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MAT1513 - Laboratório de Matemática - Diurno Professor David Pires Dias - 2013 TI4 - Trabalho Individual IV
INDUÇÃO FINITA
O método da indução finita é um procedimento matemático para provar propriedades que são ver- dadeiras para uma seqüência de objetos. É um método bastante utilizado em teoria dos números, geometria, análise combinatória, etc.. Mas trata-se de um tipo de demonstração que pode aparecer em qualquer domínio da Matemática.
Exemplo 1 Os seguintes resultados podem ser provados por indução.
i) Dado n ∈ IN vale 2 n^ < n!, se n > 4.
ii) O número de diagonais de um polígono de n lados é n(n 2 − 3).
iii) Todo número natural maior ou igual a dois admite decomposição em fatores primos, única a menos da ordem dos fatores.
Observemos que os três resultados acima falam de propriedade associadas a números naturais e que são afirmadas valer a partir de algum natural inicial (4 no primeiro, 3 no segundo e 2 no terceiro exemplo). Generalizando, o método se aplica para a prova de afirmações que contém no seu enunciado a descrição de alguma propriedade P (n) que é afirmada valer para todo natural n ≥ n 0 , onde n 0 é dado explicitamente ou fica evidente pelo contexto do enunciado.
Princípio da Indução Finita - 1a¯ Forma
Seja P (n) um enunciado que descreve uma propriedade sobre um número natural n maior ou igual a um número natural n 0 fixado.
Definição 2 (PIF 1a¯ forma) Se pudermos provar que valem as duas condições:
C1: P (n 0 ) é verdadeira (ou seja, vale a propriedade para n 0 );
C2: É verdadeira a implicação P (n) → P (n + 1) para todo n ≥ n 0.
Então podemos afirmar que a propriedade P (n) é verdadeira para todo n ≥ n 0.
No uso prático, para provar um teorema por indução finita devemos assim mostrar que as duas condições do princípio acima estão satisfeitas. Isso nos garante a validade da propriedade para a infinidade de casos aos quais o teorema faça referência.
No caso da segunda condição, como uma implicação só é falsa se sua premissa for verdadeira e a conclusão falsa, basta excluir essa possibilidade para termos a validade da implicação desejada. Assim o que normalmente se faz é tomar um k genérico qualquer maior ou igual a n 0 e admitindo que P (k) seja verdadeiro, mostrar que necessariamente P (k + 1) também deve ser verdadeiro. Feita também a prova de que vale a propriedade para o primeiro natural n 0 , o princípio da indução nos garante a validade da propriedade em todos os casos afirmados.
Exemplo 3 Como 24 = 16 e 4! = 4. 3. 2 .1 = 24, então vale que 24 < 4! e portanto (C1), a primeira condição do P IF , está satisfeita.
Admitindo que 2 k^ = k!(∗) para um k genérico maior do que 4 , como
- 2 k+1^ = 2. 2 k^ • (k + 1)! = (k + 1)k! • (k + 1) > 2 , se k > 4
a partir da desigualdade (*) obtemos que
2 k+1^ = 2. 2 k^ < 2 .k! < (k + 1).k! = (k + 1)!
Fica assim estabelecida a validade de (C2), a segunda condição do P IF.
Portanto o princípio da indução finita garante que vale 2 n^ < n!, para todo n > 4.
Princípio da Indução Finita - 2a¯ Forma
Seja P (n) um enunciado que descreve uma propriedade sobre um número natural n maior ou igual a um número natural n 0 fixado.
Definição 4 (PIF 2a¯ forma) Se pudermos provar que valem as duas condições:
CC1: P (n 0 ) é verdadeira (ou seja, vale a propriedade para n 0 );
CC2: Para todo n ≥ n 0 , é verdadeira a implicação
P (n 0 ) ∧ P (n 0 + 1) ∧ ... ∧ P (n − 1) ∧ P (n) → P (n + 1).
Então podemos afirmar que a propriedade P (n) é verdadeira para todo n ≥ n 0.
Na prática, para provar uma propriedade utilizando a segunda forma de indução, devemos provar que a propriedade P vale para n 0 e a seguir, dado um n qualquer maior do que n 0 admitindo que a propriedade P vale para todos os números entre n 0 e n (inclusive), devemos provar que P também vale para n + 1. Ou ainda, devemos comprovar a seguinte implicação:
P (k) verdadeira para n 0 ≤ k ≤ n → P (n) verdadeira.
Essa segunda forma pode ser necessária algumas vezes, como por exemplo no Teorema Funda- mental da Aritmética enunciado no item (iii) do primeiro exemplo e cuja existência da decomposição provaremos a seguir (só provaremos a existência neste texto, a unicidade a menos de ordem dos fatores não será feita aqui).
Exemplo 5 O primeiro número é o 2, que é primo. Como 2 = 2, podemos dizer que 2 admite uma "fatoração"/ única em primos. E portanto (CC1) está satisfeita.
Admitamos que todos os números entre 2 e n, incluindo 2 e n, admitem uma fatoração em números primos, única a menos da ordem dos fatores. Consideremos o número n + 1. Existem duas possibili- dades:
a) n+1 é primo, e nesse caso a sua "fatoração" é evidentemente única contendo como único "fator" o próprio primo n + 1, como no caso do número 2.
Dem: Obviamente vale P (1), ou seja, temos a veracidade de C1 ou CC1. Assuma que a proposição é válida para P (n) e seja A = {x 1 , ..., xn, xn+1}, então x 1 = x 2 =... = xn e x 2 = x 3 =... = xn = xn+1, logo x 1 = x 2 = ... = xn+1 e temos a validade de P (n + 1).
- O que está errado no seguinte argumento:
Proposição 7 Se a 6 = 0 então an−^1 = 1 para todo n natural.
Dem: P (1) : a^1 −^1 = 1 vale sempre. Assumindo ak−^1 = 1, temos ak^ = ak a akk−−^22 = ak− a^1 kaa− 2 k −^2 = ak− a^1 ka−k 2 − 1 = 11.^1 = 1.
- Seja a 0 = 1 e, para n > 0 , seja an = 2an− 1 + 1. Os primeiros termos da sequência a 0 , a 1 , a 2 , a 3 ,... são 1 , 3 , 7 , 15 ,... Quais são os próximos três termos? Prove que an = 2n+1^ − 1.
- Seja b 0 = 1 e, para n > 0 , seja bn = 3bn− 1 − 1. Quais são os cinco primeiros termos da sequência
b 0 , b 1 , b 2 ,.. .? Prove que bn =
3 n^ + 1
Instruções para os exercícios a serem entregues:
- quatro itens do primeiro exercícios;
- os exercícios 2 , 3 , 4 e 5 ;
- um dentre os exercícos 6 e 7 ;
- um dentre os exercícos 8 e 9.
