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Ficha Nº 3 SISTEMA DE EQUAÇÕES LINEARES Cursos: Todos Nível: I Disciplina: Análise Matemática I Semestre: 1º/ Duração: 3 Semanas (04/04 - 23/04/2022) Carga Horária: 6h/Semana
1 Sistemas lineares não homogêneos
1.1 Resolva os sistemas usando transformação á forma escalonada
(a)
2 x + y = 5 x − 3 y = 6
(b)
2 x + 6y = − 6 5 x + 7y = 1
(c)
x − 3 y = 4 − 3 x + 9y = 8
(d)
4 y = 6 x − 6 y = 3
(e)
x + y + z = 6 2 x + y − z = 1 3 x − y + z = 4
(f)
x − y + z = 1 2 x − y + z = 4 x − 2 y + 2z = 0
(g)
x − 2 y + 3z = 5 2 x + 3y − 4 z = 5 −x + y + 2z = 1
(h)
x − y + z = 2 2 x + 3y − 4 z = 8 x − 3 y + 2z = − 1
(i)
x − y + 2z = 5 y + 2z − x = 7 2 z − 3 x + y = 5
(j)
7 x − 5 y − 2 z = 8 9 x + 3y + 5z = 16 4 x + 7y + 3z = 3
(k)
x − y + z − t = 0 x + 2y − 2 z + 2t = 3 x + 2y + 3z − 3 t = 3 x − 2 y + 3z − 4 t = − 2
(l)
2 x − y + z − t = 4 3 x + 2y − z + 2t = 1 2 x − y − z − t = 0 5 x + 2t = 1
(m)
x + y + z + w = 6 x + 2y + 2z + 2w = 11 x + 2y + 3z + 2w = 1 x + 2y + 3z + 4w = 17
(n)
x − y + z − w = 0 x + 2y − 2 z + 2w = 3 x + 2y + 3z − 3 w = 3 x − 2 y + 3z − 4 w = − 2
(o)
x + y + z + w = 0 x + y + z − w = 4 x + y − z + w = − 4 x − y + z + w = 2
(p)
x + 2y + 3z = 0 2 x + y + 3z = 1 3 x + 2y + z = 0
(q)
x + y + z = 4 2 x + 5y − 2 z = 3 x + 7y − 7 z = 5
(r)
x + y + z + w = 0 x + y + z − w = 4 x + y − z + w = − 4 x − y + z + w = 2
1.2 Resolva os exercícios anteriores por meio do algoritmo de Gauss-Jordan
1.3 Resolva os exercícios do ponto 1.1, recorrendo à matriz inversa e à regra de Cramer.
2 Sistema de equações dependentes de parâmetros
2.1 Determine os valores de α e β para que os sistemas abaixos sejam (i) incompatíveis; (ii) tenham uma única solução e (iii) tenham várias soluções:
(a)
3 x − αy = 1 6 x + 4y = β (b)
x + αy = 1 2 x + 3y = β (c)
x − 3 y = 1 2 x + αy = β
2.2 Determine os valores de k tais que o sistema nas incógnitas x, y e z tenha: (i) nenhuma solução (ii) solução única, (iii) mais de uma solução.
(a)
x + y + kz = 2 3 x + 4y + 2z = k 2 x + 3y − z = 1
(b)
x − 3 z = − 3 2 x + ky − z = − 2 x + 2y + kz = 1
(c)
kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 0
(d)
kx + y + z = 1 x + ky + z = 1 x + y + kz = 0
(e)
− 4 x + 3y = 2 5 x − 4 y = 0 2 x − y = k
(f)
x + z + w = 0 x + ky + k^2 w = 1 x + (k + 1)z + w = 1 x + z + kw = 2
2.3 Determine as condições em a, b e c para que o sistema de incógnitas x, y e z tenha solução:
(a)
x + 2y − 3 z = a 3 x − y + 2z = b x − 5 y + 8z = c
(b)
x + 2y + 4z = a 2 x + 3y − z = b 3 x + y + 2z = c
3 Sistema de equações homogêneas
3.1 Determine a solução geral do sistema:
(a)
x + 3y = 0 2 x + 7y = 0 4 x + y = 0
(b)
x + 5y = 0 2 x + 3y = 0 3 x + 2y = 0
(c)
6 x + 2y = 0 − 3 x − y = 0
(d)
3 x + 2y = 0 7 x − 4 y = 0
(e)
x + y + z = 0 2 x − y + 3z = 0 3 x − y + 5z = 0 x − 2 y − 2 z = 0
(f)
3 x + 2y − 7 z = 0 x − y + z = 0
(g)
2 x − y = 0 x + y − z = 0
(h)
x + y − 6 z = 0 − 3 x + y + 2z = 0 x − y + 2z = 0
(i)
x + 3y − 2 z = 0 x − 8 y + 8z = 0 3 x − 2 y + 4z = 0
(j)
x + 3y − 2 z = 0 2 x − 3 y + z = 0 3 x − 2 y + 2z = 0
(k)
x + 2y − 5 z + 4w = 0 2 x − 3 y + 2z + 3w = 0 4 x − 7 y + z − 6 w = 0
(l)
x − 2 y + 2z = 0 2 x + y − 2 z = 0 3 x + 4y − 6 z = 0 3 x − 11 y + 12z = 0
3.2 Determine o valor de m, de modo que o sistema admita uma solução não nula:
13 x + 2y = 0 5 x + my = 0
3.3 Determine o valor de k, de modo que o sistema homogéneo admita uma solução não trivial.
3 x − 2 y + z = 0 kx − 14 y + 15z = 0 x + 2y − 3 z = 0
Soluções
1.1 (a) x = 3; y = − 1 (b) x = 3; y = − 2 (c) Impossível
(d) x = 12; y =
(e) x = 3; y = 2; z = 1 (f) x = 3; y = 2 + α; z = α, α ∈ R
(g) x = −1; y = 2; z = − 1 (h) x = 1; y = 2; z = 3 (i) x = 1; y = 2; z = 3 (j) x = 1; y = −1; z = 2 (k) x = 1; y = 1; z = 1; t = 1 (l) x = 1; y = 2; z = 2; t = − 2
(m) x = 1; y = 7; z = −10; w = 8 (n) x = 1; y = 1; z = 1; w = 1 (o) x = 1; y = −1; z = 2; w = − 2
(p) x =
; y = −
; z =
(q) Impossível (r) x = 1; y = −1; z = 2; w = − 2
2.2 (a) (i) k ∈ ∅; (ii) k 6 = 3; (iii) k = 3 (b) (i) k = − 5 ; (ii) k 6 = − 5 ∧ k 6 = 2; (iii) k = 2 (c) (i) k = 1 ∨ k = − 2 ; (ii) k 6 = 1 ∧ k 6 = − 2 ; (iii) k ∈ ∅
(d) (i) k = 1 ∨ k = − 2 ; (ii) k 6 = 1 ∧ k 6 = − 2 ; (iii) k ∈ ∅ (e) (i) k ∈ ∅; (ii) k = − 6 ; (iii) k ∈ ∅ (f) (i) k = 0 ∨ k = 1; (ii) k 6 = 0 ∧ k 6 = 1; (iii) k ∈ ∅
3.1 (a) x = 0; y = 0 (b) x = 0; y = 0 (c) x = −α; y = 3α (d) x = 0; y = 0 (e) x = 0; y = 0; z = 0 (f) x = 6α; y = 5α; z = 4α
(g) x = α; y = 2α; z = 3α (h) x = 2α; y = 4α; z = α (i) x = − 8 α; y = 10α; z = 1α (j) x = 0; y = 0; z = 0 (k) x = − 209 α; y = − 79 α; z = 33α (l) x = 2α; y = 6α; z = 5α
3.3 k = 5
