Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Os melhores documentos à venda: Trabalhos de alunos formados
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Comunidade
Peça ajuda à comunidade e tire suas dúvidas relacionadas ao estudo
Descubra as melhores universidades em seu país de acordo com os usuários da Docsity
Guias grátis
Baixe gratuitamente nossos guias de estudo, métodos para diminuir a ansiedade, dicas de TCC preparadas pelos professores da Docsity
Uma introdução para fasores e números complexos para análise de circuitos em CA
Tipologia: Resumos
Oferta por tempo limitado
Compartilhado em 05/09/2019
4.4
(10)4 documentos
1 / 58
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Em oferta
−𝜽
𝑰 ∙ 𝒔𝒆𝒏(−𝜽)
𝑰 ∙ 𝒄𝒐𝒔(−𝜽)
𝑰
Ԧ
𝑼
ሬሬԦ
𝑺
ሬሬԦ
= 𝑼 ∙ 𝑰∠𝜽
𝑸 = 𝑼 ∙ 𝑰 ∙ 𝒔𝒆𝒏(𝜽)
𝑼
ሬሬԦ
𝜽
𝑰
Ԧ
𝑷 = 𝑼 ∙ 𝑰 ∙ 𝒄𝒐𝒔(𝜽)
0 π/2 π 2π
3π/
𝜽
𝟐
𝜽
𝟑
ângulos positivos são medidos no sentido anti-horário a partir do eixo de referência (0°) e os
ângulos negativos são medidos no sentido horário, também a partir da referência. É interessante
observar que, enquanto a referência angular de uma onda senoidal é a intersecção dos eixos
positivo). No traçado gráfico da função senoidal, o ângulo de fase representa a menor distância
angular do ponto onde a função senoidal cortou o eixo horizontal no sentido ascendente, em relação
eixo horizontal coincide com a intersecção dos eixos o ângulo de fase é nulo (𝜃 = 0 ), se fica à
esquerda da referência, o ângulo de fase é positivo (𝜃 > 0 ) e, se à direita, é negativo (𝜃 < 0 ).
Em resumo, um fasor basicamente é definido por três fatores: a magnitude ou módulo |𝐸| (ou
Neste estudo, os fasores serão representados graficamente por setas partindo da origem, em
direção a pontos no plano complexo.
Neste estudo será adotada a seguinte grafia para a representação dos fasores:
Onde:
é o fasor;
representação da magnitude do fasor é comum o uso do valor
eficaz (𝐸
𝐸𝑓
, ou simplesmente 𝐸) em vez do valor máximo
𝑀𝑎𝑥
), dado o seu maior uso nos cálculos dos circuitos
elétricos;
Em geral, a magnitude de um fasor é representada por uma letra itálica maiúscula (𝐸, por
exemplo) ou pela representação de módulo | |. Um valor colocado entre | | retorna sempre um
número maior ou igual a zero.
amplitude 𝐸
𝑀𝑎𝑥
𝑀𝑎𝑥
∙ 𝑠𝑒𝑛(𝜔𝑡). A velocidade angular (𝜔) do fasor é representada em radianos por segundo, no
sentido anti-horário, tendo como referência o eixo horizontal. Já no desenho da senoide, o deslocamento
angular é representado no eixo 𝑥, também em radianos, tendo como referência a intersecção dos eixos
(onde 𝜔𝑡 = 0 ). Os valores instantâneos correspondentes da grandeza são representados no eixo vertical
(y).
0 π/2 3π/2 2π
𝑀𝑎𝑥
π
π/
π
3π/
2π
0
𝑀𝑎𝑥
Referência
Referência (eixo
horizontal)
Velocidade angular
𝜔 (rotação)
Figura 3 : Representação de
um fasor no plano.
Na Figura 5 tem-se a representação senoidal de um sinal atrasado de um ângulo negativo
um ângulo 𝜃 à direita da intersecção dos eixos (após a intersecção dos eixos). Já o fasor
correspondente está atrasado do mesmo ângulo 𝜃, marcado no sentido horário (negativo) em
relação à referência, o eixo horizontal.
Figura 5 : Representação vetorial e senoidal de um sinal atrasado de um ângulo 𝜃 < 0 em relação à
referência. Neste caso, na expressão do valor instantâneo de 𝑒(𝑡), a soma (𝜔𝑡 + 𝜃) é na verdade uma
subtração: (𝜔𝑡 − |𝜃|).
0 π/2 π 3π/2 2π 𝜔𝑡 [rad]
θ
𝑀𝑎𝑥
𝑀𝑎𝑥
2π + |θ|
θ
𝑀𝑎𝑥
𝑀𝑎𝑥
0 π/2 π 2π
3π/
𝝅
𝟐
−
𝝅
𝟑
1
2
3
𝑬
ሶ
𝟏
= 311∠0° [V]
𝑬
ሶ
𝟐
= 180∠
( −60°
) [V]
𝑬
ሶ
𝟑
= 150∠90° [V]
Figura 6 : Representação nas formas senoidal e vetorial de três tensões alternadas 𝑒
1
2
e 𝑒
3
.
311 V
180 V
150 V
O mesmo resultado pode ser obtido para ൫ 5 − 𝑗√ 15 ൯.
A representação de um número complexo (𝑍
) é dada pela soma algébrica da componente real
A forma geral é:
Então:
) ∶ 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑜𝑛𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑎 𝑑𝑒 𝑍
Pela definição dos números complexos, o conjunto dos números
Se a parte real de um número complexo é zero, o número
chamado plano complexo. Neste, o eixo horizontal é denominado eixo real e o eixo vertical, eixo
imaginário. A parte real representa a distância que o ponto está do eixo imaginário e a parte
imaginária a distância que o ponto está do eixo real. A figura 7 mostra representação de números
complexos no plano. Um número complexo também pode ser representado de forma angular
através da distância entre o ponto e a intersecção dos eixos e o ângulo que esta distância
(segmento de reta) faz com o eixo real.
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜
Figura 7 : Plano complexo
𝐸𝑖𝑥𝑜 𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜
Figura 8 : Representação angular no plano complexo
Então, um ponto no plano também pode ser representado como mostra a Figura 8. Esta forma
de representação recebe o nome de coordenadas polares e leva em conta a distância em que o
ponto se encontra da intersecção dos eixos e o ângulo que esta faz com o eixo real.
como:
𝒋 = √−𝟏 e 𝒋
𝟐
rotacional.
𝑗 4 (𝑟𝑜𝑡𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛𝑎 𝑜 𝑛ú𝑚𝑒𝑟𝑜 4 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑜 𝑒𝑖𝑥𝑜
𝑖𝑚𝑎𝑔𝑖𝑛á𝑟𝑖𝑜, 𝑒𝑚 90°)
2
2
3
2
2
4
2
2
2
2
4
A forma polar e a forma retangular são duas maneiras de representação de números complexos,
também usadas para representar grandezas fasoriais. Dependendo da aplicação na análise de
circuitos elétricos, cada uma das formas apresenta vantagens ou desvantagens.
Um fasor, em qualquer quadrante de um plano complexo, pode ser completamente especificado
numa forma de notação cartesiana ou retangular como:
): representa a projeção
de 𝑍
no eixo real;
൯: representa a projeção
de 𝑍
sobre o eixo imaginário.
Figura 9 : Propriedades do operador 𝒋
quando representado na forma polar consiste da magnitude ou módulo 𝑍 (ou |𝑍|) e do
argumento (𝜃), da posição angular relativa ao eixo real (referência), expresso como:
Um fasor na forma retangular pode ser convertido para a forma polar e vice-versa. No quadro
abaixo estão demonstradas as equivalências entre as duas formas.
Conversão Retangular Polar
2
2
; 𝜃 = arctg (
2
2
Conversão Polar Retangular
𝑍∠(θ) = 𝑍 ∙ [𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃)]
𝑍∠(θ) = 𝑍𝑐𝑜𝑠(𝜃) + 𝑍𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃)
A fórmula trigonométrica pode ser vista como uma variante da forma retangular.
Para um número complexo qualquer 𝑍
θ
, a forma trigonométrica é descrita
como:
= 𝑎 + 𝑗𝑏 = 𝑍∠(θ) = 𝑍𝑐𝑜𝑠𝜃 + 𝑗𝑍𝑠𝑒𝑛𝜃 ⟹ 𝑎 = 𝑍𝑐𝑜𝑠𝜃; 𝑏 = 𝑍𝑠𝑒𝑛𝜃
A “fórmula de Euler” (Leonhard Euler: 1 707 – 1783) é uma fórmula matemática específica da
análise complexa, que define a relação entre as funções trigonométricas e a função exponencial.
𝑗𝑎 = 𝑗𝑍sen(𝜃)
Figura 10 : Equivalência entre as formas polar
e retangular.
𝒋𝜽
Onde:
𝜃 é o argumento real (em radianos);
𝑒 é o número de Euler, ou número de
Neper e é a base dos logaritmos
naturais ou neperianos (ln 𝑥).
Seu valor é:
𝑒 = 2,718281828…
Então, partindo-se de um fasor 𝑍
= 𝑍∠(θ), representado em sua forma trigonométrica, tem-se:
cos(𝜃) + 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃)
𝑗𝜃
Fasor Formas
Retangular Trigonométrica Exponencial Polar
𝑍 cos
cos
𝑗𝜃
θ
É a fórmula de Euler quem possibilita a representação de uma onda senoidal, variante no
cuja magnitude (𝑍 = 𝑍
𝑀𝑎𝑥
2 ) é definida pela amplitude da onda senoidal. A representação através
de um fasor indica a condição da onda no instante escolhido como 𝑡 = 0 , através do ângulo de fase
As ondas senoidais de amplitude e frequências definidas podem ser representadas
fasorialmente por:
θ
( 𝑗𝜃
)
Parte real: 𝑍 cos(ωt + θ) = Re[𝑍 ∙ 𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜃)
Parte imaginária: 𝑍 sen(ωt + θ) = Im[𝑍 ∙ 𝑒
𝑗(𝜔𝑡+𝜃)
Nota importante: Na forma exponencial, o ângulo ( 𝛉 ) é sempre escrito em radianos.
Os fasores, representados por números complexos, podem ser somados, subtraídos,
multiplicados e divididos, além das operações de potenciação, radiciação e logaritmo.
Sejam os fasores 𝐴
e 𝐵
definidos como:
𝒋𝜽
Eixo Imaginário
Eixo Real
Figura 11 : A fórmula de Euler trata 𝑐𝑜𝑠(𝜃) e 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃)
como sendo as partes real e imaginária de 𝑒
𝑗𝜃
.
𝐴
Figura 12 : Fasores 𝐴
ሶ
e 𝐵
ሶ
.
𝐵
Importante: para um número complexo definido por 𝐵
θ
B
= 𝑐 + 𝑗𝑑, o complexo −𝐵
corresponde a 𝐵
rotacionado de ±180° (180°, no sentido horário, ou −180°, no
sentido anti-horário):
𝑩
𝑩
= 𝐵 ∙ [𝑐𝑜𝑠(±180°) ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ
B
𝐵
)] = −𝐵 ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ
B
൯ = 𝑗𝐵 ∙ [𝑠𝑒𝑛(±180°) ∙ 𝑐𝑜𝑠(θ
B
𝐵
) ∙ 𝑐𝑜𝑠(±180°)] = −𝑗𝐵 ∙ 𝑠𝑒𝑛(θ
B
Então, a subtração dos fasores 𝐴
e 𝐵
também pode ser calculada como a soma de 𝐴
com −𝐵
tal que:
Exemplo: para 𝐴
= 4 + 𝑗 5 e 𝐵
Exemplo 02: A representação gráfica da subtração dos fasores é mostrada na Figura 14 :
Uma aplicação direta da soma e subtração de números complexos em circuitos de corrente
alternada consiste na soma ou subtração de tensões ou de correntes alternadas.
Sejam:
1
1 𝑀𝑎𝑥
1
1
1 𝑀𝑎𝑥
1
2
2 𝑀𝑎𝑥
2
2
2 𝑀𝑎𝑥
2
Relembrando que dada a maior aplicabilidade na análise de circuitos elétricos, as amplitudes
dos fasores são comumente expressas em termos dos seus valores eficazes em vez dos valores
máximos. Então, considerando 𝐸
1
o valor eficaz de 𝑒
1
(𝑡) e 𝐸
2
o valor eficaz de 𝑒
2
(𝑡), tem-se:
1
1 𝑀𝑎𝑥
1
1
1
1
1
1 𝑀𝑎𝑥
2
2 𝑀𝑎𝑥
2
2
2
2
2
2 𝑀𝑎𝑥
Figura 14 : Subtração dos fasores 𝐴
ሶ
− 𝐵
ሶ
.
A soma ou a subtração de duas ou mais funções senoidais quaisquer de uma determinada
grandeza, com uma mesma frequência, têm como resultado uma outra função senoidal com a
mesma frequência das funções iniciais.
Somar ou subtrair duas ou mais funções senoidais diretamente no domínio do tempo não é um
procedimento matemático trivial. No entanto, expressando-se cada uma destas funções na forma
complexa, o procedimento torna-se mais simples.
1
2
1
2
1
1
2
2
1
2
1
1
1
1
2
2
2
2
Fazendo-se:
1
1
1
1
2
2
2
2
Então: 𝐸
1
2
1
2
1
2
(𝐸
ሶ
1
+𝐸
ሶ
2
)
Sendo:
1
2
1
2
( 𝐸 1
+𝐸 2
)
1
2
2
2
( 𝐸
ሶ
1
+𝐸
ሶ
2
)
1
2
𝑀𝑎𝑥
1
2
2
2
Então:
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝑴𝒂𝒙
൫𝑬
ሶ
𝟏
+𝑬
ሶ
𝟐
൯
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
As duas fontes ligadas em série têm as suas tensões 𝑒
1
e 𝑒
2
, aplicadas no resistor 𝑅. Determine
Resolução:
Cálculo da tensão total:
1
1 𝑀𝑎𝑥
1
1
1
1
1
1
2
Pode-se também concluir que o operador 𝑒
𝑗𝜃
, tal que 𝜃 > 0 , aplicado sobre
um fasor 𝐴
, faz este fasor girar no sentido anti-horário de um ângulo 𝜃, a partir da sua posição
inicial, tal que:
𝑗𝜃
𝑗𝜃
𝑗𝜃
𝐴
= 𝐴 ∙ 𝑒
𝑗𝜃
𝑗𝜃
𝐴
⇒ 𝒆
𝒋𝜽
𝒋(𝜽+𝜽
𝑨
)
𝑨
Igualmente, o operador 𝑒
−𝑗𝜃
= 𝑐𝑜𝑠(𝜃) − 𝑗𝑠𝑒𝑛(𝜃) aplicado sobre um fasor 𝐴
, faz este fasor girar
no sentido horário de um ângulo −𝜃:
−𝑗𝜃
−𝑗𝜃
𝑗𝜃
𝐴
⇒ 𝒆
−𝒋𝜽
𝒋(−𝜽+𝜽
𝑨
)
𝑨
Nota importante: A multiplicação é mais simples de ser realizada quando as grandezas
complexas envolvidas estão na forma polar.
Multiplicando-se o numerador e o denominador da fração acima por (𝑐 − 𝑗𝑑), tem-se:
2
2
2
2
2
2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
Ou, se a divisão for feita através da forma exponencial, tem-se:
𝑗𝜃
𝐴
𝑗𝜃
𝐵
𝑗𝜃 𝐴
−𝑗𝜃 𝐵
𝒋
( 𝜽 𝑨
−𝜽 𝑩
)
Então, na forma, polar:
𝐴
𝐵
𝑗(𝜃
𝐴
−𝜃
𝐵
)
𝑨
𝑩
Nota importante: Tal como na multiplicação, a divisão também é mais simples de ser
realizada quando as grandezas complexas envolvidas estão na forma
polar.
Exemplo 05: Converter o circuito
em ∆ , representado na figura ao
lado, em Y.
C
A B
𝐴
𝐶
𝐵
A conexão em estrela também é denominada de conexão Y ou ainda conexão T. Por outro lado,
a conexão em triângulo também é denominada de conexão em delta (∆) ou ainda conexão pi
(π). Sob todos os aspectos elétricos (corrente, tensão e potência), existe uma equivalência entre
estas duas conexões, a qual é assegurada pelas relações entre as impedâncias de ambas as
conexões.
Transformação triângulo-estrela:
𝟏
𝑩
𝑪
𝑨
𝑩
𝑪
𝟐
𝑨
𝑪
𝑨
𝑩
𝑪
𝟑
𝑨
𝑩
𝑨
𝑩
𝑪
Transformação triângulo-estrela:
𝑨
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
𝑩
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟐
𝑪
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
Considerando que as três impedâncias são idênticas, o que em circuitos trifásicos caracteriza
uma carga equilibrada, pode-se fazer a seguinte simplificação:
1
𝐵
𝐶
𝐴
𝐵
𝐶
𝑌
∆
∆
∆
∆
∆
∆
2
∆
𝒀
∆
A mesma relação vale para as impedâncias 𝑍
2
e 𝑍
3
, posto que: 𝑍
1
2
3
𝑌
, então:
𝑌
𝟏
𝟐
𝟑
𝒀
𝒁
ሶ
𝑪
𝒁
ሶ
𝟑
C
A B
N
Figura 15 : Transformação triângulo-estrela.
𝒁
ሶ
𝑪
𝒁
ሶ
𝟑
C
B
A
N
Figura 16 : Transformação estrela triângulo.
Exemplo 07 : Ao ser aplicada uma tensão eficaz de 𝐸 = 220 V e com uma frequência de
𝐹 = 60 Hz em um circuito elétrico, registrou-se uma corrente também eficaz de 𝐼 = 150 A. O ângulo
de fase da tensão é de 𝜃 𝐸
rad e o da corrente de 𝜃
𝐼
rad. Com base nestas
informações:
a) Calcular os valores máximos da tensão e da corrente;
b) Elaborar as expressões dos valores instantâneos da tensão e da corrente;
c) Elaborar o diagrama fasorial da tensão e da corrente usando os valores máximos;
d) Esboçar graficamente as senoides da tensão e da corrente;
e) Calcular o valor da impedância complexa, considerando os módulos iguais aos valores
máximos e iguais aos valores eficazes.
Resolução:
a) Cálculo dos valores máximos da tensão e da corrente:
𝑀𝑎𝑥
𝐸𝑓
𝑴𝒂𝒙
𝑀𝑎𝑥
𝐸𝑓
𝑴𝒂𝒙
b) Expressões dos valores instantâneos da tensão e da corrente;
𝜔 = 2 𝜋𝐹 = 2 ∙ 3 , 14 ∙ 60 Hz → 𝝎 = 𝟑𝟕𝟕 𝐫𝐚𝐝/𝐬
𝑀𝑎𝑥
𝐸
𝑀𝑎𝑥
𝐼
c) e d) Diagramas fasoriais e esboço dos valores instantâneos para um ciclo:
60 Hz
e) Cálculo do valor da impedância complexa 𝒁
𝐸
𝐼∠θ
𝐼
𝐸
− θ
𝐼
Cálculo a partir dos valores eficazes:
Cálculo a partir dos valores máximos:
0 π/2 π 3π/2 2π
𝝎𝒕 [𝒓𝒂𝒅]
θ
𝑒
𝜋
6
ൗ
−
𝜋
6
ൗ
θ
𝐼
311 V
212 A
16 , 7 ms
220 V
150 A
Figura 17
Exemplo 08 : Um circuito RLC série,
constituído por uma resistência 𝑅 = 10 , 0 Ω,
uma indutância 𝐿 = 106 mH e uma
capacitância 𝐶 = 88 , 4 μF, é alimentado por
uma fonte de tensão, cujo valor
instantâneo é dado pela expressão
𝑢 = 180 sen൫ 377 𝑡 +
conforme representado na figura desta
questão. Resolva as questões a seguir:
a) A representação fasorial da tensão:
𝑚𝑎𝑥
𝑈
𝑼
b) Calcule a frequência e a impedância complexa nas formas polar e retangular:
𝜔 = 2 𝜋 ∙ 𝐹 = 377 rad ⁄s → 𝐹 =
377 rad s
𝐿
= 𝜔 ∙ 𝐿 = 377 rad ⁄s ∙ 106 mH → 𝑿
𝑳
𝐶
377 rad ⁄s ∙ 88 , 4 μF
𝑪
𝐿
2
2
∠ tan
− 1
c) Calcule corrente ൫
e escreva a expressão do valor instantâneo da corrente (𝒊) :
𝑚𝑎𝑥
𝒎𝒂𝒙
Figura 18
𝑢 = 180 sen൫ 377 𝑡 +
𝐿 = 106 mH 𝐶 = 88 , 4 μF
𝑹
𝑳
𝑪
