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Este documento fornece exemplos de modelos para problemas de otimização linear, baseados em livros e notas de aula de pesquisadores do laboratório de otimização do icmc-usp. Inclui exemplos de planejamento urbano e transporte de mercadorias, com detalhamento da modelagem matemática e restrições a serem consideradas.
Tipologia: Resumos
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12 de agosto de 2019
Baseado nos livros Introduction to Linear Optimization, de D. Bertsimas e J. N. Tsitsiklis; Pesquisa Operacional, de H. A. Taha; e em notas de aula de pesquisadores do Laboratório de Otimização do ICMC-USP.
A cidade de Erstville enfrenta uma séria carência orçamentária. Em busca de uma solução de longo prazo, a câmara de vereadores da cidade aprovou uma melhoria da base de cobrança de impostos que prevê a demolição de uma área habitacional do centro da cidade e sua substituição por um conjunto habitacional moderno.
O projeto envolve duas fases:
(^1) demolição das casas que estão aquém do padrão para liberar terreno para o novo projeto;
(^2) construção do novo conjunto urbano.
O imposto cobrado por unidade para unidades simples, duplas, triplas e quádruplas é de $1.000, $1.900, $2.700 e $3.400, respectivamente.
O custo da construção por unidade domiciliar simples, duplas, triplas e quádruplas é de $50.000, $70.000, $130.000 e $160.000, respectivamente. O financiamento acordado com um banco local é de, no máximo, $15.000.000.
Quantas unidades de cada tipo devem ser construídas para maximizar a arrecadação de impostos?
Vamos começar definindo nossas variáveis de decisão. Queremos decidir quantas casas antigas serão demolidas e quantas novas (de cada um dos tipos - simples, dupla, tripla ou quádrupla) serão construídas.
Então, vamos definir xa a quantidade de casas antigas que serão demolidas; xs a quantidade de casas simples que serão construídas; xd a quantidade de casas duplas que serão construídas; xt a quantidade de casas triplas que serão construídas; xq a quantidade de casas quádruplas que serão construídas.
Para garantir que haja espaço suficiente para a construção das novas casas, note que a área liberada pelas demolições é 0 , 25 xa.
Como 15% desta área precisa ser destinada a ruas, espaços abertos e instalações públicas, resta uma área de 0 , 85 ( 0 , 25 xa ) = 0 , 2125 xa para construção das novas casas.
Para estas construções, será necessário usar a seguinte área:
0 , 18 xs + 0 , 28 xd + 0 , 4 xt + 0 , 5 xq.
Portanto, precisamos impor que
0 , 18 xs + 0 , 28 xd + 0 , 4 xt + 0 , 5 xq ≤ 0 , 2125 xa.
Para garantir que haja dinheiro suficiente para as construções, precisamos garantir que o custo das demolições das casas antigas e construções das casas novas não ultrapasse o valor obtido para financiamento.
Ou seja,
50000 xs + 70000 xd + 130000 xt + 160000 xq + 2000 xa ≤ 15000000 ⇒
50 xs + 70 xd + 130 xt + 160 xq + 2 xa ≤ 15000_._
Por fim, precisamos garantir a proporção entre casas simples, duplas, triplas e quádruplas.
O total de casas novas é dado por
xs + xd + xt + xq.
Deste total, queremos garantir que as unidades triplas e quádruplas representam no mínimo 25% do total. Ou seja,
xt + xq ≥ 0 , 25 ( xs + xd + xt + xq ) ⇒
− 0 , 25 xs − 0 , 25 xd + 0 , 75 xt + 0 , 75 xq ≥ 0_._
Como as unidades simples devem representar no mínimo 20% de todas as unidades, temos
xs ≥ 0 , 20 ( xs + xd + xt + xq ) ⇒
0 , 8 xs − 0 , 2 xd − 0 , 2 xt − 0 , 2 xq ≥ 0_._
Como as unidades duplas devem ser, no mínimo, 10% de todas as unidades, temos
xd ≥ 0 , 10 ( xs + xd + xt + xq ) ⇒
− 0 , 1 xs + 0 , 9 xd − 0 , 1 xt − 0 , 1 xq ≥ 0_._
Uma companhia brasileira transforma grãos de café em café em pó em m plantas produtoras (fábricas).
O café é enviado semanalmente para n depósitos localizados em grandes cidades para varejo, distribuição e exportação.
Suponha que o custo unitário de envio da planta i para o depósito j seja dado por cij ;
a capacidade de produção da planta i é denotada por ai ;
a demanda do depósito j é denotada por bj.
Quanto deve ser transportado de cada uma das plantas para cada um dos depósitos de forma a minimizar o custo total de transporte de mercadoria das plantas aos depósitos, satisfazendo as demandas dos depósitos?
Primeiramente, vamos definir as variáveis de decisão do nosso modelo.
Seja xij a quantidade de café que deve ser enviada da planta i ao depósito j semanalmente (para i = 1 , .., m e j = 1 , ..., n ). Claramente, precisamos que xij ≥ 0 para todo i e j.
O custo total do transporte do café das m plantas para os n depósitos é dado por
∑^ m
i = 1
∑^ n
j = 1
cij xij.
Como cada planta i tem uma capacidade de produção ai , precisamos garantir que a quantidade de café enviada da planta i não ultrapasse este valor.
Isto pode ser garantido impondo a restrição
∑^ n
j = 1
xij ≤ ai
para cada i = 1 , ..., m.
Então, uma modelagem para o problema é
minimizar
∑^ m
i = 1
∑^ n
j = 1
cij xij
sujeita a
∑^ n
j = 1
xij ≤ ai , i = 1 ,... , m ,
∑^ m
i = 1
xij = bj , j = 1 ,... , n ,
xij ≥ 0, i = 1 ,... , m , j = 1 ,... , n.
Suponha, agora, que a demanda semanal de cada depósito é dinâmica, isto é, a cada semana, a demanda de cada depósito pode ser alterada.
Suponha um horizonte finito de planejamento composto por T semanas e seja bjt a demanda de café do depósito j na semana t.
O que precisa ser mudado no modelo construído para representar este novo problema?
