Estudo para Provas de concurso e ENADE, Notas de aula de Engenharia Civil

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Belo Horizonte EDITORA

1ª Edição

Thiago Bomjardim Porto

MÓDULO 1

Mecânica dos Sólidos

ProPriedades Geométricas

da seção transversal de

FiGuras Planas

Porto, Thiago Bomjardim P853m Mecânica dos sólidos: módulo 1: propriedades geométricas da seção transversal de figuras planas / Thiago Bomjardim Porto. Belo Horizonte: FUMARC, 2014.

82p. : il.

ISBN: 978-85-8124-047-

1. Sólidos elásticos. 2. Mecânica dos meios contínuos. I. Título.

CDU: 620.

Copyright © 2014 by Thiago Bomjardim Porto

É proibida, de qualquer forma ou por qualquer meio eletrônico e mecânico, a reprodução total ou parcial deste livro sem a permissão expressa do autor. Os direitos de propriedade desta edição estão reservados ao autor.

Revisão Técnica: Prof. Antônio Pires Azevedo Júnior Departamento de Engenharia Civil Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais - PUC MINAS

Notas explicativas:

1. Foram feitos esforços para identificar os detentores dos direitos das obras. Caso ocor- ra alguma omissão involuntária de dados, a editora buscará a correção na primeira oportunidade.
2. Apesar dos melhores esforços do autor, do editor e dos revisores, é possível que surjam inexatidões ao longo do texto. Assim, são bem-vindas as comunicações de usuários sobre correções ou sugestões referentes ao conteúdo ou ao nível pedagógico que auxiliem o aprimoramento de edições futuras. Os comentários dos leitores podem ser encaminha- dos ao professor Thiago Bomjardim Porto pelo email porto@pucminas.br

FICHA CATALOGRÁFICA Elaborada pela Biblioteca da Pontifícia Universidade Católica de Minas Gerais

agRaDeciMeNTos

agradeço aos colegas do departamento de engenharia civil da PUc MiNas pela confiança e pelo apoio mantidos durante todo o desenvolvimento do projeto “Livro Texto Mecânica dos sólidos”.

gostaria de agradecer à Diretoria do instituto Politécnico da Pontifícia Universidade católica de Minas gerais, iPUc-PUc MiNas, em particular, ao professor Jánes Landre Júnior pelo apoio irrestrito a este trabalho.

agradeço também a todos os alunos do curso de engenharia civil da PUc MiNas e UFMg que ajudaram diretamente e indiretamente na produção deste livro, em particular: alice Laura de oliveira alves, andré Luis de castro, Felipe Dutra galuppo, Felipe Magleau, igor Prado da silveira, Jonas Paulo costa silveira, Juliana Rodrigues alves, Mila carvalho de almeida e Weberson gonçalves alves.

gostaria de agradecer, também, à coNsMaRa eNgeNHaRia LTDa pelo apoio integral para viabilização deste livro texto.

este projeto está concluído, mas o livro didático de Mecânica dos sólidos não se encerra nesta primeira edição. espero que o mesmo possa ser aperfeiçoado em edições futuras, por meio do envio de críticas e sugestões por parte dos leitores (professores, estudantes e engenheiros). aqueles que assim o fizerem recebam também, desde já, os meus sinceros agradecimentos.

o autor, Thiago B. Porto

PREFÁCIO

O Professor e Engenheiro Thiago Bomjardim Porto oferece, ao nosso meio estudantil e técnico, sua obra sobre a importante disciplina Mecânica dos Sólidos.

Ele continua uma tradição iniciada por profissionais que têm lecionado nas Escolas de Engenharia mineiras – para citar apenas dois nomes, sem prejuízo dos demais autores, lembro o saudoso professor Jayme Ferreira da Silva Jr. e o professor Otávio Campos do Amaral, que publicaram, aqui em Belo Horizonte, livros tratando do mesmo tema, a Mecânica dos Sólidos também conhecida como Resistência dos Materiais.

Seu trabalho apresenta em linguagem acessível, mas com rigor, os conhecimentos bási- cos que todo estudante e depois profissional da Engenharia Civil necessita saber, quer para atuar diretamente na engenharia de estruturas, quer para adquirir uma formação ampla que o habilite a ser um engenheiro pleno.

Parabenizo o autor, desejando-lhe sucesso e reconhecendo o mérito de seu trabalho que, certamente, consumiu parte substancial de suas horas de lazer.

Pedro Vianna Pessoa de Mendonça Professor da escola de engenharia da UFMg

Desejo bom proveito a todos os leitores, professores, estudantes e profissionais, pois são vocês, em última análise, aqueles que farão, com certeza, a melhor avaliação do resultado alcançado.

Por se tratar de uma livro texto introdutório à Mecânica dos Sólidos, utilizei a seguin- te sistemática: cada módulo inicia-se com um resumo dos conceitos teóricos básicos fundamentais para o entendimento do assunto e, na sequência, um conjunto de exer- cícios resolvidos com a aplicação da teoria apresentada. Em seguida, são apresentados vários exercícios propostos com o objetivo do leitor consolidar os conhecimentos aprendidos.

Enfim, a melhor satisfação para quem traça plano, é ver seus projetos realizados. Este livro é a realização de um antigo projeto que se concretiza.

O autor coloca-se à total disposição para a solução de problemas particulares de Mecâ- nica dos Sólidos, disponibilizando sua experiência como Engenheiro Calculista, adqui- rida em mais de uma centena de projetos de Engenharia em todo o Brasil e América Latina.

o autor, Thiago B. Porto

Mód. 1 PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DA SEÇÃO TRANSVERSAL DE FIGURAS PLANAS

Mód. 2 INTRODUÇÃO À ANÁLISE ESTRUTURAL

Mód. 3 TENSÃO E DEFORMAÇÃO EM ELEMENTOS LINEARES; LEI DE HOOKE

Mód. 4 TORÇÃO

Mód. 5 FLEXÃO E PROJETO DE VIGAS

Mód. 6 CISALHAMENTO EM ELEMENTOS LINEARES

Mód. 7 TRANSFORMAÇÕES DE TENSÃO E DEFORMAÇÃO E SUAS APLICAÇÕES

Mód. 8 DEFLEXÃO EM VIGAS

Mód. 9 FLAMBAGEM EM ELEMENTOS LINEARES E PROJETO DE PILARES

Mód. 10 MÉTODOS DE ENERGIA

Mód. 11 PROVAS DE CONCURSO PÚBLICO E ENADE (MEC) RESOLVIDAS E COMENTADAS

ColeçãoColeção NAPRÁTICA

Mecânica dos Sólidos

ÍNDICE

• PREFÁCIO
• APREsEntAçãO
• 1. IntRODUçãO
• 2. CEntRO DE ÁREA
  • 2.1. Momento de Primeira Ordem
    • 2.1.1. Cálculo das coordenadas do Centro de área ...........................................................
• 3. MOMEntO DE InÉRCIA
  • 3.1. Momento de inércia de uma superfície retangular e uma superfície circular
  • 3.2. Momento Polar de Inércia
    • 3.2.1. Momento Polar de Inércia de uma seção circular ...................................................
• 4. tEOREMA DOs EIXOs PARALELOs
• 5. RAIO DE GIRAçãO
• REFERÊnCIAs
• AnEXOs - A.1 - Centróides de áreas usuais na Engenharia ................................................................. - A.2 - Momentos de Inércia de seções usuais na Engenharia .............................................. - A.3 - Prefixos do Sistema Internacional .............................................................................. - A.4 - Conversão de unidades de Engenharia ...................................................................... - A.5 - Conversão de unidades usuais em escritórios de cálculo .......................................... - A.6 - Alfabeto grego .............................................................................................................

Biografia THOMaS YOUNg

Thomas Young nasceu em 1773, na inglaterra. Foi um cientista que trouxe diversas contribuições para os campos da visão, luz, Mecânica dos sólidos, energia, fisio- logia, linguagem, harmonia musical e egiptologia. Na Resis- tência dos Materiais, foi responsável pela caracterização do Módulo de Young ou Módulo de elasticidade.

2. CEnTRO DE ÁREa

Para uma seção transversal plana pertencente ao plano xy contornada por uma curva

y = f ( x )(figura 1), o centroide ou centro de área (C.A.) ou centro geométrico (C.G.)

encontra-se neste plano tendo como coordenadas x e y.

FIgUra 1 - Centróide de uma Seção Genérica

Fonte: elaborada pelo autor

2.1. MOMEnTO DE PRIMEIRa ORDEM

Para o entendimento do cálculo do centroide, é necessário um conhecimento prévio sobre o momento de primeira ordem da seção transversal em relação ao eixo x e y,

sendo representado por Qx e Q y , respectivamente.

O momento de primeira ordem é definido como o somatório dos produtos entre as áreas dos elementos infinitesimais (dA) e as distâncias dos mesmos em relação a um eixo.

Assim, tem-se:

EXErCÍCIOS rESOLVIDOS

1) Determine as coordenadas do centro de área da seção abaixo.

Resolução:

FIgUra 2 - Exercício resolvido 1

Fonte: elaborada pelo autor

Para o cálculo das coordenadas do centro de área desta seção, utiliza-se a equação 5:

Sendo:

da = dx.dy

Assim, os limites das integrais serão de 0 a 100 para x e y. Logo:

O cálculo da coordenada y^ é feito de modo análogo ao anterior, encontrando nesse

caso, o mesmo resultado.

Por ser uma figura simples, não havia necessidade de calcular as coordenadas do centro de área (CA) da seção acima pela formulação teórica apresentada. Esse exercício teve por objetivo familiarizar o leitor com a formulação clássica para o cálculo do centro de área de uma figura qualquer.

E^ x

Ercícios

r

Esolvidos

E^ x

Ercícios

r

Esolvidos

2) Determine as coordenadas do centro de área da seção abaixo.

Resolução: FIgUra 3 - Exercício resolvido 2

Fonte: elaborada pelo autor

Ao analisar a figura, percebe-se que, por ela ser simétrica em relação ao eixo vertical, é possível afirmar que a coordenada x do cento de área encontra-se no meio da base do triângulo: x = 100mm

Para a simplificação dos cálculos, considera-se apenas uma face do triângulo, pois como foi comentado anteriormente existe simetria entre as mesmas.

FIgUra 4 - Exercício resolvido 2

Fonte: elaborada pelo autor

Para o calculo da coordenada y, é preciso resolver a equação 6.

Para isso, define-se uma faixa horizontal em que da = b. dy. O valor de b é encon- trado através de semelhança de triângulos.

b = 100 − y

Substituindo o valores encontrados para dA na equação 6:

Pode-se generalizar portanto que: 3

h y =