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Matemática I Profª. Raquel Gondim
Integrais
1. Diferencial
Seja y=f(x) uma função derivável. A diferencial de dx é uma variável independente.
A diferencial dy é: dy=f’(x)dx ou f ' ( x ) dx
dy .
Exemplo:
2. A INVERSA da DIFERENCIAÇÃO – ANTIDIFERENCIAÇÃO ou ANTIDERIVADA
Uma função F é chamada de antiderivada de uma função f em um intervalo I se F’(x)=f(x), I.
Por exemplo, se F ( x ) 4 x^3 x^25 F '( x ) 12 x^22 x f ( x ) 12 x^22 x é a derivada de F(x) e F(x) é
uma antiderivada de f.
Se G ( x ) 4 x^3 x^217 G '( x ) 12 x^22 x f ( x ) 12 x^22 x , então G(x) é também antiderivada de f.
Em geral: Se F é uma antiderivada de f em I se G(x)=F(x) +C G’(x)=F’(x)=f(x).
Exemplos:
Exercício
- Determine uma primitiva (antiderivada) para cada função. Verifique suas respostas derivando. a) f(x) = 6x e) f ( x ) x b) f ( x ) x^7 f) f ( x ) x 1 c) f ( x ) x^7 6 x 8 d) f ( x ) 3 x^4
2. Integral A antidiferenciação é o processo pelo qual a antiderivada mais geral de uma função é encontrada. Denotamos por:
f ( x ) dx F ( x ) C , onde F’(x)=f(x) ou d(F(x))=f(x)dx d ( F ( x )) F ( x ) C
2.1 Integrais Indefinidas
f ( x ) dx , a função f é o integrando de uma integral e o x é a variável de integração.
Temos: f ( x ) dx F ( x ) C , onde C é uma constante.
Propriedades da Integral:
- Multiplicação por constante: kf ( x ) dx k f ( x ) dx
- k= -1 f ( x ) dx f ( x ) dx
- Soma e diferença [ f ( x ) g ( x )] dx f ( x ) dx g ( x ) dx
Exemplos:
Exercício
- Calcule: a) ( 4 x 1 ) dx
b) x^3 dx
c) sen ( x ) dx
d) cos( x ) dx
e) e xdx
f) ( x^22 x x^3 ) dx
- Encontre a função que se ajuste aos dados, os quais descrevem a temperatura mínima da superfície do solo
f( oC ), em determinada época do ano, com temperatura mínima do ar igual a 9°C, sendo x(g/m 2 ) o resíduo de planta e biomassa na superfície. x 10 20 30 40 50 60 70 f(x) 7.24 7.30 7.36 7.42 7.48 7.54 7.
Se a renda marginal (variação da renda total) de uma fabrica é dada por 27 12 x x^2 , encontre a função renda total e equação da demanda, de acordo com o número de peça produzida. x é o número de unidades produzidas. R(x) é a função custo total
Encontre a solução completa 2 3
2 x dx
d y
2.3. Integral por Substituição
Algumas vezes é possível encontrarmos uma primitiva aplicando fórmulas diretamente, contudo nem sempre é possível. Nestes casos usamos a técnica da substituição.
c n
u u du
n n 1
1
Exemplo:
A expressão da esquerda é a integral de f entre os limitantes de integração a e b e a expressão da direita é o limite da seqüência de somas parciais S n. Onde:
2.4.1 Propriedades da Integral definida
A definição de integral é abstrata e tem pouco uso operacional. Em função disto, introduzimos mecanismos que facilitam certos cálculos e os principais são as propriedades das integrais.
Proposição 1: Se f e g são funções integráveis no intervalo [a,b], então f+g ou f-g é integrável no mesmo intervalo e além disso:
b
a
(f+g)(x) dx =
b
a
f(x) dx +
b
a
g(x) dx
Proposição 2: Se f é uma função integrável no intervalo [a,b] e c uma constante qualquer, então a função cf é integrável e
b
a
(c.f)(x) dx = c
b
a
f(x) dx
As duas proposições acima constituem as propriedades lineares da integral definida, sendo que as demonstrações das mesmas são relativamente simples, com o uso da definição de integral apresentada.
Proposição 3: Se f é uma função integrável nos intervalos [a,c] e [c,b], então f é integrável em [a,b] e além disso:
b
a
f(x) dx =
c
a
f(x) dx +
b
c
f(x) dx
Proposição 4: Se existe f(a) então: a
a
f ( x ) dx 0
Teorema Fundamental do Cálculo: O nome Teorema Fundamental do Cálculo já diz sobre a importância do mesmo. Este teorema permite exprimir a integral de uma função em termos de uma outra função conhecida como primitiva e esta notável descoberta de Newton e Leibniz no século XVII, forneceu ao Cálculo uma ferramenta eficaz para o cálculo da maioria das integrais que aparecem no cotidiano. Seja f uma função contínua num intervalo [a, b] e G uma primitiva de f, então, b
a
f(x)dx = G(b) - G(a)
Uma Aplicação da integral definida Certo estudo indica que, daqui a x anos, a população de uma cidade crescerá à taxa de 117+200x pessoas por ano. Qual será o aumento populacional da cidade nos próximos 10 anos?
Solução: Seja P=P(x) a população daqui a x anos, então: P'(x) = 117 + 200 x Uma primitiva para P'(x) é G(x)=117x+100x², logo o aumento populacional nos próximos 10 anos será dado por:
10
(117+200x)dx=G(10)-G(0)=
Exercício:
- Encontre as integrais definidas:
a)
4
2
xdx b)
0
2
( 2 x 5 ) dx c)
4
0
( 3 x 4 x^2 ) dx
d)
3
1
3 ) 4
( 3 dx x x e)
2
0
( e^2 x ) dx f) 0
( 1 cos( x )) dx
- Usando as propriedades resolva as integrais, sabendo que
4
1
xdx 14 / 3 :
a)
1
4
x dx b)
4
4
x dx c)
4
1
3 xdx
2.5 Integração Por Partes A integral de um produto geralmente não é o produto das integrais individuais:
f ( x ). g ( x ) dx f ( x ) dx g ( x ) dx
Integração por partes é uma técnica para simplificar integrais de produto de funções.
Fórmula: udv uv vdu
Exercícios:
- Resolva as integrais por partes:
a) (^2 x^^2 ) exdx b) dx
x xsen 2
c) x^ ln( x ) dx
