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Geometria Analítica - por Caitano Cintra
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
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Autoria Caitano de Oliveira Cintra
Co-autoria Olavo Otávio Nunes
Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco CEFET-PE
CEAD - Coordenação de Tecnologias Educacionais e Educação a Distância
2008
Governo Federal
Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretaria de Educação a Distância SEED Carlos Eduardo Bielschowsky
CEFET-PE Centro Federal de Educação Tecnológica de Pernambuco
Diretor Geral Sérgio Gaudêncio Portela de Melo Direção de Ensino Maria Tereza Duarte Dutra Gerente de Ensino Superior Elba Maria Nogueira Ferraz Ramos
Coordenação de Tecnologias Educacionais e Educação a Distância
Coordenação Geral Maria das Graças Costa Nery da Silva Coordenação Suplente Joseana Maria Cardoso de Oliveira Coordenação do Curso José de Melo Lima Filho Coordenação Tutoria Ana Paula Silva da Silveira Coordenação Pedagógica Iracema da Costa Pimentel Revisão Lingüística Leoana Maria de Sá Projeto Gráfico e Editoração Eletrônica Eliana Virgínia Vieira de Melo Carlos José das Chagas Moura Bolsistas - Diagramação Giselle Tereza Cunha de Araújo Leila Priscila Nunes da Silva Natan Lemos V. Kawashima Bolsistas - Ilustração Diogo Ferreira Soares Elton Flor da Silva
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René Descartes O relacionamento entre as propriedades geométricas das figuras e as propriedades analíticas das equações só foi possível depois que o filósofo e matemático francês René Descartes (1596 – 1650) desenvolveu um método que explorava as relações entre a Geometria Euclidiana e a Álgebra, mostrando que uma poderia se utilizar da outra de modo que as questões geométricas são resolvidas não de forma particular, mas de forma que a solução seja aplicável a qualquer figura que comporte esta questão. Esse método é usualmente chamado de Geometria Analítica.
Pierre Fermat Relacionar a Geometria Euclidiana com a Álgebra não foi um feito apenas de Descartes. Outro francês, Pierre Fermat (1601 – 1665), em 1636, em uma carta dirigida a Gilles Roberval (1602 – 1675), expôs idéias semelhantes às de Descartes e em sua obra “Ad locos planos e sólidos isogoge” (Introdução ao estudo dos lugares planos e sólidos) abordou a teoria da reta e da circunferência
Apresentação
A disciplina Geometria Analítica I na matriz curricular do Curso de Licenciatura em Matemática oferecido pela Universidade Aberta do Brasil, tendo como “Instituição Incubadora” o CEFET-PE, desempenha o impor- tante papel de permitir ao aluno rever tópicos de matemática que, segundo os Parâmetros Curriculares Nacionais, são abordados no Ensino Médio. Rever esses conteúdos possibilitará ao futuro professor uma melhor compreensão dos mesmos, refletindo na qualidade de suas futuras inter- venções profissionais.
Desenvolveremos o programa de Geometria Analítica I em um sistema de coordenadas ortogonais.
Na aula I, estudaremos coordenadas na reta, coordenadas no plano, dis- tância entre dois pontos, ponto médio de um segmento e faremos uso de coordenadas para resolvermos alguns problemas de geometria plana. Nas aulas seguintes, estudaremos a reta, a circunferência, a parábola, a elipse e a hipérbole.
Objetivos
Ao estudar essa aula, o aluno terá aprendido: Associar os pontos de uma reta com os números reais; Associar os pontos de um plano com os pares ordenados de números reais; Calcular distância entre dois pontos; Escolher um sistema de coordenadas conveniente para as suas apli- cações.
Introdução
Muitos autores conceituam a Geometria Analítica como sendo a parte da matemática onde se aplica a análise matemática na resolução de proble- mas geométricos.
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Assim podemos dizer que os problemas fundamentais da Geometria Analítica são:
Dada uma figura definida geometricamente, estabelecer a equação correspondente;
Dada uma equação, construir a figura correspondente;
Estudar as relações existentes entre as propriedades geométricas das figuras e as propriedades analíticas das equações.
Coordenadas Cartesianas na Reta
Uma reta r pode ser pensada como um ponto que se desloca, obedecendo a uma determinada direção (Fig 1;1) r (^) ou r
Figura 1.1: A seta indica o sentido de percurso Escolhemos arbitrariamente um ponto dessa reta que denominamos de O. Esse ponto divide a reta em duas semi-retas que chamamos de e Ox ′ (Fig 1.2). Esse ponto O é chamado de origem das semi-retas.
x O x' x' O x ou
Figura 1.2: semi-retas Agora escolhemos, também de forma arbitrária, outro ponto de r que denominemos de U. A semi-reta que contém o ponto U é chamada de semi-reta positiva, e a semi-reta oposta é chamada de negativa. Com essa escolha de U , introduzimos uma orientação na reta.
Reta Orientada
É a reta sobre a qual indicamos um sentido positivo, em geral ,por meio de uma seta (Fig. 1.3) x (^) U O x' x' O (^) U x semi-reta positiva (^) semi-reta negativa ou semi-reta negativa semi-reta positiva
Figura 1.3 : reta orientada
Faça uma animação no WINPLOT 2D, para visualizar esse fato.Digite como equações paramétricas x=at e y=1 e como ponto x=2pia e y=1. Faça t variar de -2pi a 2pi e a variar de 0 a 1.*
A denominação Sistemas de coordenadas Cartesianas é uma homenagem a René Descartes (1596-1650). A palavra cartesiana vem de Cartesius, forma latina do nome de Descartes.
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Atividade
. Posicione nesse mesmo eixo os pontos
−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5
B A C
Figura 1. Dados dois pontos P ( x )e Q ( y ), o postulado da régua nos diz que a
seguinte condição:
dividido em três partes iguais. Determine as coordenadas dos pontos da divisão.
a) b)
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Coordenadas Cartesianas Ortogonais no Plano
Consideramos, num plano , um eixo e uma reta r que interceptam perpendicularmente esse eixo no ponto O. A semi-reta de r que está no semiplano acima do eixo é a semi-reta positiva e é denominada de (Fig. 1.8).
O (^1)
r
y
x
Figura 1.
Tomando sobre a reta orientada uma unidade de medida, temos um eixo que juntamente com o eixo formam o sistema de coordena- das cartesianas ortogonais no plano, que denominamos de (^) xOy. O eixo é chamado de eixo das abscissas enquanto que o eixo é cha- mado de eixo das ordenadas. O ponto O é a origem desse sistema de coordenadas (Fig. 1.9)
x
y
O (^) 1
1
Figura 1.9: eixos ortogonais Fixado o sistema de coordenadas cartesianas ortogonais em um plano , fica estabelecida uma correspondência biunívoca entre e o no sentido de que a cada ponto de
Os números reais x e y são as coordenadas cartesianas de , onde x
Figura 1.10 ; eixos oblíquos
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Localize, na Fig.1.13, os pontos A(2,3), B(-1,4), C(0,3), D(-3,0) e E(-2,-4).
Dê as coordenadas dos pontos A, B, C, D, E, e F mostrados na figura 1.14.
Faça o desenho do triângulo de vértices , ,
Considere os pontos Desenhe o quadrilátero Q que tem por vértices os pontos dados; A partir de Q, desenhe uma figura F quando se deslocam duas unidades para baixo a ordenada do ponto e três unidades para a direita a abscissa do ponto.
Observe as figuras abaixo.
x
y 1
1
Figura 1.
x
y 2
1 Figura 1.
x
y
1
2
Figura 1. A Figura 1.15 é um quadrado, apesar de não parecer; A Figura 1.16 parece ser um quadrado, mas é um retângulo de lados 1 e 2 unidades de comprimentos; A Figura 1.17 que parece ser uma circunferência se trata de uma elipse de semi-eixos medindo 1 e 2 unidades de comprimento.
Essas distorções ocorrem porque as unidades de medidas tomadas sobre os eixos e são diferentes.
Para evitar estas distorções, vamos considerar, a partir de agora, que as unidades de medidas sobre os eixos são sempre iguais (Fig. 1.18).
−4 −3 −2 −1 1 2 3 4
−
−
−
1
2
3
x
y
Figura 1.18: eixos com as mesmas unidades
a) b)
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Veja agora como ficam as figuras (Fig. 1.14, 1.15, 1.16,) acima, considerando sobre os eixos as mesmas unidades de medidas.
1
1
x
y
Figura 1.15-
1
1
2
x
y
Figura 1.16-
−1 1
−
−
1
2
x
y
Figura 1.17-
Distância entre Dois Pontos
Sejam A e B dois pontos que têm abscissas e ordenadas diferentes. Construamos um triângulo retângulo tendo como hipotenusa o segmento. Em seguida, pelo teorema de Pitágoras, calculemos a distância (Fig. 1.19)
x
y
A
B
R
d
x 2 (^) − x 1
y 2 (^) − y 1
x 1
y 2
y 1
x 2
Figura 1.19 : distancia entre A e B
Atividade
Faça o desenho do triângulo de vértices , , e calcule o seu perímetro.
Faça o desenho do triângulo de vértices , , e verifique que se trata de um triângulo isósceles.
Verifique que o triângulo de vértices , e é retângulo e calcule sua área.
Determine de modo que o triângulo de vértices , e seja retângulo em. Mostre que os pontos , e são colineares.
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ponto de interseção de suas diagonais. Determine os outros vértices.
a) as coordenadas do ponto A '^ simétrico do ponto A^ em relação ao ponto B^ ; b) as coordenadas do ponto B^ 'simétrico do ponto B^ em relação ao ponto A^.
Parametrização de um Segmento
segmento de reta que tem por ponto inicial A , ponto final B e P é um ponto qualquer desse segmento (Fig.1.21).
x
y
A
B P
Q R
Figura 1.
Teorema 1.1: Sejam A (^ x^1 ,^ y 1 )e B ( x 2 , y 2 )dois pontos quaisquer do. Se P (^ x^ ,^ y )é um ponto do segmento (^) ,então:
(1.4)
Prova: Da semelhança dos triângulos ABR e (^) APQ , podemos escrever:
t y y
y y x x
x x = −
2 1
1 2 1
(^1) e 0 ≤ t ≤ 1 (1.5)
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Esta equação é equivalente a
2 1
1
2 1
1 ≤ ≤
t t y y
y y
t x x
x x
Calculando x^ e y^ na equação (1.6), obtemos a equação (1.4), que é o que queríamos provar.
Definição As equações dadas por (1.4) são chamadas de equações paramétricas do seg- mento AB.
Observações: é fácil ver da equação (1.4) que:
Se t = 0 , então x = x 1 e y = y 1 , logo P = A.
Se t = 1 , então (^) x = x 2 e (^) y = y 2 , logo P = B.
Se 2
t = , então 2
x = x^1 + x^2 e 2
y = y^1 + y^2. Logo,
P x^1 x^2 y^1 y^2 é ponto médio de AB.
Definição A função real definida por: é chamada de uma parametrização do seg- mento AB.
Atividade
Faça o desenho de T e de suas medianas; Determine as coordenadas do baricentro de T , ponto de interseção das medianas; Calcule os comprimentos das medianas de T (^).
B ( x 2 , y 2 )e C ( x 3 , y 3 )são dadas por
a) b) c)
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isto, considere um sistema de coordenadas cartesianas ortogonais xOy que tenha origem no ponto A e os eixos contenham os catetos do triângulo ABC (Fig. 1.25)
M b^ c (definição de ponto médio). Logo,
É o que queríamos mostrar.
Atividade
Resumo
No texto que acabamos de estudar, aprendemos, entre outras coisas, o seguinte: Reta orientada é uma reta sobre a qual indicamos um sentido positivo, em geral por meio de uma seta; Eixo é uma reta orientada munida de uma unidade de comprimento; Postulado da régua : pontos de uma reta podem ser postos em correspondência com os números reais tal que A cada ponto da reta corresponde exatamente um número real;
A cada número real corresponde exatamente um ponto da reta; A distância entre dois pontos quaisquer da reta é o valor absoluto da diferença dos números correspondentes.
a)
b)
c)
d)
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Referências
LIMA, Elon Lages; et alli. A Matemática do Ensino Médio. V. 3. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1998.
IEZZI, Gelson. Fundamentos da Matemática Elementar. Geometria Analítica , v.
LIMA, Elon Lages. Coordenadas no Plano. Rio de Janeiro: Coleção do Professor de Matemática - SBM, 1992
STEINBRUCH, A & WINTERLE, P. Geometria Analítica – 2ª. ed. São Paulo: McGRAW- HILL, 1987
PEIXOTO, Roberto. Elementos de Geometria Analítica - 6ª. ed. São Paulo: Editora Paulo de Azevedo, 1955
Winplot. http://math.exeter.edu/rparris. Acessado em 20/10/
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