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Combinatória
n!= n. (n-1)...2.1 ( )!
,
n r
n
An r
Pn = n!
,
r n r
n
C n r
Probabilidade
Enfoque clássico
n( )
n(A)
P (A)
(^) Enfoque empírico
n
f
P A Lim
n
f: freqüência de ocorrência do evento A no experimento n: nº de tentativas do experimento
Axiomas da probabilidade
P(A) 0 P( ) = 1 0 P(A) 1
Se A e B forem mutuamente excludentes, então P(AB)=P(A)+P(B)
Se Ai i = 1,2,...,n são eventos mutuamente excludentes P(A 1 A 2 A 3 ....An)=P(A 1 )+P(A 2 )+......+ P(An)
Se A e B não forem mutuamente excludentes, então P(AB)=P(A)+P(B)- P(AB)
P(ABC)=P(A)+P(B)+P(C) - P(AB)- P(AC)- P(BC)+ P(ABC)
Se A = P(A) = 0 A’ é evento complementar
P(A’ )=1-P(A)
Se A B P(A) P(B)
P(A B’)=P(A)-P(A B) P(A’B)=P(B)-P(AB) P(AB)=1-P(A’B’)
Probabilidade Condicional
P(B)
P(A B)
P (AB)
probabilidade do evento A dado que já ocorreu o evento B
P( A B) + P(A’ B) =1 P( A B’) + P(A’ B’) =
P(A B) = P(A) P( B A ) P(A B) = P(B) P( A B )
Eventos independentes Se A e B são eventos independentes então P(AB)=P(A).P(B)
Se Ai i = 1,2,...,n são eventos mutuamente independentes entre si P(A 1 A 2 .... An) = P(A 1 )P( A 2 ).....P( An)
Se A e B são eventos independentes então P( A B )= P(A) e P( B A )= P(B)
Teorema de Bayes
1
n
i
P B P Ai P B Ai
1
i
k
i
i
i i i
P A P B A
P A P B A
P A B
Organização de Dados
Média
n
x
x
i
n
f x
x
i i
Moda valor que ocorre com maior freqüência
Mediana (Md): é a medida que divide a distribuição
em duas partes iguais.
n ímpar: Md = x(n+1)/2 n par: Md = (xn/2 + xn/2+1)/
Quartis (Qi): são medidas que dividem a distribuição
em quatro partes iguais.
n ímpar: Q 1 = x(n+1)/4; Q 3 = x3(n+1)/
n par: Q 1 = (xn/4 + xn/4+1)/2; Q 3 = (x3n/4 + x3n/4+1)/
Possíveis “outliers”: Valores inf. a Q 1 – 1,5(Q 3 - Q 1 ) Valores sup. a Q 3 +1,5(Q 3 - Q 1 ) ondeIQR=(Q 3 - Q 1 )
Variância
n
X
X
n
n
x x
s
i i
i
2 2
2 2
n
f x
f x
n
n
f x x
s
i i i i
i i
2 2
2 2
Desvio padrão s raiz positiva da variância
Desvio médio absoluto
n
x x
n
d
DMA
n
i 1
i
n
i 1
i
Coeficiente de Assimetria
s
x)
3 (x
s
A
Se As< 0,15 simétrica 0,15As 1 => assimetria moderada As>1 => assimetria é forte
Coeficiente de Curtose É o grau de achatamento de uma distribuição em relação a uma distribuição
padrão (curva normal). 3 1
Q Q
C
P P
Leptocúrtica C< 0,263 Platicúrtica C > 0,263 Mesocúrtica C = 0,
mais fechada que a curva normal mais aberta que a curva normal é a própria curva normal.
Coeficiente de Variação amostra. 100
x
s
C .V. população C.V.. 100
CV< 15% baixa dispersão 15%≤CV ≤ 30% média dispersão CV > 30% elevada dispersão
O coeficiente de correlação Linear r
(PEARSON) XX YY
XY
S S
S
r
;- 1 r +
2 2
2 XX i
( X )
n
X
S (X X)
Desvio padrão da variável X
n 1
Sxx
n 1
(X X)
s
2 i X
2 2
2
Y
n
Y
SYY Yi Y
Desvio padrão da variável Y
n 1
S
n 1
(Y Y)
s
YY
2 i Y
X Y
n
XY
S (Xi X)(Yi Y)
XY
Variação de r Interpretação do valor da correlação
+1,0 Existe uma correlação positiva perfeita entre os dados. À medida que x aumenta, y aumenta.
0,8 < r < 1,0 Existe forte correlação positiva entre os dados. À medida que x aumenta, y aumenta.
0,4 < r < 0,8 Existe uma correlação positiva moderada entre os dados. À medida que x aumenta, y aumenta.
- 0,4 < r < 0,4 Existe muito pouca correlação entre os dados.
- 0,8 < r < - 0,4 Existe uma correlação negativa moderada entre os dados. À medida que x aumenta, y diminui.
- 1,0 < r < - 0,8 Existe forte correlação negativa entre os dados. À medida que x aumenta, y diminui.
- 1,0 Existe uma correlação negativa perfeita entre os dados. À medida que x aumenta, y diminui.
Estimadores dos parâmetros
coeficiente angular (declive)
XX
XY
S
S
B 1 =
X
Y
S
S
r
coeficiente linear (intercepto)B 0 YB 1 X
Função de Probabilidade
X é v.a. discreta: X é v.a contínua:
0 p(x) 1 e P ( X x ) p ( x ) 1 f(x) 0 e
f x dx se x é v.a.c.
Esperança Matemática: E(X)
E(X) = X x p ( x ) se x é v.a.d.
E ( X ) X xf ( x ) dx
se x é v.a.c.
Variância: V(X) =
2
x = E(X - )
2
= E(X
2
) – [E(X)]
2
2 2
E X x p x se x é v.a.d.
E ( X ) x f ( x ) dx
22 se x é v.a.c.
E(X - )
2
= (x - )
2
p(x) E(XY)= x y p(x,y)
Covariância = COV(X,Y) = E(XY) – E(X)E(Y) se X e Y são independentes a covariância é zero COV(X,Y)=
Coeficiente de correlação:
X Y X Y
X,Y
E(XY)-E(X)E(Y) COV(X,Y )
- 1 X , Y 1
Propriedades Seja X e Y duas variáveis aleatórias e a e b constantes e reais ( 0 )
E(a)=a E(bX)=b E(X) V(a)=0 V(bX)=b
2
V(X)
E(X+Y)= E(X)+E(Y) E(X-Y)= E(X)-E(Y) V(X+Y)= V(X)+V(Y)
se X e Y são v. a. independentes
V(X-Y)= V(X)+V(Y)
se X e Y v. a. são independentes
COV(X,Y)=E(XY)- E(X).E(Y) V(X+Y)= V(X)+V(Y)+2 COV(X,Y)
E(a X + b Y)= a E(X) + b E(Y) V(a X + b Y)= a
2
V(X) + b
2
V(Y)+2 a b COV(X,Y)
Distribuições Discretas
Binomial
Se X ~ B(n,p)
x nx x nx
p p
x n x
n
p p
x
n
P X x
^
E(X) = np V(X) = np(1-p)
n – nº de repetições do experimento; x – nº de eventos favoráveis; p – probabilidade de sucesso em cada ensaio.
hipergeométrica
( ) 0 x min( k , n )
n
N
n x
N k
x
k
P X x
E(X) = np
onde
N
k
p
N
N n VX np p
Poisson
X ~ P()
x
e
P X x
x
x – número de eventos favoráveis; – numero de eventos
favoráveis esperados
E(X) = V(X) =
Teste de hipótese
Teste de hipótese para a média - variância da população é conhecida
H 0 : = 0 Região crítica Estatística Teste
x
x 0 Z
n
x
1
N
N n
n
x
H 1 : > 0 Z > z 1 -
H 1 : < 0 Z < - z 1 -
H 1 : 0 Z < - z 1 - /2 ou Z > z 1 - / 2
Teste de hipótese para a média - variância da população é desconhecida
H 0 : = 0 Região crítica = n – 1 Estatística Teste
x
0
ˆ
x T
n
s
ˆ x
1
ˆ
N
N n
n
s x
H 1 : > 0 T > t ,
H 1 : < 0 T < - t ,
H 1 : 0 T < - t , /2 ou T > t , / 2
Proporção Distribuições binomiais ou amostras grandes np 5 n(1-p) 5
H 0 : = 0 Região crítica Estatística
Teste
p
o
p Z
n
0 (^1 0 )
p
N 1
N n
n
0 (^1 0 )
p
H 1 : > 0 Z > z 1 -
H 1 : < 0 Z < - z 1 -
H 1 : 0 Z < - z 1 - /2 ou Z > z 1 - / 2
Variância da população desconhecida
H 0 :^2
0
2
Região crítica = n – 1 ESTATÍSTICA TESTE
2 0
2
2 (n^1 )s
H 1 :
2 0
2
2 ,
2
H 1 :^2
0
2
2 , 1
2
H 1 :^2
0
2
2 ,/ 2
2
ou
2 , 1 / 2
2
Diferença de médias Variâncias iguais^2
2
2
porém desconhecidos
Distribuições normais ou amostras grandes n 1 30 n 2 30 Amostras independentes
H 0 : 1 = 2 Região crítica = n 1 + n 2 – 2 Estatística Teste
ˆ x
x d T
x x 1 x 2
1 2
x p
n
n
ˆ s
n n 2
(n 1 )s (n 1 )s
s
1 2
2 2 2
2 (^211) p
H 1 : 1 > 2 T > t ,
H 1 : 1 < 2 T < - t ,
H 1 : 1 2 T < - t , /2 ou T > t , / 2
Diferença de médias 1
2 2
2 (^) e conhecidos
H 0 : 1 = 2 Região crítica Estatística Teste
x
x d Z
x x 1 x 2
2
2 2
1
2 1 x
n n
H 1 : 1 > 2 Z > z 1 -
H 1 : 1 < 2 Z < - z 1 -
H 1 : 1 2 Z < - z 1 - /2 ou Z > z 1 - / 2
Diferença de proporções
Distribuições binomiais ou amostras grandes np 5 n(1-p) 5 Amostras independentes
H 0 : 1 = 2 Região crítica Estatística Teste
p
p d Z
p= p 1 - p 2
1 2
1 2
n n
x x
p
n
n
p( 1 p)(
1 2
p
H 1 : 1 > 2 Z > z 1 -
H 1 : 1 < 2 Z < - z 1 -
H 1 : 1 2 Z < - z 1 - /2 ou Z > z 1 - / 2
Igualdade de variâncias Distribuições normais Amostras independentes
H 0 :^2
2
2
Região crítica 1 =n 1 - 1 2 =n 2 - 1 Estatística Teste
F=
2 1 2 2
s
s
H 1 :^2
2
2
F > F 1 2;
H 1 :^2
2
2
F < F 1 2; 1-
H 1 :^2
2
2
F > F 1 2; /2 ou F > F 1 2; /
* F 1 2; 1- = 1/ F 2 1;
Tabela 1 - Valores da distribuição normal padrão -
du
u
2
z
2
Inteiro e
1 adecimal de z
2 a^ decimal de z
OBS.: (1) Se X não é padronizada, seus valores devem ser reduzidos por:
Z = (X - )/, i. é, P(X x) [(x - )/]. (2) Para z 4, (z) = 1 e para
z - 4, (z) = 0, com aproximação de 4 decimais. (3) Os valores na linha do
Tabela 2 - Valores da distribuição normal padrão inversa P ( Z z) = p
Inteiro 1 a^ e 2a
decimal de
p
3 a^ decimal de p
Tabela 3 - Valores críticos da distribuição t de Student
P(|t de Student| valor tabelado) = Valores bilaterais
OBS,:(1) G, L, = Graus de Liberdade
(2) Para valores à esquerda, isto é, teste unilateral à esquerda (ou mesmo
bilateral), aos níveis de significância acima, os valores tabelados são obtidos
apenas trocando-se o sinal dos valores da tabela, uma vez que a distribuição
OBS.: ( 1 ) g.l. = Graus de Liberdade do numerador
- (z ) P(Z z) e - - 3 0,0013 0,0010 0,0007 0,0005 0,0003 0,0002 0,0002 0,0001 0,0001 0,
- 2,9 0,0019 0,0018 0,0017 0,0017 0,0016 0,0016 0,0015 0,0015 0,0014 0,
- 2,8 0,0026 0,0025 0,0024 0,0023 0,00 23 0,0022 0,0021 0,0021 0,0020 0,
- 2,7 0,0035 0,0034 0,0033 0,0032 0,0031 0,0030 0,0029 0,0028 0,0027 0,
- 2,6 0,0047 0,0045 0,0044 0,0043 0,0041 0,0040 0,0039 0,0038 0,0037 0,
- 2,5 0,0062 0,0060 0,0059 0,0057 0,0055 0,0054 0,0052 0,0051 0,00 49 0,
- 2,4 0,0082 0,0080 0,0078 0,0075 0,0073 0,0071 0,0069 0,0068 0,0066 0,
- 2,3 0,0107 0,0104 0,0102 0,0099 0,0096 0,0094 0,0091 0,0089 0,0087 0,
- 2,2 0,0139 0,0136 0,0132 0,0129 0,0126 0,0122 0,0119 0,0116 0,0113 0,
- 2,1 0,0179 0,017 4 0,0170 0,0166 0,0162 0,0158 0,0154 0,0150 0,0146 0,
- 2,0 0,0228 0,0222 0,0217 0,0212 0,0207 0,0202 0,0197 0,0192 0,0188 0,
- 1,9 0,0287 0,0281 0,0274 0,0268 0,0262 0,0256 0,0250 0,0244 0,0238 0,
- 1,8 0,0359 0,0352 0,0344 0,0336 0,0329 0,032 2 0,0314 0,0307 0,0300 0,
- 1,7 0,0446 0,0436 0,0427 0,0418 0,0409 0,0401 0,0392 0,0384 0,0375 0,
- 1,6 0,0548 0,0537 0,0526 0,0516 0,0505 0,0495 0,0485 0,0475 0,0465 0,
- 1,5 0,0668 0,0655 0,0643 0,0630 0,0618 0,0606 0,0594 0,0582 0,0570 0,055
- 1,4 0,0808 0,0793 0,0778 0,0764 0,0749 0,0735 0,0722 0,0708 0,0694 0,
- 1,3 0,0968 0,0951 0,0934 0,0918 0,0901 0,0885 0,0869 0,0853 0,0838 0,
- 1,2 0,1151 0,1131 0,1112 0,1093 0,1075 0,1056 0,1038 0,1020 0,1003 0,
- 1,1 0,1357 0,1335 0,1314 0,1292 0,1271 0,1251 0,1230 0,1210 0,1190 0,
- 1,0 0,1587 0,1562 0,1539 0,1515 0,1492 0,1469 0,1446 0,1423 0,1401 0,
- 0,9 0,1841 0,1814 0,1788 0,1762 0,1736 0,1711 0,1685 0,1660 0,1635 0,
- 0,8 0,2119 0,2090 0,2061 0,2033 0,2005 0,1977 0,1949 0,1922 0,1894
- 0,7 0,2420 0,2389 0,2358 0,2327 0,2297 0,2266 0,2236 0,2206 0,2177 0,
- 0,6 0,2743 0,2709 0,2676 0,2643 0,2611 0,2578 0,2546 0,2514 0,2483 0,
- 0,5 0,3085 0,3050 0,3015 0,2981 0,2946 0,2912 0,2877 0,2843 0,2810 0,
- 0,4 0 ,3446 0,3409 0,3372 0,3336 0,3300 0,3264 0,3228 0,3192 0,3156 0,
- 0,3 0,3821 0,3783 0,3745 0,3707 0,3669 0,3632 0,3594 0,3557 0,3520 0,
- 0,2 0,4207 0,4168 0,4129 0,4090 0,4052 0,4013 0,3974 0,3936 0,3897 0,
- 0,1 0,4602 0,4562 0,4522 0,4483 0 ,4443 0,4404 0,4364 0,4325 0,4286 0,
- 0,0 0,5000 0,4960 0,4920 0,4880 0,4840 0,4801 0,4761 0,4721 0,4681 0,
- 0,0 0,5000 0,5040 0,5080 0,5120 0,5160 0,5199 0,5239 0,5279 0,5319 0,
- 0,1 0,5398 0,5438 0,5478 0,5517 0,5557 0,5596 0,5636 0,5675 0,5 714 0,
- 0,2 0,5793 0,5832 0,5871 0,5910 0,5948 0,5987 0,6026 0,6064 0,6103 0,
- 0,3 0,6179 0,6217 0,6255 0,6293 0,6331 0,6368 0,6406 0,6443 0,6480 0,
- 0,4 0,6554 0,6591 0,6628 0,6664 0,6700 0,6736 0,6772 0,6808 0,6844 0,
- 0,5 0,6915 0,6950 0 ,6985 0,7019 0,7054 0,7088 0,7123 0,7157 0,7190 0,
- 0,6 0,7257 0,7291 0,7324 0,7357 0,7389 0,7422 0,7454 0,7486 0,7517 0,
- 0,7 0,7580 0,7611 0,7642 0,7673 0,7703 0,7734 0,7764 0,7794 0,7823 0,
- 0,8 0,7881 0,7910 0,7939 0,7967 0,7995 0,8023 0,80 51 0,8078 0,8106 0,
- 0,9 0,8159 0,8186 0,8212 0,8238 0,8264 0,8289 0,8315 0,8340 0,8365 0,
- 1,0 0,8413 0,8438 0,8461 0,8485 0,8508 0,8531 0,8554 0,8577 0,8599 0,
- 1,1 0,8643 0,8665 0,8686 0,8708 0,8729 0,8749 0,8770 0,8790 0,8810 0,
- 1,2 0, 8849 0,8869 0,8888 0,8907 0,8925 0,8944 0,8962 0,8980 0,8997 0,
- 1,3 0,9032 0,9049 0,9066 0,9082 0,9099 0,9115 0,9131 0,9147 0,9162 0,
- 1,4 0,9192 0,9207 0,9222 0,9236 0,9251 0,9265 0,9278 0,9292 0,9306 0,
- 1,5 0,9332 0,9345 0,9357 0,9370 0,938 2 0,9394 0,9406 0,9418 0,9430 0,
- 1,6 0,9452 0,9463 0,9474 0,9484 0,9495 0,9505 0,9515 0,9525 0,9535 0,
- 1,7 0,9554 0,9564 0,9573 0,9582 0,9591 0,9599 0,9608 0,9616 0,9625 0,
- 1,8 0,9641 0,9648 0,9656 0,9664 0,9671 0,9678 0,9686 0,9693 0,9700 0 ,
- 1,9 0,9713 0,9719 0,9726 0,9732 0,9738 0,9744 0,9750 0,9756 0,9762 0,
- 2,0 0,9772 0,9778 0,9783 0,9788 0,9793 0,9798 0,9803 0,9808 0,9812 0,
- 2,1 0,9821 0,9826 0,9830 0,9834 0,9838 0,9842 0,9846 0,9850 0,9854 0,
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- 2,3 0,9893 0,9896 0,9898 0,9901 0,9904 0,9906 0,9909 0,9911 0,9913 0,
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- 0,98 2,054 2,075 2,097 2,120 2,144 2,170 2,197 2,226 2,257 2,
- 0,99 2,326 2,366 2,409 2,457 2,512 2,576 2,652 2,748 2,878 3,
- G. L. 0,25 0,10 0,05 0,025 0,02 0,01 0,005 0,0025 0, P(t de Student valor tabelado) = Valores unilaterais - 1 1,000 3,078 6,314 12,706 15,894 31,821 63,656 127,321 636, - 2 0,816 1,886 2,920 4,303 4,849 6,965 9,925 14,089 31, - 3 0,765 1,638 2,353 3,182 3,482 4,541 5,841 7,453 12 , - 4 0,741 1,533 2,132 2,776 2,999 3,747 4,604 5,598 8, - 5 0,727 1,476 2,015 2,571 2,757 3,365 4,032 4,773 6, - 6 0,718 1,440 1,943 2,447 2,612 3,143 3,707 4,317 5, - 7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,517 2,998 3,499 4,029 5, - 8 0,706 1,397 1,860 2, 306 2,449 2,896 3,355 3,833 5, - 9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,398 2,821 3,250 3,690 4, - 10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,359 2,764 3,169 3,581 4, - 11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,328 2,718 3,106 3,497 4, - 12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,303 2,681 3,055 3,4 28 4, - 13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,282 2,650 3,012 3,372 4, - 14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,264 2,624 2,977 3,326 4, - 15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,249 2,602 2,947 3,286 4, - 16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,235 2,583 2,921 3,252 4, - 17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,224 2,567 2,898 3,222 3, - 18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,214 2,552 2,878 3,197 3, - 19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,205 2,539 2,861 3,174 3, - 20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,197 2,528 2,845 3,153 3, - 21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,189 2,518 2,831 3,135 3, - 22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,183 2,508 2,819 3,119 3, - 23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,177 2,500 2,807 3,104 3, - 24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,172 2,492 2,797 3,091 3, - 25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,167 2,485 2,787 3,078 3, - 26 0 ,684 1,315 1,706 2,056 2,162 2,479 2,779 3,067 3, - 27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,158 2,473 2,771 3,057 3, - 28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,154 2,467 2,763 3,047 3, - 29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,150 2,462 2,756 3,038 3, - 30 0,683 1,310 1,697 2,042 2 ,147 2,457 2,750 3,030 3, - 31 0,682 1,309 1,696 2,040 2,144 2,453 2,744 3,022 3, - 32 0,682 1,309 1,694 2,037 2,141 2,449 2,738 3,015 3, - 33 0,682 1,308 1,692 2,035 2,138 2,445 2,733 3,008 3, - 34 0,682 1,307 1,691 2,032 2,136 2,441 2,728 3,002 3 , - 35 0,682 1,306 1,690 2,030 2,133 2,438 2,724 2,996 3, - 36 0,681 1,306 1,688 2,028 2,131 2,434 2,719 2,990 3, - 37 0,681 1,305 1,687 2,026 2,129 2,431 2,715 2,985 3, - 38 0,681 1,304 1,686 2,024 2,127 2,429 2,712 2,980 3, - 39 0,681 1,304 1,6 85 2,023 2,125 2,426 2,708 2,976 3, - 40 0,681 1,303 1,684 2,021 2,123 2,423 2,704 2,971 3, - 41 0,681 1,303 1,683 2,020 2,121 2,421 2,701 2,967 3, - 42 0,680 1,302 1,682 2,018 2,120 2,418 2,698 2,963 3, - 43 0,680 1,302 1,681 2,017 2,118 2,416 2,6 95 2,959 3, - 44 0,680 1,301 1,680 2,015 2,116 2,414 2,692 2,956 3, - 45 0,680 1,301 1,679 2,014 2,115 2,412 2,690 2,952 3, - 46 0,680 1,300 1,679 2,013 2,114 2,410 2,687 2,949 3, - 47 0,680 1,300 1,678 2,012 2,112 2,408 2,685 2,946 3, - 48 0,680 1,299 1,677 2,011 2,111 2,407 2,682 2,943 3, - 49 0,680 1,299 1,677 2,010 2,110 2,405 2,680 2,940 3, - 50 0,679 1,299 1,676 2,009 2,109 2,403 2,678 2,937 3, - 60 0,679 1,296 1,671 2,000 2,099 2,390 2,660 2,915 3, - 70 0,678 1,294 1,667 1,994 2,093 2,381 2,648 2,899 3, - 80 0,678 1,292 1,664 1,990 2,088 2,374 2,639 2,887 3, - 90 0,677 1,291 1,662 1,987 2,084 2,368 2,632 2,878 3,
- 100 0,677 1,290 1,660 1,984 2,081 2,364 2,626 2,871 3,
- 110 0,677 1,289 1,659 1,982 2,078 2,361 2,621 2,865 3,3
- 120 0,677 1,289 1,658 1,980 2,076 2,358 2,617 2,860 3, - 0,674 1,282 1,645 1,960 2,054 2,326 2,576 2,807 3, - 0,5000 0,2000 0,1000 0,0500 0,0400 0,0200 0,0100 0,0050 0,
- G.L. 0,995 0,99 0,975 0,95 0,9 0,1 0,05 0,025 0,01 0, com n graus de liberdade valor tabelado) = p - 1 0,000 0,000 0,00 1 0,004 0,016 2,706 3,841 5,024 6,635 7, - 2 0,010 0,020 0,051 0,103 0,211 4,605 5,991 7,378 9,210 10, - 3 0,072 0,115 0,216 0,352 0,584 6,251 7,815 9,348 11,345 12, - 4 0,207 0,297 0,484 0,711 1,064 7,779 9,488 11,143 13,277 14, - 5 0,412 0,554 0, 831 1,145 1,610 9,236 11,070 12,832 15,086 16, - 6 0,676 0,872 1,237 1,635 2,204 10,645 12,592 14,449 16,812 18, - 7 0,989 1,239 1,690 2,167 2,833 12,017 14,067 16,013 18,475 20, - 8 1,344 1,647 2,180 2,733 3,490 13,362 15,507 17,535 20,090 21, - 9 1,735 2,088 2,700 3,325 4,168 14,684 16,919 19,023 21,666 23,
- 10 2,156 2,558 3,247 3,940 4,865 15,987 18,307 20,483 23,209 25,
- 11 2,603 3,053 3,816 4,575 5,578 17,275 19,675 21,920 24,725 26,
- 12 3,074 3,571 4,404 5,226 6,304 18,549 21,026 23,3 37 26,217 28,
- 13 3,565 4,107 5,009 5,892 7,041 19,812 22,362 24,736 27,688 29,
- 14 4,075 4,660 5,629 6,571 7,790 21,064 23,685 26,119 29,141 31,
- 15 4,601 5,229 6,262 7,261 8,547 22,307 24,996 27,488 30,578 32,
- 16 5,142 5,812 6,908 7,962 9,31 2 23,542 26,296 28,845 32,000 34,
- 17 5,697 6,408 7,564 8,672 10,085 24,769 27,587 30,191 33,409 35,
- 18 6,265 7,015 8,231 9,390 10,865 25,989 28,869 31,526 34,805 37,
- 19 6,844 7,633 8,907 10,117 11,651 27,204 30,144 32,852 36,191 38,
- 20 7,43 4 8,260 9,591 10,851 12,443 28,412 31,410 34,170 37,566 39,
- 21 8,034 8,897 10,283 11,591 13,240 29,615 32,671 35,479 38,932 41,
- 22 8,643 9,542 10,982 12,338 14,041 30,813 33,924 36,781 40,289 42,
- 23 9,260 10,196 11,689 13,091 14,848 32,007 35,1 72 38,076 41,638 44,
- 24 9,886 10,856 12,401 13,848 15,659 33,196 36,415 39,364 42,980 45,
- 25 10,520 11,524 13,120 14,611 16,473 34,382 37,652 40,646 44,314 46,
- 26 11,160 12,198 13,844 15,379 17,292 35,563 38,885 41,923 45,642 48,
- 27 11,808 12,878 14,573 16,151 18,114 36,741 40,113 43,195 46,963 49,
- 28 12,461 13,565 15,308 16,928 18,939 37,916 41,337 44,461 48,278 50,
- 29 13,121 14,256 16,047 17,708 19,768 39,087 42,557 45,722 49,588 52,
- 30 13,787 14,953 16,791 18,493 20,599 40,256 43,773 46,979 50,892 53,
- 31 14,458 15,655 17,539 19,281 21,434 41,422 44,985 48,232 52,191 55,
- 32 15,134 16,362 18,291 20,072 22,271 42,585 46,194 49,480 53,486 56,
- 33 15,815 17,073 19,047 20,867 23,110 43,745 47,400 50,725 54,775 57,
- 34 1 6,501 17,789 19,806 21,664 23,952 44,903 48,602 51,966 56,061 58,
- 35 17,192 18,509 20,569 22,465 24,797 46,059 49,802 53,203 57,342 60,
- 36 17,887 19,233 21,336 23,269 25,643 47,212 50,998 54,437 58,619 61,
- 37 18,586 19,960 22,106 24,075 26,492 48,363 52,192 55,668 59,893 62,
- 38 19,289 20,691 22,878 24,884 27,343 49,513 53,384 56,895 61,162 64,
- 39 19,996 21,426 23,654 25,695 28,196 50,660 54,572 58,120 62,428 65,
- 40 20,707 22,164 24,433 26,509 29,051 51,805 55,758 59,342 63,691 66,
- 41 21,421 22,906 25,215 27,326 29,907 52,949 56,942 60,561 64,950 68,
- 42 22,138 23,650 25,999 28,144 30,765 54,090 58,124 61,777 66,206 69,
- 43 22,860 24,398 26,785 28,965 31,625 55,230 59,304 62,990 67,459 70,
- 44 23,584 25,148 27,575 29,787 3 2,487 56,369 60,481 64,201 68,710 71,
- 45 24,311 25,901 28,366 30,612 33,350 57,505 61,656 65,410 69,957 73,
- 46 25,041 26,657 29,160 31,439 34,215 58,641 62,830 66,616 71,201 74,
- 47 25,775 27,416 29,956 32,268 35,081 59,774 64,001 67,821 72,443 75,
- 48 26,511 28,177 30,754 33,098 35,949 60,907 65,171 69,023 73,683 76,
- 49 27,249 28,941 31,555 33,930 36,818 62,038 66,339 70,222 74,919 78,
- 50 27,991 29,707 32,357 34,764 37,689 63,167 67,505 71,420 76,154 79, - 2 k p - P(F com 1 e 2 graus de liberdade valor tabelado) = = 0,05 P ( F > x ) = 0, Tabela 5 - Valores críticos (unilaterais à direita) da distribuição F -
- - 1 161,446 199,500 215,707 224,583 230,160 233,988 236,767 238,884 240,543 241, - 2 18,513 19,000 19,164 19,247 19,296 19,330 19,353 19, 371 19,385 19, - 3 10,128 9,552 9,277 9,117 9,013 8,941 8,887 8,845 8,812 8, - 4 7,709 6,944 6,591 6,388 6,256 6,163 6,094 6,041 5,999 5, - 5 6,608 5,786 5,409 5,192 5,050 4,950 4,876 4,818 4,773 4, - 6 5,987 5,143 4,757 4,534 4,387 4,284 4,207 4,1 47 4,099 4, - 7 5,592 4,737 4,347 4,120 3,972 3,866 3,787 3,726 3,677 3, - 8 5,318 4,459 4,066 3,838 3,688 3,581 3,501 3,438 3,388 3, - 9 5,117 4,257 3,863 3,633 3,482 3,374 3,293 3,230 3,179 3, - 10 4,965 4,103 3,708 3,478 3,326 3,217 3,136 3,072 3,020 2, - 11 4,844 3,982 3,587 3,357 3,204 3,095 3,012 2,948 2,896 2, - 12 4,747 3,885 3,490 3,259 3,106 2,996 2,913 2,849 2,796 2, - 13 4,667 3,806 3,411 3,179 3,025 2,915 2,832 2,767 2,714 2, - 14 4,600 3,739 3,344 3,112 2,958 2,848 2,764 2,699 2,646 2, - 15 4,543 3,682 3,287 3,056 2,901 2,791 2,707 2,641 2,588 2, - 16 4,494 3,634 3,239 3,007 2,852 2,741 2,657 2,591 2,538 2, - 17 4,451 3,592 3,197 2,965 2,810 2,699 2,614 2,548 2,494 2, - 18 4,414 3,555 3,160 2,928 2,773 2,661 2,577 2,510 2,456 2, - 19 4,381 3,522 3,127 2,895 2,740 2,628 2,544 2,477 2,423 2, - 20 4,351 3,493 3,098 2,866 2,711 2,599 2,514 2,447 2,393 2, - 21 4,325 3,467 3,073 2,840 2,685 2,573 2,488 2,421 2,366 2, - 22 4,301 3,443 3,049 2,817 2,661 2,549 2,464 2,397 2,342 2, - 23 4,279 3,422 3,028 2,796 2,640 2,528 2,442 2,375 2,320 2, - 24 4,260 3,403 3,009 2,776 2,621 2,508 2,423 2,355 2,300 2, - 25 4,242 3,385 2,991 2,759 2,603 2,490 2,405 2,337 2,282 2, - 26 4,225 3,369 2,975 2,743 2,587 2,474 2,388 2,321 2,266 2, - 27 4,210 3,354 2,960 2,728 2,572 2,459 2,373 2,305 2,250 2, - 28 4,196 3,340 2,947 2,714 2,558 2,445 2,359 2,291 2,236 2, - 29 4,183 3,328 2,934 2,701 2,545 2,432 2,346 2,278 2,223 2, - 30 4,171 3,316 2,922 2,690 2,534 2,421 2,334 2,266 2,211 2, - 40 4,085 3,232 2,839 2,606 2,450 2,336 2,249 2,180 2,124 2, - 60 4,001 3,150 2,758 2,525 2,368 2,254 2,167 2,097 2,040 1,
- 120 3,920 3,072 2,680 2,447 2,290 2,175 2,087 2,016 1,959 1,
CARTAS DE CONTROLE
Capacidade do processo
6 ˆ
tolerância CP
Para tolerâncias bilaterais temos:
ˆ
LSE x
Z
LIE x
Z INF SUP
Z
Z e Z 3 ICP
MIN
INF SUP Z
desvio padrão do processo
d 2
R ˆ c 4
s ˆ
X e Rmédia e amplitude LIC (^) X = X A 2 R
LSC (^) X = X A 2 R
LICR=D 3 R
LSCR=D 4 R
X
~ e (^) R mediana e amplitude LIC^ X~= AR
X
LSC
X
~= AR
X
LICR=D 3 R
LSCR=D 4 R
e X e S média e desvio padrão
LIC (^) X = X AS 3
LSC (^) X = X^ A 3 S
LICS=B 3 S
LSCS=B 4 S
média e amplitude média e desvio padrão mediana e amplitude
n A 2 d 2 D 3 D 4 A 3 c 4 B 3 B 4 A 2
d^2 D^3 D^4
k ---nº de amostras
n ---nº de itens inspecionados k
n n ....... n n
1 2 k
1 2 k
1 2 k
n n ...... n
np np ...... np p
k
np np ...... np np
1 2 k
k
c c ..... c c
1 2 k 1 k
1 2 k
n ...... n
c c ..... c
u
p fração de unidades não conformes amostras de tamanho distinto
n
p( 1 p)
LIC P p 3
n
p( 1 p)
LSC P p 3
np número de unidades não conformes amostras com mesmo tamanho
) n
np LICnp np 3 np( 1 ) n
np LSCnp np 3 np( 1
c número de não conformidades numa amostra com tamanho constante
LIC c 3 c C
LSC c 3 c C
u número de não conformidades por unidade
n
u LIC u 3 U
n
u LSCU u 3
