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Aula sobre Geometria Analítica - Coordenadas e Vetores no plano
Tipologia: Resumos
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1.1 Introdução....................... 2 1.2 Coordenadas e distância na reta........... 3 1.3 Coordenadas e distância no plano.......... 6 1.4 Distância entre pontos do plano........... 8 1.5 Equipolência de segmentos orientados........ 14 1.6 Vetores no plano.................... 16 1.7 Textos Complementares................ 22
Unidade 1 Introdução
1.1 Introdução
Nesse capítulo, introduziremos coordenadas na reta e no plano, para repre- sentar pontos por meio de números reais. A linguagem básica que utilizaremos continua com a apresentação dos vetores no plano e de suas principais pro- priedades. A representação dos pontos por suas coordenadas torna possível resolver algebricamente diversos problemas geométricos, e o uso de vetores per- mite o estudo de vários conceitos geométricos de forma mais simples e direta. Para isso, admitiremos que o leitor tenha conhecimento dos axiomas e dos principais resultados da Geometria Euclidiana Plana e Espacial, relativos aos seus elementos básicos: pontos, retas e planos. A partir desses elementos e dos axiomas de ordem, podemos de nir dois conceitos fundamentais. Sejam A e B dois pontos distintos. O segmento de reta AB é o conjunto formado pelos pontos A e B e pelos pontos C entre A e B, e a semirreta
é o conjunto formado pelo segmento AB e por todos os pontos D tais que B está entre A e D.
A B D
Figura 1.1: Ponto D na semirreta AB⇀ Vamos rever alguns axiomas e resultados da Geometria Euclidiana que serão úteis na construção da Geometria Analítica:
Unidade 1 Coordenadas e distância na reta
OB corresponde o número real negativo x = −d(O, X).
A correspondência
acima descrita é biunívoca (exercício).
Definição 1 O número real x que corresponde ao ponto X segundo a correspondência acima estabelecida é denominada a coordenada do ponto X.
x = −d(O, X)
X 0
O x = d(O, X)
X
Figura 1.3: Coordenadas dos pontos na reta r
Definição 2 Sejam X e Y pontos da reta r com coordenadas x e y, respectivamente. Dizemos que o ponto Y está à direita do ponto X (ou que o ponto X está à esquerda do ponto Y ) se, e somente se, x < y.
Dessa forma, os pontos da semirreta
OA distintos de O estão à direita de O e os pontos da semirreta oposta a
OA estão à esquerda de O. Assim, semirreta
OA estabelece um sentido de percurso na reta r. Uma reta sobre a qual foi escolhida uma semirreta
OA denominada eixo E de origem O e direção induzida pela semirreta
Proposição 3 Se x e y são as coordenadas dos pontos X e Y sobre o eixo E, respecti- vamente, então d(X, Y ) = |x − y|.
Demonstração É fácil veri car o resultado quando^ X^ =^ Y^ ou^ X^ =^ O^ ou^ Y^ =^ O. Suponhamos que X, Y e O sejam três pontos distintos. Sem perda de generalidade, suponhamos que X está à esquerda de Y , isto é, x < y. Temos então três casos a considerar: Caso 1. X e Y estão à direita da origem. Isto é, 0 < x < y.
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
0
O x
X y
Y E
Figura 1.4: Caso 1. 0 < x < y Neste caso, X está entre O e Y , pois, caso contrário, Y estaria entre O e X e d(O, Y ) = y seria menor que d(O, X) = x. Logo, d(O, Y ) = d(O, X) + d(X, Y ) ⇐⇒ y = x + d(X, Y ) ⇐⇒ d(X, Y ) = y − x = |y − x|. Caso 2. X está à esquerda de O e Y está à direita de O. Isto é, x < y < 0.
x
X y
Y 0
O E
Figura 1.5: Caso 2. x < y < 0 De maneira análoga ao caso anterior, veri camos que Y está entre X e O. Assim, d(X, O) = d(X, Y ) + d(Y, O) ⇐⇒ −x = d(X, Y ) − y ⇐⇒ d(X, Y ) = y − x = |y − x|. Caso 3. X está à esquerda de O e Y está à direita de O. Isto é, x < 0 < y.
x
X 0
O y
Figura 1.6: Caso 3. x < 0 < y Neste caso, Y está na semirreta
OA e X está na semirreta oposta a
Portanto, O está entre X e Y e d(X, Y ) = d(X, O) + d(O, Y ) ⇐⇒ d(X, Y ) = −x + y = y − x = |y − x|.
Pela Proposição 3 temos que, se CD é um segmento do eixo E tal que C está à esquerda de D, então o ponto X pertence ao segmento CD se, e só se, c ≤ x ≤ d, onde c, d e x são as coordenadas de C, D e X, respectivamente. Isto é, há uma correspondência biunívoca entre os pontos do segmento CD e os números reais do intervalo [c, d]:
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
Em todo o seguinte, faremos referência a essa con guração como sistema de eixos ortogonais OXY ou, brevemente, sistema OXY. Uma vez escolhido um sistema de eixos OXY no plano π, o complementar dos eixos no plano consiste de quatro partes denominadas quadrantes e numer- adas como na Figura 1.8: primeiro quadrante (I), segundo quadrante (II), terceiro quadrante (III) e quarto quadrante (IV ), respectivamente. A escolha de um sistema de eixos ortogonais permite estabelecer uma cor- respondência biunívoca entre os pontos do plano π e os pares ordenados de números reais do conjunto R^2 = {(a, b); a, b ∈ R} da seguinte maneira: Ao ponto P ∈ π fazemos corresponder o par ordenado (a, b) se P não está sobre os eixos, a é a abscissa do pé da perpendicular ao eixo-OX por P e b é a ordenada do pé da perpendicular ao eixo-OY por P.
O (^) X
Y
π
(0, 0) (2, 0) (0, −√2)
(4, 2)
(− 3 , 3)
(−√ 3 , −2) (π,^ −2)
Figura 1.9: Pontos no plano π
Os números a, b ∈ R do par or- denado (a, b) associado ao ponto P são as coordenadas cartesianas do ponto P , a é a abscissa ou primeira coordenada de P e b é a ordenada ou segunda coordanada de P. Na Figura 1.9 ilustramos alguns pontos do plano π com suas co- ordenadas em relação ao sistema OXY. Reciprocamente, ao par ordena- do (a, b) ∈ R^2 associamos o ponto P do plano π dado pela interseção da perpendicular ao eixo-OX que passa pelo ponto de abscissa a, com a per- pendicular ao eixo-OY que passa pelo ponto de ordenada b. Sabendo que (a, b) = (a′, b′) em R^2 se, e somente se, a = a′^ e b = b′, é simples veri car que a correspondência
é uma bijeção, isto é, uma correspondência biunívoca. Notação: Se P ∈ π corresponde a (a, b) ∈ R^2 , escrevemos P = (a, b). Observe que os pontos do eixo-OX têm coordenadas (x, 0) e os pontos do eixo-OY tem coordenadas (0, y).
Unidade 1 Distância entre pontos do plano
1.4 Distância entre pontos do plano
Sejam P = (a, b) e Q = (c, d) pontos no plano π dados pelas suas coorde- nadas em relação a um sistema de eixos ortogonais OXY dado.
O (^) X
Y π
P
Q
R
a
b
c
d
Figura 1.10: Distância entre pontos no plano π
Seja R = (c, b) (Figura 1.11). A distância de P a Q, que desig- namos d(P, Q), é a medida da hi- potenusa P Q do triângulo retân- gulo 4 P QR de catetos P R e QR. Sendo a distância entre dois pon- tos de um eixo medida pelo módulo da diferença das suas coordenadas, as medidas desses catetos são, res- pectivamente, |P R| = |a − c| e |QR| = |b − d|. Do teorema de Pitágoras, obtemos:
d(P, Q) = |P Q| =
(a − c)^2 + (b − d)^2. (1.1)
Assim, a distância de P = (a, b) a Q = (c, d) é a raiz quadrada da soma dos quadrados das diferenças das coordenadas correspondentes.
Exemplo 2 Calcule a distância do ponto^ A^ = (−^1 ,^ 2)^ ao ponto^ B^ = (2,^ −3). Solução. Temos: d(A, B) =
Exemplo 3 Determine^ m^ ∈^ R^ para que os pontos^ P^ = (m,^ 1)^ e^ Q^ = (2m,^ −m)^ estejam a distância 1. Solução. Temos:
Unidade 1 Distância entre pontos do plano
Exemplo 5 Determine o centro e o raio do círculo dado pela equação: (a) C : x^2 + y^2 − 4 x + 6y = 0. (b) C : x^2 + y^2 + 3x − 5 y + 1 = 0. Solução. (a) Completando os quadrados, obtemos: x^2 − 4 x + y^2 + 6y = 0 (x^2 − 4 x+4) + (y^2 + 6y+9) = 0+4+ (x − 2)^2 + (y + 3)^2 = 13. Portanto, o círculo C tem centro no ponto A = (2, −3) e raio r =
(b) Completando os quadrados, obtemos: x^2 + 3x + y^2 − 5 y = − 1 ( x^2 + 3x+^94
y^2 − 5 y+^254
x + (^32)
y − (^52)
Assim, C é o círculo de centro no ponto A =
e raio r =
√ 30
No seguinte exemplo veremos que as coordenadas do ponto médio M de um segmento AB no plano π são os valores médios das respectivas coordenadas dos pontos A e B.
Exemplo 6 Se^ A^ = (x^1 , y^1 )^ e^ B^ = (x^2 , y^2 )^ são pontos no plano^ π^ representados pelas suas coordenadas em relação um sistema de eixos ortogonais OXY , então, M =
(x 1 + x 2 2 ,^
y 1 + y 2 2
é o ponto médio do segmento AB.
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
O (^) X
Y (^) π
A
B
C
D
M
x 1 xM x 2
y 1
yM
y 2
Figura 1.12: M é o ponto médio do segmento AB
Solução. Sejam M = (xM , yM ) o ponto médio do segmento AB, C = (xM , y 1 ) e D = (xM , y 2 ). Como 4 AM C e 4 BM D são triângulos congruentes (AAL),
No seguinte exemplo vamos usar coordenadas e a distância no plano para dar uma caracterização algébrica dos pontos que pertencem à mediatriz de um segmento dado.
Seja R o conjunto dos pontos equidistantes dos pontos A e B no plano π: Exemplo 7 R = {P ∈ π | d(P, A) = d(P, B)}. Mostre, algebricamente, que R é a mediatriz do segmento AB, isto é, R é a reta perpendicular ao segmento AB que passa pelo seu ponto médio M.
Solução. Consideremos um sistema de eixos ortogonais OXY de modo que o eixo−OX seja a reta que passa pelos pontos A e B, com origem no ponto médio M do segmento AB e orientada de modo que A esteja à esquerda de B ( gura 1.14). Neste sistema de eixos, A e B têm coordenadas (−x 0 , 0) e (x 0 , 0), respec- tivamente, para algum número real x 0 > 0. Então, P = (x, y) ∈ R ⇐⇒ d(P, A) = d(P, B) ⇐⇒ d(P, A)^2 = d(P, B)^2 ⇐⇒ (x − (−x 0 ))^2 + (y − 0)^2 = (x − x 0 )^2 + (y − 0)^2 ⇐⇒ (x + x 0 ))^2 + y^2 = (x − x 0 )^2 + y^2 ⇐⇒ x^2 + 2xx 0 + x^20 + y^2 = x^2 − 2 xx 0 + x^20 + y^2 ⇐⇒ 2 xx 0 = − 2 xx 0 ⇐⇒ 4 xx 0 = 0 ⇐⇒ x = 0 ⇐⇒ P ∈ eixo − OY.
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
P
P ′
X
Y
−y O x
y
x
θ
π
Figura 1.16: Posição dos pontos P e P ′
Convenção: a rotação de 90 ◦ que leva o ponto P = (x, y) no ponto P ′^ = (−y, x) tem sentido positivo e a rotação de 90 ◦^ que leva o ponto P no ponto P ′′^ = (y, −x) tem sentido negativo.
Solução. Como d(P, O)^2 = (x − 0)^2 + (y − 0)^2 = x^2 + y^2 d(P ′, O)^2 = (−y − 0)^2 + (x − 0)^2 = y^2 + x^2 , o triângulo 4 P OP ′^ é isósceles. Além disso, d(P, P ′)^2 = (−y − x)^2 + (y − x)^2 = y^2 + 2xy + x^2 + x^2 − 2 xy + y^2 = 2(x^2 + y^2 ) = (x^2 + y^2 ) + (x^2 + y^2 ) = d(P, O)^2 + d(P ′, O)^2. Pela Lei dos Cossenos, se θ = P OP̂ ′^ (Figura 1.16), d(P, P ′)^2 = d(P, O)^2 + d(P ′, O)^2 − 2 d(P, O) d(P ′, O) cos θ, logo, cos θ = 0 e o triângulo 4 P OP ′^ é retângulo em O. Isso signi ca que o ponto P ′^ é obtido a partir do ponto P rotacionando o segmento OP de 90 ◦^ em torno da origem (Figura 1.17).
P
P ′
X
Y
−y O x
y
x
π
Figura 1.17: P ′^ obtido rotacionando P de 90 ◦
P
P ′′
X
Y
O x
y
y
−x
π
Figura 1.18: P ′′^ obtido rotacionando P de − 90 ◦ Análogamente, se prova que o ponto P ′′^ = (y, −x) é obtido a partir do ponto P rotacionando o segmento OP de 90 ◦^ em torno da origem no sentido
Unidade 1 Equipolência de segmentos orientados
negativo (Figura 1.14)
1.5 Equipolência de segmentos orientados
Figura 1.19: Bellavitis (1803-1880)
Os métodos algébricos da Geometria cartesiana de Fermat e Descartes in uenciaram enormemente a matemática ao longo de quase 200 anos até que foram necessários metodos mais diretos e livres de coordenadas na geometria. Em 1832 Giusto Bellavitis publica um tra- balho onde é apresentado o conceito de equipolên- cia entre segmentos que é, basicamente, a noção de vetor que conhecemos e que foi formalizada em 1844 por Hermann Grassmann no seu Die Lin- eale Ausdehnungslehre, ein neuer Zweig der Mathematik (Teoria de Extensão Linear, um novo ramo da Matemática)
A
B
A
B
Figura 1.20: Segmentos com sentidos opostos
Seja AB um segmento orientado de origem A e extremidade B. Isto é, no segmento AB estabelecemos um sen- tido de percurso (orientação) de A para B. Nessa situação, dizemos que o seg- mento BA está orientado com o sentido de percurso oposto ao do segmento AB (Figura 1.20). Bellavitis classi cou os segmentos orientados do plano a par- tir da relação de equipolência:
Unidade 1 Vetores no plano
Proposição 7 Dados os pontos A, B e C, existe um único ponto D tal que AB ≡ CD.
Vamos caracterizar a equipolência em termos de coordenadas. Para isso, consideremos um sistema de eixos ortogonais OXY no plano, e sejam A = (a 1 , a 2 ); B = (b 1 , b 2 ); C = (c 1 , c 2 ) e D = (d 1 , d 2 ) pontos do plano expressos em coordenadas com relação ao sistema dado.
Proposição 8 AB ≡ CD ⇐⇒ b 1 − a 1 = d 1 − c 1 e b 2 − a 2 = d 2 − c 2.
Demonstração Pela Proposição 6, AB ≡ CD ⇐⇒ ponto médio de AD = ponto médio de BC ⇐⇒
a 1 + d 1 2 ,^
a 2 + d 2 2
b 1 + c 1 2 ,^
b 2 + c 2 2
⇐⇒ (a 1 + d 1 , a 2 + d 2 ) = (b 1 + c 1 , b 2 + c 2 ) ⇐⇒ a 1 + d 1 = b 1 + c 1 e a 2 + d 2 = b 2 + c 2 ⇐⇒ b 1 − a 1 = d 1 − c 1 e b 2 − a 2 = d 2 − c 2. como queríamos demonstrar.
Exemplo 9 Dados os pontos^ A^ = (1,^ 2),^ B^ = (3,^ −2)^ e^ C^ = (−^2 ,^ 0), determine as coordenadas do ponto D = (x, y) de modo que AB ≡ CD. Solução. Pela proposição 8, temos AB ≡ CD ⇐⇒ 3 − 2 = x − (−2) e − 2 − 2 = y − 0 ⇐⇒ x = − 1 e y = − 4 ⇐⇒ D = (− 1 , −4).
1.6 Vetores no plano
A relação de equipolência permite classi car os segmentos orientados do plano mediante a seguinte de nição.
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
Sejam A e B pontos no plano. O vetor −→v = − AB−→ é o conjunto de todos Definição 9 os segmentos orientados equipolentes a AB. Cada segmento equipolente a AB é um representante do vetor − AB−→ (Figura 1.23).
Observação 10
A B
Figura 1.23: Representantes de − AB−→
(a) Os segmentos orientados AB e CD são equipolentes se, e somente se, representam o mesmo vetor. Isto é, AB ≡ CD ⇐⇒ − AB−→ = − CD−→. (b) Dado um ponto A no plano, o vetor −→ 0 = − AA−→ é o vetor nulo. Note que −→ 0 = − BB−→ , qualquer que seja o ponto B no plano. (c) Pela Proposição 7, dado um ve- tor −→v e um ponto qualquer C, existe um único ponto D tal que −→v = − CD−→. Isto é, qualquer ponto do plano é origem de um único segmento orientado representante do vetor −→v.
Na prática, os vetores são manipulados através das suas representações em relação a um sistema de eixos ortogonais dado.
Dados A = (a 1 , a 2 ) e B = (b 1 , b 2 ), os números b 1 − a 1 e b 2 − a 2 são as Definição 11 coordenadas do vetor −→v = − AB−→ e escrevemos −→v = (b 1 − a 1 , b 2 − a 2 ).
Note que, se AB ≡ CD, então, pela Proposição 8, − AB−→ = (b 1 −^ a 1 , b 2 −^ a 2 ) = (d 1 −^ c 1 , d 2 −^ c 2 ) =^
Isto é, as coordenadas de um vetor são calculadas usando qualquer segmento orientado que o represente.
Sejam A = (1, 2), B = (3, 1) e C = (4, 0). Determine as coordenadas do Exemplo 10 vetor −→v = − AB−→ e as coordenadas do ponto D tal que −→v = − CD−→. Solução. Temos −→v = − AB−→ = (3 − 1 , 1 − 2) = (2, −1). Além disso, se D = (d 1 , d 2 ), segue que
Coordenadas e vetores no plano Unidade 1
Ponto do plano ←→ Vetor do plano ←→ Par ordenado em R^2 P ←→ − OP−→ ←→ (p 1 , p 2 )
Exercícios
Unidade 1 Vetores no plano
