1
MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmulas e Nomenclaturas
Prof. Esp. Mário Ferreira Neto
1
10/AGOSTO/2011
1
Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.
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Fórmulas e nomenclaturas de matemática financeira, Trabalhos de Contabilidade
TRABALHO ACADÊMICO
Tipologia: Trabalhos
2012
1 / 15
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MATEMÁTICA FINANCEIRA
Fórmulas e Nomenclaturas
Prof. Esp. Mário Ferreira Neto^1
10/AGOSTO/
(^1) Professor Especialista em Matemática e Estatística pela Universidade Federal de Lavras – Minas Gerais.
Fator multiplicativo ou fator matemático:
i
Fm
Fm→ fator matemático i→ taxa de juros
Fórmula da capitalização simples ou juros simples:
J = PV. i. n ou J = C. i. n
J→ juros PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital
FV = PV + J ou M = C +J
FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital J→ juros
J = FV – PV ou J = M - C
J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital
Fórmulas auxiliares de juros simples:
i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) C→ capital
FV = PV. (1 + i)n^ ou M = C. (1 + i)n
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo) M→ montante C→ capital
J = FV – PV ou J = M – C
J→ juros FV→ valor futuro PV→ valor presente M→ montante C→ capital
Fórmulas auxiliares de juros compostos:
1 - Valor presente ou capital:
n
i
J
PV
PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de períodos (período de tempo)
2- taxa:
n 1
PV
FV
i
i→ taxa de juros FV→ valor futuro PV→ valor presente n→ número de períodos (período de tempo)
3- número de períodos ou período de tempo:
i
PV
FV
n
log 1
log
n→ número de períodos (período de tempo) FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros log→ logaritmo
Fórmula de financiamento (coeficiente de financiamento):
n
i
i
CF
ou
i n
i CF
CF→ coeficiente de financiamento
CF
PMT
PV
PV→ valor presente (igual ao valor á vista do produto) PMT→ valor da prestação CF→ coeficiente de financiamento
Taxa é um índice numérico relativo cobrado sobre um capital para a realização de alguma operação financeira.
Fórmula de taxa proporcional:
2
1
2
1
t
t
i
i
i 1 → taxa inicial (taxa que tenho) i 2 → taxa final (taxa que quero) t 1 → tempo inicial (tempo que tenho em mês) t 1 → tempo final (tempo que tenho convertido para o número de capitalizações)
Fórmula de taxa equivalente:
ie = (1 + ik)k^ – 1
ie→ taxa equivalente (taxa que quero) ik→ taxa equivalente qualquer (taxa que tenho) k→ número de capitalizações convertido para a unidade padrão ou unidade apropriada
Fórmula de situações possíveis com taxa equivalente:
Fórmula Taxa Período Número de capitalizações 1+ia = (1+isem)^2 isem semestre 2 1+ia = (1+iquad)^3 iquad quadrimestre 3 1+ia = (1+itrim)^4 itrim trimestre 4 1+ia = (1+imes)^12 imes mês 12 1+ia = (1+iquinz)^24 iquinz quinzena 24 1+ia = (1+isemana)^24 isemana semana 52 1+ia = (1+idias)^365 idias Dia 365
Taxa Nominal é quando o período de formação e incorporação dos juros ao capital não coincide com aquele a que a taxa está referida.
iN = n x i
in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Taxa Efetiva é quando o período de formação e incorporação dos juros ao Capital coincide com aquele a que a taxa está referida.
ie = (1 + ie)1/n^ – 1
in→ taxa nominal i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Taxa Real é a taxa efetiva corrigida pela taxa inflacionária do período da operação.
vreal = 1,326 / 1,3 = 1,
o que significa que a taxa real no período foi de:
ireal = 2%
Capitalização em períodos fracionários:
CONVENÇÃO LINEAR por esta convenção calcula-se o montante ou valor futuro a juros compostos do número de períodos inteiros. Ao valor futuro (montante) obtido adicionam-se os juros simples correspondentes no período fracionário.
FV = PV. (1 + i)n^ + PV (1 + i)n^. i. p/q
Juros compostos Nos períodos inteiros
Juros simples Nas frações de períodos (taxa proporcional)
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
n + p/q: prazo total de n: número de períodos inteiros e p/q: fração desse período para calcular o montante ou valor futuro atingido pelo capital ou valor presente na taxa: i no fim de n + p/q períodos:
FV = PV (1 + i)n^. [1 + i. (p/q)]
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
CONVENÇÃO EXPONENCIAL na convenção exponencial o capital ou valor presente renderá juros compostos durante todo o período de aplicação, ou seja, nos períodos inteiros e fracionários. É conveniente notar que, nos períodos fracionários, o cálculo é efetuado pela taxa equivalente.
FV = PV (1 + i)n. (+ p/q)
FV→ valor futuro PV→ valor presente i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos n + p/q→ prazo total p/q→ fração do período total
ATENÇÃO: ao se resolverem problemas de capitalização com períodos fracionários, o primeiro passo é definir claramente qual a convenção a ser utilizada, isto é, se vai ser aplicada a convenção linear ou a exponencial. Se definido que a capitalização é LINEAR deve-se trabalhar com taxas proporcionais para o cálculo da capitallização no período fracionário. Se definido que será empregada a EXPONENCIAL será utilizada a taxa equivalente.
Fórmulas auxiliares do desconto comercial:
1- taxa:
Nn
D
i
i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação
2- valor nominal:
in
D
N
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face D→ Desconto i→ taxa de juros n→ número de períodos antecipação
Equação ou Formula do Valor Atual Comercial Simples:
A = N. (1 – i.n)
A→ Valor atual = valor líquido N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
Fórmulas auxiliares do valor atual:
1- taxa:
n
N
D
i
i→ taxa de juros D→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face n→ número de períodos de antecipação
Equação ou Formula do Desconto Comercial Composto:
Dc = N – Ac
Dc→ Desconto N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
Ac = N. (1 + i) –^ n^ ou c^ i n
N
A
N→ Valor nominal = valor bruto = valor de face Ac→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de períodos de antecipação
DESCONTO RACIONAL (POR DENTRO) COMPOSTO
Dr = N – Ar
Dr→ Desconto Racional Ar→ Valor atual = valor líquido i→ taxa de juros n→ número de capitalizações ou número de períodos
Equação ou Formula do Desconto Racional Composto: