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GEOMETRIA ANALÍTICA GEOMETRIA ANALÍTICA Titulo do original americano: ANALYTIC GEOMELRY Copyright O 1942 by JOHN WILEY & SONS, Ine., New York Capa ce JOÃO AZEVEDO BRAGA 1970 DIREITOS BXODUSIVOS b3 RUIÇÃO, LM TÍNGUA PORTUGUÊSA, na EDITÓRA GLOBO 5. 4 — PÓRTO ALEGRE — Ely GRAND! DO SUL BRASIL cido. flste jaime - resultados mmpal ferências. O mese são cm lições d Prefácio Este livro é apresentado como um primeiro curso de Geometria Analítica plana e espacial. Supõe-se de parte do estudante apenas a usual preparação preliminar em Geometria elementar, Trigono- metria plana e as partes essenciais de Álgebra superior. Ao projetar êste livro o autor procurou, fundamentalmente, ir ao encontro das necessidades tanto do professor como do estudante. Uma leitura atenta do índice mostrará que os tópicos considerados são aquêles geralmente incluídos nos livros de texto elementares de Geometria Analítica. Crêse que o professor encontrará neste livro todo o material que julgue essencial em um primeiro curso de Geometria Analítica. Geralmente se admite que a suplemen- tação de um livro texto com material de outras fontes não é sem- pre um processo satisfatório. A forma de exposição recebeu cuidadosa atenção, consistindo a ordem geral de apresentação em orientação, motivação, discus- são e exemplos, bastante conforme com a exposição em uma aula. fiste procedimento foi constantemente seguido de princípio a fim. Quanto à orientação, o autor usou a prática pedagógica, há muito consagrada, de apresentar inicialmente idéias familiares c então passar lenta e naturalmente a conceitos novos. Por esta ra- «ão, praticamente cada capítulo começa por um artigo introdutório. Esta vinculação da experiência passada do estudante com os novos conseitos da Geometria Analítica é de considerável importância, pois a deficiência em apreender nesta fase o método analítico num primeiro estágio leva, ine 3velmente, a contínuas dificuldades nas fases posteriores do assunto. Na exposição foi dada particular ênfase à motivação. Tal é necessário se o estudante deve alcançar um conhecimento sólido dos métodos analíticos anres do que uma simples aquisição de fa- tos geomérricos. Foi empregado todo o esfôrço para enfatizar o pro- cesso de raciocínio e resguardar o estudante de mera memoriza- ção. Em geral os resultados da discussão de um tópico particular são resumidos sob a forma de um teorema inteiramente estabele- cido. fiste processo serve não apenas para chamar a atenção para resultados importantes, mas também é conveniente para futuras re- Terências. O mestre verificará que o livro se acomoda facilmente à divi- o diária. Usualmente a discussão de são em lições de apresentaçi Este livro contém amplo material para um curso semestral de cinco horas por semana, entretanto é facilmente adaptável a cursos mais breves. Pode também o mestre omitir certas porções do tra- balho sôbre Geometria Analítica do espaço até o ponto em que sejam necessárias no Cálculo. - Foi dada especial atenção aos exercícios, dos quais há 1920 dispostos em 71 grupos. Tal quantidade é de longe superior a que se possa esperar seja resolvida por qualquer grupo de estudantes, mas permite uma variação nas tarefas de ano para ano. São dadas Tespostas para a maioria dêstes exercícios, havendo, além disso, 134 exemplos ilustrativos com soluções completas. Estão incluídos no livro dois apêndices. O primeiro consiste numa lista para referência de fórmulas, definições e teoremas de Geometria clementar, Álgebra e Trigonometria plana. O segundo apêndice consiste num conjunto de tabelas numéricas para uso em cálculos. O autor deseja expressar sua sincera gratidão a seu amigo € colega, Prof. F. H. Miller, pelo constante encorajamento e presti- mosa cooperação no desempenho de tão árdua tareia. O Prof. Miller leu cuidadosamente todo o manuscrito c muito contribuiu com suas úteis sugestões e críticas construtivas para valorizar ôste livro. Crartes H. LenMANN New York, N. Y. Junho, 1942 E IO Un a to do ns now a, [e] ÍNDICE GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA CarítuLo I O Ponto no Plano - Introdução . O segmento rerilínco orientado O sistema linear de coordenadas O sistema plano de coordenadas A natureza da Geometria Analítica | Distância entre dois pontos dados Divisão de um segmento retilínco dado numa razão dada . Declividade da linha reta . O significado de uma condição necessária e suficiente . Ângulo entre duas linhas retas A demonstração de teoremas geométricos pelo método analítico . Sumário de resultados CarítuLo JUL Equação e Lugar Geométrico Dois problemas fundamentais uma equação . Interseções - Simetria . Extensão de uma enrva . Assíntotas raçado de curvas . Equações [atoráveis . Interseções entre lugares geométricos . Segundo problema fundamental A cquação de um lugar geomérrico de Geometria Analítica . Primeiro problema fundamental. O lugar geométrico de Un ta pata O RR QShivw to o CaríruLo VT A parábola « Introdução . Delinições 5. Primeira equação padrão da parábola 36. Segunda equação padrão da parábola 57. Tangente à parábola 58. À função quadrática - Algumas aplicações da parábola CaríruLro VIL A elipse « Definições . Primeira equação padrão da elipse . Segunda equação padrão da elipse - Propriedades da elipse Caríruro VOI A hipérbole - Primeira equação padrão da hipérbole - Assíntotas da hipérbole . Hipérbole eqiiilátera ou retangular . Hipérboles conjugadas 9. Segunda equação padrão da hipérbole . Propriedades da hipérbole - Primeiro sumário de seções cônicas Caríruro IX A equação geral do segundo grau « Introdução - Transformação da equação geral por rotação dos eixos coordenados indicador [= Bº — 44C - Definição geral de seção cônica - Tangente à cônica geral - Sistemas de cônicas - Seções planas de um cone circular reto Caríruro X Coordenadas polares PÁG 79. Introdução 209 80. O sistema de coordenadas polares 209 = 81. Transformações entre coordenadas polares e retangulares 211 82. “Pracado de curvas em coordenadas polares 215 ] 83. Interseções entre lugares geométricos em coordenadas polares st. Fórmula da distância em coordenadas polares ] 85. A linha reta em coordenadas polares | 86. A circunferência em coordenadas polares 87. As seções cônicas em coordenadas polares 88. Problemas de lugares geométricos em coordenadas polares Carírrro XI Equações paramétricas 89. Introdução 337 90. A equação retangular de uma curva a partir de sua re- presentação paramétrica 238 91. O gráfico de uma curva à partir de sua representação paramétrica 25% 92. Representação paramétrica das seções cônicas 241 9%. A ciclóide 243 9. À epiciclóide e à hipociclóide 245 95. Solução de problemas sôbre lugares geométricos pelo método paramétrico 249 Caríruro XII Curvas planas de grau mais elevado Classificação de funções Classificação de curvas planas Algumas curvas algébricas planas de grau mais elevado 9. Os três problemas geométricos famosos da antiguidade - À senóide | 107. Outras curvas trigonométricas | 102. As curvas trigonométricas inversas 108. A enrva logarítmica 104. A curva exponencial 105. Curvas compostas . Construção de uma superfícic 131. A esfera 132. Coordenadas esféricas 133, A superfície cilíndrica 134, Coordenadas cilíndricas 135. A superfície cômica 136. Superlícies de revolução 137. Superfícies reguadas 138. Translormação de coordenadas retangulares no espaço 139. A equação geral do segundo grau em três variáveis 140. Superfícies quádricas cêntricas 141. Superfícies quádricas não cêntricas CaríruLo XVIT Curvas no espaço 142. Introdução 145. Curvas planas no espaço 144. Curva de interseção entre superfícies cilíndricas retas 145. Superfícies cilíndricas projetantes de uma curva no espaço 146. Construção de curvas no espaço 147. Equações paramétricas de uma curva no espaço 148. Construção de volume: ApênDicE 1 Relação de referência de fórmulas, definições e teoremas A. Geometria B. Algebra C. Trigonometria D. Alfabero grego Arinpice II Tabelas A. Logaritmos comuns B. Funções trigonométricas naturais C. Valôres de e? e es D. Potências e raízes de inteiros Respostas dos exercícios Índice Alfabético Remissivo 350. 351 554 357 359 363 367 370 374 377 381 387 388 389 391 EISEa Sor des 401 42 405 408 409 au 44 414 416 GEOMETRIA ANALÍTICA PLANA Caríruro I O PONTO NO PLANO 1. Introdução. A finalidade dêste capítulo é apresentar alguns dos con- «eitos fundamentais da Geometria Analítica plana. fistes conceitos são fun- damentais no sentido de serem básicos para todo o estudo de Geometria Analítica. Em particular, será mostrado como muitas das noções da Geome- tria elementar são generalizadas e ampliadas pelos métodos da Geometria Analítica; tal será ilustrado por aplicações às propriedades da linha reta e das figuras retilíneas. 2, Q segmento retilíneo orientado. A porção de uma linha reta deh- mitada por dois de seus distintos pontos é denominada segmento retilíneo. Os dois pontos são denominados pontos extremos do segmento retilínco. Assim, ma Fig. 1, para a reta |, AB é um segmento retilíneo com pontos extremos 4 e B. O comprimento do segmento retilíneo AB é representado por AB. A B 1—————— Fis. 1 O estudante já está familiarizado com o segmento retilíneo como con- ceito geométrico; entretanto, para as finalidades da Geometria Analítica, estendemos esta noção de segmento retilínco incluindo um sentido ou orien- tação. Dêste ponto de vista consideramos o segmento retilíneo AB coma gerado por um ponto que sc move sôbre a reta 1 desde 4 até B. Dizemos então que o segmento retilíneo AB está oriensado de A para B c indicamos tal fato por uma seta como na Fig. 1. Neste caso o extremo À é denominado origem é o ponto B extremidade. Entretanto, também podemos obter o mesmo segmento rerilíneo orientando-o desde B para A; B é, então, a origem e A a extremidade, sendo o segmento retilíneo designado por BA. O sentido de um segmento retilíneo orientado é sempre indicado escrevendo-se primeiro a origem. Do ponto de vista da Geometria elementar, os comprimentos dos seg mentos retilíneos orientados Ab e BA são iguais; entretanto, em Geometria O PONTO NO PLANO se — BG para o segundo membro, obtemos (2). Similar donde, transpondo a O CB = — BC conforme (1), tornando-se a relação (D) Cgie mente GA T+ AB=-—BC, - da qual por transposição obtemos de nôvo (2). A relação (e) já está na J p posiç: ' Sórma (2). Val como antes, pelo nso de (1), vemos que (d), (e) e (5) se eduzem a (2). O) sistema lincar de coordenadas. No Art. 2 introduzimos Os conceitos de orientação e sinal para os segmentos retilíneos. Vamos agora avançar mais um passo e introduzir a idéia da correspondência entre um ponto geométrico e um número real. Consideremos, como na Fig. 3, uma tinha reta X/X cuja orientação positiva é da esquerda para à direita, sendo pt or o 4 ja Edo x (x) (xa) to) Mm (x) (2) Fio. 3 O um ponto fixo sôbre esta linha. À seguir adotamos um conv eniente com- primento como unidade de medida; assim, se 4 é um ponto sôbre X'X, distinto de O e à direita dêste, então O comprimento 04 pode ser conside rado a unidade de comprimento. Se P é qualquer ponto sôbre XXeaà d reita de O, tal que o segmento retilíneo orientado OP tem um comprimento positivo que contém x vêzes o comprimento por nós adotado como unidade. dizemos, então, que o ponto P corresponde ao número positivo x. Semelhan- temente, se P” é qualquer ponto sôbre X'X e à esquerda de O, tal que o seg- mento retilíneo orientado OP” tem um. comprimento negativo de a” unidades, dizemos então que o ponto P” corresponde ao número negatito a. Desta maneira qualquer número real dado « pode ser representado por um ponto P sôbre a reta X'X, e, inversamente, qualquer ponto dado P sôbre a reta X'X representa um número real x cujo valor numérico é igual ao compri- mento do segmento OP e cujo simal é positivo ou negativo conforme P esteja à dircita ou à esquerda de O. Em consegiiência construímos um esquema pelo qual é e abelecida uma correspondência recíproca entre os pontos geométricos e números reais, sendo um tal esquema denominado sistema de coordenadas. No caso particular em consideração, visto que todos os pontos estão situados na mesma reta, O sis- tema é denominado sistema unidimensional de coordenadas ou linear. Rela- tivamente à Fig. 3, denomina-se cixo à reta X'X e origem ao ponto O do sis- tema linear de coordenadas. O número real «, correspondente ao ponto P. é denominado à coordenada do ponto P e é representado por (x). Obvia- mente, de acôrdo com as convenções adotadas, a origem O tem a coorde- nada (0) « o ponto À tem a coordenada (1). Diz-se que o ponto PSsE coordenada (x), é a representação geométrica ou gráfica do número real ss GEOMETRIA ANALÍTICA medidas ao longo do eixo X para a direita de O são positivas e para a esquerda são negativas; as ordenadas medidas ao longo do cixo Y acima de O são positivas e abaixo são negativas. Estão indicados na Fig. 4 os sinais das coor- denadas nos quatro quadrantes. É evidente que cada ponto distinto P no plano coordenado tem um e apenas um par de coordenadas (x,y). Inversamente, qualquer par de coorde- nadas (x,y) determina um e apenas um ponto no plano coordenado. Y A Y Fra. 5 n geral para as coordenadas (x,y), xy, de maneira que o ponto com coordenadas (x,y) é distinto do ponto com coordenadas (y, x), em consegiiência, é importante cscrever as coordenadas na ordem adequada, a abscissa em primeiro lugar e a ordenada em segundo lugar. Por esta razão um de coordenadas no plano é denominado um par ordenado de núme- ros reais, Podemos então dizer, conforme nossa anterior discussão, que o 5 tema de coordenadas retangulares no plano estabelece uma correspondência binnivoca entre cada ponto do plano e um par ordenado de números reais. A localização de um ponto por meio de suas coordenadas é denominada gráfico do ponto. Por exemplo, para marcarmos o ponto (—5, —6), obte- mos primeiro o ponto À sôbre o eixo X à esquerda de Q a 5 unidades; então, desde À, sôbre uma reta paralela ao eixo Y, medimos 6 unidades abaixo do eixo X, chcgando-se assim ao ponto P(—S, —6). Na Fig. 5, além dêste ponto, também estão representados os pontos (2,6), (—6,4) e (4,2). O gráfico de pontos é grandemente facilitado pelo uso de papel de covrde- nadas retangulares que se apresenta dividido em quadrados iguais forma- dos par retas paralelas aos eixos coordenados. Uma ilustração de tal papel GEOMETRIA ANALÍTICA A área do triângulo (Apêndice IA, 1) Exercícios. Grupo 1 Desenhar a figura relativa a cada exercício. Ra Sendo 4 e R dois pontos distintos sôbre uma ret, mostrar que AB+ PÃO e —BB=. A Mostrar que as relações (4), (e) c (f) são redutíveis à relação (2) do Art 2 43. Se 4, B, (e D são quatro pontos quaisqrer distintos sôbre uma linha reta, mostrar que, para tôdas as disposições possíveis dêstes pontos sôbre a reta, ABA BC4CD=AD. 44. Determinar a distância entre 05 pontos cujas coordenadas são: (—5) e (6); (3) e 8 e (13) 7.5: À eistância entre dois pontes é 9. Se um ponto é (—2), determinar o outro ponto. (Dois casos.) “6. Num sistema linear de coordenadas Pi(ai) é Pe(z) são os extremos dados de um segmento retilíneo orientado. Mostrar que a coordenada (x) de um ponto P que divide PARRA PP: na razão dada r—PP:PP, é 1+r «7. Para 1-1 mostrar por meiu du Exerce. 6 que à coordenada do ponto médio de um segmento retilineo orientado é a média à itméui a das coordenadas de seus extremos, 8. Determinar os pontos 'de trisseção é 'ô punto médio do segmento Fetilineo orientado cujos extremos são (—7) e (—I9), “9. Um extremo de um segmento zetilínco orientado é (. Determinar o outro extremo. 10. Os extremos de um segmento retilíneo orientado são P(4) e PS). Dete; nara ra PeP: PP; na qual o ponto P(7) divide êste segmento. ll. Um quadrado de lado 2a tem scu contro na origem e sens lados paralelos aos eixos coordenados. Determinar zs coordenadas de seus quatro vértices. (12. Três vértices de um retângulo são (2,1), (1,1) e (73). Determinar o quarto vértice e a área do retângulo. je cer ponto médio é (3). 433. Os vércices de um triângulo retângulo são (1,2), (42) e (42). Determinar os catetos v assim calcular a área do triângulo e o comprimento da hipotenusa. 414. No triângulo retângulo do Excre, 13 determinar os pontos médios dos catetos e assim determinar o ponto médio da hipotenusa. 415. Determinar » distância da origem ao ponto (a, b) “16. Determinar a distância entre os pontos (60) e (0,8). 417, Os vértices de um quadrilátero são (1,3), (7,3), (9,8) e (3,8). Mostrar que o quadrilátero é um paralelogramo e determinar sua área. 418. Dois dos vértices de um triângulo egiilátero são (1, c (31. Achar coordenadas do terceiro veruc.. (1)ois vasos.) 19. Mostrar que (5), (02) e (0,--2) são os vértices de um triângulo isósceles e achar sua áre; 20. Mostrar que (00), (3,4), (8,4) e (54) são os vértices de um losango e determi- nar sua área, Ae O PONTO NO PLANO 9 5. A natureza da Geometria Analítica. A Geometria elementar an- teriormente estudada pelo aluno é denominada Gcometria pura a fim de distingui-la de nosso presente assunto. Vimos há pouco que por meio de um sistema de coordenadas é possível obter uma correspondência biunívoca entre pontos e números reais; isto nos possibilita aplicar os métodos da Análise à Géomerria, donde a designação Geometria Analítica. À medida que progre- dirmos em nosso trabalho veremos, por exemplo, como equações e processos algébricos podem ser vantajosamente empregados na solução de problemas geométricos. Inversamente, os métodos da Geomctria Analítica podem ser usados para obter uma representação de equações e relações funcionais. O conceito de um sistema de coordenadas, que caracteriza a Geometria Analítica, foi aplicado pela primeira vez em 1637 pelo matemático francês Rexé Descartes (1596-1650), sendo esta a r porque a Geomctria Ana- lítica é fregiientemente denominada Geometria Cartesiana. Em sua contri- buição para a unificação de vários ramos da Matemática, a introdução da Geomerria Analítica representa um dos mais importantes avanços no de- senvolvimento da Matemática. O estudante viu no estudo de Geometria pura que, geralmente, era neces- sário aplicar um método especial ou artifício para a solução de cada pro- blema individual; cem Geometria Analítica, entretanto, uma grande varie- dade de problemas pode ser resolvida muito facilmente por meio do processo uniforme associado com o uso de um sistema de coordenadas. O estudante deve ter em mente que agora êle está seguindo um curso de Geometria Ana- lírica e que a solução de um problema geométrico não terá sido efetuada por métodos analíticos a menos que tenha sido empregado um sistema de coor- denadas, Conseguintemente. é um bom plano para iniciar a solução de um problema, desenhar primeiramente um conjunto de eixos coordenados, ade- quadamente sinalizados. Isto é particularmente importante nas etapas ini- ciais do estudo de Geometria Analítica, pois um defeito comum no princi piante é que, se o problema com o qual se defronta o perturba, é Ele inclinado a recair nos métodos da (icometria pura. O estudante deverá empregar muito esfôrço para evitar esta tendência e empenhar-se em imbuir-se do método e espínto analíticos tão cedo quanto possível. 6. A Distância entre dois x pontos dados. Sejam Pi(x1,41) € Polio, y2) dois pontos quaisquer B dados, como se representa na Fig. 7. Desejamos determinar a dis- tância d entre P, e Ps, onde Como está indicado na figura, traçamos de P, e P» per- pendiculares a ambos os eixos coor- denados, sendo E a interseção de PÃ com Pol), assim formando o triângulo retângulo P;EP.. Temos então pelo Teorema de PrTÁcoRras «1 Pb? 4 EPP. Pyzy) PPP 
