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Parte II
Oscilações
OSCILAÇÕES LIVRES AULA 19 E 20
1. Introdução
Vamos iniciar o estudo da dinâmica de um novo movimento, chamado de movimento oscilatório. Ele é um exemplo de movimento periódico, que pode ser descrito através de uma única coordenada (possui apenas um grau de liberdade).
Oscilações são encontradas em todos os campos da Física. Exemplos de sistemas mecânicos vibratórios incluem pêndulos, diapasões, cordas de instrumentos musicais e colunas de ar em instrumentos de sopro. A corrente elétrica alternada é oscilatória, possuindo inúmeras aplicações importantes na engenharia.
Chamamos as oscilações de oscilações livres quando o sistema oscila sem nenhuma influência externa além daquela inicial que lhe deu origem. Seu período de oscilação é determinado pelos parâmetros que caracterizam o sistema dinâmico.
Figura 1: Exemplos de sistemas oscilante (a) massa-mola, (b) haste vibrando e (c) pêndulo simples. Chamamos as oscilações de oscilações forçadas , quando o sistema é submetido, a todo instante, a impulsos externos periódicos.
No movimento unidimensional, as oscilações decorrem de forças conservativas, associadas a uma energia potencial.
Figura 2: Gráfico da energia potencial como função da posição. Considere, por exemplo, a curva de energia potencial de um sistema físico (uma partícula de massa m) em função da posição como a indicada na fig. (2). Isto está descrito através da linha azul no diagrama. A linha horizontal em vermelho representa a energia total E do sistema, isto é, a soma das energias cinética e potencial:
= + .
Os intervalos em que a partícula pode ser encontrada (regiões classicamente permitidas) são aqueles que, para uma dada energia E a energia cinética K é não negativa,
= − ≥ 0.
As regiões para as quais < 0, são regiões onda a partícula jamais poderá ser encontrada (regiões classicamente proibidas), de acordo com as previsões da Mecânica Clássica, pois, se assim o fosse a velocidade da partícula seria um número imaginário,
Observe que quando a energia total da partícula é = somente uma região classicamente permitida aparece, que é o intervalo de valores ≤ ≤ . Os pontos = e = são os pontos de retorno (onde a velocidade é nula) do movimento e a partícula oscila em torno do ponto onde a energia é um mínimo. Já para = há duas regiões classicamente permitidas, a saber, as que correspondem aos intervalos ≤ ≤ e ≤ ≤ . Se a partícula for encontrada no primeiro desses
^ + = 0^ →
^ +
Essa é a equação que representa a dinâmica do oscilador harmônico. Ela é uma equação diferencial linear de segunda ordem , homogênea e com coeficientes
constantes. É linear pois nela não aparecem termos , , "#$#% &
, "#
'$ #%'^ &
, ..., em sua
incógnita e em suas derivadas. É de segunda ordem pois a derivada de maior ordem é a derivada segunda. É homogênea pois o segundo membro da equação é nulo.
A equação diferencial
( + ) = 0, )^ =
não é a forma mais geral de uma equação desse tipo. A forma mais geral é:
^ + ,
Onde +, ,, - e são funções contínuas de. No caso mais simples +, ,, - e são constantes e no caso homogêneo = 0. Observe que, no caso, a constante , é nula. Ela aparecerá quando o oscilador for amortecido , pois uma força proporcional à velocidade será incorporada ao problema. - = e = 0.
Um importante teorema para o caso homogêneo é:
Teorema: Se . e são duas soluções linearmente independentes da equação então qualquer combinação linear
= /.. + /
dessas duas soluções (/. / 012 1 2) também será solução.
Demonstração: Se . ^ e ^ são soluções tem-se,
^ .
^
Queremos saber se /.. + / é solução.
[/.. + / ]
^ + ,
[/.. + / ]
+ - [/..
+ / ]
^ [/.. + / ] + ,
[/.. + / ] + - [/..
+ / ]
^ . + ,
^
Isto é, /.. + / é solução.
Exemplo: Verifique que . = cos)* e = sen)* são soluções do problema do oscilador.
Solução:
^ +
= −)21)^
^ = −)*
(^) cos)<==>==* ?
$@% = −)*. .
Substituindo na equação vemos que . = cos)* é solução, pois:
. ^
Para = sen)* , temos:
= )02)^
^ = −)*
(^) sen)<==>==* ?
$'% = −)* .
Substituindo na equação vemos que = sen)* é solução, pois:
^ + )*
Portanto, de acordo com o Teorema, a solução mais geral do problema do oscilador ( + )* = 0, é do tipo:
= . + = cos)* + b sen)* .
Vemos a presença de duas constantes ^ na construção da solução do problema do oscilador. Elas devem ser determinadas para cada problema específico
cos/ + G = 02/02G − 21/21G.
= +02Fcos)* + −+21F21)* .
Sabemos que as funções 21 e 02 são linearmente independentes. Isto nos leva a concluir por comparação com
= cos)* + b sen)* .
que,
= +02F = −+21F.
Elevando ao quadrado a ambos os membros das equações anteriores e fazendo a soma membro a membro, chegamos no seguinte resultado:
^ + ^ = +^ → + = H^ + .
O valor da constante F é determinado através do arco tangente,
F = I J K
L.
Em termos das condições iniciais
+ = *^ + *
)*^
F = I J K
)*^ L
Significado Físico da Constante A
Dos nossos estudos de cálculo sabemos que a função cosseno é uma função limitada, isto é:
|cos)* + F| ≤ 1 → −1 ≤ cos)* + F ≤ 1.
Multiplicando-se os membros da desigualdade por + vemos que os valores da posição da partícula em MHS estão limitados ao intervalo,
−+ ≤ + cos)* + F ≤ + → −+ ≤ ≤ +.
Então, a constante + corresponde ao maior valor do afastamento da partícula em relação ao ponto de equilíbrio. Denominamos + como a amplitude do movimento.
Exercício Resolvido: Resolva o seguinte problema de valor inicial para o
oscilador
O
Solução: Veja como é simples. A solução geral já é conhecida. Só é usá-la:
= * cos)* + (^) )*
sen)* = −
2 sen2 = −3 sen2 .
Exercício Resolvido: Escreva a solução anterior na forma
= + cos)* + F.
Solução:
+ = H^ + ^ = *^ + *
)*^
F = I J K
)^ L = I J∞ =
U
= 3 cos "2 +
U
2 & = 3 Vcos2 cos "
U
2 & − sen2 sen "
U
2 &W = −3 sen2 .
Aceleração no Oscilador Harmônico Simples
Determinamos a aceleração da partícula que executa o MHS usando a definição,
+ cos)* + F = −)* .
Vemos que a aceleração é proporcional a posição instantânea da partícula.
Período e Frequência
Vimos que uma das características do movimento oscilatório é de ser periódico. Chamamos de período X o menor intervalo de tempo para que um ciclo completo do movimento ocorra. Queremos dizer com isto, que após a passagem de um período de tempo X o sistema possui as mesmas características cinemáticas que possuíam, isto é, mesma posição, mesma velocidade e mesma aceleração. Como as funções seno e cosseno possuem o mesmo período, basta que calculemos o tempo necessário para a repetição da posição da partícula.
Vamos mostrar que no tempo + (^) EYD a posição da partícula é a mesma que
possuía no instante.
K +
2U
)^ L = +02[)^ K^ +
2U
)*^ L + F]
K +
2U
)^ L = +02[)^ + F + 2U] = +02[)*^ + F] = .
Da mesma forma e tendo o auxílio da segunda propriedade, encontramos a fase da aceleração:
= )[−+ cos) + F] = )+02) + F + U.
Observe que a velocidade está adiantada de 90^0 e a aceleração 180^0 com relação
à posição, pois, a diferença de fase entre a velocidade e a posição é Y e entre a
aceleração e a posição é U. Dizemos que a velocidade está em quadratura com a posição (quando a diferença de fase é 90^0 ), enquanto que a aceleração está em oposição de fase com a aceleração.
Figura 4: Gráficos das funções horárias da posição, velocidade e aceleração no MHS.
Exemplo: Demonstre que os períodos de oscilação de blocos iguais de massa
unidos por molas de mesma constante elástica k independentemente da orientação do plano de oscilação possuirão o mesmo período igual a,
X = 2UZ
Solução: Precisamos verificar os casos (b) e (c). As diferenças entre os
casos é que os ângulos de inclinação com a horizontal valem,
respectivamente: 0 , ` 90. Lembremos que o corpo é colocado em
oscilação quando é tirado de sua posição de equilíbrio.
Em (b)
b = J21` → b =
J21`
= = − b − J21`
− b − J21` = −) → = −)
Em (c) ` = 90*,
b = J2190*^ → b =
J
= = − b − J
− b − J = ) → = −)
As frequências naturais de oscilação são as mesmas.
Energia no MHS
As energias presentes no oscilador harmônico simples são do tipo cinética e potencial. Vamos ver que no MHS a energia total (mecânica) do sistema é constante no tempo. Calculemos a energia cinética e potencial:
2 ^
=^1
+21)* + F 1IJc c1é c.
Figura 5: Gráficos da velocidade e da energia cinética da partícula em MHS ( e = f.
=
=^1
02)* + F
+02)* + F1IJc g0 1ch.
Valores Médios das Energias Cinética e Potencial
Definimos o valor médio temporal de uma variável como a integral:
X l^ .
%m^ %
Com o uso dessa definição vamos calcular os valores médios da energia cinética e da energia potencial. Iniciamos pela energia cinética média:
X l^ .
%m^ %
X l^ 2
)* + F.
%m^ %
Duas identidades trigonométricas são importantes para a resolução desses tipos de integrais, a saber:
212 = 221 02`
cos2 = 02 − 21= 1 − 221.
Com o auxílio da segunda escrevemos,
21) + F =
2 cos[2)^ + F].
Desta forma tem-se:
l 21) + F
^nYE
= l
Y E
− l
2 cos[2)^ + F]
Y E
l 21) + F
^nYE
U
) − l^
2 cos[2)^ + F]
Y E
l
2 cos[2)^ + F]
Y E
pq1ç sIcá h: q = 2) + F ∴ q = 2) → =
q
l
2 cos[2)^ + F]
Y E
- l^ 02q q
Ymu u
- v[21[22U + F] − 212F]w = 0.
2U
l 21)* + F =
4U
U
%m^ %
O MHS e o MCU
Podemos construir o movimento harmônico simples (MHS) a partir do movimento circular uniforme (MCU). Para ver como isso é possível observe a figura abaixo. Nela vemos o ponto objeto x executando um MCU de velocidade angular ) no sentido anti-horário na circunferência de raio I. A circunferência está contida no plano XY com centro na origem do sistema de coordenadas. Enquanto x gira a sua projeção ortogonal y sobre o eixo OX executa um movimento oscilatório em torno da origem z.
Lembremos que no MCU o ângulo (em I) que a partícula x descreve no tempo é dado pela expressão:
F = F* + ).
Com isto a posição do ponto y que executa o MHS é dado projetando-se a posição de x sobre o eixo OX, isto é:
= I02) + F*.
Nesta equação I é identificado como a amplitude do MHS.
Façamos o mesmo para a determinação da velocidade do MHS. Para isso projetemos a velocidade da partícula no MCU sobre OX. Isto está sendo mostrado na figura abaixo. De acordo com ela a projeção da velocidade do MCU no eixo OX vale:
= −)I21) + F*.
Observe o sinal negativo. Ele foi colocado para ajustar o sentido do movimento que está contra a orientação da trajetória (eixo OX).
energia total; (e) a amplitude do movimento; (f) a velocidade no ponto; (g) a velocidade e a aceleração máximas que ele atinge.
5. Nos sistemas mostrados na figura não há atrito entre as superfícies do corpo e do chão e as molas têm massa desprezíveis. Encontre as frequências naturais de oscilação. 6. Os gráficos das energias cinética e potencial para um oscilador harmônico simples estão representados na figura abaixo. Determine: (a) A velocidade da partícula no instante em que sua energia cinética é 2/3 da energia mecânica, (b) a posição da partícula quando a energia cinética é 1/5 da energia potencial. 7. A energia total de um sistema conservativo na vizinhança de um equilíbrio estável é da forma
= ^ + ),
onde (deslocamento, ângulo,...) é o desvio do equilíbrio e ) são constantes. Mostre que o sistema oscila com frequência angular ).
8. Na figura dois blocos = 1,8 J p = 10 J e uma mola ( = 200 ~/) estão dispostos em uma superfície horizontal sem atrito. O coeficiente de atrito estático entre os dois blocos é 0,40. Que amplitude do movimento harmônico simples do sistema bloco-mol faz com que o bloco menor fique na iminência de deslizar sobre o bloco menor?
9. Determine uma solução para o problema de valor inicial:
O
O
10. Em um motor, um pistão oscila com movimento harmônico simples de modo que
sua posição varia de acordo com a expressão:
U
6 & → ;^ → 2.
(a) Encontre a posição, a velocidade e a aceleração em = 0; (b) Escreva a equação na forma
= cos)* + b sen)* .
