Baixe Guidorizzi solution volume 2 - cap. 13 e outras Notas de estudo em PDF para Física, somente na Docsity!
Exercícios 13.
1. a ) f (1, 3) ∂ ∂
À¡^ ∂
à Øò^
f x
f y
f x x f y ( , ),1 3 ( , )1 3 ( ,2 6 ) pois 2 e 2 y.
A reta tangente a em ( t 0 ) (1, 3) coincide com a reta tangente à curva de nível f ( x, y ) 10 em (1, 3). A equação da reta tangente a no ponto (1, 3) é
f (1, 3) · [( x, y ) (1, 3)] 0
(2, 6) · ( x 1, y 3) 0
2( x 1) 6( y 3) 0 ou 2 x 6 y 20 0 ou
y x 3
Em notação vetorial (o vetor (6, 2) é perpendicular a f (1, 3) (2, 6), logo é paralelo a ( t 0 )):
( x, y ) (1, 3) (6, 2) .
b ) Seja ( t ) ( x ( t ), y ( t )), satisfazendo
[ x ( t )] 2 [ y ( t )]^2 10, ou seja,
x t ( ) y t ( ) 10 10
2 2 À¡^
à Øò^ À¡^
à Øò
Logo x t^ ( )^ t 10 sen ,^ x ( t )^ ^10 sen^ t,
y t ( ) (^) t 10
cos e (^) y ( t ) 10 cos t. Assim,
( t ) ( 10 sen t , 10 cos t ).
2. Seja f ( x, y ) xy 10.
f f x
f y
f x
y f y
( ,2 5 ) ∂ ( ,2 5 ), ( ,2 5 ) ( ,5 2 ), x ∂
À¡^ ∂
à Øò^
pois e.
C APÍTULO 13
Reta tangente em notação vetorial (o vetor (2, 5) é perpendicular ao vetor f (5, 2); logo, o vetor (2, 5) é paralelo à reta tangente):
( x, y ) (2, 5) (2, 5) .
Reta normal em notação vetorial (o f (5, 2) é um vetor normal à curva de nível de f que passa por (2, 5)).
( x, y ) (2, 5) (5, 2).
3.
a ) (^) f f x
f y
À¡^ ∂
à Øò ( ,1 2 ), ( ,1 2 ) ( ,4 2 ) pois^
f x
2 x y e ∂ ∂
f y
x 2 y 3.
Reta tangente:
( x, y ) (1, 2) (2, 4) (em notação vetorial)
ou
f · [( x, y ) (1, 2)] 0, (4, 2) · ( x 1, y 2) 0, 4( x 1) 2( y 2) 0, 4 x 4 2y 4 0 e, portanto, y 2 x 4 0.
b ) Sendo f ( x, y ) e^2 x^ ^ y^ 2 x 2 y , temos
f
À ,^1 àØ^ ^4 e
f f x
f y
À ,^ àØ^ ∂ ,^ ,^ ,^1 ( , ),4 1 ∂ À
à Ø
∂ À
à À¡^ Ø
à Øò^
pois ∂ ∂
f x
2 e^2 x^ y (^2) e
∂ ∂
f y
e^2 x^ y 2.
Reta tangente:
f ( 1 , ) ( , x y ) ( , ) 2
ŒÕ^
◊ (^) À x y 1 àØ 0
4 x 2 y 1 0 ou seja, y 4 x 3.
F
x
x y F y
x y
x y
x y
0 0
0 0
0 0
0 0
(^2) (é o coeficiente angular da reta tangente à elipse).
2 x y 5 fi y 2 x 5 (2 é o coeficiente angular da reta paralela).
Sendo f ( x, y ) uma solução da equação a derivadas parciais, para todo ( x, y ) ^2 , segue:
f x
x y f y
( , ) ( , x y )
ou (3, 2) · f ( x, y ) 0. Então, para todo ( x, y ) , f ( x, y ) é perpendicular ao vetor (3, 2). Como f ( x, y ) é perpendicular, em ( x, y ), à curva de nível de f que passa por (3, 2), então as curvas de nível de f são retas paralelas a (3, 2). Assim f é constante sobre cada reta paralela ao vetor (3, 2). Logo f ( x, y ) f (0, m ). Temos
y m x m y x
ou.
Assim, f ( x, y ) f (^) 0 3 2 3 À ,^ y^ x àØ.
Tomando-se ( u ) f (^) 0 3 À,^ u àØ , resulta que^ f ( x, y )^ ^ (3 y^ ^2 x ), onde^ :^ ^ ^ ^ é função derivável, é solução de 6. a. Assim, e^3 y ^2 x , sen(3 y 2 x ) etc. são soluções de 6. a.
b ) ∂∂ ∂
fi ∂∂ ∂
x y x ∂
x y x
0 ( , ) ( , x y ) 0.
Analogamente a a :
(1, 1) · f ( x, y ) 0 f ( x, y ) f (0, m )
y m x
m x y
0 fi
f ( x, y ) f (0, x y ).
Tomando-se ( u ) f (0, u ) fi f ( x, y ) ( x y ) onde : é derivável, é solução de 6. b. Assim, ex y, sen ( x y ) etc. são soluções de 6. b.
c ) ∂∂ ∂
x ∂ y
0. Como^ f ( x, y ) é solução de^
x ∂
x y y
( , ) ( , x y ) 0
f ( x, y ) · (1, 1) 0.
f ( x, y ) f (0, m ) onde y^ m x
1 ,^ m^ ^ y^ ^ x
( u ) f (0, u ) fi f ( x, y ) ( y x ) é solução de 6. c. Assim, ey x , sen ( y x ) etc. são soluções de 6. c.
d ) (^) y x x y
f ( x, y ) ( y , x ) 0 ( y , x ) é vetor tangente, em ( x, y ), à circunferência de centro na origem e que passa por este ponto. Assim, f ( x, y ) deve ser constante sobre tais circunferências, logo, f ( x, y ) ( x^2 y^2 ), com ( u ) diferenciável, é a solução da equação dada.
Assim, e x^^2 ^ y^2 , sen ( x^2 y^2 ) etc. são soluções de 6. d.
7. z f ( x, y ) ( x y ), com ( u ) derivável, satisfaz à condição ∂ ∂
f x
f y
Seja ( u ) au^2 bu c. Temos (1 1) (2) 3 fi 4 a 2 b c 3, (0 0) (0) 1 fi c 1, (0 1) (1) 2 fi a b c 2. Então a 0, b 1, c 1 e ( u ) u 1.
Assim ( x y ) x y 1 e, portanto, f ( x, y ) x y 1 atende às condições propostas.
8. z f ( x, y ) ( u ) (2 x y ) satisfaz ∂ ∂
f x
f y
Para que o gráfico de f contenha a imagem de y ( t ) ( t, t, t^2 ), t , é preciso que ( ) ( )
2
t t^2 t t
[ x t, y t , z f ( x, y ) t^2 ].
Assim ( u ) u
2 9
A função f ( x, y )
(2 x y ) 2 resolve o problema.
9. Seja F ( x, y ) x^2 2 y^2.
Plano tangente em (1, 1, 1):
F (1, 1, 1) · [( x, y, z ) (1, 1, 1)] 0, ou seja,
x 3 y 4 z 8.
Reta normal em (1, 1, 1):
( x, y, z ) (1, 1, 1) (2, 6, 8) .
b ) F ( x, y, z ) 2 xyz 3. Temos
F x y F x
F
y
F
z
( , , z ) ∂ , , ( yz , xz , xy ) ∂
À¡^ ∂
à Øò^
2 2 2 e daí
F ( , , ) ( , , )
Plano tangente em (^ , ,^ )
F ( , , ) [( , x y z , ) ( , , )]
◊ 1 3 0 , ou seja,
6 x 3 y z 9.
Reta normal em ( 1 , , ): 2
( , x y z , ) ( , , ) ( , , ),.
c ) F ( x, y, z ) z e x y^ z^3 2.
F x y ^ ^
F
x
F
y
F
z ( , , z ) , , ( ze x^ y^ , ze x^ y^ , e x^ y z )
À¡^ ∂
à Øò^ 3 2 e daí
F (2, 2, 1) (1, 1, 4).
Plano tangente em (2, 2, 1):
F (2, 2, 1) · [( x, y, z ) (2, 2, 1)] 0, ou seja,
x y 4 z 4.
Reta normal em (2, 2, 1):
( x, y, z ) (2, 2, 1) (1, 1, 4 ), .
2. F ( x, y ) x^3 y^3 z^3 10 fi F ( x, y, z ) (3 x^2 , 3 y^2 , 3 z^2 ).
z f ( x, y ) (^3 10) x^3 y^3 e
z f (1, 1) 3 8 2.
Plano tangente em (1, 1, f (1, 1)) (1, 1, 2):
F (1, 1, 2) · [( x, y, z ) (1, 1, 2)] 0, ou seja,
x y 4 z 10.
3. Seja F ( x, y, z ) x^2 3 y^2 2 z^2
- Temos F ( x, y, z ) (2 x , 6 y , 4 z ). Seja ( x 0 , y 0 , z 0 ) o ponto de tangência. Logo:
x (^) 02 3 y (^) 02 2 z 02 11 6
Da condição de paralelismo: F ( x 0 , y 0 , z 0 ) (1, 1, 1) (ortogonal ao plano x y z 10). Portanto:
2 x 0 , 6 y 0 , 4 z 0 , ou seja, x^ 0 ^2 y^ 0 ^6 z 0 4
, e.
Substituindo na equação, temos
2
2 2 2 À
à Ø À
à Ø À
à Ø (^) e, portanto, ^2 4, ou seja, 2. Assim, os pontos
de tangência são 1
À,^ ,^ àØ e^ À^ ,^ ^ ,^ àØ.
Plano tangente em ( ,^1 ,^ )
F ( , 1 1 , ) [( , x y z , ) ( , , )] 3
1 2 1 1 3
1 2 0, ou seja,
x y z 11 6 .
Plano tangente em ( 1 , , )
F ( 1 , 1 , ) [( , x y z , ) ( , , )] 3
ou seja, x y z 11 6 .
4. F ( x, y, z ) x^2 y^2 z^2 1.
Como a curva deve passar por (1, 1, 1) vamos considerar z 1.
x^2 y^2 x t^ y t
2 2 2 2 2 fi (^) À¡ ( )^ àØò (^) À¡ ( )^ àØò 1. Fazendo x t ( ) (^) t y t ( ) (^) cos t 2 2
sen e temos a curva
( ) t ( 2 sen t , 2 cos , t 1 ).
7. a ) F ( x, y, z ) 4 x^2 y^2 1 e G ( x, y, z ) x y z 1.
F (0, 1, 0) (8 x , 2 y , 0) (0, 2, 0) e
G (0, 1, 0) (1, 1, 1) ( 1, 1, 1).
F G
i j k ( , ,0 1 0 ) ( , ,0 1 0 ) 0 2 0 i k. 1 1 1
ü 2 2
r r r r r
Reta tangente a em (t 0 ) (0, 1, 0):
( x, y, z ) (0, 1, 0) (1, 0, 1), .
b ) [2 x ( t )] 2 [ y ( t )]^2 1 onde (^) x t ( ) sen^ t^ e y t ( ) cos. t 2
De x y z 1 vem z ( t ) 1 x y. Daí
z ( t ) 1 sen^^ t^ t e, portanto, 2 cos
( ) t ( 1 t , cos , t t cos ). t 2
sen sen
8. a ) (^) z x^ y y zy x y 8 8
4 2 2 fi^42
fi y z x y fi x y y z F x y z
(^4 4) 8 2 2 2 2 4 4 8 0 ( , , )
1 4442 4443.
b ) F (2, 2, 1) · [( x, y, z ) (2, 2, 1)] 0, ou seja,
x 7 y 16 z 28.
9. F (1, 2, 3) G (1, 2, 3) é perpendicular ao plano normal a determinar. Como
F (1, 2, 3) (2, 4, 6) e
G (1, 2, 3) (6, 3, 2), resulta
F G
i j k ( ,1 2 3 , ) ( ,1 2 3 , ) 2 4 6 i j k. 6 3 2
ü 10 32 18
r r r r r r
(10, 32, 18) · ( x 1, y 2, z 3) 0, ou seja,
5 x 16 y 9 z 0.
10. Equação do plano tangente em ( x 0 , y 0 , z 0 ):
x 0 ( x x 0 ) 2 y 0 ( y y 0 ) z 0 ( z z 0 ) 0. Temos
( , , ) , ( , ) .
,
5 0 1 2 5 0 1 0 3 2 3 0 2 7
0 2 0 2 0 (^2 0 ) 02 02 02 0 0 02 02 02
fi fi
x y z z x x y z x z x y z
e
Daí 5 x 0 z 0 7 e x 0 3 z 0 7. Logo x 0 1, z 0 2 e y 0 1.
Plano tangente em (1, 1, 2): (2, 4, 4) ( x 1, y 1, z 2) 0 fi 2( x 1) 4( y 1) 4( z 2) 0 fi x 2 y 2 z 7.
Plano tangente em (1, 1, 2): 2( x 1) 4( y 1) 4( z 2) 0 fi x 2 y 2 z 7.
Exercícios 13.
1. a ) Sejam f ( x, y ) x^2 3 y^2 , ( x 0 , y 0 ) (1, 2) e
r u ( , )2 1^ ,. 5
2 5
1 À¡^5
à Øò ∂ ∂ ◊ ∂ ∂
∂ À¡^ ∂
à Øò^
f ◊ u x y f x y u f x x y f y r x y u r r ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ) ( 0 , 0 ), ( 0 , 0 ) , ou seja,
∂ ∂ ◊ À¡^
à Øò
f u r ( x (^) 0 , y 0 ) ( , 2 12 ) 2 ,. 5
1 5
4 5
12 5
8 5
b ) Sejam f ( x, y ) e x^^2 y^2 ; ( x 0 , y 0 ) (1, 1) e u r ( ,3 4^ )^ ,. 5
3 5
4 À 5
à Ø ∂ ∂ ◊ ∂ ∂
∂ À¡^ ∂
à Øò^
f ◊ u x y f x y u f x x y f y r (^0 ,^0 )^ ^ (^0 ,^0 )^ r^ ^ (^0 ,^0 ),^ ( x^^ 0 ,^ y^ 0 ) u re
f x y ( , ) ( 2 xe x^^2 ^ y^^2 , 2 yex^^2 ^ y^2 ). Então, ∂ ∂
f ◊ (^) À àØ u r ( , )1 1 ( , 2 2 ) 3 ,. 5
4 5
2 5
∂ ∂
f ◊ (^) À¡ àØò u r ( ,1 2 ) ( , )2 1 2 , 5
1 5
4 5
1 5
5 5 5. Então
5
1 5
, , 5. À¡^
à Øò A tangente em (0) é a reta procurada:
( x, y, z ) (1, 2, 2)
À¡^
à Øò^ ,^ ^ ^ , ou ( x, y, z ) (1, 2, 2) (2, 1, 5).
11. f ( x, y ) (8 x , 2 y ), daí f (1, 1) (8, 2). Sendo P a projeção de P sobre o plano xy , P move-se na direção e sentido de máximo crescimento de f , ou seja, na direção do vetor f ( x, y ) (8 x , 2 y ).
dy dx
y x
2 y x k y k y x 8
fi ln ln. Como ( ) 1 1 temos 0 e^4.
y t fi x t^4. z f ( x ( t ), y ( t )) f ( t^4 , t ) 4 t^8 t^2. Logo, a parametrização para a trajetória de P é ( t ) ( t^4 , t , 4 t^8 t^2 ).
14. a ) T ( x, y ) 40 x^2 2 y^2 e T (3, 2) 23. 40 x^2 2 y^2 23 fi x^2 2 y^2 17.
b ) T (3, 2) ( 2 x , 4 y ) (6, 8) (^) 6 8
r r i j.
c ) ∂ ∂
T u r ( ,3 2^ )^ ^ ^ T^ ( ,3 2^ )^ ^ ^ ^ (^ ^6 ,^ ^8 )^ ^10.
A partir do ponto (3, 2) e na direção e sentido de T (3, 2) 6 8
r r i j , a temperatura está aumentando a uma taxa de 10∞C por km. Caso caminhe 0,01 km nesta direção a temperatura se elevará de 0,01 · 10 0,1∞C, aproximadamente.
d )
f j
r (^) ( ,3 2 ) T ( ,3 2 ) ( , )0 1 ( 6 , 8 ) ( , )0 1 8.
Na direção
r j a temperatura decresce a uma taxa de 8∞C por km. Caso caminhe, na direção
r j , 0,01 km a temperatura decrescerá 0,01 · 8 0,08∞C aproximadamente.
15. a ) f ( x, y, z ) xyz em (1, 1, 1) e na direção
r r^ r^ r w 2 i j k. Temos
r r r
r r r u w w i j k
2 6
1 6
1 6 ,
∂ ∂
f ◊ u r f u r ( , , )1 1 1 ( , , )1 1 1 , ou seja, ∂ ∂ ◊ À¡^
à Øò
f u^ r^ ( , , )1 1 1 ( , , )1 1 1 2 , ,. 6
1 6
1 6
2 6
6 3
∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ À¡^ ∂
à Øò^
f ◊ (^) À àØ v
f x
f y
f r (^) z ( , , )1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , )1 1 1 0 , 4 , , 5
3 5 1
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ À¡^ ∂
à Øò^
f ◊ (^) À àØ w
f x
f y
f r (^) z ( , , )1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , )1 1 1 4 , , 5
3 5 0 2 e
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ À¡^ ∂
à Øò^
f ◊ j
f x
f y
f z
r (^) ( , , )1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , ),1 1 1 ( , , )1 1 1 ( , ,0 1 0 ) 0. Assim,
4 5
3 5 1 4 5
3 5
∂ 2 0 ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
∂ ∂
f y
f z
f x
f y
f y ; ; .
Logo, ∂. Então ∂
∂ ∂
∂ ∂
f x
f y
f z ( , , )1 1 1 5 ; ( , , ) ; ( , , ) 2 1 1 1 0 1 1 1 5 3
∂ ∂ À
à Ø
f u r ( , , )1 1 1^ f ( , , )1 1 1^5 ,^ ,^. 2 0 5 3
325 36
5 13 6
17. f ( x, y ) é um vetor do ^2.
Como
r u (^) e r v (^) são dois vetores unitários e ortogonais de ^2 , eles constituem uma base
ortonormal do ^2. Logo f ( x, y ) deve ser escrito como combinação linear de
r u e
r v. Então f ( x, y ) a
r u (^) b r v onde a e b são as componentes de f ( x, y ) em relação à base { u r , v r }.
Por outro lado, f ( x, y ) ∂ ∂
À¡^ ∂
à Øò
f x
f y , e^ f^ ·^
r u (^) r f u
Fazendo o produto escalar:
f x y u a u u b v u f u
u
∂ ∂
r 1 42 43
r r {
r r { r 2 1 0 (os vetores são ortogonais), logo^
f u r ( , x y ) a
f x y v a u v b v v f v
v
∂ ∂
r 1 42 43
r r {
r r { r (^0) (^21)
, logo,
f v
r ( , x y ) b.
Portanto,
f x y f u
x y u f v
( , ) ∂ ( , ) ( , x y v ) ∂
r r r r .
