Baixe Exercícios gerais sobre integrais e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!
6.11 – EXERCÍCIOS – pg. 269
- Calculando as integrais
2
1
2
I 1 xdx , =∫
2
1
I 2 xdx e =∫
2
1
I (^) 3 dx , obtemos:
I 2 = ,
I (^) 2 = e I (^) 2 = 1. Usando estes resultados encontre o valor de:
a)
2
1
2
1
2
1
( 6 x 1 ) dx 6 xdx dx
b) [ ( )] ( )
2
1
(^232)
1
2
2
x x xx dx x xdx
c) ( ) ( ) ( )
2
1
2
2
1
x 1 x 2 dx x 3 x 2 dx
d) ( ) ( )
2
1
2
2
1
2 3 x 2 dx 9 x 12 x 4 dx
- Sem calcular a integral, verifique as seguintes desigualdades:
a) (^) ∫ ( + ) ≥∫( + )
3
1
2
3
1
2 3 x 4 dx 2 x 5 dx
( − ) ( + ) ≥ ⇒ ∈( −∞−] ∪[ +∞)
2
2 2
2 2
x x x
x
x x
x x
Portanto vale para x ∈[ 1 , 3 ].
b) ∫ ∫
−
−
−
−
1
2
1
dx
x
x
dx
2
2
2
x
x x
x
x
x
x
x
x
x
x
1º Caso: 4 x < 0 e 2 4 0
2 x + x + ≥
x < 0 e ( 2 ) 0
2 x + ≥
Portanto vale a desigualdade em [ − 2 ,− 1 ].
c) ∫ ≥
π
0
senxdx 0
sen x ≥ 0 para x ∈[ 0 , π]
d) ∫ − ≥
2
3
2
cos 0
π
π
x dx
Temos cos x ≤ 0 para. 2
x Portanto, − cos x ≥ 0 para. 2
x
- Se , 7
1
0
5 2
∫ x^ dx = calcular^ ∫ t dt
0
1
5 2
1
0
5 2
1
0
5 2
0
1
∫ t^ dt =^ −∫ t dt =−∫ x dx =.
( ) 0 para (^1 , 3 )
2
2
f x x
x x
x x
f x x x
Resultado negativo.
- Determinar as seguintes derivadas.
a)
x t dt dx
d
2
Vemos que
x
x t t dt
2
2 2
2
3
[ ( ) ( )]
[ ( ) ( )]
( ( ) ( ))
2
1
2
3 2
3
2
3 2
3
2
3 2
3
x x
x dx
d
x
x
Observamos que o resultado obtido é garantido diretamente pela proposição 6.10.1.
b) ∫
y
dx x
x
dy
d
3
2 9
Pela proposição 6.10.1, temos que: 9
2 3
2
y
y dx x
x
dy
d
y
c) ∫
−
θ
θ (^1)
tsent dt d
d
Pela proposição 6.10.1, temos que:
−
θ
θ (^1)
tsent dt d
d = θ sen θ.
- Em cada um dos itens a seguir, calcular a integral da função no intervalo dado e
esboçar o gráfico da função.
a)
x
x x f x em [− 1 , 1 ]
− −
1
0
0
1
1
1
f ( x ) dx f ( x ) dx f ( x ) dx
] ]
1 0
0 1
0
1
2
1
0
0
1
− −
−
x x
x
x dx dx
-1 1
1
2
3
4
5
6
x
f (x)
b) f ( x )=| senx |; em [−π, π]
senx x
senx x f x π
π
] ]
cos cos
0
0
0
0
−
− −
π π
π
π
π
π
x x
senx dx senxdx senxdx
d) ; 2
x f x = x − em [− 1 , 1 ].
x se x
x x
x se x
x x
f x
1
0
(^02)
1
2
1
0
0
1
1
1
^ +
−
− −
x x
dx
x dx xdx
x x
-1 1
1
x
f (x)
e) f ( x )= senx +| senx |em [−π , π].
se senx
senx se senx f x
[ ]
0 2 cos
0
0
0
− − π
π
π
π
π
x
senx senx dx dx senxdx
1
2
x
f (x)
f) f ( x )= senx +|cos x |em [−π , π].
cos , cos 0
cos , cos 0 ( ) senx x se x
senx x se x f x
[ ] [ ] [ ]
cos cos cos
( ) cos cos cos
2
2 2
2
2
2
2
2
−
−
−
−
−
− −
π π
π
π
π
π
π
π π
π
π
π
π
π
x senx x senx x sen x
f x dx senx x dx senx x dx senx x dx
1
2
x
f (x)
- Mostrar que:
a)
−
π
π
sen 2 x .cos 5 xdx 0
x
f (x)
M
a b
Observamos que na figura utilizamos o valor máximo absoluto da função no
intervalo [ a , b ]como M.
- Se f ( x )é contínua e m ≤ f ( x ) para todo x em [ a , b ], provar que
b
a
m ( b a ) f ( x ) dx .Ilustrar graficamente, supondo m > 0.
Como f é contínua em [ a , b ] e f ( x )≥ m ∀ x ∈[ a , b ], temos que:
f ( x ) dx mdx m dx m ( b a )
b
a
b
a
b
a
∫ ≥^ ∫ = ∫ =^ −
ou ∫ ≥ −
b
a
f ( x ) dx m ( b a ).
x
f (x)
m
a b
Observamos que na figura utilizamos o valor mínimo absoluto da função no
intervalo [ a , b ]como m.
- Aplicar os resultados dos exercícios 9 e 10 para encontrar o menor e o maior valor
possível das integrais dadas a seguir:
Neste exercício tomamos M e m , respectivamente, como o valor máximo e o
valor mínimo absolutos da função no intervalo de integração.
a) ∫
4
3
5 xdx
Temos que 15
m
M
Portanto,
4
3
4
3
x dx
xdx
b) ∫
−
4
2
2 2 x dx
2
M f
m f
f x x
−
−
4
2
2
4
2
2
x dx
x dx
c) ∫ −
4
1
| x 1 | dx
f ( x )=| x − 1 |
M f
m f
4
1
4
1
x dx
x dx
d) (^) ∫( ) −
4
1
4 2 x 8 x 16 dx
4 2 f x = x − x +
9
4
9
4
2
5
2
3
t t dt
1
0 3 y^1
dy
[ ]
1
0
2
1
y
4
3
4
cos
π
π
senx x dx
4
3
4
2
^ =
π
π
sen x
1
1
3
2
x 9
x dx
( )
[ ] ( 5 2 ) 3
1
1
3 1 /^2
−
x
2 π
0
| sen x | dx
] ]
cos cos 0 cos 2 cos
cos cos
2 0
2
0 0
π π π
π π
π
π π
x x
senxdx senxdx
−
5
2
| 2 t 4 | dt
5
2
(^22)
2
2
5
2
2
2
−
−
t
t t
t
t dt t dt
4
0
2 | x 3 x 2 | dx
( ) ( ) ( )
4
2
(^232)
1
(^132)
0
3 2
4
2
2
2
1
2
1
0
2
x
x x x
x x x
x x
x x dx x x dx x x dx
4
0
2
x
4
0
2
. 9 9
x
( )
( )
2 2
4
1
2
− −
− x
3
0
x 1 xdx
2
3
2
1
x
dv xdx v x dx
u x du dx
3
0
3
0
2
5 2
3
2
3 2
3
−^ +
x x
x
x x x dx
2
0
2
π
senx dx
1 cos 2
2
2
0
0
π
π
π
π
x sen x
dx
x
2
0
5 1
cos
π
dx senx
x
du x dx
u sen x
cos
4
0
4 2
−
− − π
π
sen
senx
−
4
0
2
1 2 x 1 dx
4
0
2
1
= − =
x
2
0
2 x x 5 dx
3
2
0
2
2
0
2
1
2
0
2
2
3
x x
x x dx
x x dx
−
1
0
3
dx x
x
0
1
3
dx x
x
Dividindo os polinômios, obtemos:
dx ( x x ) dx x
x
− −
0
1
2
0
1
3 2 4 2
0
1
3 2
−
x
x x
35. Seja f contínua em [− a , a ]. Mostrar que:
a) Se f é par, então ( ) 2 ( ). 0
−
a a
a
f xdx f x
Seja f par. Então f ( − x )= f ( x ).
−
− − a
a
a
a
a
a
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
0
0
0
0
Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:
x u x a u a
u x du dx
= ⇒ = =− ⇒ =
Temos:
−
a
a a
a
a
a
a
f x dx
f u du f x dx
f x dx f u du f x dx
0
0 0
0
0
É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
x
y
-a a
b) Se f é ímpar, então ∫ ( ) = 0.
−
a
a
f x dx
Seja f ímpar. Então f ( − x )=− f ( x ).
−
− − a
a
a
a
a
a
f x dx f x dx
f x dx f x dx f x dx
0
0
0
0
Fazemos uma mudança de variável na primeira integral:
x u x a u a
u x du dx
= ⇒ = =− ⇒ =
Temos:
0 0
0
0
− a a
a
a
a
a
f u du f x dx
f x dx f u du f x dx
É interessante verificarmos geometricamente, conforme ilustra a figura que segue:
