Física Quântica - Eisberg e Resnick, Notas de estudo de Física

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FÍSICA

Qmrr

Atomos, Moléculâs, Sólidos,

It[úcleos (^) e Partículas

ROBERT EISBERG

Universidad e da Cahfítnia, Santa Bârba:ø'

ROBERT RESNICK

Instituto Politécnico Rensselaer

23a Tiragem

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EI.SEI/IER

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CAMPUS

I I I

indice

I (^) RADrAçÃorÉnurcA (^) EoFoSTULADo DEpLANcK, 17

l-l INTRODUçÃO, t-2 n,mreçÃo rÉRulcn, zo l-3 A TEoRIA ct"Ássrce (^) on nnntaçÃo DE cAvIDADE, t4 (^) A TEoRIA DE pLANcK^ o,l nnonçÃo DE (^) cAVIDADE, l-5 (^) o uso DA LEI DA nnotaçÃo DEpLANcK NA TERMoMETRIA, t-6 o posruLADo^ DE pLANcK^ E suAs lurucaçÕes, æ t-7 (^) uM pouco^ pe HrsróRn (^) ol rlsrc,q (^) euÂNrrcA, QUeSIÔES, ¿S PROBLEMAS,

2 FOToNS (^) - pRopRrEDADEs^ coRpuscul-AREs (^) on uoHçÃo, +l

?.1 rnrnoouçÃo,^ sr 2.2 O EFEITO FOTOELÉTRICO,5I z-3 A TEoRLA (^) euÂNTrcA DE EINSTETN Do EFErro noroeLÉtnlco, (^) sq (^24) O EFEITOCOMPTON, z-s A NATUREZA (^) DUAL DA RADTAçÃoElErRouecxÉTrcA, 2-6 (^) ¡órorus e a rnoouçÃo (^) DE RAIos x, 67 2-7 rnoouçÃo (^) E ANreurLAçÃo or pnnrs,^ op z-B seçÕEs DE (^) cHoeuE IARA ABsoRçÃo (^) e esrnlHAMENTo oe nóroNs. (^) zs QUESTÕES, PROBLEMAS. (^) SI

3 O PosTI.,LADo DE DE BRoGLIE (^) - PRoPR¡EDADES (^) oI.¡ouTnTÓRI¡s

ons pnRticuLAs,^ 8s

3.r oNDAS oe unrÉRtn, (^) az 3.2 A DUALIDÂDE oNDA.PARTIcULn. (^) s¿

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9.8 ESPECTROS DISCRETOS DE RAIO X, QUESTOES, PROBLEMAS,

l0 Árouos MULTIELETRÔNICoS^ - ExctrAçÕEs^ Órrcm,^ ¿¿t

lo-l INTRODUçÃO,, to-z ÁrouosALcALINos,,t IO¡ ÄTOMOS COM VÁRIOS^ ELÉTRONS^ OTICAMENTE AT¡VOS, IO4 ACOPLAMENTOLS.4s IO.5 NÍVEIS DE ENERGI,A DO^ ÁTOMO^ DE^ CARBONO, IOó OEFEITOZEEMAN, to-7 suMÁRIo, QUESTÕES,47I PROBLEMAS.

I I ESTATÍSTTCA (^) QU¡ìITICA, 477 I tAG,þ ll-l INTRODUçÃO, I 1.2 TNDISTINGTJIBILIDADE E^ ESTATISTICA QUÂNTICA, 480 I (^) l-3 AS FUNçÕES DE DISTRIBUIçÃO QUÂNIICAS, l 14 coMPAIiAçÃO ENTRE^ AS^ FLJNçõES^ DE^ DISTRIBUIçÃO, I I.5 O CALOR^ P-SPNCÎNICO^ DE UM^ SdLDO^ CRISTALINO,4g I ló^ A^ DISTRIBLIçÃO^ OE^ SOLTZMANNCOMO^ UMA APROXIMAÇÃO ÀS^ DISTRIBUIçÕES^ QUÂNTICAS, 498 tt.7 0 LASER, ll{ ocÁsDEFÓTONS,sos l1.9 0 GÁ,s DE FoNONS, s I l-lo coNDENsAçÃO DE BOSEE O^ HÉLIO^ LIQUIDO,^507 II.I I O G,Á.S DE EI-ÉTRONS LTVRES,5l I (^) I.I2 FOTENCI,AL DE CONTATO E EMISSÃO TERMOIONICA, 5I I I .I^3 DESCRIçÕES CLÁSSICA E^ QUÂNTICA DO^ ESTADO DE^ I.JÙI^ SISTEMA,^5

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QTJESTÕES,52l

PROBLEMAS,523 /

MOLÉCI,LAS, 527 r: I (^) ñ

TNTRODUçÃO, s LIGAçÕES IÔNrCAS, s2e LIGAçÕES COVALENTES, 532 ESPECTROS MOLECULARES, 536

ESPECTROS DE^ ROTAçÃO,^537

ESPECTROS DE VIBRAÇÃO (^) - ROTAçÃO, ESPECTROS ELETRÔNICOS, 5¿I

O EFEITO RAMAN,

DETERMINAçÃO OO SPIN NUCLEAR E^ NATUREZA^ DA SIMETRIA,^549

QUESTÕES,

PROBLEMAS,

SÓLDOS (^) - CoNDUToR"ES E SEMICoNDUToRES, 56I

F4¿ø

INTRODUçÃO,

TIPOS DE SÓLIDOS,

TEORIA DE BANDA DOS SÓLIDOS, 565

coNDUçÃO ELÉTRTCA EM MEf,ArS,

O MODELO QUÂNTICO DE EI.ÉTRONS LTVRES, S?

O MOVIMENTO DOS ELÉTRONS NUMA REDE PERIÓDICA,

MASSA EFETIVA,

SEMICO¡¡DUTORES, 587

DISPOSITTVOS SEMICONDLTTORES, 593

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QUESTÕES,

PROBLEMAS.

(^14) SÓLIDOS.^ PROPRJEDADES ST'PERCONDUTOR.AS E MAGìIÊITCAS, @

F-iGcq4¡

I4.I SI.JPERCO¡¡DUTMDADE,

14.2 PROPRIEDADES MAGNÉTICAS DOS SÓLIDOS,

I4.3 PAR,AMAGNETISMO, 144 FERROMAGNETISMO, I4.5 ANTIFERROMAGNETTSMO E FERRIMAGNETISMO,63I QUESTÕES, PROBLEMAS.

MODEI.OS (^) NUCLEARES. 639 />rl.'.i, TNTRODUçÂO, UMA VISÃO GER,AL DE AIJGT,'MAS PROPRIEDADES NUCLEAR3S, FORMAS E DENSTDA.DES NUCLEARES, 647 MASSAS E ABIJNDfu{CI.AS NUCLEARES, 652

o MoDELO DA COTA LIQUDA, ó

NTIMERoS MÁGIcos,

O MODELO DO CAS DE FERMI,

O MODELO^ DE CAMâDAS,

PREDIçÕES DO MODELO DE CAMADAS,

O MODELO COLETIVO,68I

RESUMO,

QT.JESTÕES, PROBLEMAS.69I

DECATMENTO NUCLEAR E REAçÕES NT.rcLEARES¡, 695 )É ¿ 61lt r6-t TNTRODUÇÃO, 1É2 DECÀIMENTOALFA, I6-3 (^) DECAIMENTO BETA. TOS t64 A TNTERAçÃO DECAIMENTO BETA, 719 I6.5 DECAIMENTOGAMA,T

16,ó 0 EFEITO trlöSSSnUeR, Z¡Z

t6-7 REAçÕESNUCLEARES,

I6.8 ESTADOS EXCITADOS DOS^ NUCLEOS, 747 I6.9 FISSÃO E REATORES, T5I

16.10 FUSÃO E ORIGEM DOS ELEMENTOS,

QUESTÕES,

PROBLEMAS.

I7 PARTICI.JLAS^ ELEMENTARES'^773

lf¿tPE_

t7-t INTRODUçÃO, r7-2 FORçAS NUCLEoNICAS,^776 t7-3 ISOSPIN, t't4 PIONS, t7.s MUONS, I7ó ESTRANHEZA,SO t7-7 INTERAçÕES FUNDAMENTAIs^ E^ LEIs^ DE^ coNSERVAçÃo,^ ato

17.8 nruuiues oe^ reRrÍcwAs^ ELEMENTARES'^815

17.9 HIPERCARCA E^ QUARKS,8I

QUESTÕES,

PROBLEMAS.

APÊNDTCE A

A TEORIA DA RELATIVIDADE ESPECIAL,

APÊNDICE B

I neonçÃo EMITIDA^ PoR^ UMA^ cARGA^ AcEI"F,RADA'^ 8sl

APENDICE C (^) ,

A DISTRIBUIçÃo DE BoLTZMANN,8sl

APENDICE D

AS TRAJETÓRIAS DO^ ESPALHAMENTO^ DE^ RUT}IERFORD'^ 8óI

APÊNDICE E

GR.ANDEZAS COMPLEXAS, 865

APÊNDICE F

sowçÃouut'tÉrucl p.+^ EQUAçÃo^ DE^ ScHRoEDINGER

INDEPENDENTE DO TEMPO^ PARA^ I.JM^ POçO^ DE^ POTENCIAL QUADRADO'^ 87I

APÊNDICEG

soruçÃo at.tnlirtc¡,^ nn eQu¡çÃo^ DE^ scHRoEDINGER

INDEPENDENTE DO TEMPO PARA^ UM^ POçO^ DE^ POTENCIAL QUADRADO' 879

APÊNDICE H

soluçÃo nu sÉRtB pn^ eQu.lçÃo^ DE SCIT.ROEDINGER

NpBp-eNoeNTE Do rEMPo^ p¿it¡,^ ut't^ poÎENclu.^ on

oscILADOR HARMÔNICO^ SIMPLES, 887

APÊNDICE I

O LAPLACIANO^ E^ OS^ OPERâDORES^ MOMENTO ANGULAR^ EM

cooRDENADes psrÉR¡cls,^ ggs

APÊNDICE J

A PRECESSÃO DE TTIOMAS,9OI

APÊNDICE K

o pRrNcÍplo ne^ pxclusÃo^ No^ AcoPLAMENTo¿s,

APÊNDICE L

REFER.ÊNCIAS,9I I

npÊ¡¡ptcE tvt

RESPOSTAS DE PROBLEMAS ESCOLHIDOS,^ 9I

¡¡ÊNotce ¡¡

coNsTANTES ûrets^ e FAToRES^ DE^ coNVERsÃo,

ÍNoIcp ltJltiTlco,gtz

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t4 oFosTLrL/upDEPLAl{CKE SUASIMPLICAçÓE¡¡^ ¿

cnuncisdo geral^ do postulado;^ energias quanri"adås;^ estados^ quânticos; números^ quânti'

cos; fndulo macroscópico

11 tJMK)UCODAHISTÓRIADAFISICAQUÂNTICA 42

o tr¿balho inis¡a¡ dc Planclc; tentativas de reconciliar a^ quanüuação com^ a^ flsic¿^ clássica

QI,ESTÕES

PROBT.EìIâS

Radiação Térmica

e o^ Postulado^ de Planck

t-l nnnoouçÃo I

Numa reuniõo d¡ Sodedade Alenã de Ffsica, a 14 de dezembro de l9ü), l'lax Planc&

aPresentou æu artþ (^) 'Sobrc a Teori¡ da Iæi de Distribuição (^) de Energia do Eqpectro Normal".

EsÛe artigo, qw a princlpio atraiu pouca aûen$o, foi o infcio de uma revolução na ffsica. A da-

ta de sua apreæntafo é condderada como ændo a do nasd¡¡ento da flsica quåntica, embora só

um quarto de século mais t¡¡de a ¡necânic¡ quántica modema, base dc nossa concepção atual {a

natueza, ænha ¡ido desenvolvida por Scåroedingcr c outos. Diversos ca¡ninhos convergiram

nessa concepSo' cada un dcles mostrando uq dos aspecûos onde falhara a fßica clássica- Neste

e nos t¡ês capftulos æguhtes vamos cxa¡¡rinar (^) os t¡¡ücos fi¡nda¡nenrris do qræ agora é cftamado

a ønt$a t@rít wtltnt¡cø. O¡ fenômenos cxperinrcntais qtæ wrnos discutir em cone:rão cottr a 8fl.

tþ teoria qulntica (^) abrangent (^) todas ¡s discíplinas d¿ fí¡ica clássica: meciînica, (^) ter¡rcdir¡¡lmicar

¡rpcânic¿ estatfstica e eletromagnetismo. Sr¡¿s repetidas contradiç6es com as leis clássicæ, e a

resolução desæs conflitos com base næ idéias quânticas, yÍo nos most¡ar a necesidade da mecá.

nica quântica. E noso estudo da antiga teoria quilntica vai nos permitir obter mai¡ facilmente

um¿ (^) comPreensÍo (^) mais profunda da (^) mecânica quántica, quando começarmos a considerá{a, (^) no

quinúo capftulo.

Assim como ¡ 'æo¡la^ da ¡elatividarte (qræ é tratada muito rapidarnente no Ap€ndice A), a

ffsica quântica repreænta urna generaliza$o da flsica n.llcsica, que inctui as leis clássicas como

casos especiais. Ass¡n sotrt s rel¡tivtd¡dc csþndp o cütrpo de aplicaSo das þis ffsicas para a

rcgião de grurdes velocidadcs, a ffsica guântica estende e¡se campo ù região de peqrænæ diæn.

sões; e' assi¡n como usa constånte u¡rivers¡I do significaçõo fiurdanrental, a velão¿ade da ft¡z c,

caractaÅzl a relatividadc, também uma constante u¡rive¡sal de (^) signifìcação fundanæntal, a clra.

mada constantc dÊ nanc¡( h, anaûcriza, a flsica quântica. Planck intoã¡uiu cssa constanûc em

æu artþ de 1900, quando ûentava explicar as propriedades obærvadas da radiafo té¡mÍca Va.

mo8 sgora cornÊçar e cx¡minsr csa radiaçÍ0. Seremos levado¡ por €sse estudo à const¿ntc dc

faneassu¡rp eralore¡^ ao^ confito quârilioo^ cxtæma.enæ^ ¡plevu¡te^ a^ ela^ relacionado, o fato^ de^ qw^ a^ energia

discrÊts. T¡mbém wremos gæ, por sl¡¡¡ vez, a radiaç.lfo tirm¡ca temioruiderável

importância e é hoje em di¡ bæt¿nþ reteva¡¡te. Por exemplo, o fenômeno reæntcrucnte ajudou

o¡ a¡t¡oflsÍcos n¡ cscolh¡ dc tcoriæ sobrc a origem do urivcr¡o.

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l¿ (^) R DtlçÃorfRurc/r A rrdiago emlüd¡ pof^ um oorpo dcrirto^ à^ ara^ tcmpcntun^ ¿^ ú$nßda'r/dbÉo^ thúe,

lodo oorpo cf¡itt ctsc dpo dc radiago prfr^ o^ nclo^ qtr^ o^ ærcq^ e^ dch^ r^ absorvt.Sc^ um^ cofpo

cttá htdtlÍænûc mah qucnþ^ do que^ o meb,^ clc^ lrl^ æ^ cdrlrr,^ porqæ^ r^ ntt^ taxl^ dc^ cmlssfo^ dc

energla exædc å ta¡<¡ de abær$o. Quando o eqrdllbrio térmlco é^ atingido,^ as^ toms^ de^ emisão

c rbærfo são þuais.

A matéria Gm um Gstådo conden¡ado^ (sto^ é,^ cólldo ou^ lfçldo)^ emltc^ un^ GtPcctro^ cofitf'

nuo do radiaçfo. Oc dctalhcs do cspcctro rÍo^ pra.ücunentc^ lndepndcntcr^ do material^ pa¡dcular

do çal o corpo é compo.lto, mar dcpendcn^ bagt¡ntc^ da^ tempcretura.^ Â^ temperaturas^ us¡ds,^ a

E¡iorh rtos corpos é visfræl para nós nÍo pele^ luz^ qræ^ cmitcm,^ mar pela^ lru^ que^ refletc¡n^ Se^ ne'

nhr¡m¡ tuz trddl¡ ¡obæ cles,^ nÍo^03 PodEmo| vcf.^ A^ têmPcratuftl muito^ altas'^ no cntento'^ os

co'rpoc têm lundnosidade próprta-^ Podemos^ ¡tlo¡^ brilhar^ nr¡m^ qu¡rto^ Gscuro;^ ma¡¡^ mcsmo^ a^ t€m'

pctitnrrs da odem dc muitos mith.arcs dc grau¡^ Kehin,^ bcm ¡n¡ts^ de^9096 da^ radiafo^ térmica

cmtüda é hvi¡fwl para nós, esta¡rdo^ na rcgião^ do^ infrswrmelho^ do^ espectro eletromagnético.

Poftsnto, co'rp6^ oom^ luminosidadc^ própria^ do^ muito^ $æntca.

Considcremot, por cxemplo,^ o^ aquecimento dc^ um atlçador^ de^ fcno^ no fogo,^ de^ ondc o

rctl¡amoc periodicamentc^ para^ obærvarmos^ nras^ propriedade¡. Quando^ o^ atiçador^ cstá ainda

¡ umt tcmpcratura relatir¡amente baixa,^ cle^ inadia^ calor,^ mas^ csûa^ radiafo^ não^ é^ visfwl.^ Com^ a

tÊrnpcratun cresændo, a qqantidade de^ radiafo^ qræ^ o^ atipdor^ emite^ aumenta^ muito^ rapida'

msntÊ, c nobrnos cfcitos visfwis. O atiçador^ adçiæ^ ulna^ oor vermelha apagaila, depois uma

cor rrrmclhr brilhante, c,^ a^ temperatuns^ muito^ altas,^ uma cor^ brancoqzr¡lada^ intensa.^ Isto^ é,

com o ¡r¡mÊnto da tcmperatun, o^ colpo cmite^ mais radiação^ térmica.e^ a^ freqäência^ na^ qual^ a

radiaÉo é mdr ¡ntcnsa aurncnta.

A relaSo entrÊ^ a^ tcmpcratura^ dc um corpo c^ o^ espcctro^ dc^ freqû€ncla^ da^ radiafo^ emittda

é utilizarta cm um agarelho charnado pirômcEo ótico. Ele^ é^ cscndalmente^ urn^ eE^ cctrômetro

rudinænta¡ quc^ permitc^ ao operador estima¡^ I^ t€mPcratura^ de^ um^ Corpo^ quente,^ tal^ como uma

cstrcl¡, obæryarido a cor, ou composiçlo de freqflênciæ, da^ radiaSo^ térmica^ por^ clecmitida.Há

um ctpccto ænttruo de radiafo emitida, c o olho v€ prlnclpdmenÛc^ e cor^ cor€spondente^ à

cr¿s¡o mals intcnsa na regiÍo do^ vlsfrrl^ Bremplos familtaæ¡^ dc objetos que emitem radlação

visfrcl inclucm^ carvõcs^ em^ bnsa,^ fìlamentos^ da^ t6mPada^ c^ o^ stl.

[Þ um¡ mancin mals gcrel,^ r fornu^ ibt¡lhd¡^ do cspeclrc^ de^ radiaSo^ térmica emitida^ por

un oofpo çentc dcpende dc^ algUm^ modo rh^ orryodçe^ daæcorpo.Nocntanto'8cxtl€riendl

no mÑra qræ^ há um tipo dc corpo^ qncnt!^ qt¡c^ crültc^ capcctot térmlco¡dc^ ca*sJ qlye.F4.

Escr co,rpos são úan¡doc tode^ ¡^ nill¡-

&ú;çrdcr,hdilrßlir, ætæ.

ffiû.cxemplo de^ umÏärruc)^ corpo^ negoærltqualqud^ obieto cobcrto^ som uma ca'

mad¡ difusa dc pigmento^ preto, tal^ como o^ negro de^ fuligem.^ Um ouho^ excmplo,^ completa-

¡ræntc difcrente, ærá dcscrito mels adianto. Indcpcndmtctnmtc do¡^ dcbllæ¡^ dc rua^ conposi'

@, rtrtflce*^ qw^ todot^ oi^ cofpot^ nGgfor^ I^ mcüm tûmpofrtun^ G6ltcm^ ndle$o^ térmica com

o ærno cspcctro. Bss fato gcral podc ær cntendido corn baæ crin^ srgum€ntos^ clásicos^ que^ cn'

votrvrn cquillbrio tcrmodinâmico. A forma^ cspclflca^ do cspcctro, no^ entanto,^ não pode^ ser^ ob'

dda (^) a partir dc argumentos termodinârnicor apenæ. As propriedade¡^ uniwrsais^ da^ radiaSo emi-

tida por corpos negos fazcm com quc^ elcs sjam^ de intere¡sÊ^ teóiico pafiicular,^ e^ que^ os^ flsicos

proctæm explica as caracterfsticas espccffìcrs de æu cçcctro.

A distribuição espectral da radiação de corpo ncgo é^ especifìcada^ pela^ qnnúdaðe Rr{u),

dramada radíâncÍa especffal, que^ é dcfìnida dc forma^ quc^ Rfr,)du^ seja^ igual^ å^ energia^ emitida

por unidade de tcmpo em radiação dc frcqilência comprcendida no^ intcrvalo^ de^ v^ a^ v^ +^ dv^ Por

unidade de ¿lrea de uma zuperffcie a temp€ratura ¡bsoluta^ ?- As primeiras^ medidas precisas^ des

sa grandcza foram feitas por Lummer e Pringshcim em 1899. Eles utilizaram um instrumento

æ

brdcamcntc iguel roc crpcctrôrrcùo¡ dG prlrnr uvdos nas mcdida¡ dc Gtpcc.trcr ó66q dllefh-

do rpenar nos mate¡ids crpcciair quc cr¡rn ncccssários para quc .s t ntci, prti,¡r, ctc, foscm

tnnrpe¡lntca à radiaso téI-to de frcqllência ¡clativamena b.¡x¡. A d;;;danjt. obærvrdr

cxperirnentalmcnte dcR{rr) (^) cm yc 1é mostreda (^) na Figun l.l.

0 I 2 3 4.

r (l0r'llz)

FIGIJR^ l'1. A ¡adlância eçccÛrl dc um corgo ncgro cm funçfo de frcqllênch de ndlsçfo, nostndr pür

tcmpcteturü dc 1000"K, l5ü)"K c 2000oK. Ob¡ctrc+ quc r froqlt€nclr ne qrntr rrrtËich

ml:ùnr oænc (llnh¡ pontllhr¿¡), .urncnt! tiner¡nct¡ti on ¡ tilrp.ntt n, c r potênch

totel cñlt¡ù Pol rnctro quedndó (lrcr sob r qrftr) rumcnt! nulto npldanentc oorn ¡ tcrn-

pcrttu¡r.

fttnfrt de dlstrlbulçÍÍo, das quals e radiânch cspcard é um cxernpto, úo multo 6munr na flsic¿ por

9x9¡do, l'l) no¡ dlz como I funçfo dc ttlsttlbulção dc^ wlocld¡dc¡^ de^ tftrwell^ (qrrc rc parecc^ brtsnte^ com^ ü^ cuÌr¡s^ de f¡gun

¡¡ moléa¡l¡r Gm um ¡lr r prcnfo c tcmpcrrtun fur¡ æ dl¡trlbuom dc ro¡do com in¡r

wloc'ldedc. Outn funÉo rl,e dlsHbuifo quc o crtudrntc Já pronrclmenæ vlu é r quo crycc{flcr or tempo

de dcca¡mcnto de núclco¡ ndioatlvo¡ (^) cm ume lmosts¡ contcndo núctæs dc dadrl elplclci (quc (^) tern e fonnr

de uma cxponenchl decresccntc), c clc ce¡tamentc Jl vlu uma funfo dc dfutrtbulÉg da¡ nota¡ rcccbld¡¡ cm

um cx¡me dc ffsica.

A funfr'o de dlsttlbui$o d¡ ¡adiânc-i¡ crpectral d¡ fgurt f-l par¡ urn corpo nego dc lrc¡ d¡d¡ c r

umt tcmp€r¡tnra part¡q¡l¡r, por cxcmplo, lfl)ooK, nor mostsr que: (l) hl multo poucr potêncb tr¡dhdr

nurn_ lntervalo (^) de freqllência fïxe dv (^) !Ê estc lntcrr¡lo crt¡vc( êm unr (^) freqüêncla r muito pequenr compatade (^) e

10r-'Fz. A potência é nuh pan r fual e zero, (2) A potênci¡ kradiad¡ no lntcn¡to dy c¡c¡cc npldamcntc I

medid¡ que l ctercc r prrtlr dé vrlo¡c¡mü¡to pcqucnor. (3) Fica rnlxûna para urn rrtor dc r r lj x l0r.H¿

Isto é, r potênci¡ i¡radhd¡ é mals lntense nersa fieq0ê-ncle. (4) Aclma dc

cd lentt mas continuatncntc à medid¡ que v crrscc. É notamcntc =lJ ,^ l0r^.^ ¡{"^.^ potência^ fttadhd!

zcro quando^ r *

"proxtnr dc^

ralote¡ (^) lnfl. nltamente grrndes

nr'figura,^ .'^ A¡^ duas funções de dishibuiçã'onos mostsem que (5) para^ rzlorer^ malorcs^ dâ^ tcmperatu¡a,^ ljü)oK^ e^ 2000"K,^ epresentades

a freqllência na qurl (^) a potência (^) in¡diada é meir lntcn$ (^) crcrcc com o aumcnto

* ¡cncta,:.f_l total^ 5tirâdi¡da Uma lnspes"o verifìcará que em todas ss fleqüêncas cssa^ freqi¡êncie ctc¡ce line¿¡mentc com^ a^ temjenu¡e.^ (6) A^ po-

crcscc qurndo 8 tcmpcrstut¡ rurnentr, c o f.z dc forn¡ m¡i¡il-

pida do quc tineâmentÈ. A potênc¡¡ (^) totel krad¡¡da; ume tcmpetetura partlctlar (^) é drd¡ ùnplc!ilcnte peti

Í* frcq0ênciadc -b^ r^ curva ysv1'dt,^ pâr¡^ cssa^ tcmþratura ,^ li^ RlÐ^ av,^ y^ quc^ Rfv)^ dv^ é^ anotência^ lradied¡ no intcnato^ dc

A integral da radiância espectral R¡(r,) sobre todas es freqäências y é a cnergia total cmiti.

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Rr= or = 2,

= 55?^ r lo-rwmr-oK'^ x^ (830dn'

x lo'flmt^ = 2?,000^ Wcrnt

ct ct ot Qt

EXEMPTO I.

SuponhaquctëmosdolrPcqucnoscorpotoPacorrc.parrdorporurnegrrndcdistôncia,rultcnt¡dosPol fb¡ nun (^) ¡n¡dc ¡ocþr.^ oJäiäüåü].^

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pr*,it

'oo

oiec, o n"ot'". r^ tcn¡Pcratu' conrtrnlc'

Ncatc ctþ, or corpos^.^ .,^ pt'"Jt'^ poacm^ Úocü^ enetgíe apenar aürvds^ dc^ ndiaÉo'^

Scja c r taxe de^ cml¡So

dc enc*h râdirnte por^ ur^ -rä, ä;';;-;"-d.ittoiþo^ ¿t cncuh r¡dhnte'^

Mosl¡c que' no^ cqulllbrío'

(l-5) tica é um¡

þilsto

E¡t¡ ¡cl¡Éo, (l'5),^ é^ conhccidr^ com^ o^ t^ lctdc Ki¡dtholl^ pa^ a^ nAtaçø'^.

o cstldo^ de^ cquitfb¡io^ é;ïq*-;¡;þn$;-é'^ con$ntc^ cm^ todo^ d¡tema f¿chado,

e^ nessc^ estado^ a

tlxr dÊ cm¡ssâo é^ n"c"sori"rn.ntc^ ìgual^ I^ texrìc^ rbsorSo pan^ ceda^ corpo'^

Entâo

(

(

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• Ct^ =ût^ c^ c'=

Pottanto

cr . c,

or a,

Sc um^ corPo,^ por^ cxcmplo,^ o^ corpo^ 2,^ for^ um-corpo^ ncgfo'^ cntão^ ¡t^ >'" Ylut.ul^

copo negro ab'

ro¡rt mclhor ao qu"^ ut^ quo^ iã"^ I^ "t åtpt""¡t"'^ t¡go'^ scg;c{¿^ de^

(l'Si quJa' ) at ' Então'^ o^ fato^ obser'

rzdo de que bonr "Uror".¿o*î,iür åä^ mnr-..isoies^ é^ prcvilto^ pcta^ lci^ de^ Kirchhoff.^

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l-3 A TEORIA^ CLÃSSICA^ DA^ RADIAçÃo^ DE-CAVIDN'B^4 No infcio ¿.rt g."rî,^ n"irc¡grr,.^ t"ru.^ Jeans,^ fizcram^ o^ cálcr¡lo da

densidade de^ ener'

gia da radíação Ue .aviAa¿e touTt;'tP" Jrcg-o)' o.quel^ most19u uma^ Sria^

di:t$-Y1ii::"'

flsica clássica^ e os resultado;^ cxperime;tais.^ Esse^ cálculo é^ rnálogo^

aos qua eParecem^ ao consl' derarmos muitos out¡os^ iJiãr.lot^ 6ot.*.mPlo,^ c€lor€s^ cspccfficos^

dc sólidos)' que^ s€rão^ tra'

ta.os mais^ tudr.^ Ap"nü"n,oi^ otä.n*^ ao^ $$o^ aqulì,^ mat, como uma

forma^ de^ facilitar it* (^) -ip".ngo,'faæmos antes^ uma^ digresão^ sobð^ o^ problcma'^ - _Þ Consideremos ume^ ;vidade^ com^ Pafedes^

m€tálicas aqræcidas^ uniformemente^ a^ uma^ tem' pcratuf¡ li As pareile^ Gfdtcm^ rt(ltafo^ elctromagréttca^ n8^ fat¡q^ térmica^

de freqiÉncias' sabe' mos que^ isso âcontecÊ,^ ffi;;;t^ :þ^ caue do;^ moyimentos^ acelerados dos

elétrons^ nas Pa'

rcates m€tálicas,^ que^ su;;;;;^ re'srltaAo^ da^ egitago^ térmica^

(Yide Asndice- B)' No^ ent¡nto'

não é necesário estudar detalhadamente^ o^ comPort'amento^ dos^ Gtéfons^

nas (^) Paredes da csvida'

-¡ de.^ Em^ r¡ez disso, e¡¡lgdaremos^ o^ comPortame4to {a9 gldas çlctqÍLalt€ti-cqF-em^

æu interior'

Rayreigh.^ J.*,^ pro..d@,^ a^ tesd¡-çþllg4lgné!¡s-clássi- ca é usada p.r.^ *onr.r'-iir-t^ .giçn"-^ *"tro da car¡ldade^ devep¡lstir^ ltt,ryTo^

de ondas^ est4'

cio;&¡is ióin^ nós sobre^ .ì-*Jrrr.riir^ ;atflicas..usanào-sc^ agumentos^

geométricos, fgu.gg'

contasem do^ número^ des¿s ondas 9f-t9ci94ári¡s cuja¡-freqü€ncias^

e-stão--{rg n!9¡v'4s-dÊ-J-¡

Ëtr;ääJi.'.ïtt''""ä';-¿o,noi* ;ott"^ ¿tptn¿t ät^ ',:-En!{-o-glgJp=ll4rcsultadoda ;e;#;r':ñ;i1ilg;jerp+rggï+,es.-,#i'#;ï;l|¿îi:Ë::f#fr iø está em equillbrio térmico.^ A^ energia^ to-ltl^ 49gl p€ratura r. O núo,n-i;.'oid.|o[ä"*dno^ ¡itte-tiäto^ ¿t^ freqäências,^

multiplicado (^) 9919--e'n-er'

gia média das ondas e^ ¿iri¿ll" p.l"^ volume^ da c¿vidaãe,^ nos dá^ a^ cnergia média^

coniida.e-rn uma

FIGURÂ 1.3. um¡ caúdadc cúbica com^ porcdar nrctálicas^ contendo^ radhçfo^ ctetronrgnétic8,^ mofirndo

as üês componcntes quc^ nâà^ sc^ mlsturtm^ dela^ tadiaÉo^ oscihn<to entrc rs^ paredcs c^ forrn¡n' do ondar csteèionftias com^ nós em cada^ parede'

1l

O autor æ refere à^ diret'o^ de propagação^ c não^ a^ comPonentes do^ vetol^ campo elég¡co'^

(N' do T')

25

Considcrepo.r ago¡gg4roblcma-dlconteggn-do¡rlmero"de¡ndas.cstacioqá¡i¿¡¿op,gl¡

gg-grlgÉç{g¡-df ,¡i'¡,lod", cg¡gg_nprinenûo¡.dc onda ng intcrv¡lo^ entre^ À^ c^ )r^ +dÀ..quc^ cor'

ìt-tggÐg inþ¡-valo dc fics$t¡i:l_*-l ¡^ r,^ +ã-rrPara^ resrltar^ as^ idéi¡s envolvidas no^ c{lculo, v¡ñì6 (^) iifc¡sl"o¡its u ¡b¡r-ji¡¡i *o..--;;ctiräiro¡e¡te-¡¡ ou^ æja,^ vamos^ considcr¡r^ o^ ci¡so

sËplifÌc¡do;¡¡r Ëm qræ utificial, de um¡ 'caviclado u¡ridi¡¡ænsional" de comprimcnto ø.^ Dc'

po¡¡ quc ¡c¡olvermos €ste c€so, ve¡emos qw a mureira de gencralizá-lo para o cåso de cavidade

t¡idi¡nensiond rc¡l é óbvia.

-Þ O^ campo €létr¡co para ondas^ estacioná¡ias^ u¡tidimensionais^ pode^ ær descrito^ matenstica'

uænte pela^ funSo

E(x, t)=Es æn (2zx[)^ sen (2æt)^ (l-6)

onde v é a freqilência da onda, À seu comprimento de onda^ e^ Eq^ sua^ amplitude máxima. As

duar priræiras grandezas estão relacionadas pela eçtação

v=c^ (l-7)

onde c é a veloddade de propagação^ das^ ondas eletromagnéticas.^ A^ cquação^ (l'6)^ repreænta

um¡ ond¡^ cuja^ amplitude varia^ no^ espaço^ senoidalmente^ s€guf¡do^ æn^ (2¡øÂ)^ e que^ oscila^ no

ûempo também ænoidalmente com freqüéncia v, como^ um^ oscilador harmônico simples.^ Como

a amplitude é obviamente ?tto,emqualquer instånte f, para posições que satisfazem à^ relação

2xA = 0,^ 1,2,3,.^.^.^ (13)

¡ onda tem nós fxos; ou æja, é^ uma onda estacioná¡ia.^ Para satisfaze¡^ à^ condiSo^ de^ que^ as^ on'

des tenham nós nos dois extremos da cavidade unidimensional, escolhemos a^ origem do eixo^ x

como estando em um dos extfemos da cavidade (x = 0) e então irnpomos que no outro extreno

(x=o)

bl=,

n= 1r2r.3,4,...

puax=ø (t-9) onde

É conveniçntc oontin¡¡¡rmos a discr¡ssáo em termos de freqüénciæ posíveis, em vcz dc

comprirnentos de^ ondar^ posfveis.^ Essas^ fregäðncias são y^ = c¡tr, onde 2{= n.lsto é,

v=ailù (^) n= 1,2,3r 4,... (^) (l-10)

Podemos rePrpsentsr^ esscs^ poslveis^ vzlores^ da^ freqilência^ em^ termos^ de^ um^ diagraru,^ consistin

do dc um ei¡o^ no^ qurl^ marcaruos^ um ponto^ para^ cada valo¡ intei¡o de z. Num diaga¡na dcsæ

tlpo, o^ valor^ da^ frcqäðncir permitida. conespondcnte^ eo^ valor^ puticul¿r^ de^ n^ é,^ por^ (l-10),^ iggat

a cf2a veæs^ a^ disti¡d¡^ d^ da origem ao ponto^ considerado, ou a distância d é2alcvezesafre.

qüÉncia v. Estas rehgões estão most¡adas na fìgwa l-5. TaI diagrama é lrtil para calcularmos o

nlnne¡o de freqäênclas^ poslveis no intervdo de freqüência entre y^ e y^ +^ dv, qtþ denominamos

N(v) dv.Pua^ obtermos^ ersa^ quantidade, bæta^ que^ cont€mos^ o^ nrlme¡o^ de^ pontos^ sobre o eixo ¿

qræ est!Ío entre es8e8 doir limites, qæ são construfdos de forma a coneqponderem às freqäên

€nsv e^ v^ *dr,^ respcctivamcntc. Como^ os^ pontos^ estão^ distribufdos uniformeÍ¡ente sobre o eixo

z, é evidente que^ o númcro dc pontos^ ente esses dois limites ærá proporcional a du, mas não

depcnderá de y.^ Dc fato, é fácil verifìcar qræ ù(u) du = (?t/c) dv. No entanto, devemos multipli.

c.¡¡r essa^ expressão^ por^ um fator dois, pois,^ pua^ cada uma das freqüências posfveis, há na reali.

dade dus ondas indepcndentes, corespondendo ¿os dois possíveis estados de polarização dæ

ondæ eletromagnéticas. Então temos

4a N(v)dv (^) =-dv c

(l-l (^) l)

Isto completa o cálculo do nrime¡o de ond¿s estacionárias para o caso artificial de uma cavidade unidimensional. O cálcr¡lo^ acim4 torna evidente a generalização^ para o caso real de uma cavidade tridimen

sional. Essa extensão é indicada na fÌgura tó. Neste carc, o conjunûo de pontos uniformementc

distribuldos ao longo de um único eixo ¡ é substituldo por um ururjo tridimensional uniformc

de pontos^ cujas trêr oordonadas são valo¡es inteiros tomadoc ao longo de três cixos ¿ mutua-

mente perpcndiøÅate*&do ponto do anurjo corresponde a uma posfvel onda est¿cíonári¡ tri'

dimensional. Os v¡loæ¡ inteiros de nr, n" e n, especificados para cada ponto dilo o nrlmero de

nós dar componeîtþsx.y g^ z,respcctivarúente, da ond¡ tridi¡nensional'. O proæsso é cquÍvalcn.

te a decompormog'nr¡ q¡¡{¡ l¡'idi¡¡pnsional (isto é, qup se propaga numa direção ubitrária) næ

t¡ês on¡bc u¡tidi¡nensio¡ai¡ $æ ¡ oompõem. O nl¡me¡o de freqäêndas permiti<tas no intervalo

dc fregäência ent¡c v c v +ùy é þual ao nrlræro dc pontos contidos entre cam¿das de raios cor-

respondenÛee às freqüÊncirs rr e v * dr, respect¡ya¡r¡ent€; cstç núnæro será proporcional ao volu.

æ contido entre ess¡s duu camadas, pois os pontos æ distribuem uniformenænte. É evidente,

Porta¡to' q¡D^ iv(u)^ du ærá proporcional^ a v2du, sendo o primeiro fator,v2 ,proporcional à área

das camadas, e o ægundo, dr, à diståncir entre clas, No eræmplo abaixo, faremos esse cálculo

detalhada¡nente, (^) c obteremo¡

,t¡

l: -

1t l.^

\ir ¡'

I /.r,

I

| I .*,,

I

! ..'"

i ,f'

I /'*^ '",..

i'

I

FIGUR.A l.{. Amplitude das ondas estacionárias em uma cavid¡de unidimensional^ côm^ par€des^ em^ ¡^ =^0 e

x (^) =d, t ¡¡8 os t¡ôs primeiros valores do índice^ ¿.

Esta condição determina um conjunto^ de^ valores^ possfveis para^ o^ comPrimento^ de^ onda

À. Para esæs valores posfveis, a amplitude da¡ ondas estacionárias tem^ a^ aparência^ mostrada na

figura 14. Estas podem ær reco¡rlæcidas como análogæ às amplitudes das ondas estacion¿l¡ias

em una co¡da vib¡a¡¡de com ps dois extremos f¡xos, um sistema flsico real gue^ tamMm^ satisfaz

a (ló).^ No nosso caso, são ondas estasionáriæ eletromagnéticas.

N(v)dv=ffr, a,

ændo Z=ø3, o voluæ da cavidade.

(r-r2)

'paf¡^ :^ I=¡.¿.^ O le¡to¡^ podcrá^ vaificrr,_cxemln¡ndo^ ¡^ frg.^ 14,^ que^ o^ núme¡o de^ nó¡^ de^ cad¡ componente^ én¡-^ l,

¿, ¡¡!6 ¡ondo coat¡do¡ o¡ cxtremo¡ (^) d-o intørvalo, (N. (^) do T,)

ì 'i

t_

."1,ta

{ {

n=l

Port¡nto

Vamos agora conl¡¡ o núme¡o de freqilências possfveis^ em um dado intervalo^ de^ freqliência,^ construindo um¡ ¡ede cúbic¡ unifo¡mc em um octsnte dc^ u¡l^ s¡stcm¡^ de coordenadas^ retangul¿¡es,^ de^ tal^ folml^ gue ¡s l¡ês^ co'

o¡den¡d¡¡ de ceda ponto da rcde scJam iguair e um conjunto posrfvel de^ três^ inteiros^ zr, nv^ n,^ (vi6e^ tr9ttrt

ló). Po¡ const¡uç5o, ceda ponto^ da redc conesponde ¡^ uma^ poslvcl^ freqilênc¡¡' Além^ diirc'lV(v)dv,o^ nú'

m€¡o do f¡eqllêncirr permitides^ entrc yG^ r + dv, é^ Ewl sv(r)d¡,^ o número^ de^ pontos^ contidorcntrc^ c¡nr¡das

conc€nt¡icas de ¡aÍn,c¡ e¡ + dr,onde

t=J{-+TTT

De (l-14¡),^ isto fica

b^=Jq74t

I ¡t¡r^ d¡

Nkllr-4¡¡2 fl¡=-

tgualando essa exp¡essão a lf(v) dv, e catorlando rt d¡^ de (l-l4b),^ obtemos

associada s^ cada^ onda^ estacion¡¡ria^ dc fregäência^ u. De acordo com^ I^ fÍúca^ clássica, a energia de

'un¡ onda pode tcrgualqrær valor, desd€ Tr;ro até infìnito, ændo este yalor propordonal ao qua-

d¡ado do^ módulo^ dc^ sua^ amplitudc^ constantc^ 86.^ No entanto,^ para^ u¡n sistem¡ contendo r¡sr

grande rúr¡Ero do^ cnte¡^ ff¡icos^ do^ mes¡r¡o^ tipo,^ qu€ estão^ cm^ equillbrio^ térmico ent¡e si a um¡

t€mlr€raturs 1,^ ¡^ ff¡ic¡^ clá¡¡ic¡ faz^ ur¡ta pr€visão bem definid¿^ dos valo¡es médrbs^ das energias

destes ente¡.^ Isûo^ so^ aplica ao^ nosso^ caso,Já que^ o^ grandç número^ de ondas estacionár¡as que oonstitr¡em a^ rad¡sçÍo^ térmic¿^ dentro^ da^ cav¡dade^ $ão^ entes^ do mesmo tipo^ que estão em equi-

llbrio térmico ent¡e^ d^ s u¡ns temp€tatura^ ln, a temp€ratura das puedes da c¿vidade. Oequilf.

brio térmico^ é^ garurtido pelo^ fato^ de qræ^ as pa¡ed€s^ de qualquer^ cavidade realvão sempre ab-

Eorvef e irr¿dia¡ novamCote^ , em dife¡entes fregüéncias c dire@s, ræsrno uma pequena quanti.

dade da^ radia$o^ i¡¡cidcnte sobre^ elas,^ e,^ port¿nto,^ as^ diferenþs^ ondas €stac¡onári¡s podcm tro.

ør de enetgagradt¡aln€nûe,^ como é necessá¡io para $le o eguillbrio æja nrantido.

A previrão wm ds tcori¡ cinédca clásic8, c é Ãnmi'þ þ¡ sa gìnclplo do equÐàïttií&f"

etwglaiEtta lcl af¡¡n¡ quo, pa¡s^ um si¡tcm¡ dc molécr¡l¡¡ de r¡m gl¡ em equillbrÍo térmico{

ums tenPer¡tu¡a^ l! a^ enprga c¡øtica nédia do uua moléorla por^ gra¡¡^ d0 liberdado é kTl2,onÈ

dc,L= t,38^ x_10]^ Þulofrf .cé útmadaænsunte dc hlømsn: A lei se aplica,narea[dadog

ãftrfuGËffidá¡d,ro gue (^) contenbr, no equilfbrio, l"q grande (^) número ào sntöí"ddffi tipo. Para o^ caso^ cons¡dcrado, os entes rõo as o¡tdås estacionárias qræ têm um graù ¡C (^) Í¡be;dåd;, a amplitude de æu campo elétrico. Po¡tanto, em nrédia, todas suas energias cínétícas têm o mes.

mo Yalor,^ efl2.^ No entanto,^ cada onda estacioná¡ia que oscila ænoidalmente tem uma energia

totøI q\e^ é^ igual^ a^ dua¡ vezos a^ sua^ cnergia cinética média. Esta é uma propriedade usrul de sis"

þmas flsicos^ qw^ têm'um único grau de liberdadc e que executam oæila@s harmônicas sim-

ples com o temPo; casos familia¡es (^) são um pe^ndulo (^) ou uma mola. Portanto, cada onda estacio. n¡l¡ia na cavidade^ tem,^ de acordo com a lei de equiputição clásíca, uma energia (^) total médi¡

E =kT (l-r6)

o ponto^ ¡la¡s importsDt€ I ær notado é quÞ æ prevê qræ a energia ûotål médis tem o lnesmo va..

lor ¡nra todas as ond¡¡ e¡tadoná¡ia¡ n¡ cåyidad€, i¡dcpendentementc de nus freqäêncio..

A cnergia Por ur¡idad€ de volu¡nc no i¡tervalo de fregüência dev av * dv do espectro de

corPo negro de um¡ c¿vidade I tem¡,eratura 1é portanto (^) o produto (^) da energia média por onda

çstacionár¡a wzÊs^ o^ trúlr¡crg^ {ç q¡.bc^ s¡þciená¡ias no intervalo de fregäência, dividido pelo vo.

lune da cavid¡de. Dc (1.15) c (l-lQ obæmos final¡nente o resultado

ondc a-. n-^ c^ a,^ podem sssumir qualqucr^ v¡lor^ l¡tei¡o.^ Es¡¿^ equat'o^ dcccreve a^ limitação que cxiste^ per¡^ os

posslvcîs oómprilmentos de ond¡ da radht'o ctetromagnét¡c¡ contiù^ n¡^ c¡vidade' Vamo¡ nov¡mentc continuar.¡ ¿i¡¡¡¡sgo c¡n te¡mo¡^ dac^ f¡cqllências^ possfveis, em vez^ dol comprirncn' tos dc onda posfvci¡, El¡¡ ¡ão

"J=.|-rdg-,'p

Oomo JV(¡) dr é (^) þual ao volume compreendido cnüe^ ås^ camadas,^ multiplicado^ pela^ dcnsidade^ dos^ pontos^ da ¡edc, c (^) Já que, por const¡ução, a densidade é^ u¡n,,lV(¡)^ dr^ é^ simplesmente

?Á f =-V c

x<oa"Jff ,, a,

(l-l4a)

it t

0-t4b) i

0-ls)

C.om isto termlnsmos o c¡ílculo, mas ai¡d¡^ devemos^ mult¡plica¡^ cstc resr¡ltado^ por^ um^ fetor^ 2, pois, para^ cada freql!ência posfvct quc con¡ide¡¡¡nos, bl, n¡ ¡ealid¡dc, duas o¡¡d¡s independenter, conespondentes^ aos^ dois

posfwis cstados de pol¡¡iz¿çâo d¡ ¡adi¡É clstsomaSnétice. Po¡t¡nto^ obtivcmos (l-l^ 2). Pode'se^ mostrar gue

iV(v) indcpende da forme supostr de cavidrde, c que depende apenas de seu volume.^ ^

Obserræmos que há uma diferença muito^ sign¡ficatira entre^ os resultados^ obtidos^ Para o

caso dc uma cavidade^ tridimensional^ real^ e^ os resultados^ obtidos^ ¿rnteriormente^ para^ o cæo^ artifici'

al de uma c¿vidade r¡¡¡idimeruional. Veremos que^ o^ fator^ v2^ encontrado^ em^ (l'12)'^ mas^ n¿fo^ em

(l.l l), desempcnha¡á um pappl fundamental nos argumentos gue^ se^ seguem. Este^ fator^ aPa¡çce'

basicamenæ,lorgue vivemoiem um mundo tridi¡nensional^ - sendo^ a^ potência^ à^ qual^ u está^ ele'

vado igual a essa d¡mens¡onalidade menos^ u¡n. Embo¡a^ Plan*,^ ao^ soluc¡onar^ as^ sérias^ discrepân'

cias ent¡e a teorÍa cl¡lssica e a experiência, tenhå quest¡onado certos Pontos qu€^ s€^ ti¡rham como

obvianænte verdadeiros, nem ele nem ôutras p€ssoas^ trabalhando no^ problema guestionaram

(t-12). Era, e ainda é, geralmente ace¡to que (l'12) é VáJida.

Agon temos^ uma contagem do número^ de ondas estacionárias,^ O^ próximo^ pæso^ na^ teoria

clásric¡ dc Rayleigh-Jeans da radiação de corpo negro é^ fazer^ o^ cálculo^ da^ cneryia^ total^ média

BzlpzkT

,,,'Py9)dv

V' 'ffii,'-....,.-,.,:.', (^). é

Bstaé Nîömda de fuyleighJeans pøa ø rodÍação de corpo negro.

Tr

(r-tÐ

Na fìgura l{ comparamos as previsões desa equgo com os dados experimentais. A disøepância (^) é evidenæ. (^) No limiæ de baixas freqüências, o espcctro clássíco sp aproxim¡ dos re-

n¡ltados expgrimentais, mas, à medida gue a fieqúéncia øesce, a prevMo teórica vai ¿ infìnito.

nfro validadÊ ds tooda glársicr (^) gS regi{o;

tr

3t

_t

f*

:

i-.

14 TEORHDEPLAI{CKDARADI (^) çÃODEC VIDADE

Ao tentar ¡oluciona¡ a discrepåncia cnü€^ t^ þorl¡^ a^ r^ cxperi€ncia,^ Pland<^ foi þrado^ a^ con'

dderar a hipóteæ de uma violação da lci da c$dPafdflô d¡ morgi¡ sob¡e^ a^ qual^ a^ tcofia^ tG^ ba'

laÖrb d¡i¡sica I , I I I I I

l/

1= l500oK

Re¡¡lt¡do¡ -cxpaüncntelr

2 v (l0ra Hz)

FtGtRÂ l-8. A prcúsão dc Rayþbh-Jcans (linhe^ pontilhedr)^ crn comperaçío com os^ resultados^ expelF

mentais (^) 0inha ¡ólida) para a dcn¡idadc^ dä^ energh^ dc^ ¡rne^ cavldadc^ de^ corpo^ ncgro'^ mostran'

do e discrçâncie érh chamad¡ de cat¡ístrcfc do^ ultr8 lolcts.

æry¿ Da fìgura l8 é claro quc^ a^ lei^ dá^ rcsultadoa^ satidatórlos^ para baixas freqäências.^ Portan' to, podemôs supor

(1.18)

fito é, a cnergh totsl média tcnde a Él quando^ a^ freqllênda^ æ^ aProxlme de^ z¡ro. A disacpân'

cia para altas ftÊq¡iências poderia^ ser^ cltminads^ æ houtrssÊ,^ por^ algum^ motivo'^ um corte,^ de

fo,nna qæ

(l-le)

isto é, æ e cnergie total média tender^ a^ zcro^ quando^ a^ frcqpênda^ tenderainfìnito.E¡noutras

palamas, Ptan* descobriu qup,^ nar¡ cirsr¡nstfudar quc predominem^ no^ caso^ dgadiafo^ de^ cor'

po ncgro, a cnergia médla da¡ ondas estacionária¡ é uma funfo da fteqüência 8(v),^ com^ es^ PrÞ

priedades indicadas cm (l-lS)^ c (1.19). Isto contadiz a^ lci^ da^ eçipartifo^ da^ energia^ $rc assor.

cia à energia média Eum valor Índependcnte da^ freqi!ênda.

Voltemos à origem da^ lcl^ da^ cquipartiso.^ Ela^ augÊ, badcamente,^ de^ um^ resultado^ m¡l¡

comprcenslvel da teoria sinética clássica,^ a dishibulçÍo dc Boltznann.^ ((h^ argrmrentor^ qu

lcvrn à^ distr¡bu¡çÍo dc Boltz¡na'rn^ cstão desenvoMdar^ no Apêndict^ C,^ Para os^ ætudanter^ qu€

¡inda não tém familia¡idade com cla.) Vamot eçi^ urilizu^ ume^ þnru especÍal da^ dßttíbu@^ dc

hltztnonn

I

I

N

É

ê^ I

x.q

t.-

t-/

l-J

ii

(io/

L.;

t..-

E+kT

r-t

E+

t+-

D-alkT

fl8)=-

KT

lrJ

ne qutl^ P(8)^ d8^ é^ a^ probabilidadc^ de^ encontrar um^ dado^ ente^ de^ um^ slstema^ com energia no in-

teryalo cntre^ I^ e^ I^ *^ d8,^ quando^ o^ número^ de estados dc energia para o entc ncssc interyato (^) in.

dcpnde de^ 8.^ Supõe.se^ quc^ o^ sistema^ contém um gande número^ de^ cntes^ do^ mesmo tipo cm

cquillbrio térmico^ a tempcratura^ I,^ c^ lc^ rcprcsenta a constante de Boltzmann, As energias dos

cntes no^ sistema que^ cstamos^ considerando,^ um conjunto^ de ondas estacioná¡i¡s oîc¡lendo cm

rÍoyimento harmônico^ simples em^ equillbrlo^ térmico^ em^ ume^ cavidadc dc^ corpo negÍo,^ são^ go.

vcmadas por^ (1.20)'

A funçáo de distribuiç¡io^ dc^ 8o¡tzmenn^ cstá^ intimemenlc^ rclacion¡de^ ò^ função^ dc^ distribulçlo^ de Maxwelt pa.

r¡ r cncryis de uma molócula num^ sislema de^ moléa¡hr^ cm^ cquilfbrio térmico,^ Dc^ falo,^ r^ cxponcnchl^ na dir

trlbuiçao de^ Boltzmann^ é^ ¡esondvcl^ pclo fator exponcncial^ nr dllribulção^ de^ M¡xwcll. O^ frtor Srtr,que slguns cludrntes já^ dcrærn^ tct^ v¡sto^ ru^ disttibulção dc^ Maxwetl,^ resrlta^ do^ fato^ que o número^ de^ catadot^ de

cncrgia para^ ums molécr¡h no lntc¡valo^ de^ I^ â^ I^ +^ da^ nã'o^ é^ lndcpcndcntedcS,mâ3sim^ sumêntapto¡tor-

clonalmcnteaertz.

A funçeo de^ distribuigo^ de^ Boltzmann nos dá informações completa sobre as energies dos

entes no^ nosso sistema,^ incluindo,^ é^ claro, o valor médio^ ã^ das^ energias. Este pode^ ser obtido de

{S) usandose^ (l-20)

(l-21)

O integrando^ no^ numerador^ é^ a^ energia^ 8,^ com^ pcso^ dado pcla probabilidade^ que o^ ente tem^ de

ser encontrado com^ cste^ energia, Integrando-æ sobrc^ todas^ as^ energias possfveis,^ obtém-æ^ o va-

lo¡ médio desta energia. O denominador é a probabilidade de encontrar o ente @ñ qualquer

eneryia c portanto^ tem valo¡ um. A integral no numerador pode ær calcutada, e^ o^ resultado é

justamente (^) a lei da equipartição da energia

E=kT (t-22)

nrmm or gráIìcos de ^P(8) e E mostradæ na parte^ supe rior^ da^ figura^ I^ -9.^ Esta^ fìgua^ é^ o^ gráfioo^ dc

,P(8) em função^ de^ 8.^ Seu^ valor^ máximo,^ llkT, oæne para^ I (^) = 0, c^ o valor^ de^ P(8)^ deøesce sualemente (^) å medida que (^) I øesce, æ aprorimando de zpro quando I .+ æ, (^) lsto é, o resultado qu (^) æria encontrado (^) com maior probabilidade em ume medida de I é zero. Mas a média Edos fsl¡ltadosé que^ seriam^ obtidos num^ grande^ núme¡o^ de^ medidas^ de^ I^ é^ maior do^ que^ zcro,^ oomo ¡nostrado (^) na abscisa da fìgura do alto; já (^) que muitas medidas de (^) I vão dar valores maiores

que zero. A parte de baixo da fìgura 1.9 indica o cálculo de 8-a partir de p(S).

r;i: A grande^ contribuifib (^) de Planck surgiu qrundo ele descobriu que poderia obter o corte

n€cessário, indicado em (1.-19), se modificasæ o cálculo que leva de P(s) a E, tratando a enèr., fr

$4.8 como^ æ^ cla^ fosç uiäÁvarùtvel dîsctet¿ cm ræz de uma vøùÍvel contlru4ær¡þæmp¿ fot+,

considcr¡da na ffsica clásdc¡. Quantitativamente, lsto pode æÍ feito rcescrewndo-æ (l-21) em

tc¡mos de utna soma, em yez de uma integral. Veremos logo que isto não é diflcil de æt f.ito,

mas srá muito mais instn¡tiyo estudarmos em primeiro lugar a repreæntat'o gráfìca na figura

l-10.

Ptanck supôs que a (^) energia I poderia ter apenas certos valores discretos, em vez de qual-

ó I

' I 8P(8)d J

f (^) 'øo.

I i I II I

Escrito na^ forma dc^ uma^ equaso^ cn^ vez dc^ uma^ proporcionrlidrde,^ tcmos

A8=lu i^ (r¿s)

h=6,63x l0-3'Joulc+

Esta ænstrntc, muito^ famosa,^ é^ c)tiluadaørnstantc^ dc^ Planck¡

A fórmula obtida por^ Planck para E^ , ao fazer^ o^ cálcr¡lo da soma de^ forma^ análoga ao^ da

integral em (l-21),^ e que^ obtcremos no^ excmplo^ 14'^ é

l,

0,

0,

0

** ,ltvlkT^ +^ l'+^ hvlkT^ qirando^ hvlk^ +^ O_,^ v€mos qu€ E (r,¡^ *^ klneste^ limite,^ como^ é prcvisto por (l'18).^ No limite^ trr'/er^ +^ ø,^ ¿ftv^ lkr^ *^ -' e^ E(r')^ + 0'^ de^ aco¡do com^ a^ previsão^ de

(l-le).

A fórmr¡la qræ ele imediatamente obteve para a densidade dc cncrgia do espcctro do cor-

po ncgro, usando esse resultado para ã(rr) cm (^) vcz do valo¡ clásico (^) ã= tf. (^) C

8tw2 hv P7Q)dv=f 7tr6¡a,

Esl¿ é^ o^ especno^ de^ corpo^ negro^ de^ Planck A fìgura^ l-l I mostra uma comparaÉo do resultado

da teoria^ de^ Plenck (oxpre¡so^ em termos-de oomprimento de (^) onda) com os rcsultados cxpcri. mentais (^) Para um¡l temPeretura I (^) = l595oK. (^) Os ren¡ltados experimentais cstão (^) cm totel (^) acordo com a^ fórmuta^ de^ Planck, para qualquer temperatura. Dcvcmoo lembrar quc Ptandt nÍo'alterou (^) a distrlbulfo de Boltanrenn. (^) 'î¡do. quc (^) cle.

fez foi^ trat¡¡^ ¡^ cncrgia^ das ondas estacloná¡ias eletomagréticas, oscllando senoldalmcnte com'ol

tcmpo, como grandeza^ di¡qeta em ræz de contfnu.

EXEMP¡¡ I.{

obter a cxprersaÌo y'e^ Planck para (^) a cnergia média êe também para (^) o espccrro de corpo ncgo. A quântidade^ Ãé c¡lculada a partir da (^) raza-o ent¡e as somas

nlt^ ¿8P(8)

-._ t P(e)

¡d)

análoga à razâo ent¡e as inlegrais em ( (^) l -21). 'Deyc-s€^ usû somes porque, com o postulado (^) de Planck, a energia

8 sc torna^ uma va¡iável disqeta, que assume apenas os valores g = 0, åy, 2hv,3hv,. .. lsto é, 8' = rá¡,, onde

n = 0, 1,2,3,... Substituindo-sc esta exptessão na dístribuição de Boltzmann p(e , = ,-&lkT kT, t" o,

:onde (^) å é a constante de proporctonalidado. I Cálculos poster¡ores^ pcrmitiram^ a^ Ptand<^ detcrminar^ o^ valor d¡.constantc^ å, obtcndo^ o^ va'

lor que ajustava melhor^ sua^ teo¡ia^ aos dados^ experimentais.^ O valor por^ ele^ obtido cstavobcm

próximo do valor atualmentc aceito

(t.27)

ht

onde a =-

KT

-t'^ t

t,7 5

r,

1,

E I

t

o 2 ,,

o

2 a,^ ¡r

v

Y

\t

-ri

!",

v

,'A

i-nn"nr i no-no u-|

kr =krà i-nnv¡kt î"-'o Ákf

^

Isto, pot (^) sua vez, pode ser (^) calculado maís facilmente se notarmos que

d

4=Ze-na

uo rnîr-no=

donã

da-"¡â î

nâ"_no

• io1"-'" nta d" n1aîn*-tro

Ë--"

-1"-,-

=-trLtn da n{)î-r-n"

FIGURA l-ll.A previsão^ dc^ Planck para a densidade de^ enctgir^ 0inhasólttl¡)comp¡radeaolrc$¡tadosex'

peiimcnøis (cfrculos)^ Para a densidâde de^ cncryh dc um^ corpo^ nego'^ O-r^ dados^ foram^ diwl-

gados por cobtentz #^ tste^ e^ foram obtidos^ para^ um¡ lcmper¡tura^ de^ 1595'K.^ O^ autor^ oÞ

seryou em scu altito^ que, após^ traça¡^ as^ cut"ti^ dt^ cnergir^ eçcctral^ tesuttantes^ de suas^ medi-

das, ..dcvido "o-*itõ á"^ i¡rt",^ räi^ impossfvet^ nos^ meses^ seguirtes dat^ etenÉo^ à enálise^ dos

. dador'. os ¿a¿os, quando^ finalmente^ analisados,^ leva¡am^ a^ um vator dc^ 6,5? x^ lo-t'joule+

Para a^ constantc^ de^ Planck.

("å'" (^) Ër-')

6lv)=- "hvlkÎ -^

1

r (10'Â)

de forma que

E= lcI

M¿s

i

"-n"=

I + c-û + c-2s+ c-3d+^ -'

¡Ð =l+x+ JF+xr+-' (1 (^) -X)-t=l+X+F+Xr+-'

onde X = e-c

e

dc forma quc d

ë= -åv-ln (t^ - c-o)-t

ds

-hv l)(l

• ¿-c¡-r'-c

(l - c-c¡-r

hvc-d hv hv

=t_*=ñw

obtivemos (1.26)^ pa¡a^ I^ energia méàia de uma onda estacioná¡ia elet¡omagnóticå^ de^ freqliência^ v'^ Multipli'

c¡ndo esse expres€o por^ (l-12),^ o^ núme¡o,lv(y) dy^ de ondas^ que têm^ csta^ freqliência,^ obtido^ no exemplo^ l'3'

obtemos imediatamente o cspectro^ de^ corPo ne8¡o^ de^ Planck'^ (t'2?)'^

a

EXEMPU) I.

É convenþnte, ne^ análisp^ de resultados experimentais,^ como^ n:¡^ Ígwa^ l-ll'^ expressa¡mos o especüo

dc corpo^ negro de Planck em^ função do complimento^ de^ ond¡^ tr em^ vez da^ freqilência^ r"^ obter^ efÀ)'^

a cx'

prrrøo..p"ra o eryêcl¡o^ de Planck em^ fung-o do compfimento^ de^ onda,^ a^ pa¡ti¡-dc^ pfi'),^ a^ expressão^

para o

.çrrfro ". fungo^ aa^ freqtiência.^ A^ quantidadc^ efl)^ é^ deñnida^ å^ P.¡tif^ da igualdade^ pfÀ)^ dX=^ -pr(vl^

dv'

-' À (10' A)

FIGURA l-l^ 2.^ A^ dcnsidade dc^ encrgia^ dc Planck^ da^ radiaçío^ de^ corpo^ negto^ E^ várias^ tcmPereturas em função

do comPf¡mento de onda, observc que o^ comprimento^ dc onda no qual^ a^ cufv¿ atinSe^ scu^ má. ximo dec¡esc¿ à medida^ quc^ a^ tçmperatùra crescc'

o sinal meno-s^ tÍio.q1"^ cmbora^ rfÀ) e^ plv)^ sejam ambos posítivos, dy e dà, rêm ¡in¿i¡ oposros, (um

rcré¡clrno na ¡reqrænc¡8^ prus^ Um Oecl€sc¡mo^ cor¡€spondente^ no comprimento de (^) onda.) Da relaçelo I (^) = c/tJ çrnss ¿y (^) = -(c/Àt ) dÀ, ou dvldÀ (^) = -(cÀr ), de (^) forma que

dyc

plxl= (^) -pn/¡v)-- p¡vl-

dÀ ' ¡\t

S€ f¡zermos ago¡a^ v^ = ch^ em^ (1.27,^ obtemos

Sthc dÀ

cltlax=;-ffi

Na l-tgura^ l'12^ most¡amo¡^ um^ grífico d" plf)^ x I para^ vrírias tempereturas d¡ferentes. A mudança de.cor

vømelh¿" para^ a 'tor bnnce" e para a 'coi.azul" da radiação térmíce, à medida que a tempersrun eumental

$ torna ev¡dente quando^ csúuds¡nos e dislribuit''o de energia ¡sd¡enþ €m funSo do compr¡mento de ondâ

pars temperaturst cresocnæ¡. .

A lei de stefan, (l-2), e a le¡ do dedoc¿mento de wien, (l-3), podem s€r obtidas a partir

da fórmula de Planck. Ajustafrdo-as (^) aos resultados experiÍ¡entais, podemos determina¡ (^) os valo-

res das constantes h e k. A lei de Stefan é obtida integrando-æ a lei de Planck sobre todo o eç

Pectro de^ comPrimento^ de^ onda.^ Obtém-æ^ gue^ a^ radiância^ é^ proporcional^ à quarta potência (^) da

temlreratura, sendo a constånte de proporcionalidade hf k4 llsc2å3 identifìcada com o, a conr

t¡nte de stefan, qræ tem o valo¡ dcterminado Gxper¡mentalriente de 5,6? x lO-8w/¡na-o¡r.

A lei do^ deslocar¡ænto^ dp tvien é (^) obtida fazendo-se dp0)/dÀ = 0. Encontramos (^) \rxr =

020l4hc/k, e identificamos o lado direito desta equação com a constante de 1Vien, deiËñina.

da cxperimentalmente como ændo 2,898 x lO-3m-oK. usando-se esæs doisvaloresmedidos,

e suPondo'æ uln valor Pa¡a a velocidade da luz c, podemos c¿Icutar os valores de h e k.De fato,

isto foi feito por Planú, estar¡do os yalores obtidos bastante próximos dos obtidos posterior.

m€nt€ por outros ¡¡útodos.

l-5 (^) o u.so (^) D_A- tJI (^) DÄBADTAçÃO,DE pr.At{ß (^) NA TEAMOMEf,RTÂ?

lal^ - é- usada,A^ radiaçalo entã'o, a^ em¡t¡d¡ partirPor um d¡ tei de Stef¡n-Boltzmann,^ corpo quente pode^ scr usade para medir s¡a tempetatura.^ Se a^ radiafão^ fo.

sabemos que e razllo enû;asenerg¡aÍemitldaspelac duas (^) fontes é (^) þual à rezlo cnt¡o rs quùtas potências (^) das temperaturas, No entanto, (^) é d¡fícil medir a radiação tot¿l (^) da maioria das fontet. (^) dc forma que medimos, em vez dele, a radiâncl¡ rcb¡e uma faixa (^) finita de comlr¡

me¡tos de onda. Aqui utiliz¡mos e lei dc radiafo de Planck, que dá r r¿diância em funfo da temp€ratura

c. do oomprirnento de ondl Pua radia$'ö monocromática de compr¡menûo de onda à,, a räão ent¡e as ¡nten-

ridades espectrais em¡t¡d¡r por fontes a IroK c a I, "K é dada pela lei de planck como

Jclt&T, _ t

lcIúT, _^ t

Se. It é tomada como lemperatura de referência pad¡ão, entäo I, pode ser determinada ¡elativamente ¡ este

Idol'"-p-.ttitEscala desta^ exprersío, medindo-æ a^ razão^ expcriment"lrente,^ Esse^ procedimento^ é^ utilizado^ na

Prática dc Tcmpcnlurs (^) tntgrnacional, onde o ponto (^) de fusão no¡mat do ou¡o 006BoC) é tom¡do @mo (^) o ponto (^) fixo padrão. (^) lr;lo é, o pùôñctto (^) óltco é, ajustÃdo de forma (^) a comparar a radiância cpecüat de

:,r Na.p¡åticai pa¡a lcva¡ .opo^ negro^ ¡^ tcmpe¡¡twr^ desconhecida^ f^ >^ t06g"c^ com um corpo^ ncgro^ no ponto^ de fusão^ do ouro.

eo cont¡ que a maioria das fonte¡ não são corpor neg¡os e que um¡ faixa egectral

fhita é usada em vcz de ediaçalo monocromática, dcvemos estÊnder ; teor¡ae adotar procedimentos esp€.

ci¡is.

A maio¡ia dos p¡tômcros ótioos us¡ o olho como um dctecto¡ e necessita de uma larga faixa espco

tral, de forma que haþ s¡ficþnte cne¡gia pare quc o olho enxcrgue. o tipo mais símples e mais precio de ins.

_ __:'

t

1ìl

f\

4'\

î

r'-

i*

r

conclufoo¡ que experiênciarGtrwlvendo^ r¡m^ pêndulo^ oomum^ não podem determinar^

æ o

p"rü,l"dr da pt-di^ ¿^ øi¡¿o^ ou^ não.^ O^ mes¡no é^ válido^ para^ experiências^ em todos^ os^ outros

¡istpm¡¡ mrcánicos^ macroscópicos O^ fato^ de^ l¡^ ær ext¡e¡¡a¡nente P€queno^ faz^ com^

que o,s 1f'

f, a.^ urgi"^ dææs^ sistemÅ^ esþjan^ tão próximos^ urs^ dos^ outfos que^ se^ tor¡a^

imposlvcl di+

õ;Jil d.-*t"^ distribuição^ *nifo,4^ Sem drlvida,^ å^ poderia^ ser^ tomado^ çgmo^ zÊro para

sis

t*

-"1¡S*t,

c, de fato,^ uma^ fonn¡^ de redr¡zir^ as^ fórmulas quânticas^ ao^ æu^ li¡nitc^ clássico^ é

irrtt n ^0 nessas^ fõrmulas. Apen¡s qrundo^ conside¡¡mos^ sislemas nos quais^ r'^ é^ rnuito^ grande cþu 8 é^ tÍo^ poqwno^ que^ A8:^ hv^ é-dz^ ordem^ de^ I^ é^ qræ estamos^ em^ con{frs^ de tpsta¡ o óstu¡¡do ¿c^ ifai.^ Eiemplos^ são,^ cvidente¡nente,^ as^ ondas estacioná¡ias^

de alta fieqüÊncia na

i.¿¡"go ¿.^ corpo negro.^ M¡titos^ outros exemplos æ¡ão consid.¡ados^ nos^ próximos capftttlos'

I.7 T'M FOUCI) DE H.I^ TON¡¡^ DA^ FTSICA^ QUÂIVTICA Em a¡¡ form¡ o¡iginat, o Postut¡do de^ Pl¡nck^ não^ e¡.^ täo^ ab¡8f¡8ente^ quanto^ na^ forma^ em gue o exPu' æmor O t¡sb¡lho l¡¡cial- de Planck^ foi fcito^ t¡¡tando, del¡Ihedrmentr,^ o comportârnento^ de^ elétronr^ nas^ pe'

¡cde¡ do cottto notro c^ æu acoplamento^ ou lnte¡8Éo^ com^ e^ radiafo^ elet¡omâ8nética^ denEo^ d¿^ cL¡dade'

E¡1G æopl¡!¡ento hn^ ¡o^ me¡mó^ falor^ ut^ que obtivemos^ cm^ (l'12)^ se^ part¡¡mos^ de^ a¡gumentos maisgerais'

dcvirto¡ i R¡ylcrgh o Jeans. Atf¡vés d3sts ¡coph¡nento,^ Plsnck^ ¡¡¡os¡ou^ ¡^ energia^ a^ uma^ dada^ freqilência^ da

¡¡d¡¡ffo dE å.ñ oe¡o à.oe¡gh de r¡m^ cléton^ ne^ ¡nredq orcihndo ænoid¡lmente^ com^ a mesma^ fregüência'

c olc podulou rD€n¡t que^ a^ cne.rgia^ d¡^ pütfo¡h^ oscil¡trtc^ é^ quantizede^ SomentÊ mats^ ta¡dc^ foi^ que P¡anck

¡ocitoi r tdéia ø quc ar^ p¡óprhi^ ond¡r^ elctromagnétic¡s^ e¡¡m^ qruntlzadas,^ e^ o postuhdo^ foi^ empliado^ de

forme r lncluir quaþuc¡^ entc^ c¡¡j¡^ coo¡denad¡^ osc¡¡acsc^ seno¡d¡l¡nentc.

Em princfpb, Pt¡ncL nó €stsy¡ certo !e c¡s^ ht¡oduÉo^ d¡ constant€å^ e¡a apenas^ um^ ¡¡tiffcio^ mate'

¡ultlco ou i¡go ó ¡i¡nftc¡¿o flsico^ mais^ profundo. Num¡ cs¡t¡^ a^ R. ì¡t. Wood,^ nânck^ chamou^ seu^ postulado

liEitrjo d€ tm^ ¡tode^ dcrcçero",^ "Eu^ âb¡e",^ ccc¡eveu,'que^ o probterna (do^ equillbrio^ ent¡e maté¡h^ e^ ra'

d¡"Éo) é do fund¡mc¡t¡l (^) ¡þnificado pare a^ flrica;^ eu ¡abi¡^ a^ fó¡muh^ que^ reproduz^ a distribu_lção^ de energia

no iço3to ¡or¡n¡t; ¡u¡ inierprotação tÁtlq^ tt¡tlt¿^ que^ æ¡ encontr¿da^ r^ quolquer custo, nj[o^ lnteæssando

Cu& j. t¡to".^ Po¡^ rn¡i¡^ dc um¿^ d,ócada,^ Phnc&^ tcntou^ encaix¿¡^ ¡^ idch^ quântica dent¡o.da^ teo¡la_clissic¡'^ Em ca'

æot"tit¿, aþ peredr^ r€our^ dc a¡¡^ ou¡adi¡^ o¡iginal,^ m¡¡^ æmp¡c gøeve nover idéias^ G^ técnlcas que s teoria

qr¡i¡f¡c¡ ¡n¡¡ t¡rda ¡dotou. Ap4rentemcntsr o^ que^ Í¡n¡lmente^ o^ 0onvençou^ ds Goneção^ e^ do profundo^ signi

ng¡¿o ¿r nra hipóææ quiintica^ foi o^ f¡to^ dessa^ hipStese teva¡ a^ um¡^ formulação^ mais^ exate^ da tercei¡a lei d¡ te¡n¡odi¡É¡nlc¡ c do conceito^ est¡tfstio^ de^ enEoP¡a. Fol druantc cræ perfodo de^ dúvida^ que^ Planck^ foi oed¡tordojo¡natalemão depes4ui*Anrulender

pttydh. En 1905, ctc ¡ecebcu o primciro ertþo de Einstein sobrc a ¡cl¡t¡vidade, e defendeu^ vigorosamente

€¡s t¡rbûllro. Dcpoir di¡¡o, to¡nou-æ um do¡^ p¡troqo¡^ do^ þvem Ei¡¡þl¡^ cm^ cf¡culo¡^ cþnllficoq^ m¡s ¡esistlu

du¡¡ntc d$¡a tofupo ¡r^ idéh¡ cmitid¡¡^ pof^ El¡rgein^ ¡ob¡c^ e^ teorir^ quôntica^ da^ rodiação, quc^ mai¡^ t¿¡de^ con'

f¡¡¡¡¡r¡o ãc1çnAqr¡¡ o^ próprto^ lrlbrlho^ d¡ Pl¡ncxJi¡sæin,^ o¡j¡^ g¡ofund¡^ visão^ do cht¡omqnest¡s¡ño^ e da mocl¡bt o¡t¡tl¡ttc¡ t¡lvci fossc lnbr¡¡líwl ne¡s¡ époc¡, viu como^ ¡?sutt¡¡b^ do^ t¡¡bålho^ dc Phnck c^ necessída' do dc um¡ rcformuht'o complcta ¡u cdetfst¡ca^ ô^ ctelromagnetisrno^ ctísico¡^ Ele^ fo¡mutou^ previsões^ c^ inter' p¡etEçõÊr (^) dc muito¡ ienômeno¡ flsicor quc fo¡am mai¡ tarde nol¡volnrente confumados^ pelas^ expetilncias.

i¡o p¡óxt¡no c¡pftulo. yar¡¡o3^ voltsr ¡ umäeste¡ fcnômenos^ c^ rcguir um^ out¡o^ caminho em^ direfo^ à^ mccônica

quiatlcr,

.êì

fi\

rr.

:

f.

I ,

t.

I l.

t2.

ouEsrÕES

Um oorpo negro sempre ap¡uente ser negro? Expl¡que o termo corpo negro.

Cavidades formadas^ por^ carrrões^ em^ brasa prirecem mais brilhantes que os^ próprios^ car.

vões. É a^ temp€raturs em tais c¡vidades aprcciavclmente maior^ do^ græ^ a^ temperatwa^ da superflcie de um carvão inca¡¡descenþ exposto?

& olharmos^ para^ o htcrior de^ uma^ cavidade cujas paredes^ são^ mantidas^ a^ uma temperatu-

ra @nstant€, or destalhes do interior não são visfveis. Explique. A relâSo^ Àt^ = sf é^ €xata para^ corpos neg¡os^ e^ vale^ pua^ todas^ as^ temperaturas. Por^ qw essa relação não^ é^ r¡sada^ como^ base^ para urna definição de temperatura a,^ por^ exemplo, 100'c?

Um pedaço de n¡etal brilha com um¿ cor vermelha brilhante a I100'K. Nesta mesma tem-

peratura, no entanûo, (^) um pedaço de quartzo absolutamente não brilha. (^) Explique. (Suges- tão: o quartzo^ é transparent€ à luz visfvel.)

Faça uma lists das funções de distribuição usadas normalmente nas ciênciæ rcciais (por

exemplo, distribuição (^) de famflias em relação à (^) renda). Em c¿d¿ caso, especifÌque (^) se a va- riável (^) cuja distribuição é descrita é discreta ou contínua.

Em (14),^ qræ^ relaciona a r¡diância espectral com a densidade de energia,^ que^ dimensões

deveria ter (^) a constsnde de proporcionalidade? QuaI é^ a^ origem^ da^ catástrofe do ult¡avioleta?

A lei^ da^ equipa¡tição da eneryia requer que^ o calor especffÌco dos gases^ seja^ independente

da temperatwa, o que não está de acordo com a experiência. Vimos que essa lei conduz à

lei de radiação de Rayleigh-Jeans, que também não está de acordo com a experiéncia. Co

mo vooê pode relacionar nestes dois casos a não validade da lei da equipartição?

Compare as definições e as di¡nensões da radiâncie espectral R/u), da radiância.R, e a

densidade de energa p r(v).

Por gue sÊ usa normalmente um pirômetro ótico para temperaturas acima do ponto de

fusão do ouro € não abaixo dele? Qu¡ir eþjstgs t€m tipicamente suas temperatu¡as npdi.

das desa form¡?

IIá grandezas qUn :z^das na ffsica clássica? É a energia guanfi"'da na física clásic¿?

Fae (^) æntido fs¡sr (^) de qua¡¡tização da carga em ffsica? Em que isto é diferente da quantiza- ç5o da energia?

As partfculas çþnentares p¡uecem ter um conjunto discreto de massas de repouso. Po-

de-æ encara¡ (^) çssc fato como uma qruntização da massa? Em muitos sish¡n¡s clássicos as freqüências possfveis são quantizadas. Cite alguns desæs sistemas. Nestes casos a (^) cnergia também é qruntízada?

Mostre gue a constantÊ de Pla¡rck tcm di¡nen$es de momento angutar. Isto necessaria-

mente (^) sugere guÊ o mon¡ento angUlar é guantizado? Para qræ os efeitor quânticos fosæm perceptfveis no dia-adia de nosas vidas, qual deveria ær a o¡dem de grrndaza (^) mlni¡na de å?

1

O que^ é^ que^ a^ radia$o^ de^ corpo^ ncgo^ univtrsal^ de^ 3oK nos^ diz,*^ é^ que diz^ algo, sobre^ a

temperatura do^ espaço exterior? A teoria^ de^ Planck^ zugere^ estados de cnergia^ atômlca quantizados? Discuta o^ fato^ memorável^ de^ que^ e^ descobertâ^ de que^ a^ cnergia é^ discreta ter sido^ feita^ pe-

la primeira^ wz^ na^ análise^ de^ um^ espectro^ contfnuo^ cmitido^ por^ átomos ¡nteragindo cm

um sólido, em yez^ de te¡ sido feita na análiæ de um eqp€ctro discreto tal como o emitido por um átomo isolado em um gás.

I

t..

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t"-..

i

\ (^) ''l

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L",

TJ

ûlJ

PROBLEMAS

n Em^ que^ comprirnento^ de onda um radiador^ de cavidade^ a^ 600OoK^ irradia^ mais^ por unida- de de^ comprimento^ de onda?

2. Most¡e que a constante de proporcionalidade^ em^ (1.4)^ é^ 4/c.^ Isto^ é,^ mostre^ que^ a^ retação

entre a^ radiância espectral^ Rr(u) e a densidade de energia pfi,)^ é R"(r,) = (c/a)oyÞ)^ av.

t) Considere^ duas cavidades^ de materiat^ e^ formato^ arbitrários,^ as^ duas a^ uma mesma^ tempe. rctvra T,^ ligadas^ por um tubo cstre¡to no^ qual podem^ ser^ colocados^ fìltros^ de cor (supos tos ideais) que vão^ permitir^ a^ passagem apenas de radiação com uma dada freqäência u.

(a) Suponha que^ cm uma certa freqüência v', pr(v')^ dv pa:.a a cavidade I seja maior que

p¡Q') dv para a cavidade 2. Um lìltro que permite a passagem apenas da freqüência u'é

colocado no tubo^ que liga as duas cavidades. Discuta o que vai acontecer em termos de

fluxo de energia. (b)^ O que.v¡i acontecer com as respectivas temperaturas? (c) Mostre que

isto violaria^ a^ segunda^ lei^ da^ termodinâmica;^ portanto,^ prove que todos os corpos negros a

uma mesma temperatura devem emitir radiação térmica com o mesmo espectro, indepen.

^ dentemente^

dos detalhes de sua composiçâo. t.\ Um radiador de c¿vidade^ a 6000'K tem um oriffcio de 0,10 mm de diâmetro feito em (^) sua

parede. Ache a potência irradiada através do oriffcio no in tervalo de comprimentos de on-

.

da entre 5500 ,{ e 5510 Å. (Sugestão:^ Veja problema 2.)

i.) (a)^ Supondo que^ a tcmperatura da superfície do sol é (^) 5?00oK, use a lei de Stefan, (1.2), para determinar (^) a massa de repouso perdida por segundo pelo sot sob forma de (^) radiação.

Considere o diâmetro do sol como ændo I ,4 x I 0e m. (b) Que fração da massa de repouso

do sol é perdida (^) a cada ano sob forma de radiação ctetromagnética? (^) Considere a massa de

repouso do sot sendo 2,0 x l03okg.

i. (^) Em uma explosã'o tefmonuclear, (^) a temperatura no centro da explosão é momentaneamen- te 10?oK. Ache o comprimen¡o de onda para (^) o qual a (^) radiação emitida é máxima. '. (^) A uma dada temperaturâ, Àrn.* = ó500 (^) Â para uma cavidade de corpo negro. (^) eual será À,n"* * a temperatura nas paredes (^) da cavidade for aumentada de forma que a taxa (^) de emissão de radiaSo espectral æja duplicada?

. (^) A que comprimento de onda o corpo humano emile sua radiação térmica máxima? Apre-

sente umå lista das hipóteses que vooê fezpua chegar a esta resposta.

. (^) Supondo eue Àn.,"* está no infravermelho próximo para a (^) radiação térmica de (^) cor verme- lha (^) e no ult¡avioleta próximo para a (^) radiação térmica (^) de cor azul, a aproximadamente que

temperatura na lei do deslocamento de Wien corresponde a radiaçat térmica de cor ver-

melha? E a (^) de cor azul?

Ù. A taxa média de radiafo solar incidente por unidade de área sobre a superffcie da Te¡ra é

0185 cal/crnz.min (ou 355 Wm2). (a) Explique a consistênc¡a entre esse número e a

constante solar (a energia solar que ¡ncide segundo a normal por unidade de tempo (^) sobre

uma unidade de área da superffcie da Terra) cujo valor é 194 øUcm2-min (ou 1340

lV/m'). (b) Considere a Terra como sendo um corpo ncgro irradiando energia para o espa-

ço segundo^ essa^ mesma^ taxa. Qual seria a^ temperatura^ de^ sua^ superffcie^ sob tais^ circuns- tâncias?