Baixe Exercicios de estruturas de madeira e outras Exercícios em PDF para Estruturas e Materiais, somente na Docsity!
E
EE
X
XX
E
EE
R
RR
C
CC
Í
ÍÍ
C
CC
I
II
O
OO
S
SS
C
CC
A
AA
P
PP
S
SS
O
OO
L
LL
I
II
C
CC
I
II
T
TT
A
AA
Ç
ÇÇ
Õ
ÕÕ
E
EE
S
SS
N
NN
A
AA
S
SS
B
BB
A
AA
R
RR
R
RR
A
AA
S
SS
D
DD
A
AA
S
SS
E
EE
S
SS
T
TT
R
RR
U
UU
T
TT
U
UU
R
RR
A
AA
S
SS
D
DD
E
EE
M
MM
A
AA
D
DD
E
EE
I
II
R
RR
A
AA
E
EE
x
xx
e
ee
r
rr
c
cc
í
íí
c
cc
i
ii
o
oo
s
ss
r
rr
e
ee
s
ss
o
oo
l
ll
v
vv
i
ii
d
dd
o
oo
s
ss
Exercício 4.1 : Elemento tracionado : Verificar a condição de segurança da barra tracionada
de uma tesoura de madeira indicada nas figuras :
1 - Conífera pertencente à classe de resistência C- 30.
2 - Parafusos = 3/8”, com furo prévio de 10 mm de
diâmetro.
3 - Dimensões indicadas em centímetros.
4 - Critério da NBR- 7190 / 1997.
5 - Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ;
NGk = 3 kN (permanente), e NQk = 8 kN (sobrecarga).
Solução
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = ft0,d = 1,2 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: T
d = 1,4 x (T Gk
+ T
Qk
1,4 x (3 + 8) = 15,4 kN
Determinação da área livre :
Aliv =
2
- 2 , 5. 10 2. 1 , 0 40 cm
c) Verificação da condição de segurança :
t 0 , d
livre
d
t 0 , d
. 1 , 5 f
A
T
t 0 ,d 2
t 0 , d cm
kN
. 1 , 5 0 , 58 f 1 , 2
Verifica!
- Considera-se, na prática, em casos correntes, uma majoração de 50% no valor do
esforço normal, ao invés de considerar a excentricidade atuante, por conta do fato de
Elevação Seção
2,5 5 2, 3 4 3
N
k
N
k
Planta
10
Elevação
10
1
1
2,
2,
5
que a peça é dupla. A consideração da excentricidade levaria a verificação para o caso
de flexo-tração. Isto é desnecessário nas aplicações correntes, visto que os efeitos da
mesma são de pequena intensidade.
Se, no entanto, ao fazer a verificação da condição de segurança, são atingidos valores
próximos do limite, convém refazê-la, através do critério de flexo-tração.
Exercício 4.2 : Elemento comprimido (peça curta) e Compressão normal às fibras :
Verificar a condição de segurança da peça comprimida de madeira, indicada nas figuras :
1 - Dicotiledônea, pertencente à classe de resistência C- 30.
2 - Dimensões indicadas em centímetros.
3 - Critério da NBR- 7190 / 1997.
4 - Reação de apoio : R ; Rk = RGk + RQk ;
RGk = 2 kN (permanente), e RQk = 15 kN (sobrecarga).
Solução
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : f c0,d = 1,2 kN/cm
2 ;
f c90,d = 0,25. f c0,d = 0,25. 1,2 = 0,3 kN/cm
2 ;
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Rd = Nd = 1,4 x (RGk + RQk) = 1,4 x (2 + 15) = 23,8 kN ;
c) Verificação da peça vertical (elemento comprimido : peça curta) :
c.1) grau de esbeltez :
imin = iX = iY = 1 , 44 cm
A
I
3
X ; 35
i
L
MIN
0
MAX
a peça é curta : 40.
c.2) verificação da segurança :
c 0 , d
d
c 0 ,d Nd
f
A
N
(equação 4.3) :
R
peça 5x
50
10 5
I
Y
3
= 352 cm
4 ;
IMIN = IY ;
imin = iY = 2 , 17 cm
7 , 5. 10
A
I
Y ;
i
L
MIN
0
MAX
a peça é medianamente esbelta : 40 80.
d) Determinação de Md (equações 4.6 a 4.11) :
0 , 25 cm
h
0
N
M
e
Y
d
1 d
i
0 , 5 cm
L
e
0
a
e 1 = ei + ea = 0,25 + 0,50 = 0,75 cm ;
156 kN
L
.E. I
F
2
2
2
0
c 0 ,ef eixo
2
E
F N
F
e e.
E d
E
d 1
Md = Nd. ed = 39,2. 1,002 = 39,3 kN.cm.
e) Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd
0 , 52 kN/cm
A
N
2
2 2
d
Md
0 , 42 kN/cm
b. h W
M
f) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f f c 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
Exercício 4.4 : Elemento comprimido (peça esbelta) : Verificar a condição de segurança do
pilar de madeira indicado nas figuras, submetido ao esforço de compressão “Nk” :
1 - Madeira dicotiledônea, de Itaúba.
2 - Dimensões indicadas em centímetros.
3 - Critério da NBR- 7190 / 1997.
4 - Nk = NGk + NQk ;
N
Gk = 5 kN (permanente),
e N Qk = 15 kN (sobrecarga).
Solução
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
Tomamos os valores já determinados no exercício 3.1 : fc0,d = 2,21 kN/cm
2 , e
Ec0,ef = 1.266,3 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 15) = 28 kN.
c) Grau de esbeltez :
c.1) considerando o eixo X (L 0 = 280 cm) :
I
X
3
= 417 cm
4 ; i X = 2 , 89 cm
A
I
X ; 97
i
L
X
X
X
c.2) considerando o eixo Y (L 0 = 160 cm) :
I
Y
3
= 104 cm
4 ; i Y = (^1) , 44 cm
A
I
Y ;^111
1 , 44
i
L
Y
Y
Y
c.3) grau de esbeltez máximo :
MAX Y
; a peça é esbelta : 80 140.
Apesar de que relativamente ao eixo Y, o comprimento de referência é menor
(160 cm), seu grau de esbeltez é superior.
d) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) :
10
5
160
120
Y
X
Seção
Transversal
10
5
Nk
L = 280
- esforço normal : N k
= N
gk
+ N
qk
; N
gk = 5 kN (permanente) ;
Nqk = 8 kN (vento de sobrepressão).
- vinculação das extremidades da peça :
ponto 1 : indeslocável no plano vertical , deslocável no plano horizontal.
ponto 2 : indeslocável no plano vertical , indeslocável no plano horizontal.
Solução :
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
f com = 31,5 MPa = 3,15 kN/cm
2 ;
fcok = 0,7. fcom = 0,7. 3,15 MPa = 2,21 kN/cm
2 ;
2
c
c 0 k
c 0 d mod
0 , 88 kN/cm
f
f k.
Ecom = 8058 MPa = 805,8 kN/cm
2 ;
Ecoef = kmod. Ecom = 0,56. 805,8 = 451,2 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 0,75. 8) = 15,4 kN.
c) Grau de esbeltez :
c.1) considerando o eixo X (L 0 = L = 150 cm = dois extremos indeslocáveis) :
IX =
3
= 351,6 cm
4 ;
A = 10. 7,5 = 75 cm
2 ;
i X = (^2) , 17 cm
A
I
X ;
i
L
X
X
X
(peça medianamente esbelta).
c.2) considerando o eixo Y (L 0 = 2 L = 2. 150 = 300 cm ; um extremo deslocável) :
IY =
3
= 625 cm
4 ;
i Y = 2 , 89 cm
A
I
Y ;
i
L
Y
Y
Y
(peça esbelta).
c.3) grau de esbeltez máximo :
MAX Y
; a peça é esbelta : 80 140.
d) Verificação da segurança :
Será verificado apenas o eixo Y ( (^) MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples.
d.1 Determinação de M d (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 33 cm
h
0
N
M
e
Y
d
1 d
i
1 , 0 cm
300
L
e
0
a
30 , 9 kN
L
.E. I
F
2
2
2
0
c 0 ,ef Y
2
E
= 0,8 (tabela 18) ;
NGk = 5 kN ; NQk = 8 kN ; 1 = 0,2 ; 2 = 0
E gk 1 2 qk
gk 1 2 qk
F N. N
.N. N
c
e e e . e 1
c
c ig a
0 , 33 1 , 0 . e 1 0 , 32 cm
0 , 217 ;
e1ef = ei + ea + ec= 0,33 + 1,0 + 0,32 = 1,65 cm ;
50 , 6 kN. cm
F N
F
M N .e.
E d
E
d d 1 , ef
d.2 Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd
0 , 21 kN/cm
75
A
N
2
Y
d
Md
0 , 41 kN/cm
W
M
d.3 Verificação da segurança (equação 4.4) :
f f c 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
i Y = 4 , 33 cm 150
A
I
Y ;
i
L
Y
0 , Y
Y
(peça medianamente esbelta).
c.3) grau de esbeltez máximo :
MAX X ; a peça é medianamente esbelta :^40 ^ ^80.
d) Verificação da segurança :
Será verificado apenas o eixo X ( MAX = 79,7) , pois trata-se de compressão simples.
d.1) Determinação de M d (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 33 cm
h
0
N
M
e
X
d
1 d
i
0 , 77 cm
L
e
0
a
e 1 = ei + ea = 0,33 + 0,77 = 1,10 cm ;
255 , 7 kN
L
.E. I
F
2
2
2
0
c 0 ,ef X
2
E
e d
E d
E
1 F N
F
e. =^
1,10. = 2,29 cm ;
M N.e 133. 2 , 29 304 , 8 kN. cm d d d
d.2) Determinação das tensões Nd Md
e :
d 2
Nd
0 , 89 kN/cm
A
N
2
X
d
Md
1 , 22 kN/cm
W
M
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f f c 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
Exercício 4.7 : Elemento comprimido (peça esbelta) (
o TE/2006) : Verificar a condição de
segurança da barra de madeira comprimida, indicadas nas figuras.
Dados :
E.L.U. = Combinação normal.
Critério da NBR-7190/.
Dimensões em centímetros.
Madeira DICOTILEDÔNEA-CLASSE C- 40 ,
a
. categoria ; qualidade estrutural.
- Esforços atuantes :
L = 240
Nk
Nk
Elevação
1
2
15
X
Y
Seção
Nk = NGk + NQk ; NGk = 10 kN (permanente) ;
N
Qk = 30 kN ( sobrecarga).
- Vinculos dos extremos da barra :
ponto : indeslocável nos dois planos (X e Y).
ponto : deslocável no plano Y.
Solução :
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
fcok = 40 MPa = 4,0 kN/cm
2 ;
2
c
c 0 k
c 0 d mod
1 , 60 kN/cm
f
f k.
Ecom = 19.500 MPa = 1950 kN/cm
2 ;
E
coef = k m od
. E
com = 0,56. 1950 = 1.092 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (10 + 30) = 56 kN.
c) Grau de esbeltez :
c.1) considerando o eixo X (L 0 = L = 240 cm ; dois extremos indeslocáveis) :
I
X
= I
Y
4 = 2.485 cm
4 ;
A =
2 = 176,6 cm
2 ;
W
Y
3 Y 331 , 3 cm 7 , 5
x
I
iX = iY = 3 , 75 cm 176 , 6
A
I
X ;
i
L
X
0 , X X
(peça medianamente esbelta).
c.2) considerando o eixo Y (L 0 = 2 L = 2. 240 = 480 cm ; um extremo deslocável) :
i
L
Y
0 , Y Y
(peça esbelta).
c.3) 128 MAX Y
; a peça é esbelta : 80 140.
d) Verificação da segurança :
Será verificado apenas o eixo Y ( (^) MAX = 104) , pois trata-se de compressão simples.
d.1) Determinação de M d (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 5 cm
30
h
0 56
N
M
e
Y
d
1 d i
Solução :
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
fcok = 25 MPa = 2,5 kN/cm
2 ;
2
c
c 0 k
c 0 d mod
1 , 00 kN/cm
f
f k.
Ecom = 8.500 MPa = 850 kN/cm
2 ;
E
coef = k m od
. E
com = 0,56. 850 = 476 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: N
d = 1,4 x (N Gk
+ N
Qk ) = 1,4 x (20 + 60) = 112 kN.
c) Grau de esbeltez :
c.1) considerando o eixo X (L 0 = L = 180 cm ; dois extremos indeslocáveis) :
I
X
= I
Y
3 3
= 7.500 cm
4 ;
A = (20. 20) – 4. (5. 5) = 300 cm
2 ;
WY=
3 Y 750 cm ( 20 / 2 )
x
I
iX = iY = 5 , 0 cm 300
A
I
X ;
i
L
X
0 , X
X
(peça curta).
c.2) considerando o eixo Y (L 0 = 2 L = 2. 180 = 360 cm ; um extremo deslocável) :
i
L
Y
0 , Y
Y
(peça medianamente esbelta).
c.3) 72 MAX Y
; a peça é medianamente esbelta : 40 80.
d) Verificação da segurança :
Será verificado apenas o eixo Y ( (^) MAX = 72) , pois se trata de compressão simples.
d.1) Determinação de Md (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 67 cm
h
0 112
N
M
e
Y
d
1 d i
1 , 2 cm
L
e
0
a
2
0
c 0 ,ef Y
2
E L
.E. I
F
; 271 , 9 kN
F
2
2
E
e 1 = ei + ea = 0,67+1,2 = 1,87 cm ;
3 , 18 cm
F N
F
e e.
E d
E
d 1
d d d
M N.e 112. 3,18 = 356,1 kN.cm.
d.2) Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd
0 , 37 kN/cm
A
N
2
Y
d
Md
0 , 48 kN/cm
W
M
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f f c 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
Exercício 4.9 : Elemento comprimido (peça esbelta) (
o TE/2007) : Verificar a condição de
segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples, indicada nas
figuras.
Considerar :
1 - Critério da NBR-7190/1997.
2 - Dimensões indicadas em cm.
3 - Critério da NBR-7190/1997.
4 - ELU - Combinação normal.
5 - Madeira CANELA, 2
a
. categoria, qualidade estrutural.
6 - Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ;
N
Gk = 40 kN (permanente); N Qk = 120 kN (sobrecarga).
7 - Vinculação dos extremos da barra : Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis.
Solução :
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
fc0m = 48,7 MPa = 4,87 kN/cm
2 ;
f c0k = 0,7. f c0m = 0,7. 4,87 = 3,41 kN/cm
2 ;
2
c
c 0 k c 0 d mod 1 , 36 kN/cm
1 , 4
f
f k.
Ec0m = 17.592 MPa = 1759,2 kN/cm
2 ;
E
c0ef = k mod
. E
com = 0,56. 1759,2 = 985,1 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (40 + 120) = 224 kN.
N
k
L = L
o
X
Y
Y
ELEVAÇÃO
SEÇÃO
e 1ef = e i
- e a
- e c ; e 1ef = 0,67+ 2,0+ 0,57 = 3,24 cm ;
1279 , 5 kN. cm
F N
F
M N.e.
E d
E
d d 1 , ef
d.2) Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd
0 , 45 kN/cm
A
N
2
Y
d
Md
0 , 67 kN/cm
W
M
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f f c 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
Exercício 4. 10 : Elemento comprimido (peça medianamente esbelta) (1º.TE-2008) - Verificar a
condição de segurança da barra de madeira maciça, submetida à compressão simples,
indicada nas figuras :
Considerar :
1 - Critério da NBR-7190/1997.
2 - Dimensões indicadas em cm.
3 - ELU - Combinação normal.
4 - Madeira Dicotiledônea – CLASSE C-40,
a
. categoria, qualidade estrutural.
5 - Esforços atuantes : Nk = NGk + NQk ,
N
Gk = 30 kN (permanente), N Qk = 100 kN (sobrecarga).
6 - Vinculação dos extremos da barra :
Eixo X e Y : 2 extremos indeslocáveis.
Solução :
a) Valores de cálculo das propriedades mecânicas :
f cok = 40 MPa = 4 , 0 kN/cm
2 ;
2
c
c 0 k
c 0 d mod^1 ,^6 kN/cm
1 , 4
f
f k.
Ecom = 19.5 00 MPa = 195 0 , 0 kN/cm
2 ;
E
coef = k mod
. E
com = 0,56. 1950,0 = 1.092,0 kN/cm
2 .
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (30 + 100) = 182 kN.
ELEVAÇÃO
SEÇÃO
Nk
L=
c) Grau de esbeltez :
considerando o eixo X = eixo Y ;
lados do quadrado = 21,2. sen 45
o = 15 cm ;
IX = IY =
3
= 42 18,8 cm
4 ;
A = 15. 1 5 = 22 5 cm
2 ;
iX = iY = 4 , 33 cm 225
A
IX ;
i
L
X
0 , X X Y
(peça medianamente esbelta) ;
WX =
b. h
2 2 = 562 ,5 cm
3 .
d) Verificação da segurança :
Será verificado apenas um eixo (X) ( (^) MAX = 64 ,7) , pois trata-se de compressão simples.
d.1) Determinação de M d (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 5 cm
h
0
N
M
e
X
d
1 d
i
0 , 93 cm
300
L
e
0
a
e 1 = ei + ea = 0, 5 + 0, 93 = 1, 43 cm ;
580 , 0 kN
L
.E. I
F
2
2
2
0
c 0 ,ef X
2
E
e d
E d
E
1 F N
F
e. =
= 2, 0 9 cm ;
M (^) d Nd.ed 182. 2 , 09 380 , 2 kN. cm
d.2) Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd 0 ,^81 kN/cm
225
A
N
2
X
d
Md 0 ,^68 kN/cm
562 , 5
W
^ M^ .
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f fc 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
d.1) Determinação de M d (equações 4.8 a 4.16) :
0 , 5 cm
h
0 133
N
M
e
X
d
1 d i
1 , 27 cm
300
L
e
0
a
314 , 9 kN
L
.E. I
F
2
2
2
0
c 0 ,ef X
2
E
= 0,8 (tabela 18) ;
NGk = 15 kN ; NQk = 80 kN ;
1
2
E gk 1 2 qk
gk 1 2 qk
F N. N
.N. N
c
e e e . e 1
c
c ig a
0 , 5 1 , 27 .e 1 0 , 33 cm
^0 ,^169 ;
e1ef = ei + ea + ec ; e1ef = 0, 5 + 1, 27 + 0, 33 = 2,1 cm ;
481 , 82 kN. cm
F N
F
M N .e.
E d
E
d d 1 , ef
d.2) Determinação das tensões Nd Md
e :
d^2
Nd 0 ,^59 kN/cm
225
A
N
2
Y
d
Md 0 ,^86 kN/cm
562 , 5
W
^ M^ .
d.3) Verificação da segurança (equação 4.4) :
f fc 0 ,d
Md
c 0 , d
Nd
Verifica!
Exercício 4.1 2 : Encaixe entre peças de madeira : Projetar o nó de extremidade da tesoura de
madeira, indicada no exercício 4.3, cuja barra inclinada (asna) é solicitada por um esforço de
compressão “Nk” :
1 - Madeira dicotiledônea, Eucalipto Dunnii.
2 - Dimensões indicadas em centímetros.
3 - Critério da NBR- 7190 / 1997.
4 - Esforço Normal Nk = NGk + NQk ;
N
Gk = 5 kN (permanente), e
N
Qk = 8 kN (sobrecarga).
Elevação
Seção
10 7,
Nk
40
0
10
15
S
S
Nk
Solução
a) Soluções para o encaixe :
a.1) solução clássica :
Esta solução é teoricamente a mais indicada : a seção
crítica para a compressão é a pequena área de contato AB,
em que a resistência à compressão f c(90-β),d é igual nas
peças horizontal e inclinada.
a.2) solução corrente :
Esta solução é mais prática, do ponto de vista executivo. É
menos econômica porque a resistência de calculo na área
AB (a mais crítica), é menor na peça inclinada. Esta
solução será adotada no presente exercício.
a.3) construção do encaixe :
A confecção do encaixe não deve aprofundar o recorte na
peça além de 25% de sua altura.
Além de enfraquecer muito a peça recortada, cria-se uma
excentricidade alta para o esforço de tração na mesma (a
força de tração na barra horizontal faz parte do equilíbrio
estático entre os esforços N k e a reação de apoio).
b) Combinação de ações :
E.L.U.: Nd = 1,4 x (NGk + NQk) = 1,4 x (5 + 8) = 18,2 kN ;
c) Esforços gerados nas áreas respectivas criadas com
a confecção do encaixe :
A força N d , aplicada na barra inclinada do banzo
superior (asna) da tesoura, transmite-se ao nó de
extremidade através das áreas de contato AB e BC.
O ângulo é diferente, mas parecido com 90
o
. Por simplicidade
de calculo, adota-se :
17 , 1 kN.
18 , 2. cos
N N. cos
o o
AB, d d
β = (180 - α) / 2
C
B
A
β
β α
3,
B C
A
50
0
90
0
40
o
NAB,d
N BC,d
Nd
40
o
= (90 - α)
B C
A
90
0
α
β
Nd x
3,
C
B
A
Rd
