Baixe Exercícios resolvidos sobre integrais duplas, lista 1 e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity!
Instituto de Matem ´Universidade Federal Fluminenseatica e Estat´ıstica Departamento de Matem ´atica Aplicada
C´alculo 3A – Lista 1
Exerc´ıcio 1: Calcule as seguintes integrais duplas:
a)
∫ ∫
D
x 1 + y^2 dxdy, sendo^ D^ = [1,^ 2]^ ×^ [0,^ 1].
b)
∫ ∫
D
x dxdy na regi˜ao D compreendida entre as curvas y = x^2 , y = 0 e x = 1.
c)
∫ ∫
D
x y dxdy, onde D ´e a regi˜ao limitada pelas retas y = x, y = 2x, x = 1 e x = 2.
Solu¸c˜ao:
a) O esbo¸co de D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
1
1
2
Como D ´e um retˆangulo com os lados paralelos aos eixos coordenados ent˜ao 1 ≤ x ≤ 2 e 0 ≤ y ≤ 1. Pelo teorema de Fubini, o valor da integral dupla pode ser obtido de qualquer uma das integrais iteradas: (^) ∫ (^1)
0
1
x 1 + y^2 dxdy ou
1
0
x 1 + y^2 dydx.
Usando a primeira delas, temos: ∫ ∫
D
x 1 + y^2 dxdy =
0
1
x 1 + y^2 dxdy =
0
1 1 + y^2
1
x dxdy =
0
1 1 + y^2
[
x^2 2
] 2
1
dy = 3 2
0
1 1 + y^2 dy = 3 2
[
arctg y
] 1
3 2 (arctg 1 − arctg 0) = 3 2
( (^) π 4
3 π 8
b) O esbo¸co de D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
y = x^2
1
1
Como D ´e diferente de um retˆangulo com lados paralelos aos eixos coordenados, ent˜ao devemos enquadrar D como uma regi˜ao do tipo I ou do tipo II.
Solu¸c˜ao 1
Vamos descrever D como tipo I. Seja (x, y) ∈ D. Ent˜ao tra¸camos uma reta vertical por (x, y).
x
y
D
y = x^2
(x, y)
y = 0
1
1
Vemos que esta vertical corta a fronteira inferior de D no eixo x, onde y = 0, e a fronteira superior de D na par´abola y = x^2. Ent˜ao, 0 ≤ y ≤ x^2. Projetando a regi˜ao D sobre o eixo x, encontramos o intervalo fechado [0, 1]. Ent˜ao, 0 ≤ x ≤ 1. Portanto D = {(x, y); 0 ≤ x ≤ 1 , 0 ≤ y ≤ x^2 }.
Temos ent˜ao que:
∫ ∫
D
x dxdy =
0
∫ (^) x 2
0
x dydx =
0
x
∫ (^) x 2
0
dydx =
0
x
[
y
]x 2 0 dx^ =
0
x^3 dx =
[x 4 4
] 1
0
1 4
x
y
D
(x, y)
y = 2x
y = x
1
1
2
2
4
Da figura vemos que a fronteira inferior ´e a reta y = x e a fronteira superior ´e a reta y = 2x. Ent˜ao x ≤ y ≤ 2 x. Como a proje¸c˜ao de D sobre o eixo x ´e o intervalo fechado [1, 2], ent˜ao 1 ≤ x ≤ 2. Temos ent˜ao que D = {(x, y); 1 ≤ x ≤ 2 , x ≤ y ≤ 2 x}.
Portanto: ∫ ∫
D
x y dxdy^ =
1
∫ (^2) x
x
x y dydx^ =
1
x
∫ (^2) x
x
1 y dydx^ =
1
x
[
ln y
] 2 x x dx^ =
1
x(ln 2x − ln x) dx =
1
x ln 2 x x dx =
1
x ln 2 dx = ln 2
∫ (^) x
1
x dx =
= ln 2
[x 2 2
] 2
1
3 2 ln 2.
Observa¸c˜ao: Podemos tamb´em enquadrar D como tipo II, por´em com uma complica¸c˜ao adicional: a fronteira direita de D ´e a reta x = 1 e a fronteira esquerda de D ´e constitu´ıda de duas partes, a reta y = x abaixo da reta y = 2 e a reta y = 2x acima de y = 2. Ent˜ao ´e necess´ario decompor D em duas partes D 1 e D 2 : D = D 1 ∪ D 2. Logo: ∫ ∫
D
x y dxdy =
D 1
x y dxdy +
D 2
x y dxdy.
Projetando D 1 sobre o eixo y, temos 1 ≤ y ≤ 2. A regi˜ao D 1 ´e limitada a esquerda por x = 1 ea direita pela reta x = y. Logo, 1 ≤ x ≤ y. Ent˜ao D 1 = {(x, y); 1 ≤ y ≤ 2 , 1 ≤ x ≤ y}. Assim: ∫ ∫
D 1
x y dxdy =
1
∫ (^) y
1
x y dxdy =
1
1 y
∫ (^) y
1
x dxdy =
1
1 y
[x 2 2
]y 1
dy =
2
1
1 y
y^2 − 1
dy = 1 2
1
y − 1 y
dy = 1 2
[
y^2 2 − ln y
] 2
1
1 2
[
(2 − ln 2) −
1 2 − ln 1
)]
1 2
3 2 − ln 2
3 4
1 2 ln 2.
x
y
D 1
D 2
x = y/ 2
y = x ⇒ x = y
x = y
y = 2x ⇒ x = y/ 2
x = 1
x = 2
1
1
2
2
4
Projetando D 2 sobre o eixo y, temos 2 ≤ y ≤ 4. A regi˜ao D 2 ´e limitada a esquerda pela reta x = y/ 2 ea direita por x = 2. Logo, y/ 2 ≤ x ≤ 2. Ent˜ao D 2 = {(x, y); 2 ≤ y ≤ 4 , y/ 2 ≤ x ≤ 2 } e (^) ∫ ∫
D 2
x y dxdy =
2
y/ 2
x y dxdy =
2
1 y
y/ 2
x dxdy =
2
1 y
[
x^2 2
] 2
y/ 2
dy =
1 2
2
1 y
y^2 4
dy = 1 2
2
y
y 4
dy = 1 2
[
4 ln y − y^2 8
] 4
2
2
[
(4 ln 4 − 2) −
4 ln 2 − 1 2
)]
2
4 ln 2 − 3 2
= 2 ln 2 − 3 4
Portanto: (^) ∫ ∫
D
x y dxdy = 3 4
2 ln 2 + 2 ln 2 − 3 4
2 ln 2
e, assim, obtivemos o mesmo resultado anterior.
Exerc´ıcio 2: Esboce a regi˜ao de integra¸c˜ao e troque a ordem de integra¸c˜ao em:
a)
∫ (^1)
0
∫ (^) x
0
f (x, y)dydx b)
∫ (^1)
0
∫ √y
−√y
f (x, y)dxdy c)
∫ (^1)
0
∫ (^) x+
2 x
f (x, y)dydx
d)
∫ (^1)
0
∫ (^2) − 2 y
y− 1
f (x, y)dxdy.
Solu¸c˜ao:
a) A regi˜ao de integra¸c˜ao ´e dada por D :
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ x (tipo I). Logo, D ´e limitada pelas retas
verticais x = 0 (eixo y) e x = 1; limitada inferiormente pela reta y = 0 (eixo x) e superiormente pela reta y = x. Assim, o esbo¸co da regi˜ao D est´a representado pela figura que se segue.
x
y
D entra em^ y^ =^ x
2
sai em y = 1
− 1 1
1
Ent˜ao temos D :
− 1 ≤ x ≤ 1 x^2 ≤ y ≤ 1
. Logo:
∫ (^1)
0
∫ √y
−√y
f (x, y)dxdy =
− 1
x^2
f (x, y)dydx.
c) A regi˜ao de integra¸c˜ao D ´e dada por D :
0 ≤ x ≤ 1 2 x ≤ y ≤ x + 1 (tipo I). Logo, D est´a compreendida
entre as retas verticais x = 0 e x = 1. ´E limitada inferiormente pela reta y = 2x (ou x = y/ 2 ) e superiormente pela reta y = x + 1 (ou x = y − 1 ). Assim, o esbo¸co da regi˜ao D est´a representado pela figura que se segue.
x
y
D x = 0 y = 2x
y = x + 1
1
1
2
Como D ´e limitada pela esquerda por duas curvas x = 0 e a reta y = x + 1, conclu´ımos que D n˜ao ´e do tipo II. Mas podemos olhar para D como reuni˜ao de duas regi˜oes do tipo II, isto ´e, D = D 1 ∪ D 2.
Temos que D 1 est´a compreendida entre as retas horizontais y = 0 e y = 1 e toda reta horizontal no
interior de D 1 entra em D 1 em x = 0 e sai de D 1 em x = y/ 2. Logo D 1 :
0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ y/ 2
Temos que D 2 est´a compreendida entre as retas horizontais y = 1 e y = 2 e qualquer reta horizontal
no interior de D 2 entra em D 2 em x = y− 1 e sai de D 2 em x = y/ 2. Logo D 2 :
1 ≤ y ≤ 2 y − 1 ≤ x ≤ y/ 2
Assim: (^) ∫ 1
0
∫ (^) x+
2 x
f (x, y)dydx =
0
∫ (^) y/ 2
0
f (x, y)dxdy +
1
∫ (^) y/ 2
y− 1
f (x, y)dxdy.
x
y
D 1
D 2
entra em x = y − 1 sai em x = y/ 2
entra em x = 0^ sai em^ x^ =^ y/^2
1
1
2
d) A regi˜ao de integra¸c˜ao ´e dada por D :
0 ≤ y ≤ 1 y − 1 ≤ x ≤ 2 − 2 y (tipo II). Logo, D est´a compre-
endida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. De y − 1 ≤ x ≤ 2 − 2 y, vemos que D est´a limitada a esquerda pela reta x = y − 1 (ou y = x + 1) ea direita pela reta x = 2 − 2 y (ou y = (2 − x)/ 2 ). Assim, o esbo¸co da regi˜ao D est´a representado pela figura que se segue.
x
y
D 1 D 2
entra em y = 0^ entra em^ y^ = 0
sai em y = x + 1
sai em y = 2 − 2 x
− 1
1
2
Como a fronteira superior de D ´e formada por duas retas x = y − 1 e x = 2 − 2 y, vemos que D n˜ao ´e do tipo I. Mas D = D 1 ∪ D 2 , onde D 1 e D 2 s˜ao do tipo I.
Vemos que D 1 est´a compreendida entre as retas verticais x = − 1 e x = 0 e qualquer reta vertical
no interior de D 1 entra em D 1 em y = 0 e sai de D 1 em y = x + 1. Logo D 1 :
− 1 ≤ x ≤ 0 0 ≤ y ≤ x + 1
Vemos que D 2 est´a compreendida entre as retas verticais x = 0 e x = 2 e qualquer reta vertical no in-
terior de D 2 entra em D 2 em y = 0 e sai de D 2 em y = (2−x)/ 2. Logo D 2 :
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ (2 − x)/ 2
Assim: (^) ∫ 1
0
∫ (^2) − 2 y
y− 1
f (x, y)dxdy =
− 1
∫ (^) x+
0
f (x, y)dydx +
0
∫ (^) (2−x)/ 2
0
f (x, y)dydx.
Exerc´ıcio 3: Invertendo a ordem de integra¸c˜ao, calcule:
a)
∫ (^) π
0
∫ (^) π
x
sen y y dydx^ c)
∫ (^3)
0
∫ (^1) √ x/ 3
ey
3 dydx
x
y
D
1
1
Vemos que D est´a compreendida entre as retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 1. Logo 0 ≤ x ≤ 1. Vemos tamb´em que D est´a limitada inferiormente pela reta y = 0 e superiormente pela reta y = x. Ent˜ao 0 ≤ y ≤ x. Assim:
∫ (^1)
0
y
x^2 exy^ dxdy =
0
∫ (^) x
0
x^2 exy^ dydx =
0
x^2
[
exy x
]y=x
y=
dx =
0
x^2 x
ex
2 − 1
dx =
0
xex
2 dx −
0
x dx =
[
ex^2 2
] 1
0
[x 2 2
] 1
0
e − 1 2
1 2
e − 2 2
c) A regi˜ao de integra¸c˜ao D ´e dada por D :
√ 0 ≤^ x^ ≤^3 x 3 ≤ y ≤ 1 (tipo I). De 0 ≤ x ≤ 3 vemos que D
est´a compreendida entre as retas verticais x = 0 (eixo y) e x = 3. De
√x 3 ≤ y ≤ 1 vemos que D
est´a limitada inferiormente pela curva y =
√x 3 (ou x = 3y^2 , com y ≥ 0 ) e limitada superiormente
pela reta y = 1. Assim, o esbo¸co de D est´a representado na figura que se segue.
x
y
D
1
3
Descri¸c˜ao de D como uma regi˜ao do tipo II
Vemos que D est´a compreendida entre as retas horizontais y = 0 (eixo x) e y = 1. Logo 0 ≤ y ≤ 1. Considerando uma reta horizontal no interior de D vemos que ela entra em D em x = 0 e sai de D
em x = 3y^2. Logo D :
0 ≤ y ≤ 1 0 ≤ x ≤ 3 y^2
. Ent˜ao:
∫ (^3)
0
x/ 3
ey
3 dydx =
0
∫ (^3) y 2
0
ey
3 dxdy =
0
ey
3 [
x
] 3 y 2 0 dy^ =
0
ey
3 y^2
dy =
[
ey
3 ]^1
0
= e − 1.
d) A regi˜ao de integra¸c˜ao D ´e dada por D :
0 ≤ x ≤ 8 √ (^3) x ≤ y ≤ 2 (tipo I). De 0 ≤ x ≤ 8 , vemos que
D est´a compreendida entre as retas verticais x = 0 e x = 8. De 3
x ≤ y ≤ 2 , vemos que D est´a limitada inferiormente pela curva y = 3
x (ou x = y^3 ) e superiormente pela reta y = 2. Assim, o esbo¸co de D est´a representado na figura a seguir.
x
y
D 2
8
Descri¸c˜ao de D como regi˜ao do tipo II
Vemos que D est´a compreendida entre retas horizontais y = 0 e y = 2. Vemos, tamb´em, que qualquer reta horizontal no interior de D entra na regi˜ao em x = 0 e sai da regi˜ao em x = y^3.
x
y
D entra em x = 0
sai em x = y^3
2
8
Logo, D :
0 ≤ y ≤ 2 0 ≤ x ≤ y^3
. Assim:
∫ (^8)
0
√ (^3) x
1 y^4 + 1 dydx =
0
∫ (^) y 3
0
1 y^4 + 1 dxdy =
0
y^3 y^4 + 1 dy =
1 4
0
d(y^4 + 1) y^4 + 1
1 4
[
ln(y^4 + 1)
] 2
0
1 4 (ln 17 − ln 1) = 1 4 ln 17.
x
y
D
entra em x = y^2 + 1
sai em x = 3 − y
− 2
1
1
2 5
Descri¸c˜ao de D como uma regi˜ao do tipo II
Vemos que D est´a compreendida entre as retas horizontais y = − 2 e y = 1. Considerando uma reta horizontal qualquer no interior de D, diferente do eixo x, vemos que ela entra em D em x = y^2 + 1
e sai de D em x = 3 − y. Ent˜ao temos D :
− 2 ≤ y ≤ 1 y^2 + 1 ≤ x ≤ 3 − y
. Portanto:
A(D) =
D
dxdy =
− 2
∫ (^3) −y
y^2 +
dxdy =
− 2
3 − y − y^2 − 1
dy =
− 2
2 − y − y^2
dy =
[
2 y − y^2 2
y^3 3
] 1
− 2
1 2
1 3
8 3
1 2
1 3
8 3
9 2 u.a.
c) O esbo¸co da regi˜ao D est´a representado na figura a seguir.
x
y
D
entra em y = x − 1
sai em y = x^2
− 1
− 1
1
1
Descri¸c˜ao de D como uma regi˜ao do tipo I
Vemos que D est´a limitada entre as retas verticais x = − 1 e x = 1. Vemos tamb´em que qualquer reta vertical no interior de D, diferente do eixo y, entra em D em y = x − 1 e sai de D em y = x^2.
Assim D :
− 1 ≤ x ≤ 1 x − 1 ≤ y ≤ x^2
. Ent˜ao:
A(D) =
D
dxdy =
− 1
∫ (^) x 2
x− 1
dydx =
− 1
x^2 − x + 1
dx =
[
x^3 3 −^
x^2 2 +^ x
] 1
− 1
1 3 −^
1 2 + 1
1 3 −^
1 2 −^1
8 3 u.a.
Exerc´ıcio 5: Calcule o volume do s´olido W , no primeiro octante, limitado pelo cilindro parab´olico z = 4 − x^2 e pelos planos x + y = 2, x = 0, y = 0 e z = 0.
Solu¸c˜ao: Vamos fazer o esbo¸co, no primeiro octante, da superf´ıcie de equa¸c˜ao z = 4 − x^2 dita cilindro parab´olico.
No plano xz tra¸camos o arco de par´abola z = 4 − x^2 , com x ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equa¸c˜ao n˜ao depende da vari´avel y, ent˜ao consideramos, por pontos da par´abola, semirretas paralelas ao eixo y.
x
y
z
2
4
Agora, vamos fazer o esbo¸co, no primeiro octante, da por¸c˜ao do plano de equa¸c˜ao x + y = 2.
No plano xy tra¸camos o segmento de reta x + y = 2 que liga A(2, 0 , 0) a B(0, 2 , 0). Como esta equa¸c˜ao n˜ao depende da vari´avel z, ent˜ao, por pontos do segmento tra¸camos paralelas ao eixo z.
Descrevendo D como uma regi˜ao do tipo I temos D :
0 ≤ x ≤ 2 0 ≤ y ≤ 2 − x
. Ent˜ao:
V (W ) =
D
(4 − x^2 ) dxdy =
0
∫ (^2) −x
0
(4 − x^2 ) dydx =
0
(4 − x^2 )(2 − x) dx =
0
x^3 − 2 x^2 − 4 x + 8
dx =
[
x^4 4 −^
2 x^3 3 −^2 x
(^2) + 8x
] 2
0
20 3 u.v.
Exerc´ıcio 6: Esboce o s´olido no primeiro octante, limitado pelo cilindro x^2 + z^2 = 1 e pelos planos y = 2x, y = 0 e z = 0 e ache o seu volume.
Solu¸c˜ao: Vamos fazer o esbo¸co, no primeiro octante, da superf´ıcie de equa¸c˜ao x^2 + z^2 = 1 dita cilindro circular.
No plano xz tra¸camos o arco de circunferˆencia x^2 + z^2 = 1, com x ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equa¸c˜ao n˜ao depende da vari´avel y, ent˜ao consideramos, por pontos do arco, semirretas paralelas ao eixo y.
x
y
z
1
1
Agora, vamos fazer o esbo¸co, no primeiro octante, da por¸c˜ao do plano y = 2x.
No plano xy tra¸camos a semirreta y = 2x, com x ≥ 0. Como esta equa¸c˜ao n˜ao depende da vari´avel z, ent˜ao, por pontos da semirreta tra¸camos paralelas ao eixo z.
x
y
z A
B
1
1
2
Vemos que A(0, 0 , 1) e B(1, 2 , 0) s˜ao pontos comuns `as duas superf´ıcies. Ent˜ao, a curva interse¸c˜ao ´e obtida ligando-os. Considerando que W ´e limitado pelos planos y = 0 e z = 0, temos que o esbo¸co de W est´a representado na figura que se segue.
x
y
z
“piso” D
“teto”: z = f (x, y) =
√ 1 − x^2 W
A
B
1
1
2
x
y
D
entra em y = 0
sai em y = 2x
1
2
Temos que
V (W ) =
D
f (x, y) dxdy =
D
1 − x^2 dxdy
onde D, como tipo I, ´e dado por D :
0 ≤ x ≤ 1 0 ≤ y ≤ 2 x
. Ent˜ao:
V (W ) =
0
∫ (^2) x
0
1 − x^2 dydx =
0
1 − x^2 · 2 x dx =
0
(1 − x^2 )^1 /^2 (− 2 x) dx = − 2 3
[
(1 − x^2 )^3 /^2
] 1
0 =^ −
2 3
2 3 u.v.
x
y
z
W
“piso” D
“teto”: z = 4
− 2
4
4
2
x
y
D entra em y = x^2
sai em y = 4
− 2
4
2
Portanto:
V (W ) =
D
f (x, y) dxdy =
D
4 dxdy =
− 2
x^2
4 dydx =
− 2
(4 − x^2 ) dx = 4
[
4 x − x
3 3
] 2
− 2
32 3
3 u.v.
Exerc´ıcio 9: Encontre o volume do s´olido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, pelo plano x = 3 e pelo cilindro parab´olico z = 4 − y^2.
Solu¸c˜ao:
Esbo¸co do s´olido W no primeiro octante
No plano yz (x = 0) tra¸camos a par´abola z = 4 − y^2 com y ≥ 0 e z ≥ 0. Como esta equa¸c˜ao n˜ao depende da vari´avel x, ent˜ao por pontos da par´abola tra¸camos semirretas paralelas ao eixo x, com x ≥ 0 , obtendo, assim, o cilindro parab´olico. Agora, tra¸camos o plano vertical x = 3 que intercepta o cilindro parab´olico segundo uma curva passando por A = (3, 0 , 4) e B = (3, 2 , 0). Considerando que o s´olido W ´e limitado pelos planos coordenados, temos o esbo¸co de W na figura que se segue.
x
y
z
W
A
B
“teto” de W : z = f (x, y) = 4 − y^2
“piso” D : 0 ≤ x ≤ 3 , 0 ≤ y ≤ 2
2 3
4
Por integral dupla temos:
V (W ) =
D
f (x, y) dxdy =
D
4 − y^2
dxdy =
0
0
4 − y^2
dydx =
0
[
4 y − y^3 3
] 2
0
dx =
0
8 3
dx = 16 3
0
dx = 16 3 · 3 = 16 u.v.
Exerc´ıcio 10: Use integral dupla para calcular o volume do s´olido W no primeiro octante, compre- endido pelas superf´ıcies y^2 = x, z = 0 e x + z = 1.
Solu¸c˜ao: Para esbo¸car o plano x + z = 1, desenhamos inicialmente, no plano xz, a reta x + z = 1. Como esta equa¸c˜ao n˜ao cont´em a vari´avel y ent˜ao consideramos retas paralelas ao eixo y por pontos da reta, obtendo assim o esbo¸co do plano x + z = 1.
x
y
z
S 1
1
1
Para esbo¸car a superf´ıcie da equa¸c˜ao x = y^2 (dita cilindro parab´olico, pela ausˆencia da vari´avel z), desenhamos inicialmente a par´abola x = y^2 no plano xy e por pontos da par´abola consideramos paralelas ao eixo z, pois a equa¸c˜ao x = y^2 n˜ao cont´em a vari´avel z, obtendo assim o esbo¸co da superf´ıcie de equa¸c˜ao x = y^2.
