m < n, ent ao, para todo˜

k ∈ N,

i) m + k < n + k e ii) km < kn.

As demonstrac¸ oes das propriedades acima decorrem do˜

primeiro princ ´ıpio de induc¸ ao e podem sem encontradas em˜

[9].

Escrevemos m

≤

n (l e-se:ˆ m e menor ou igual a´ n) para

indicar que m < n ou m = n. Escrevemos tamb em´ n ≥ m (l e-se:ˆ

n e maior ou igual a´ m) quando m ≤ n.

A relac¸ ao˜ “ ≤ ” goza das seguintes propriedades:

1.1.5.5. NN

UMEROS RACIONAIS UMEROS RACIONAIS 19

A relac¸ ao de ordem de˜ N se estende para Z, de modo que

Z fica sendo formado pelos inteiros maiores que zero, chama-

dos de inteiros positivos, o pr

oprio zero e os inteiros menores

que zero, que s ao os˜ inteiros negativos. Assim, podemos es-

crever a lista usual dos n´umeros inteiros

e a sua representac¸ ao como pontos de uma reta separados˜

por uma dist ancia fixa de tal modo queˆ “ a < b” indica que a

est´a a esquerda de` b .

11 .. 55 NN umeros Racionaisumeros Racionais´´

O sistema dos n umeros inteiros apresenta, por sua vez,´

a defici encia deˆ que nem sempre uma equac¸ ao do tipo˜ mx =

n pode ser resolvida em Z. Por exemplo, a equac¸ ao˜ 4 x = 8

possui a soluc¸ ao˜ x = 2 enquanto que a equac¸ ˜ao 6 x = 7 n ao˜

admite soluc¸ ao em˜ Z. Essa defici enciaˆ e´ suprida construindo-

se o conjunto dos n ´umeros racionais Q, isto ´e:

Q =

p

q

; p, q ∈ Z e q  0

Os elementos de Q s ao tamb˜ em´ chamados de frac¸ oes.˜

Em Q definimos a IgualdadeIgualdade a AAddiicc¸¸ aoao˜˜ e a MMulultiptiplilicaccac¸ ˜¸ ˜aoao

do seguinte modo:

Igualdade: Igualdade:

p

q

=

m

n

⇔ pn = qm

q  0 e n  0 .

A Addiicc¸¸ ao:ao:˜˜

p

q

m

n

=

np + mq

qn

, q  0 e n  0.

Mu Multltipiplilicacacc¸¸ ao:ao:˜˜

p

q

m

n

=

pm

qn

q  0 e n  0 .

20 CAP CAP

ITUL ITULO 1. O 1. SISSISTEMA TEMA S DE NS DE N

UMEROS UMEROS

Uma frac¸ ao do tipo˜ p/ 1 e identificad´ a com o inteiro p. Com

esta identificac¸ ao temos que˜ Q cont em´ Z como um subcon-

junto pr

oprio.

As operac¸ oes˜ de adic¸ ao˜ e de multiplicac¸ ao definidas em˜

Q generalizam as correspondentes operac¸ oes de˜ Z e, al em´

de satisfazerem as propriedades associativa, comutativa, ex-

istˆencia dos elementos neutros (o 0 da adic¸ aoeo˜ 1 da multiplicac¸ ao),˜

a exist encia dos simˆ etricos aditivos e a distributividade, sat-´

ifaz tamb´em a propriedade da existˆ encia dos inversos multi-

plicativos. Dizemos, ent ao, que˜ Q, munido das operac¸ oes de˜

adic¸ ao˜ e multiplicac¸ ao e gozando das propriedades acima de-˜

scritas, constitui um corpo.

Diferentemente do que ocorre em Z, o corpo Q e um sis-´

tema num erico´ no qual resolve-se qualquer equac¸ ao do tipo˜

ax

= b, com a e b em Q, e a  0. No entanto, o sistema dos

n umero´ s racionais apresenta ainda a defici encia de que deter-ˆ

minadas equac¸ oes alg˜ ebricas, como por exemplo´ x

2

= 2 , n ao˜

admite soluc¸ ao em˜

Q

. De fato, se existissem n´umeros inteiros

p e q tais que p

2

/ q

2

= 2 , com p e q primos entre si, ent ao˜

p

2

= 2 q

2

. Assim, p

2

seria um inteiro par e, portanto, p tamb´em

seria par (o quadrado de um inteiro e par se, e somente se, o´

inteiro e par). Ter´ ´ıamos, ent ao, que˜ p = 2 m, para algum inteiro

m. Neste caso 4 m

2

= 2 q

2

, donde q

2

= 2 m

2

, logo q

2

seria par

e, conseq uentemente,¨ q tamb em seria´ par, o que contradiria a

hip otese de que´ p e q s ao primos entre si.˜ Outros exemplos

de equac¸ oes alg˜ ebricas que n´ ao˜ admitem soluc¸ oes em˜ Q s ao˜

apresentadas nos exerc´ıcios deste cap´ıtulo. Essa defici enciaˆ

apresentada pelos racionais e´ s eria´. Um exemplo desta difi -

culdade ´e que, para uma figura plana quadrada com lado de

medida igual a 1 , n ao existe n˜ umero racional que represente´

a medida da sua diagonal, pois, se a fosse um tal n umero´

ent ao, pelo famoso Teorema de Pit˜ agoras, dever´ ´ıamos ter que

a

2

2

2

= 2. No entanto, como acabamos de ver, n ao˜