Estrutura de árvore, Notas de aula de Algoritmos e Programação

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Estruturas de Dados

Aula 15: Árvores

Fontes Bibliográficas • Livros:

• Introdução a Estruturas de Dados (Celes,

Cerqueira e Rangel):

Capítulo 13;

• Projeto de Algoritmos (Nivio Ziviani):

Capítulo 5;

• Estruturas de Dados e seus Algoritmos

(Szwarefiter, et. al):

Capítulo 3;

(Szwarefiter, et. al):

Capítulo 3;

• Algorithms in C (Sedgewick):

Capítulo 5;

• Slides baseados no material da PUC-Rio,

disponível em http://www.inf.puc-rio.br/~inf1620/.

Definição Recursiva de Árvore •^

Um conjunto de nós tal que:^ – existe um nó r, denominado

raiz,

com zero ou mais sub-

árvores, cujas raízes estão ligadas a r

• os nós raízes destas sub-árvores são os

filhos

de r

• os

nós internos

da árvore são os nós com filhos

-^

as folhas

ou

nós externos

da árvore são os nós sem filhos

Formas de representação •^

Representação por parênteses aninhados^ –

( A (B) ( C (D (G) (H)) (E) (F (I))))^ Diagrama de Inclusão

Representação Hierárquica

Exemplo (árvore de expressão) •^

Representação da expressão aritmética:^ (a + (b * (c / d - e)))

Conceitos Básicos •^

Nós filhos, pais, tios, irmãos e avô

-^

Grau de saída (número de filhos de um nó)

-^

Nó folha (grau de saída nulo) e nó interior

(grau de

saída diferente de nulo)

-^

Grau de uma árvore (máximo grau de saída)

-^

Floresta (conjunto de zero ou mais árvores)

Conceitos Básicos (3) •^

Nível da raiz (profundidade) é 0.

-^

Árvore Ordenada: é aquela na qual filhos de cada nóestão ordenados. Assume-se ordenação da esquerdapara a direita. Esta árvore é ordenada?

Conceitos Básicos (4) •^

Árvore Cheia: Uma árvore de grau d é uma árvore cheiase possui o número máximo de nós, isto é, todos os nóstêm número máximo de filhos exceto as folhas, e todasas folhas estão na mesma altura.

-^

Árvore cheia de grau 2: implementação sequencial. Armazenamento por nível: posição do nó

posição dos filhos do nó

1

2,

2

4,

3

6,

i^

(2i,2i+1)

Árvores Binárias •^

Notação textual^ – a árvore vazia é representada por <>– árvores não vazias por

-^

Exemplo:^ – <a <b <> <d<><>> > <c <e<><>> <f<><>>> >

Árvore Binária •^

Uma árvore em que cada nó tem zero, um ou dois filhos

-^

Uma árvore binária é:^ – uma árvore vazia; ou– um nó raiz com duas sub-árvores:

• a subárvore da direita (sad)• a subárvore da esquerda (sae)

TAD Árvores Binárias – Impl. em C (arv.h)

typedef

struct

arv

Arv;

//Cria

uma

árvore

vazia

Arv*

arv_criavazia

(void);

//cria

uma

árvore

com

a^

informação

do

nó

raiz

c ,

e

//com

subárvore

esquerda

e

e

subárvore

direita

d

Arv*

arv_cria

(char

c,

Arv*

e,

Arv*

d);

//libera

o^

espaço

de

memória

ocupado

pela

árvore

a

//libera

o^

espaço

de

memória

ocupado

pela

árvore

a

Arv*

arv_libera

(Arv*

a);

//retorna

true

se

a^

árvore

estiver

vazia

e

false

//caso

contrário

int

arv_vazia

(Arv*

a);

//indica

a^

ocorrência

ou

não

do

caracter

c

int

arv_pertence

(Arv*

a,

char

c);

//imprime

as

informações

dos

nós

da

árvore

void

arv_imprime

(Arv*

a);

TAD Árvores Binárias – Implementação em C •^

Implementação das funções:^ – implementação em geral recursiva– usa a definição recursiva da estrutura

-^

Uma árvore binária é:^ – uma árvore vazia; ou– um nó raiz com duas sub-árvores:

-^

a sub

• árvore da direita (sad) -^

a sub

• árvore da direita (sad)
  • a sub-árvore da esquerda (sae)

TAD Árvores Binárias – Implementação em C •^

função arv_cria^ – cria um nó raiz dadas a informação e as duas sub-árvores,

a da esquerda e a da direita

• retorna o endereço do nó raiz criado Arv*

arv_cria

(char

c,

Arv*

sae,

Arv*

sad){

Arv*

p=(Arv)malloc(sizeof(Arv));*

Arv*

p=(Arv)malloc(sizeof(Arv));*

p->info

c;

p->esq

sae;

p->dir

sad;

return

p;

TAD Árvores Binárias – Implementação em C • arv_criavazia e arv_cria

• as duas funções para a criação de árvores

representam os dois casos da definição recursivade árvore binária:^ • uma árvore binária Arv* a;

• é vazia a=arv_criavazia() –^

é composta por uma raiz e duas sub

• árvores -^

é composta por uma raiz e duas sub

• árvores

a=arv_cria(c,sae,sad);