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Exercícios Extras de Função Quadrática
Extensivo Alfa
Professor: Leandro (Pinda)
1. (Enem (Libras) 2017) Suponha que para um trem trafegar de uma cidade à outra seja necessária a construção de um túnel com altura e largura iguais a 10 m. Por questões relacionadas ao tipo de solo a ser
escavado, o túnel deverá ser tal que qualquer seção transversal seja o arco de uma determinada parábola, como apresentado na Figura 1. Deseja-se saber qual a equação da parábola que contém esse arco. Considere um plano cartesiano com centro no ponto médio da base da abertura do túnel, conforme Figura 2.
A equação que descreve a parábola é
a)^2
y x 10 5
b)^2
y x 10 5
c) y x 2 10
d) y x^2 25
e) y x 2 25
2. (Unicamp 2017) Sejam c um número real e
f(x) x 2 4x c uma função quadrática definida para
todo número real x. No plano cartesiano, considere a parábola dada pelo gráfico de y f(x).
a) Determine c no caso em que a abscissa e a ordenada do vértice da parábola têm soma nula e esboce o respectivo gráfico para 0 x 4.
b) Considere os pontos de coordenadas A (a, f(a))e
B (b, f(b)), onde a e b são números reais com a b. Sabendo que o ponto médio do segmentoAB é M (1, c),determine aeb.
3. (Unesp 2017) Uma função quadrática f é dada por f(x) x^2 bx c, com b e c reais. Se f(1) 1 e f(2) f(3) 1 , o menor valor que f(x) pode assumir, quando x varia no conjunto dos números reais, é igual a a)12. b)6. c)10. d)5. e)9. 4. (Enem 2017) A Igreja de São Francisco de Assis, obra arquitetônica modernista de Oscar Niemeyer, localizada na Lagoa da Pampulha, em Belo Horizonte, possui abóbadas parabólicas. A seta na Figura 1 ilustra uma das abóbadas na entrada principal da capela. A Figura 2 fornece uma vista frontal desta abóbada, com medidas hipotéticas para simplificar os cálculos.
Qual a medida da altura H, em metro, indicada na Figura 2?
a)
b)
c)
d)
e)
5. (Enem (Libras) 2017) A única fonte de renda de um cabeleireiro é proveniente de seu salão. Ele cobra R$ 10,00^ por^ cada^ serviço^ realizado^ e^ atende^200 clientes por mês, mas está pensando em aumentar o valor cobrado pelo serviço. Ele sabe que cada real cobrado a mais acarreta uma diminuição de 10 clientes por mês.
Para que a renda do cabeleireiro seja máxima, ele deve cobrar por serviço o valor de a)R$ 10,00. b)R$ 10,50. c)R$ 11,00. d)R$ 15,00. e)R$ 20,00.
6. (Unesp 2017) A figura representa, em vista superior, a casinha de um cachorro (retângulo (^) BIDU) e a área externa de lazer do cachorro, cercada com 35 metros de tela vermelha totalmente esticada.
Colégio Nomelini
Calcule a área externa de lazer do cachorro quando x 6 m. Determine, algebricamente, as medidas de x
e y que maximizam essa área, mantidos os ângulos
retos indicados na figura e as dimensões da casinha.
7. (Unicamp 2016) Seja (a, b, c) uma progressão
geométrica de números reais com a 0. Definindo
s a b c, o menor valor possível para s a
é igual a
a)
b)
c)
3 . 4
d)
8. (Enem 2ª aplicação 2016) Dispondo de um grande terreno, uma empresa de entretenimento pretende construir um espaço retangular para shows e eventos, conforme a figura.
A área para o público será cercada com dois tipos de materiais:
- nos lados paralelos ao palco será usada uma tela do tipo A, mais resistente, cujo valor do metro linear é R$ 20,00;
- nos outros dois lados será usada uma tela do tipoB,
comum, cujo metro linear custaR$ 5,00.
A empresa dispõe de R$ 5.000,00 para comprar todas
as telas, mas quer fazer de tal maneira que obtenha a maior área possível para o público. A quantidade de cada tipo de tela que a empresa deve comprar é a) 50,0 mda tela tipo Ae 800,0 mda tela tipoB.
b) 62,5 mda tela tipo Ae 250,0 mda tela tipoB.
c) 100,0 mda tela tipo Ae 600,0 mda tela tipoB.
d) 125,0 mda tela tipo Ae 500,0 mda tela tipoB.
e) 200,0 mda tela tipo Ae 200,0 mda tela tipoB.
9. (Enem 2016) Um túnel deve ser lacrado com uma tampa de concreto. A seção transversal do túnel e a tampa de concreto têm contornos de um arco de parábola e mesmas dimensões. Para determinar o custo da obra, um engenheiro deve calcular a área sob o arco parabólico em questão. Usando o eixo horizontal no nível do chão e o eixo de simetria da parábola como eixo vertical, obteve a seguinte equação para a parábola:
y 9 x ,^2 sendo xe ymedidos em metros.
Sabe-se que a área sob uma parábola como esta é
igual a
da área do retângulo cujas dimensões são,
respectivamente, iguais à base e à altura da entrada do túnel.
Qual é a área da parte frontal da tampa de concreto, em metro quadrado?
a) 18 b) 20 c) 36 d) 45 e) 54
10. (Enem 2015) Um estudante está pesquisando o desenvolvimento de certo tipo de bactéria. Para essa pesquisa, ele utiliza uma estufa para armazenar as bactérias. A temperatura no interior dessa estufa, em graus Celsius, é dada pela expressão T(h) h 2 22h 85, em que hrepresenta as horas do dia. Sabe-se que o número de bactérias é o maior possível quando a estufa atinge sua temperatura máxima e, nesse momento, ele deve retirá-las da estufa. A tabela associa intervalos de temperatura, em graus Celsius, com as classificações: muito baixa, baixa, média, alta e muito alta.
Intervalos de temperatura ( C) Classificação T 0 Muito baixa 0 T 17 Baixa 17 T 30 Média 30 T 43 Alta T 43 Muito alta
Quando o estudante obtém o maior número possível de bactérias, a temperatura no interior da estufa está classificada como a) muito baixa. b) baixa. c) média. d) alta. e) muito alta.
Colégio Nomelini
Resposta da questão 4: [D]
Calculando:
2
2 2
Parábola Pontos 5, 0 e 4, 3
f(x) ax bx c b 0 parábola simétrica ao eixo y f(0) c H 0 a (5) H 0 25a H (^1 ) 3 9a a H 3 a (4) H^3 16a^ H^3
^ ^ ^ ^ ^ ^
^ ^ ^ ^
Resposta da questão 5: [D]
Seja (^) xo número de reais cobrados a mais pelo cabeleireiro. Tem-se que a renda, (^) r,obtida com os serviços realizados é dada por
2
r(x) (10 x)(200 10x) 10x 100x 2.000.
Em consequência, o número de reais cobrados a mais para que a renda seja máxima é
e, portanto, ele deverá cobrar
por serviço o valor de 10 5 R$ 15,00.
Resposta da questão 6: a) Calculando:
externa ^ externa^2
x y (y 2) (x 1) 35 x y 19 6 y 19 y 13 S 6 13 2 1 S 76 m
b) Calculando:
2
máx máx
S(x) x y (2 1) x y 19 y 19 x S(x) x (19 x) 2 x 19x 2 19 x x 9,5 y 9, 2 ( 1)
Resposta da questão 7: [C]
Tem-se que (a, b, c) (a, aq, aq ),^2 com a 0 e qsendo a razão da progressão geométrica.
Desse modo, vem
2 2 s a aq aq (^) q (^2) q 1 q 1 3. a a 2 4
Portanto, o valor mínimo de s a
é 3 , 4
ocorrendo para
q. 2
Resposta da questão 8: [D]
Queremos calcular os valores de 2xe de 2y,de tal modo que a área A x y seja máxima e 40x 10y 5000,isto é,
y 500 4x. Daí, como A 4x(x 125)atinge um máximo para
x 62,5 m, 2
temos y 500 4 62,5 250 e,
portanto, segue que 2x 125 me2y 500 m.
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Resposta da questão 9: [C]
Tem-se que y (x 3)(x 3),em que as raízes são 3 e 3. Ademais, a parábola intersecta o eixo das ordenadas no ponto
(0, 9).
A resposta é dada por
(^2) (3 ( 3)) 9 36 m. 2 3
Resposta da questão 10: [D]
Escrevendo a lei de Tna forma canônica, vem
2 2 2 2
T(h) h 22h 85 (h 22h 85) [(h 11) 36] 36 (h 11).
Assim, a temperatura máxima é 36 C, ocorrendo às 11 horas. Tal temperatura, segundo a tabela, é classificada como alta.
