UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CENEL – COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
INTRODUÇÃO A AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA
PABLO CARVALHO SILVA SOUSA
Prof. José Hamilton da Costa Filho
JUAZEIRO - BA
SETEMBRO 2011
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Introdução a Amostragem Estatística, Notas de estudo de Eletrônica
Revisão de literatura sobre amostragem
Tipologia: Notas de estudo
2011
1 / 20
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UNIVERSIDADE FEDERAL DO VALE DO SÃO FRANCISCO
CENEL – COLEGIADO DE ENGENHARIA ELÉTRICA
INTRODUÇÃO A AMOSTRAGEM ESTATÍSTICA
PABLO CARVALHO SILVA SOUSA
Prof. José Hamilton da Costa Filho
JUAZEIRO - BA
SETEMBRO 2011
SUMÁRIO
- 1.0 – Introdução
- 2.0 – População e Amostra
- 3.0 – Tamanho da Amostra
- Infinita (μ) 3.1 - Tamanho da Amostra a partir da Estimação da Média de População
- de uma População Infinita 3.2 – Tamanho da amostra a partir da Estimação da Proporção Populacional
- Finita 3.3 – Tamanho da Amostra a partir da Estimação da Média de População (μ)
- (p) de uma População Finita 3.4 – Tamanha da Amostra a partir da Estimação da Proporção Populacional
- 4.0 – Amostragens Probabilísticas
- 4.1 – Amostragem Aleatória Simples
- 4.1.1 – Amostragem Aleatória Simples Com Reposição
- 4.1.2 – Amostragem Aleatória Simples Sem Reposição
- 4.2 – Amostragem Aleatória Estratificada
- 4.2.1 – Amostragem Estratificada Uniforme
- 4.2.2 – Amostragem Estratificada Proporcional
- 4.2.3 – Amostragem Estratificada Ótima
- 4.3 – Amostragem Sistemática
- 4.4 – Amostragem por Conglomerado
- 5.0 – Amostragem Não-probabilística
- 5.1 – Amostragem Acidental
- 5.2 – Amostragem Por Julgamento
- 5.3 – Amostragem Intencional
- 5.4 – Amostragem Por Quotas
- 6.0 – Considerações finais
- 7.0 – Referências Bibliográficas
2.0 – POPULAÇÃO E AMOSTRA
Segundo BUNCHAFT & KELLNER (2001, p. 28) “A população é constituída por todos os elementos que o pesquisador deseja investigar e é determinada pelos objetivos particulares da investigação”. Ou seja, a população é compõem todos os elementos que possuem pelo menos uma característica comum entre si que seja objetivo de alguma pesquisa.
O estudo de todos os elementos de uma população é chamado de censo, é o estudo que o IBGE realiza de tempos em tempos para conhecer uma série de características da sociedade brasileira. Porém muitas vezes a realização de um censo se torna inviável devido ao tempo ou recursos disponíveis ou à dificuldade em se estudar toda a população.
“As populações de interesse são em geral, muito grandes ou até mesmo infinitas, embora algumas vezes possam ser bem pequenas. [...] nas situações reais de interesse da pesquisa científica as populações de interesse são muito grandes para permitirem que sejam obtidas todas as medidas. Nessas situações é razoável obter um subconjunto de todas as medias dessa população.” (FERREIRA, D. F. Estatística Básica , 2005, p. 2 e 3). Devido ao fato de existirem populações de tamanhos consideravelmente grandes como quando se pretende estudar o perfil de todas as pessoas que decidiram prestar concurso para algum cargo público, estaremos estudando aqueles que já estão atuando no cargo, os que estão aguardando para serem convocados e os que ainda irão prestar o concurso e nesse caso temos uma população infinita. Ou talvez queira-se testar a qualidade do sabor de uma barra de chocolate, se o teste for realizado em toda a população o estoque irá se acabar tendo em vista que o teste de qualidade consome o produto.
Esses dois exemplos demonstram a importância do estudo através de uma amostra. Daniel Furtado define amostra como sendo o subconjunto da população e ainda nos diz que a partir das conclusões obtidas com a amostra o pesquisador pode realizar uma extrapolação para as características da população da qual a amostra foi obtida.
O processo de escolha dos elementos que comporão a amostra é denominado Amostragem. São dois os tipos de amostragem a amostragem probabilística e a não-probabilística e dentro desses dois tipos existem técnicas diferentes para a realização do mesmo.
3.0 – TAMANHO DA AMOSTRA
É fato que uma amostra não representa perfeitamente uma população, logo a utilização de uma amostra implica na aceitação de uma margem de erro, chamado de erro amostral. O erro amostral é a diferença entre o resultado amostral e o resultado populacional, o erro é considerado amostral quando é proveniente de flutuações amostrais aleatórias. Porém podem ainda ocorrer erros não-amostrais devido à utilização de instrumentos defeituosos, dados manipulados incorretamente ou até mesmo de forma tendenciosa.
O erro amostral não pode ser evitado, mas pode ser limitado através da escolha de uma amostra de tamanho adequado. BOLFARINE & BUSSAB (2005, p.20) escrevem sobre o erro amostral, “O erro padrão do estimador, como será visto em capítulos posteriores, decresce a medida que aumenta o tamanho da amostra. Assim um ponto-chave de um levantamento amostral é a fixação do tamanho da amostra”. A necessidade da definição de um tamanho adequado para a amostra não está apenas na diminuição do erro amostral, uma amostra muito maior do que o necessário acarreta custos desnecessários e perda de investimento, por sua vez uma amostra muito menor do que o necessário pode não ser o suficiente para responder os questionamentos da pesquisa.
Muitas vezes na realidade o que impõem o tamanho de uma amostra são os custos de um levantamento. Porém cientificamente falando a determinação do tamanho da amostra será realizado considerando os aspectos de precisão estatística.
Considere o exemplo a seguir Um economista deseja estimar a renda média para o primeiro ano de trabalho de um engenheiro eletricista. Quantos valores de renda devem ser tomados, se o economista deseja ter 95% de confiança em que a média amostral esteja a menos de R$500,00 da verdadeira média populacional? Suponha que saibamos, por um estudo prévio, que para tais rendas, σ = R$6250,00.
SOLUÇÃO
Queremos determinar o tamanho n da amostra, dado que a α = 0,05 (95% de confiança). Desejamos que a média amostral seja a menos de R$ 500 da média populacional, de forma que E = 500. Supondo σ = 6250, aplicamos a equação 3.1, obtendo:
( )
Devemos, portanto, obter uma amostra de ao menos 601 rendas de primeiro ano, selecionadas aleatoriamente, de formandos que tenham feito um curso de Engenharia Elétrica. Com tal amostra teremos 95% de confiança em que a média amostral x difira em menos de R$500,00 da verdadeira média populacional m.
3.2 – Tamanho da amostra a partir da Estimação da Proporção Populacional de uma População Infinita
A proporção populacional é um parâmetro estatístico que influencia no tamanho da amostra. Imagine por exemplo que é preciso determinar a proporção de pessoas atendidas por um PSF em um município. MARTINS (2005, p. 188) nos fornece uma maneira de calcular o tamanho da amostra relacionada com a proporção populacional. Essa fórmula é apresentada pela equação 3.2 a seguir:
Onde:
n: é o número de elementos na amostra;
Z: Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado (os possíveis valores de Z já foram apresentados na Tabela 1)
p: Proporção populacional dos elementos pertencentes à categoria estudada;
q: Proporção populacional dos elementos não pertencentes à categoria estudada (q = 1-p);
d: Erro máximo de estimativa. É a diferença máxima entre a proporção amostral e a proporção populacional(p).
Os valores de p e q serão expressos em decimais, por exemplo, se p = 43% então utilizaremos p = 0,43. A equação 3.2 pede que sejam substituídos os valores populacionais de p e q, caso eles não sejam conhecidos MARTINS (2005, p.188) observa que p deve assumir o valor de 50% (p = 0,5), logo q = 0,5, dessa forma p obtém o maior tamanho possível para a amostra.
Considere o seguinte exemplo: Um assistente social deseja saber o tamanho da amostra (n) necessário para determinar a proporção da população atendida por uma Unidade de Saúde, que pertence ao município de Juazeiro. Não foi feito um levantamento prévio da proporção amostral e, portanto, seu valor é desconhecido. Ela quer ter 90% de confiança que sua o erro máximo de estimativa (E) seja de ±5% (ou 0,05). Quantas pessoas necessitam ser entrevistadas?
SOLUÇÃO
Considerando que o valor da proporção amostral de atendimentos para pessoas de Juazeiro não é conhecida. Utilizamos a equação 3.2 para determinar o tamanho da amostra. Sabemos que, para 90% de confiança teremos o valor crítico (Za/2 ) = 1,645, conforme Tabela 1
Devemos, portanto, obter uma amostra de 271 pessoas para determinar a proporção da população atendida na Unidade de Saúde, que se origina do município de Juazeiro.
Onde:
n: quantidade de elementos na amostra;
N: quantidade de elementos na população;
p: estimativa da proporção (Veja mais detalhes na seção 3.2);
q = 1-p (Veja mais detalhes na seção 3.2);
Z: Valor crítico que corresponde ao grau de confiança desejado (os possíveis valores de Z já foram apresentados na Tabela 1);
d: erro amostral (Veja mais detalhes na seção 3.2);
4.0 – AMOSTRAGENS PROBABILÍSTICAS
O processo de amostragem no qual se retira elementos da população para composição das amostras de forma aleatória onde todo elemento tem possibilidades de ser amostrado é dito amostragem probabilística.
Segundo DANIEL FURTADO (2005, p.58) “a amostragem probabilística caracteriza-se por garantir, a priori, que todo elemento pertencente ao universo de estudo possua probabilidade, conhecida e diferente de zero, de pertencer à amostra sorteada”.
De acordo com BUNCHAFT & KELLNER (2001, p. 28) “O fato de a aleatoriedade interferir em algum estágio da seleção da amostra tem algumas implicações importantes. A principal é que as leis da probabilidade matemática regem o modelo de distribuição amostral, ou seja, a distribuição de todas as amostras de determinado tamanho possíveis de serem extraídas da população.”
BUNCHAFT & KELLNER mostram então que devido ao fato de a seleção dos elementos da amostras terem sido aleatória é possível aplicar nessa amostra um modelo de distribuição, possível apenas as amostras probabilísticas.
Uma amostragem probabilística é a mais recomendável sempre que possível, pois dessa forma pode-se garantir a representatividade da amostra e as possíveis discrepâncias entre a população e a amostra será apenas obra do
acaso. São muitas as técnicas de amostragem, serão apresentadas a seguir algumas delas.
4.1 – Amostragem Aleatória Simples
A amostragem aleatória simples é dita em muitas literaturas como uma das técnicas de amostragem mais básicas e mais importantes para seleção de uma amostra. Nela todos os elementos da população têm igual probabilidade de pertencer à amostra, e todas as possíveis amostras também tem probabilidade igual de ocorrer.
“A amostragem casual simples é o processo de amostragem probabilística na qual, qualquer combinação dos n elementos da amostra, retirada dos N elementos populacionais que compõem a população, tem igual probabilidade de vir a ser sorteada.” (FERREIRA, D. F. Estatística Básica , 2005, p. 59 apud COCHRAN, 1977) São duas as formas de executar a amostragem aleatória simples. O processo de amostragem pode ou não ser executado com a reposição do elemento amostrado na população. BOLFARINE & BUSSAB (2005, p.62) escrevem que é mais prático e interessante utilizar-se da amostragem aleatória simples sem reposição visto que mesmo que um elemento seja amostrado mais de uma vez ele não irá acrescentar informações a mais. Porém a amostragem aleatória simples com reposição traz vantagens matemáticas não obtidas na sem reposição como, por exemplo, o fato de que dessa forma os elementos da amostra serão independentes, o que facilita a determinação das propriedades dos estimadores. É claro que caso a amostra seja muito grande, a técnica de amostragem aleatória simples utilizada não vai fazer muita diferença visto mesmo quando ocorre a reposição a chance de um elemento ser sorteado mais de uma vez é muito pequena.
4.1.1 – Amostragem Aleatória Simples Com Reposição
O procedimento adotado para compor a mostra pelo processo de amostragem aleatória simples com reposição é extremamente simples.
Considere uma população numerada de 1 a N, utiliza-se então um processo de sorteio aleatório dos elementos da população que comporão a
4.2 – Amostragem Aleatória Estratificada
A amostragem estratificada é o processo de amostragem no qual se divide uma população em grupos. Algumas vezes pode ocorrer de uma população conter elementos heterogêneos, a estratificação dessa população pode vir a diminuir essa variabilidade dentro de cada estrato, mas notando-se ainda a heterogeneidade recorrente entre um estrato e outro.
De acordo com BOLFARINE & BUSSAB (2005, p.93) “Amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos (chamados estratos) segundo alguma(s) característica(s) conhecida(s) na população sob estudo[...]”.
Para amostragem estratificada divide-se a população na quantidade de estratos convenientes a característica a ser estudada Após os estratos estarem bem definidos realiza-se em cada estrato o sorteio aleatório simples, como já foi explicado anteriormente, onde cada elemento sorteado irá compor a amostra.
São três os tipos de amostragem estratificada.
4.2.1 – Amostragem Estratificada Uniforme
O número de elementos sorteados em cada estrato é igual em todos os extratos.
4.2.2 – Amostragem Estratificada Proporcional
O número de elementos sorteados em cada estrato é proporcional ao número de elementos existentes em cada extrato.
4.2.3 – Amostragem Estratificada Ótima
O número de elementos sorteados em cada estrato é proporcional a quantidade de elementos em cada estrato e à variação da variável de interesse. De acordo com DANIEL FURTADO (2005, p.65) “A partilha ótima foi desenvolvida com a finalidade de alocar elementos para cada um dos L estratos de tal sorte que se minimizariam o custo e a variância da estimativa da média populacional”.
Foi realizado um levantamento estatístico e descobriu-se que o curso de Engenharia Elétrica possui 500 discentes matriculados. Descobriu-se ainda que 200 são originários de escola particular e 300 de escola pública estadual ou federal. Se por acaso desejar-se realizar um estudo em que a origem escolar fosse uma variável relevante, poderíamos dividir a população nesses dois estratos e retirar elementos de cada um deles para compor a amostra, podendo ser feito o processo uniforme, proporcional ou ótimo.
4.3 – Amostragem Sistemática
“A amostragem sistemática é um tipo de amostragem em que o plano de amostragem é obtido por um critério pelo qual intervalos regulares de mesmo tamanho entre unidades da amostra são tomados até se compor uma amostra de tamanho n.” (FERREIRA, D. F. Estatística Básica , 2005, p. 67) Então o que se pode perceber é que na amostragem estratificada a amostra é composta de elementos extraídos da população em intervalos regulares. Isso é afirmado por BUNCHAFT & KELLNER (2001, p.35) “Esse tipo de amostra resulta da escolha de um número inicial qualquer [...] os demais números são selecionados dentro de um certo intervalo, de modo a preencher o número de elementos da amostra desejada”.
Para implementar o processo de amostragem sistemática inicialmente deve-se conhecer o tamanho de sua população e determinar o tamanho da amostra desejada e pela razão entre o tamanho da população N e da amostra n determina-se o número de intervalos.
Para que esse processo seja um método probabilístico é preciso que o primeiro elemento da amostra seja amostrado de forma aleatória simples nos k primeiros elementos da população e a partir desse primeiro elemento vai somando-se os intervalos e amostrando os elementos que comporão a amostra.
“Esse tipo de amostragem é fácil de ser executada e provavelmente mais precisa que a amostra casual simples. A razão disso, segundo Cochran (1977), é a subdivisão da população em k estratos e a obtenção de um elemento por estrato.[...] devido a esse tipo
são entrevistados todos os chefes de família dos quarteirões que compõem a amostra.
5.0 – AMOSTRAGEM NÃO-PROBABILÍSTICA
Daniel Furtado da a sua definição de amostragem não-probabilística negando o conceito de amostragem probabilística escrevendo o seguinte:
“Se por qualquer razão, alguns elementos da população não puderem pertencer à amostra sorteada, a amostragem é dita não-probabilística.” (FERREIRA, D. F. Estatística Básica , 2005, p. 58) BUNCHAFT & KELLNER (2001, p.42) ainda complementam a idéia de amostragem não probabilística, “Conforme já expusemos, a característica essencial da amostra não-probabilística é que não se conhece a probabilidade de cada elemento da população ser escolhido para fazer parte da amostra”.
MARTINS (2005, p.196) “São amostragens em que há uma escolha deliberada dos elementos da amostra. Não é possível generalizar os resultados da amostra para a população, pois amostras não probabilísticas não garantem a representatividade da população”.
O que se percebe é que as técnicas de amostragem não-probabilística são efetuadas de forma tendenciosa, onde o desejo do pesquisador ou de quem está coletando os dados interfere diretamente na escolha dos elementos que comporão a amostra. O fato dessas escolhas terem sido direcionadas não permitem que os resultados obtidos a partir dessas amostras representem a população a qual elas pertencem.
Mesmo não obtendo amostras não representativas, em algumas ocasiões é necessário o emprego desses métodos por motivos diversos seja por simplicidade ou por impossibilidade de acesso a população.
As técnicas de amostragem não-probabilística mais comumente encontrada serão descritas a seguir.
5.1 – Amostragem Acidental
Segundo BUNCHAFT & KELLNER (2001, p.44) “Os elementos da amostra são escolhidos por serem os mais acessíveis ou fáceis de ser avaliados, sendo considerados os casos que aparecem até que a amostra atinja determinado tamanho”.
O processo de se compor uma amostra pela amostragem acidental, ou também conhecida como conveniência, consiste em amostrar os elementos que vão aparecendo até que se complete o tamanho máximo da amostra. Esse é o processo de amostragem que ocorre quando se faz uma pesquisa de opinião pública em uma cidade, os pesquisadores vão amostrando as pessoas que vão aparecendo e passando por eles.
Esse processo de amostragem ocasiona muitas distorções na amostra e por isso ela deve-ser usada apenas em casos especiais, como quando a população estudada é muito homogênea.
5.2 – Amostragem Por Julgamento
BUNCHAFT & KELLNER (2001, p.44) relata que a amostragem por julgamento “Consiste na escolha dos elementos da amostra por um especialista no assunto, que seleciona os elementos que julga os mais apropriados para o estudo em questão”.
É o que ocorre pro exemplo quando se deseja fazer um levantamento de testes psicológicos, e uma avaliação com bom respaldo a respeitos dos testes deve ser dada por um especialista em testes psicológicos e que de preferência tenha um bom nome na praça.
Então nessa amostragem ela é realizada de acordo com o julgamento de alguém que entenda bem da população estudada, que indicará aqueles elementos que ele acha que melhor irá compor a amostra.
função de seu nível escolar. Foi especificado que o tamanho máximo da amostra era de 400.
Primeiramente as variáveis, ou características a serem estudas, são o sexo e o nível de escolaridade. Com base em alguma pesquisa ou banco de dados sobre as variáveis estudadas descobrem-se as proporções das características existentes dentro da população.
É então realizado o dimensionamento por quotas e organizado os dados de acordo com as características estudadas. A depender do numero de entrevistadores determina-se a quantidade de pessoas que cada um irá entrevistar.
6.0 – CONSIDERAÇÕES FINAIS
O trabalho aqui proposto realizou o seu objetivo de buscar apresentar pelo menos conhecimentos básicos a respeito da teoria de amostragem. Foram expostos os conceitos e exemplos da forma mais simples possível, sem perdas de informações que pudemos apresentar dentro de nossas leituras e estudos para execução desse texto, para que o leitor pudesse compreender e assimilar o tema aqui abordado. Os exemplos utilizados no texto foram também obtidos nas literaturas consultadas e alguns modificadas para a realidade da nossa graduação.
Durante a produção desse texto foi possível assimilar e compreender a teoria da amostragem no mínimo em sua forma mais básica. É do nosso conhecimento que o texto aqui produzido não contempla nem de longe tudo que se pode saber a respeito desse tema, mas consideramos a nossa preocupação sanada se o leitor que até aqui chegar tiver conseguido compreender pelo menos o básico sobre a importância das técnicas de amostragem e tiver pelo menos uma idéia sobre como realizar esse processo de escolhas de amostra a depender de sua intenção e que a partir desse texto ele possa se aprofundar com literaturas mais específicas no método que ele deseje utilizar.
7.0 – REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
BOLFARINE, Heleno; BUSSAB, Wilton O.; Elementos de amostragem. Porto Alegre: Bookman, 2005. 269 p
BUNCHAFT, Guenia; KELLNER, Sheilah Rubino de Oliveira. Estatística sem mistérios. Petrópolis: Vozes, 1997-2001. 4 v
FERREIRA, Daniel Furtado. Estatística básica. Lavras, MG: Editora UFLA, 2005. 664 p.
MARTINS, Gilberto de Andrade. Estatística geral e aplicada. 3. ed. São Paulo: Atlas, 2005. 421 p
Determinação do tamanho de uma amostra , disponível em: http://www.google.com.br/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CB4QFjAA&url=http %3A%2F%2Fwww.fesppr.br%2F~centropesq%2FCalculo_do_tamanho_da_amos tra%2FTamanho%2520da%2520Amostra%2520- %25201.pdf&rct=j&q=tamanho%20da%20amostra%201&ei=Y7F7TrHMNeXh0QG h_4CqAg&usg=AFQjCNGfKnkvUSNUaw8URA8DXBJBmVxz8w&sig2=_kxbAryvT yblkkvGZkV00Q&cad=rja