Integral Defenidas e indefenidas, Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral

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Somas de Riemann e Integração Numérica

Cálculo 2– Prof. Aline Paliga

Introdução

1.1 Áreas e distâncias

1.2 Integral Definida

Problemas de tangente

e de velocidade

Derivada

Problemas de área e distância

Integral Definida

EXEMPLO 1

No entanto, não é tão fácil encontrar a área de uma região com

lados curvos.

Uma ideia similar à que usamos para definir uma tangente,

aproximando a inclinação da reta tangente por inclinações de retas

secantes e então tomamos o limite dessas aproximações. Aqui

aproximaremos a região S por retângulos e então tomamos o limite

das áreas desses retângulos à medida que aumentamos o número

de retângulos.

Use retângulos para estimar a área sob a

parábola abaixo:

Suponha que S seja dividida em quatro

faixas

.

Podemos aproximar cada faixa por um

retângulo de base igual à largura da faixa

e altura igual ao lado direito da faixa.

S 1 , S 2 , S 3 e S 4

2 2 2 2 4

L

0, 21875  A 0, 46878

• 0, 2734375  A 0,
• L 8  0, 2734375 R 8 0, - A 0,

 

2 2 2 2 2

. 1 2 3 ... n n n

 

2 2 2 2 3

1 2 3 ... n n

Utilizamos aqui a fórmula para a soma dos quadrados dos n

primeiros números inteiros positivos (demonstrada no Apêndice E

do Stewart):

2 2 2 2 ^1 ^2 1  1 2 3 ... 6

n n n n

     

3 2

n

n n n n n R n n

2

lim lim lim

n n n n

n n n n

R

  n  n n

lim 1 2 .1.

n  6 n n 6 3

1 lim lim

3

n n n n

A R L

 

  

Onde As extremidades direitas dos subintervalos são:

1

2

3

x a x

x a x

x a x

Rn  f (^)  x 1 (^)    x f (^)  x 2 (^)    x ... f (^)  xn (^)  x

x 0 (^)  a e xn  b.

DEFINIÇÃO:

A área A da região S que está sob o gráfico de uma função contínua f

é o limite da soma das áreas dos retângulos aproximantes:

lim (^) n lim (^)  1   2  ...  (^) n  n n

A R f x x f x x f x x

 

lim (^) n lim (^)  0   1  ...  (^) n 1  n n

A L f x x f x x f x x

  

Usando a notação de somatória (sigma):

   1   2    1

n

i n i

f x x f x x f x x f x x



^ ^ ^  ^  ^ ^ 

 

 

 

1

1 1

1

lim

lim

lim

n

i n i n i n i n i n i

A f x x

A f x x

A f x x

 

  

 







O PROBLEMA DA DISTÂNCIA

Estimar a distância percorrida por um carro durante um intervalo

de tempo de segundos.

Distância = velocidade x tempo

(7,5  5)  (9, 4  5)  (10,6 5)  (12,8  5)  (14, 2  5)  (13,9 5)  342 m

(9, 4  5)  (10,6  5)  (12,8  5)  (14, 2  5)  (12,5  5)  367 m

1 1 1

lim ( ) lim ( )

n n

i i n n i i

d f t (^)  t f t t    

 (^)    (^)  

30



f ( ) x

Sinal de integral introduzido por Leibniz

 

1

n

i i

f x x



^ 

Integrando

a b ,^ Limites de integração, inferior e superior

Soma de Riemann

b b b

a a a

f x dx  f t dt  f r dr

  

“Uma mente criativa,

ativa e

verdadeiramente

matemática, e de uma

originalidade

gloriosamente fértil”

Gauss

1826  1866

Se f(x)≥

 

1

n

i i

f x x



^ 

A soma de Riemann é a soma de

áreas de retângulos

b

a

f x dx



A integral é a área sob a curva y=f(x)

de a até b