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NOÇÕES DE MECÂNICA DOS FLUIDOS (PME 2332-2333)
Gabarito Primeira Prova - 2009
1. Um corpo cilíndrico (diâmetro D = 12 cm e altura H = 12 cm ) está girando com
velocidade angular constante num recipiente fixo cheio de óleo de viscosidade
− 1 Ω= 2 s
μ = 0 , 1 Pa s , como mostrado na figura. Se a espessura da película de óleo em todos os
lados for ε = 1 , 2 mm , determinar o torque e a potência necessária para manter o
movimento. Notar que a película de óleo existe nas superfícies inferior, superior e lateral
do corpo. Desprezar o diâmetro do eixo em comparação com o diâmetro do corpo. (
pontos)
Lei de viscosidade de Newton:
dy
du
Solução:
A tensão de cisalhamento nas superfícies inferior e superior resulta:
Ω r
O elemento de torque viscoso na superfície inferior ou superior resulta:
dTv rdrr r dr
Integrando, obtemos:
4 4
0
3 R D
T r dr
R
v
Somando, o torque nas superfícies horizontais (inferior mais superior) resulta:
H
D
4 D Tv (^) h Tv
A tensão de cisalhamento na superfície lateral resulta:
Ω R
O elemento de torque viscoso na superfície lateral resulta:
dTv (^) l RdzR R dz
3 3
0
3 R H D H dz
R
T
H
vl
∫
Integrando, obtemos:
D
D H
T (^) vtot Tvh Tvl 1 4 16
4
O torque total resulta:
A potência resulta:
Para os dados do exercício, resultam: ,.
D
D H
W Tvtot 1 4 16
2 4
T N m W W
2 6 , 786 10
− v tot &= ×
2 3 , 393 10
− = ×
2. Uma bomba fornece água (de massa específica r) com uma vazão volumétrica Q à
atmosfera, através de um conduto de diâmetro D constante com uma válvula
parcialmente aberta na saída, como mostrado na figura. A saída está localizada a uma
altura h acima da superfície do reservatório de onde é extraída a água. A altura de carga
da bomba D h (^) p está relacionada com a vazão como segue:
2 Δ h (^) p = A − B Q
onde A e B são constantes dimensionais. A perda de altura no sistema pode ser
caracterizada com um coeficiente de perda K. Nestas condições, deduzir uma expressão
para a vazão volumétrica em regime permanente em função dos parâmetros r, A , B , h ,
D , g (aceleração gravitacional) e K. Que condição deve ser satisfeita para que seja
possível o fornecimento de água? (4 pontos)
válvula
ar
bomba
água
3. Para o escoamento no bocal descarregando na atmosfera com o tubo Pitot mostrado na
figura, calcular a velocidade V 1 e a pressão manométrica p 1 (^) − pa conhecidos unicamente
a velocidade V (^) 2 = 20 m / s e a altura H = 5 cm. Desprezar o atrito e considerar a
gravidade e as massas específicas da água e do mercúrio
. (3 pontos)
2 9 , 8 m / s
3 3 kg / m
g =
x 10
3 3
ρ= 1 x 10 kg / m
ρ m = 13 , 6
Bernoulli: p + ρ V +ρ gz = cte
2
Lei de Stevin: p + ρ gz = cte
água
1
p
a
p
mercúrio
1 a
p − p
Solução:
Bernoulli numa linha de corrente entre (1) e a saída (2):
( )
2 1
2 1 2
2 2
2 1 1 2
p + ρ V = pa + ρ V ⇒ p − pa = ρ V − V (1)
Bernoulli na linha de corrente entre a saída (2) e o ponto de estagnação no Pitot (s):
p (^) a + V = p s
2 2 2
Relação no manômetro:
p (^) 1 + ( ρ m − ρ) gH = ps (3)
Eliminando ps entre as Eq. (2) e (3) obtemos:
p − pa = ρ V − ( ρ m − ρ) gH
2 1 2 2
Eliminando p (^) 1 − pa entre (1) e (4) obtemos:
( )
1 / 2
1
2 1 2 1 2
m V (^) m gH V gH (5)
Para os dados do exercício, resultam: p 1 (^) − pa = 193 , 8 kPa , V 1 (^) = 3 , 514 m / s.
