Gatilho de Matemática de Hwang Jorge, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática

Baixe Gatilho de Matemática de Hwang Jorge e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!

PREPARAÇÃO PARA O ENSINO

SUPERIOR

Vol. 2

Índice

• 1 INTRODUÇÃO
• 2 CONJUNTOS NUMÉRICOS
  • Números Naturais ------------------------------------------------------------------------------
  • Números Inteiros Relativos -------------------------------------------------------------------
  • Números Racionais ---------------------------------------------------------------------------
  • Números Reais ----------------------------------------------------------------------------------
• 3 TEOREMA DE CONJUNTOS..................................................................................................
  • Representação De Conjuntos ----------------------------------------------------------------
  • Conjunto Unitário ------------------------------------------------------------------------------
  • Conjunto Vazio----------------------------------------------------------------------------------
  • Igualdade Conjuntos ---------------------------------------------------------------------------
  • Complementar De Um Conjunto ------------------------------------------------------------
  • Reunião De Conjuntos -------------------------------------------------------------------------
  • Intersecção De Conjuntos ---------------------------------------------------------------------
• 4 INTERVALOS REAIS
• 5 NÚMEROS COMPLEXOS
  • Igualdade De Números Complexos ---------------------------------------------------------
  • Operações Com Números Complexos ------------------------------------------------------
• 6 LOGICA MATEMÁTICA
  • Proposições ---------------------------------------------------------------------------------------
  • Conjunção ( ) ----------------------------------------------------------------------------------
  • Disjunção ( ) ------------------------------------------------------------------------------------
• IMPLICÂNCIA
  • Equivalência (↔) -------------------------------------------------------------------------------
• NEGAÇÃO DE UMA PROPORÇÃO
• 7 ARITMÉTICA
  • Tipos de fracções --------------------------------------------------------------------------------
  • MDC -----------------------------------------------------------------------------------------------
  • Proporcoes ---------------------------------------------------------------------------------------
  • Razão ----------------------------------------------------------------------------------------------
  • Regra De Tres -----------------------------------------------------------------------------------
  • Percentagem -------------------------------------------------------------------------------------
  • Aumentos E Descontos Percentuais --------------------------------------------------------
• 8 POTENCIAÇÃO
  • Propriedades De Potências -------------------------------------------------------------------
  • Notação Científica ------------------------------------------------------------------------------
• 9 RADICIAÇÃO
  • Classificação de radicais ----------------------------------------------------------------------
  • Operações entre radicais ----------------------------------------------------------------------
  • Racionalizacao De Denominador------------------------------------------------------------
• 10 EQUAÇÕES DO PRIMEIRO GRAU (EQUAÇÕES LINEARES)
• 11 EQUAÇÕES QUADRATICAS
  • Soma e produto duma expressão polinomial ---------------------------------------------
  • Equações paramétricas ------------------------------------------------------------------------
  • Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 = 𝟎 -------------------------------------
  • Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒄 = 𝟎 -------------------------------
  • Equação quadrática incompleta do tipo: 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 = 𝟎 -----------------------------
  • EquaÇão quadrata completa, tipo : 𝒂𝒙𝟐 + 𝒃𝒙 + 𝒄 = 𝟎 ------------------------------
  • Informações relevantes sobre equações quadráticas: -----------------------------------
• 12 ALGÉBRA.........................................................................................................................
  • Classificação das expressões ------------------------------------------------------------------
  • Polinómio racional inteiro homogéneo -----------------------------------------------------
  • Polinómio racional inteira ordenado -------------------------------------------------------
  • Polinómio nulo ----------------------------------------------------------------------------------
  • Polinómios idênticos ---------------------------------------------------------------------------
  • Operações com polinómios -------------------------------------------------------------------
  • Divisibilidade de polinómios -----------------------------------------------------------------
  • Método De Briot-Ruffini ----------------------------------------------------------------------
  • Teorema do resto -------------------------------------------------------------------------------
    • Classificação das expressões algébricas -------------------------------------------------
• Expressão -------------------------------------------------------------------------------------------------
• 13 EQUACÕES DO 3° GRAU
• 14 EQUACÕES DO 4° ,6° ,8°… GRAUS
• 15 EQUACOES IRRACIONAIS
• EXPRESSÕES EXPONENCIAIS
  • Equações Exponenciais ------------------------------------------------------------------------
  • Inequações Exponenciais ----------------------------------------------------------------------
• 16 LOGARITMOS
  • Cologaritmo --------------------------------------------------------------------------------------
  • Antilogaritmo ------------------------------------------------------------------------------------
  • Logaritmo natural ----------------------------------------------------------------------------
  • Propriedades de logaritmos ----------------------------------------------------------------
• 17 SISTEMA DE DUAS EQUAÇÕES A DUAS INCÓGNITAS
  • Método da Substituição ---------------------------------------------------------------------
  • Método da Adição ordenada ---------------------------------------------------------------
• 18 INEQUAÇÕES
  • Inequação Produto ---------------------------------------------------------------------------
  • Inequações Quociente ------------------------------------------------------------------------
• 19 MÓDULO DE UM NÚMERO REAL
  • Equações Inequações Modulares ----------------------------------------------------------
• 20 BINOMIO DE NEWTON E ANÁLISE COMBINATÓRIA
  • Triângulo de Pascal --------------------------------------------------------------------------
  • Arranjos ----------------------------------------------------------------------------------------
  • Permutação ------------------------------------------------------------------------------------
  • Combinações -----------------------------------------------------------------------------------
• 21 PROBABILIDADE E ESTATÍSTICA
  • Estatística---------------------------------------------------------------------------------------
• 22 TRIGONOMETRIA
  • Tabelas de ângulos ---------------------------------------------------------------------------
  • Fórmulas fundamentais da trigonometria ----------------------------------------------
    • Círculo trigonométrico ---------------------------------------------------------------------
• 23 GEOMETRIA PLANA
  • Ângulos complementares e suplementares ----------------------------------------------
  • Ângulos opostos pelo vértice ---------------------------------------------------------------
  • TRIÂNGULOS Definição:------------------------------------------------------------------
  • Semelhança de triângulos -------------------------------------------------------------------
  • Teorema de Tales (Caso Geral da Semelhança de Triângulos) ---------------------
  • Circunferência --------------------------------------------------------------------------------
  • Lei dos senos. ----------------------------------------------------------------------------------
• 24 FUNÇÃO LINEAR
  • Função afim ------------------------------------------------------------------------------------
  • Imagem -----------------------------------------------------------------------------------------
  • Zero da função afim --------------------------------------------------------------------------
  • Crescimento / decréscimo da função afim -----------------------------------------------
• 25 FUNÇÃO QUADRÁTICA
  • Definição ----------------------------------------------------------------------------------------
    • Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------
    • Concavidade -----------------------------------------------------------------------------------
    • Zeros ---------------------------------------------------------------------------------------------
  • 25.4.1 Número de raízes
    • Máximo e Mínimo ----------------------------------------------------------------------------
    • Vértice da parábola --------------------------------------------------------------------------
    • Imagem -----------------------------------------------------------------------------------------
    • Eixo de simetria -------------------------------------------------------------------------------
    • Informações que auxiliam a construção do gráfico -----------------------------------
• 26 FUNÇÃO DO GRAU - Função 𝑓𝑥 = 𝑥 3 -------------------------------------------------------------------------------
• 27 FUNÇÃO EXPONENCIAL - Definição ---------------------------------------------------------------------------------------- - Propriedades ----------------------------------------------------------------------------------- - Imagem ----------------------------------------------------------------------------------------- - Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------
• 28 FUNÇÃO LOGARÍTMICA................................................................................................. - Definição ---------------------------------------------------------------------------------------- - Propriedades ----------------------------------------------------------------------------------- - Imagem ----------------------------------------------------------------------------------------- - Gráfico ------------------------------------------------------------------------------------------
• 29 FUNÇÃO HOMOGRÁFICA - Gráficos da função homográfica ----------------------------------------------------------
• 30 FUNÇÕES TRIGONOMÉTRICAS - Função Seno -----------------------------------------------------------------------------------
  • 30.1.1 Definição
  • 30.1.2 Propriedades
  • 30.1.3 Gráfico
    • Função cosseno --------------------------------------------------------------------------------
  • 30.2.1 Definição
  • 30.2.2 Propriedades
  • 30.2.3 Gráfico
• 31 SUCESSÕES - Progressão aritmétrica ----------------------------------------------------------------------
  • 31.1.1 Definição
  • 31.1.2 Classificação
  • 31.1.3 Fórmula do Termo Geral
    • Progressão Geométrica ----------------------------------------------------------------------
  • 31.2.1 Definição
  • 31.2.2 Fórmula do Termo Geral
• 32 LIMITES......................................................................................................................... - Definição de limite de uma função num ponto ----------------------------------------- - Limite de função racional tipo lim𝑥 → ∞𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ----------------------------------- - Limites de funções racionais do tipo lim𝑥 → 𝑎 𝑓(𝑥)𝑔(𝑥) ---------------------------- - Limites de funções irracionais ------------------------------------------------------------- - Limites de funções trigonométricas -------------------------------------------------------
• 33 CONTINUIDADE DE FUNÇÕES........................................................................................ - Continuidade de uma função num ponto ------------------------------------------------
• 34 CÁLCULO DIFERENCIAL - Definição de derivada ------------------------------------------------------------------------ - Interpretação Geométrica ------------------------------------------------------------------ - Interpretação Cinemática------------------------------------------------------------------- - Propriedades das Derivadas ----------------------------------------------------------------
  • 34.4.1 Derivada da função potência
  • 34.4.2 Derivada da função exponencial
  • 34.4.3 Derivada da função seno e cosseno
  • 34.4.4 Derivada da Soma
  • 34.4.5 Derivada da Produto
  • 34.4.6 Derivada de Quociente.........................................................................................................................
  • 34.4.7 Derivada de uma função composta (Regra de Cadeia)
• 35 ESTUDO DA VARIAÇÃO DE UMA FUNÇÃO - Sentido da concavidade e ponto de inflexão -------------------------------------------- - Determinação das assímptotas ------------------------------------------------------------- - Estudo completo de funções ----------------------------------------------------------------
• 36 INTRODUÇÃO AO CÁLCULO INTEGRAL - Tabela de Integrais --------------------------------------------------------------------------- - Método da Substituição ou Mudança de Variável para Integração ---------------
  • Método da Integração por Partes ---------------------------------------------------------
• 37 MATRIZ DE EXAME DE ADMISSÃO

1 Introdução

Com o objectivo de garantir a sua admissão em qualquer universidade, foi elaborado este manual completo com todos os conteúdos avaliados nos exames de admissão. Este manual possui 23 capítulos e um capítulo com a matriz do exame de matemática. Cada capítulo possui um contéudo teoría e uma série de exercícios resolvidos para expandir os seus níveis de comprensão. E após cada capítulo, há exercícios propostos para avaliares os seus níveis de assimilação. Recomenda-se a concluir estes exercícios para em seguida transitar para o capítulo seguinte. Neste livro terás toda a matéria avaliada nos exames, no entanto não se dispensa conteúdos complementares.

Números Racionais

Subconjuntos dos números racionais

Q ouQ + + Conjuntos dos racionais positivos (não negativos)

Q ouQ − − Conjuntos dos racionais negativos

(não positivos)

Q * Conjuntos dos racionais não nulos

Números Reais

Ex.: de números irracional^2 =^ 1,4142136...;^ =3,1415926..

2 1; 3 2; 3 ;^3

R 2

São irracionais

Subconjuntos dos números reais

R ouR + + Conjunto dos números reais positivos

R ouR − − Conjunto dos números reais negativos

Chama-se conjunto dos números racionais ( Q) o conjunto dos pares ordenados ou (fracções) onde

x  zey  z *^ ( y 0)

x

y

N  Z  Q

Chama-se conjunto dos números reais( R) o conjunto de todos números decimais exactas ou periódicas (racionais) e conjunto de números decimais não exactas e não periódicas (chamados irracionais)

GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição^14

R * Conjunto dos números reais não nulos

1. Mostre que 5 é um número irracional.

2. Provar que a, b, c, d, são racionais, p é primo positivo e a + b p = c + d p então

a = c e b = d.

3. Determine a geratriz de a) 0, 666... b)0, 272727...

Resolução

é raiz do polinómio. Pelo teorema, suas possíveis raízes racionais são , Vamos verificar:

Logo, esse polinómio não admite raízes racionais. Como é raiz, deve ser irracional

(^5) p x ( (^) )= x^2 − 5 −5, −1,1 ou 5

p (^) ( ) 1 = 12 − 5 = − 4  0 p (^) ( − (^1) ) = −( 1 ) 2 − 5 = −  1 0; p (^) ( ) 5 = 52 − 5 = 20  0 p ( − (^5) ) = −( 5 ) 2 − 5 = 20  0 5

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS

Resolução:

a + b p = c + d p  ( b − d )= c − a Como c − a é racional, a ultima igualdade só subsiste quando

(^ b^ −^ d^ ) p ^ isto^ é, se^ b^ −^ d =^0. Neste caso^ c^ −^ a =^0 , provando a tese.

Resolução:

: 0, 666... 10 6, 666... 10 6 9 6 6 2 9 3

seja x x x x x x

= → = = + → = → = =

seja x x x x x x x x

Assim, a fracção geratriz de 0, 666.. é. 23 Assim, a fracção geratriz de0, 272727.. é. 113

Nota que o diagrama de venn pode representado por quadriláteros ou círculos

Conjunto Unitário

Ex:.

Conjunto dos divisores de 1 inteiros e positivos {1}

Conjunto das soluçoes da equaçao 5x-1=19 {4}

Conjunto Vazio

Exemplos

   

2. : 0 e 0

x x x x x x

Subconjunto

Conjunto Universo

Chama-se conjunto unitário aquele que possui um único elemento.

Chama-se conjunto vazio aquele que não possui elemento alguém o símbolo usual para conjunto vazio é ∅.

Um conjunto B e subconjunto de conjunto A se todo elementos do conjunto A pertencer também a B B  A  ( x x (^) )  B  x  A

GATILHO DE MATEMÁTICA | 1ª Edição^17

Igualdade Conjuntos

Ex:

1. {a, b, c, d} = {d, c, b, a}
2. {1, 3, 5, 7, 9, …} = {x: x é inteiro positivo e ímpar}
3. { x : 2 x +1= 5} = {2}

Observa:

• Que na definição de igualdade entre conjuntos não intervém a noção de ordem entre os elementos no entanto: {a, b, c, d} = { d, c, b, a} = {b, a, c, d}
• Nota que a repetição de um elemento na descrição de um conjunto é algo totalmente inútil por exemplo:
• {a, b, c, d} = {a, d, c, b, b, a, c, d, d} = {b, a, c, d} para evitar de confundir basta usar a definição.

Complementar De Um Conjunto

Propriedades de complementares Propriedades de complementação

Dois conjuntos A e B são iguais quando todo elemento de A pertence a B e, reciprocamente, todo elemento de B pertence A

A = B  ( x x (^) )  A  x  B

Chama-se conjunto universo o conjunto dos quais todos conjuntos em estudo são subconjuntos símbolo U

( ) ( )

B B A A A A A B A A B C (^) B C

B= e B=A e A B





   =  = =

ð ð ð ð ð ð

Chama-se complementar de A em relação a um dado conjunto B ao conjunto de todos elementos de B que não pertencem a A.

B C A =A\B=A

Reunião De Conjuntos

Propriedades de reunião

Intersecção De Conjuntos

Propriedades de intersecção

CARDINAL DE UM CONJUNTO

Dados dois conjuntos de A e B chama-se diferença simétrica de A e B a condição:

A  B=A\B  B\A ou A  B = A − B  B −A

Seja dois conjuntos A e B chama-se reunião de A com B ao conjunto de todos elementos de conjunto A e do conjunto B

Chama-se intersecção de A com B ao conjunto de elementos que pertencem simultaneamente ao conjunto A e ao conjunto B

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

A A = A idempotente A U= A elemento neutro A B = B A comutativa A B C A B C associativa

      =  

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

A A=A idempotente A A elemento neutro A B=B A comutativa A B C =A A C associativa

Cardinal de um conjunto finito A é o número de elementos deste conjunto. Representa-se #A e lê-se cardinal do conjunto A

E

Ex: A = a e i o , , , , u   # A = 5

PRODUTO CARTESIANO

Exemplos

1º Se A = (^)  1, 2,3  e B =1, 2  temos:

( )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )

^ ( )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )^ (^ )

e 1,1 , 1, 2 , 1,3 , 2,1 , 2, 2 , 2,

A B

B A

e as presentações no plano cartesiano são as seguintes:

CONJUNTOS DISJUNTOS

Exercícios resolvidos

Chama-se conjuntos disjuntos a dois conjuntos cuja intersecção de é um conjuntos vazio.

A  B = 

O produto cartesiano de dois conjuntos A e B é o conjunto de todos pares ordenados que se podem formar, indicando primeiro um elemento de A e depois de B , e representa-se por A×B

EXERCÍCIOS RESOLVIDOS