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Probabilidade 1

José Carlos Fogo

Junho 2014

Teoria da Probabilidade Sumário

• 1 Conceitos Básicos e Definições Sumário
  • 1.1 Relações entre conjuntos
  • 1.2 Algumas definições em probabilidade:
  • 1.3 Medidas de probabilidade
    • 1.3.1 Axiomas de Kolmogorov e espaço de probabilidade
  • 1.4 Propriedades das probabilidades
  • 1.5 Probabilidade condicional e teorema de Bayes
    • 1.5.1 Probabilidade condicional
    • 1.5.2 Teorema de Bayes
    • 1.5.3 Independência de eventos
  • 1.6 Contagem
    • 1.6.1 Amostras ordenadas
    • 1.6.2 Permutações
    • 1.6.3 Amostras Desordenadas
    • 1.6.4 Partições
• 2 Variáveis Aleatórias
  • 2.1 Variáveis Aleatórias Discretas
  • 2.2 Principais modelos de discretos
    • 2.2.1 Variável Aleatória Constante
    • 2.2.2 Distribuição uniforme discreta
    • 2.2.3 Distribuição de Bernoulli
    • 2.2.4 Distribuição binomial
    • 2.2.5 Distribuição geométrica
    • 2.2.6 Distribuição binomial negativa
    • 2.2.7 Distribuição hipergeométrica
    • 2.2.8 Distribuição de Poisson
    • 2.2.9 Distribuições discretas no R
• 3 Valor esperado e momentos de uma v.a. discreta
  • 3.1 Valor esperado de uma v.a. discreta
  • 3.2 Propriedades de Esperança
  • 3.3 Variância de uma v.a. discreta
    • 3.3.1 Propriedades de Variância
    • 3.3.2 Covariância e coeficiente de corelação

vi) CONJUNTOS DISJUNTOS: dois conjuntos A e B são disjuntos, ou mutuamente exclu- sivos, se a intersecção entre eles é vazia, ou seja, A ∩ B = ∅;

vi) PARTIÇÃO: os conjuntos A 1 , A 2 ,... , Ak ⊂ Ω formam um partição de Ω se são disjuntos

dois-a-dois e se a união entre eles é igual a Ω, ou seja

• Ai ∩ Aj = ∅, ∀ i 6 = j;

⋃^ k

i=

Ai = Ω.

vi) LEIS DE MORGAN: considere uma sequência qualquer de eventos A 1 , A 2 ,.. ., então,

segundo as leis de Morgan, valem as relações ( (^) ∞ ⋃

i=

Ai

)c

⋂^ ∞

i=

Aci ;

( (^) ∞ ⋂

i=

Ai

)c

⋃^ ∞

i=

Aci.

DEMONSTRAÇÃO VISUAL DAS LEIS DE MORGAN:

Ω A B

C

AUBUC

(AUBUC)c

Figura 1.1: Diagrama de Venn para a união ( A ∪ B ∪ C )c

Ω

Ac

A

Ω B

Bc

Ω

C

C c

Figura 1.2: Eventos complementares Ac, Bc^ e Cc, respectivamente

Ω A B

C

Figura 1.3: Diagrama de Venn para a intersecção Ac^ ∩ Bc^ ∩ Cc

DEMONSTRAÇÃO FORMAL DAS LEIS DE MORGAN: 1 a^ parte (Magalhães ou Hoel)

IDEIA: mostrar que

i)

i=

Ai

)c ⊂

⋂^ ∞

i=

Aci ;

ii)

i=

Ai

)c ⊃

⋂^ ∞

i=

Aci.

RESULTADO: Sejam A e B conjuntos quaisquer, então, se A ⊂ B e A ⊃ B =⇒ A = B.

Prova da parte (i):

Seja w ∈ (

⋃^ ∞

i=

Ai)c^ =⇒ w /∈

⋃^ ∞

i=

Ai =⇒ w /∈ Ai, ∀ i = 1, 2 ,...

Desta forma, w ∈ Aci , ∀i = 1, 2 ,... =⇒ w ∈

⋂^ ∞

i=

Aci ,

o que prova a parte (i).

Prova da parte (ii):

Seja w ∈

⋂^ ∞

i=

Aci =⇒ w ∈ Aci =⇒ w /∈ Ai, ∀ i = 1, 2 ,...

Desta forma, w /∈

⋃^ ∞

i=

Ai, ∀ i = 1, 2 ,... =⇒ w ∈ (

⋃^ ∞

i=

Ai)c,

i) Evento Complementar: Seja um evento qualquer A ⊂ Ω, então, seu evento com- plementar Ac^ será definido pelos elementos de Ω que não estão em A. Um evento A e seu complementar Ac^ são tais que A ∪ Ac^ = Ω.

ii) Eventos Disjuntos: Dois eventos quaisquer A e B são disjuntos, ou mutuamente exclusivos se A ∩ B = ∅.

iii) Eventos Elementares: Seja um espaço amostral finito Ω = {ω 1 , ω 2 ,... , ωN }, em que ωi, i = 1, 2 ,... , N são resultados elementares. Um evento formado por um resultado elementar é chamado evento elementar. Neste caso, Ai = {ωi}, i = 1, 2 ,... , N ,

são eventos elementares.

Notas:

1. Sejam dois eventos elementares Ai e Aj , i 6 = j, então, Ai ∩ Aj = ∅;
2. Qualquer evento pode ser escrito como uniões de eventos elementares. Particularmente, Ω = A 1 ∪ A 2 ∪... ∪ AN.

Como o espaço amostral é finito, será associada uma probabilidade pi = 1/N para cada ωi, i = 1, 2 ,... , N. É intuitivo que 0 ≤ pi ≤ 1 e que p 1 + p 2 +... + pN = 1. Se, além disso, o espaço amostral for equiprovável (ou homogêneo), então,

pi =

N

∀ ωi ∈ Ω, i = 1, 2 ,... , N.

d) σ-ÁLGEBRA:

Seja uma coleção não vazia A de subconjuntos de Ω aos quais desejamos associar probabilidades. Então A deve ser tal que, se A e B ∈ A , faz sentido calcular probabi- lidades de que

i) A ou B ocorra, ou seja, (A ∪ B); ii) A e B ocorram, ou seja, (A ∩ B); iii) não ocorra A, ou seja, Ac.

Portanto, para A e B ∈ A , se A atender às propriedades:

i) Ω ∈ A ; ii) se A ∈ A =⇒ Ac^ ∈ A ; iii) se A ∈ A e B ∈ A =⇒ (A ∪ B) ∈ A.

então A é dita ser uma álgebra de subconjuntos (eventos) de Ω.

Além disso, deseja-se que A seja fechada também para um número infinito e enumerável de operações (uniões e intersecções).

Definição: A é uma σ-álgebra de subconjuntos (eventos) de Ω se, e só se

i) Ω ∈ A ;

ii) se A ∈ A =⇒ Ac^ ∈ A ;

iii) se A 1 , A 2 ,... ∈ A =⇒

⋃^ ∞

i=

Ai ∈ A.

Notas:

1. toda σ-álgebra é uma álgebra, porém, nem toda álgebra é uma σ-álgebra;

2. Seja A uma σ-álgebra de Ω, então, se A 1 , A 2 ,... ∈ A =⇒

⋂^ ∞

i=

Ai ∈ A.

Exemplo: 1) Considere o lançamento de uma moeda, então Ω = { cara, coroa }

• A 1 = { ∅, Ω } → menor σ-álgebra;
• A 2 = { ∅, {cara}, {coroa}, Ω } → σ-álgebra, classe de todos os subconjuntos de Ω.

Exemplo: 2) Considere o espaço amostral Ω = { 1 , 2 , 3 }

• A 1 = { ∅, Ω, { 1 }, { 2 , 3 } } → é uma σ-álgebra (todos os complementares e uniões estão presentes).
• A 2 = { ∅, Ω, { 1 }, { 2 }, { 1 , 3 }, { 2 , 3 } } → não é σ-álgebra pois: { 1 } ∪ { 2 } ∈/ A 2 (todos os complementares estão presentes, mas não todas as uniões).

iii) se A 1 , A 2 ,... formam uma seqüência disjunta, então P

i=

Ai

∑^ ∞

i=

P (Ai).

A trinca formada por (Ω, A , P ) é chamada de ESPAÇO DE PROBABILIDADE.

Um espaço de probabilidade é formado por um espaço amostral Ω, uma σ-álgebra de

eventos de Ω e uma medida de probabilidade P (A) ∀ A ∈ A.

Exemplo: 1) Número de ocorrências de um fenômeno.

Espaço amostral: Ω = { 1 , 2 , 3 ,... };

σ-álbegra: A = classe dos subconjuntos de Ω;

Medida de probabilidade: P (k) =

2 k^

, k = 1, 2 ,...

Checar os axiomas:

i) P (A) é dada pela soma de probabilidades de eventos elementares ωi ∈ A, i = 1, 2 ,... =⇒ P (A) ≥ 0 , ∀ A;

ii)

∑^ ∞

i=

P (k) =

= 1 =⇒ P (Ω) = 1;

iii) A união de eventos disjuntos, forma um conjunto ao se aplica o resultado (i), que equi- vale à soma das suas probabilidades individuais.

Exemplo: 2) Tempo de vida de pacientes.

Espaço amostral: Ω = { T ∈ R | 0 ≤ T < ∞ };

σ-álbegra: A = σ-álbegra de Borel;

Medida de probabilidade: P (A) =

A

e−xdx, em que A ⊆ Ω são intervalos no conjunto

dos reais.

1.4 Propriedades das probabilidades

Considere que os conjuntos abaixo seja, eventos no espaço de probabilidade (Ω, A , P ). Então, tem-se que

a) P (A) = 1 − P (Ac); Nota: caso especial P (∅) = 1 − P (Ω) = 0.

b) Sejam A e B eventos quaisquer, então P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac).

PROVA: i) para todo conjunto A tem-se que A ∪ Ac^ = Ω. ii) Como B = B ∩ Ω = B ∩ (A ∪ Ac) = (B ∩ A) ∪ (B ∩ Ac) iii) e como (B ∩ A) e (B ∩ Ac) são disjuntos, segue-se que P (B) = P (B ∩ A) + P (B ∩ Ac).

Nota: Se A ⊂ B, então A ∩ B = A e P (B) = P (A) + P (B ∩ Ac).

c) Se A ⊂ B, então P (A) ≤ P (B). PROVA: Sai direto da relação anterior e dos axiomas.

d) Se A e B são eventos quaisquer, então P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B).

Ω

A

A ∩ B c

B

A ∩ B A c^ ∩ B

Figura 1.4: (A ∪ B) como união de conjuntos disjuntos

→ para n ≥ 2 , seja Bn o conjunto de pontos que estão em An mas não estão em An− 1 , ou seja Bn = An ∩ Acn− 1 ; → os conjuntos Bn, n = 1, 2 ,... são todos mutuamente exclusivos e, ainda An =

⋃^ n

i=

Bi e A =

⋃^ ∞

i=

Bi;

→ conseqüentemente: a) P (An) =

∑^ n

i=

P (Bi) ,

b) P (A) =

∑^ ∞

i=

P (Bi).

Desta forma, aplicando-se o limite para n → ∞ em (a), tem-se

lim n→∞ P (An) = lim n→∞

∑^ n

i=

P (Bi)

∑^ ∞

i=

P (Bi) de (b) = P (A) ,

o que completa a prova.

PROVA: (PARTE 2) Exercício. → observar que A 1 ⊃ A 2 ⊃... ⇒ Ac 1 ⊂ Ac 2 ⊂.. ..

Exemplo: 1) Um dado equilibrado é lançado k = 2 vezes e os resultados anotados. O espaço amostral para o experimento é:

ω = (i, j) ∈ R^2 | i = 1,... 6 e j = 1,... , 6

Sejam:

A = classe de todos os subconjuntos de Ω e

P = probabilidade uniforme para todos os pontos de Ω, ou seja, P ({ω}) =

card(Ω) .

O número de eventos elementares w’s é dado por card(Ω) = nk, em que → n total de resultados possíveis em uma realização do experimento, no caso n = 6, → k é o número de realizações do experimento, no caso k = 2.

Nesse caso, tem-se: card(Ω) = 36 ⇒ P ({ω}) =

, ∀ ω ∈ Ω.

Considere os eventos: A = a soma dos resultados é um número ímpar;

B = o resaultado do primeiro lançamento é um número ímpar; C = o produto é um número ímpar. Encontrar P (A ∪ B) e P (A ∪ B ∪ C).

Pontos favoráveis a cada um dos eventos: A = { (1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6), (2,1), (4,1), (6,1), (2,3), (4,3), (6,3), (2,5), (4,5), (6,5) }; B = { (1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6) }; C = { (1,1), (1,3), (1,5), (3,1), (3,3), (3,5), (5,1), (5,3), (5,5) }.

Resultados:

I card(A) = 18 =⇒ P (A) =

;

I card(B) = 18 =⇒ P (B) =

;

I card(C) = 9 =⇒ P (C) =

.

Intersecções:

i) A ∩ B = { (1,2), (1,4), (1,6), (3,2), (3,4), (3,6), (5,2), (5,4), (5,6) } ⇒ P (A ∩ B) =

;

ii) A ∩ C = { ∅ } ⇒ P (A ∩ C) = 0;

iii) como C ⊂ B, segue-se que B ∩ C = C, ⇒ P (B ∩ C) = P (C) =

;

iv) de (ii), tem-se que A ∩ B ∩ C = { ∅ } ⇒ P (A ∩ B ∩ C) = 0;

Da propriedade (d), tem-se que:

P (A ∪ B) = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) =

Para encontrar P (A ∪ B ∪ C) utiliza-se, ainda, a propriedade (d) fazendo:

P (A ∪ B ∪ C) = P [(A ∪ B) ∪ C] = P (A ∪ B) + P (C) − P [(A ∪ B) ∩ C] = P (A) + P (B) − P (A ∩ B) + P (C) − P [(A ∩ B) ∪ (B ∩ C)] = P (A) + P (B) + P (C) − P (A ∩ B) − P (A ∩ C) − P (B ∩ C) + P (A ∩ B ∩ C) = 12 +^12 +^14 − 14 − 14 =^34

Esquematicamente:

Ω

A A^ ∩^ B B

Figura 1.5: Evento condicional.

1.5.1 Probabilidade condicional

Sejam os eventos A e B tais que P (B) > 0 , então, define-se a probabilidade condicional

de B dado que ocorreu A por

P (A|B) =

P (A ∩ B)

P (B)

Notas: 1) Se P (B) = 0 =⇒ P (A|B) = P (A) (Magalhães, 2004);

2. Da definição de probabilidade condicional tem-se a relação P (A∩B) = P (A|B)P (B), conhecida como regra do produto das probabilidades.

Exemplo 1) Uma caixa comtém r bolas vermelhas numeradas de 1 a r e b bolas brancas, numeradas de 1 a b. Uma bola é extraída, sua cor observada. Sabendo que a bola é vermelha, qual a probabilidade de que seja a de número 1?

A caixa contém (r + b) bolas logo, a probabilidade de uma bola qualquer é

(r + b) .

Censidere os eventos:

A = { a bola extraída é vermelha }, logo, P (A) = r (r + b)

B = { a bola extraída é a de número 1 }, logo, P (B) =

(r + b)

Como P (B ∩ A) =

(r + b)

, então,

P (B|A) =

P (B ∩ A)

P (A)

1 /(r + b) r/(r + b)

r

Exemplo 2) Duas moedas idênticas são lançadas. Determine:

a) A probabilidade de se obter 2 caras sabendo que se obteve cara na primeira moeda.

Espaço amostral =⇒ Ω = {(c, c); (c, ¯c); (¯c, c); (¯c, ¯c)}, em que c = cara e ¯c = coroa. Sejam os eventos: C 1 = { cara na 1 a^ moeda } =⇒ P (C 1 ) = P [(c, c); (c, ¯c)] =

;

C 2 = { cara na 2 a^ moeda } =⇒ P (C 2 ) = P [(c, c); (¯c, c)] =

.

Como P (C 2 ∩ C 1 ) = P [(c, c)] =

, logo, P (C 2 |C 1 ) =

P (C 2 ∩ C 1 )

P (C 1 )

P [(c, c)] P [(c, c); (c, ¯c)]

b) A probabilidade de se obter 2 caras sabendo que se obteve pelo menos uma cara.

Neste caso os eventos são definidos por: =⇒ {sair duas caras} = C 1 ∩ C 2 ; =⇒ {sair ao menos um cara} = C 1 ∪ C 2 ;

Desta forma:

P (C 1 ∩ C 2 |C 1 ∪ C 2 ) =

P (C 1 ∩ C 2 )

P (C 1 ∪ C 2 )

P [(c, c)] P [(c, c); (c, ¯c); (¯c, c)]

Exemplo 3) (Urna de Polya) Uma caixa comtém r bolas vermelhas e b bolas brancas. Uma bola é extraída, sua cor observada e, a seguir, a bola é recolocada na caixa com mais c > 0 bolas da mesma cor. Esse procedimento é repetido m vezes.

O interesse aqui consiste em saber qual a probabilidade de se extrair uma bola vermelha (ou branca) em cada uma das m retiradas.

i) P (R 2 ) = P (R 1 ) = r b + r ,

ii) P (B 2 ) = P (B 1 ) = b b + r

.

Para j = 3: Qual a probabilidade de vermelha na 3 a^ extração?

Possibilidades:

i) R 1 R 2 R 3 ⇒ P (R 1 R 2 R 3 ) = P (R 3 |R 1 R 2 )P (R 2 |R 1 )P (R 1 );

ii) R 1 B 2 R 3 ⇒ P (R 1 B 2 R 3 ) = P (R 3 |R 1 B 2 )P (B 2 |R 1 )P (R 1 );

iii) B 1 R 2 R 3 ⇒ P (B 1 R 2 R 3 ) = P (R 3 |B 1 R 2 )P (R 2 |B 1 )P (B 1 );

iv) B 1 B 2 R 3 ⇒ P (B 1 B 2 R 3 ) = P (R 3 |B 1 B 2 )P (B 2 |B 1 )P (B 1 ).

Com um pouco de esforço algébrico obtêm-se:

i) P (R 3 ) = P (R 1 ) = r b + r ,

ii) P (B 3 ) = P (B 1 ) =

b b + r .

Enfim, pode-se provar por indução que, P (Rj ) = P (R 1 ) e P (Bj ) = P (B 1 ), ∀ 1 ≤ j ≤ m.

1.5.2 Teorema de Bayes

Sejam os eventos E 1 , E 2 ,... , Em em (Ω, A , P ) formando uma partição em Ω tal que todos

têm probabilidades positivas, ou seja, P (Ei) > 0 , ∀ i = 1, 2 ,... , m. Considere, ainda, um evento A qualquer, P (A) > 0 , ocorrendo sobre a partição de Ω. O objetivo, nesta situação, consiste em determinar a probabilidade de ocorrência de uma

das partes de Ω dado que ocorreu o evento A, ou seja, P (Ek|A), k = 1, 2 ,... , m. Cmo pode-se observar pela Figura (1.6), o evento A pode ser escrito como união de partes disjuntas, formadas pela intersecção de A com as partes de Ω, ou seja

A = (A ∩ E 1 ) ∪ (A ∩ E 2 ) ∪ (A ∩ E 3 ) ∪ (A ∩ E 4 ) ∪ (A ∩ E 5 ) ∪ (A ∩ E 6 ) =

⋃^6

i=

(A ∩ Ei)

Figura 1.6: Ocorrência de um evento A sobre uma partição de Ω com m = 6.

Para um m qualquer,

A = (A ∩ E 1 ) ∪ (A ∩ E 2 ) ∪... ∪ (A ∩ Em) =

⋃^ m

i=

(A ∩ Ei),

logo, a probabilidade do evento A é dada por

P (A) = P

[ (^) m ⋃

i=

(A ∩ Ei)

]

∑^ m

i=

P (A ∩ Ei).

Pela regra do produto, tem-se que

P (A) = P

[ (^) m ⋃

i=

(A ∩ Ei)

]

∑^ m

i=

P (A|Ei)P (Ei).

O resultado acima é conhecido como lei da probabilidade total.

Para um Ek qualquer, k = 1, 2 ,... , m, pode-se escrever P (A ∩ Ek) = P (A|Ek)P (Ek),

logo, a probabilidade de ocorrência de Ek dado que ocorreu A, é dada por:

P (Ek|A) = P (Ek ∩ A) P (A)

P (Ek|A) = P (A|Ek)P (Ek) ∑^ m

i=

P (A|Ei)P (Ei)

, k = 1, 2 ,... , m, (1.1)

o resultado em (1.1) é conhecido como teorema de Bayes. Foi obtido pelo Reverendo Thomas Bayes e publicado em 1763, sendo um dos teoremas mais importantes da teoria estatística.

Exemplo 1) Numa população adulta 40% são homens e 60% mulheres. Sabe-se, ainda, que 50% dos homens e 30% das mulheres são fumantes. Determine: