Equações de Maxwell em notação tensorial, Esquemas de Eletromagnetismo

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Equações de Maxwell em Notação

Tensorial

Uma breve apresentação

DAVI SILVA NOVAIS

UESB

19 de out. 2023

Equações de Maxwell em forma integral SI:

Equação de Gauss para eletricidade: ∮ ⃗ E · d ⃗ A = 1 ε 0

∫∫∫ ρ dV

Equação de Gauss para magnetismo: ∮ ⃗ B · d ⃗ A = 0

Lei de Faraday da indução eletromagnética: ∮ ⃗ E · d ⃗ l = − d dt

∫∫ ⃗ B · d ⃗ A

Lei de Ampère-Maxwell com a adição da corrente de deslocamento: ∮ ⃗ B · d ⃗ l = μ 0

∫∫ ⃗ J · d ⃗ A + μ 0 ε 0 d dt

∫∫ E ⃗ · d ⃗ A

Equações de Maxwell em forma diferencial no

sistema CGSEM:

Equação de Gauss para eletricidade: ∇ · E ⃗ = 4 πρ

Equação de Gauss para magnetismo: ∇ · ⃗ B = 0

Lei de Faraday da indução eletromagnética:

∇ × ⃗ E = −

c

∂⃗ B

∂ t Lei de Ampère-Maxwell com a adição da corrente de deslocamento: ∇ × B ⃗ =

4 π c

J +

c

∂⃗ E

∂ t

Forma escalar das equações

Equação (1) ∂ E x ∂ x

∂ E y ∂ y

∂ E z ∂ z

ρ ϵ 0

Equação (2) ∂ B x ∂ x

∂ B y ∂ y

∂ B z ∂ z

Equação (3) ∂ E z ∂ y

∂ E y ∂ z

∂ B x ∂ t

∂ E x ∂ z

∂ E z ∂ x

∂ B y ∂ t

∂ E y ∂ x

∂ E x ∂ y

∂ B z ∂ t

Motivação

O LONGO DO PROCESSO HISTÓRICO de desenvolvimento das ciências da natureza, observou-se com frequência a necessidade da definição e do uso de estruturas matemáticas com graus crescentes de generalidade e abstração. Um exemplo disso é a evolução da mecânica newtoniana.

O termo TENSOR foi utilizado pela primeira vez em 1846 por William Rowan Hamilton (1805 – 1865), matemático bastante conhecido também por suas contribuições para a mecânica newtoniana.

O cálculo tensorial foi desenvolvido em definitivo a partir de 1890 com os trabalhos de Woldemar Voigt , Elwin Bruno Christoffel (1829 – 1900), Gregorio Ricci-Curbastro (

• 1925. e Tullio Levi-Civita (1873 – 1941), com a designação inicial cálculo diferencial absoluto.

Forma Tensorial das equações de Maxwell

(Não-homogênea) ∂μ F μν^ = μ 0 J ν^ (9)

(Homogênea) ∂μ G μν^ = 0 (10)

Tensor de Campo e Tensor Dual

F μν^ =

  

0 −E x / c −E y / c −E z / c E x / c 0 −B z B y E y / c B z 0 −B x E z / c −B y B x 0

   = −F νμ

G μν^ =

  

0 −B x −B y −B z B x 0 E z / c −E y / c B y −E z / c 0 E x / c B z E y / c −E x / c 0

   = −G νμ

Sendo { μ, ν, λ } = { 0 , 1 , 2 , 3 } ≡ (ct , x , y , z) e J ν^ = (c ρ, J x , J y , J z )

ν = 1 ⇒

∂ 0 F 01 + ∂ 1 F 11 + ∂ 2 F 21 + ∂ 3 F 31 = μ 0 J^1

⇒ ∂ B z ∂ y

∂ B y ∂ z

= μ 0 J x +

c^2

∂ E x ∂ t

ν = 2 ⇒

∂ 0 F 02 + ∂ 1 F 12 + ∂ 2 F 22 + ∂ 3 F 32 = μ 0 J^2

⇒ ∂ B x ∂ z

∂ B z ∂ x

= μ 0 J y +

c^2

∂ E y ∂ t

Agora, usando a equação (10)

∂ 0 G^0 ν^ + ∂ 1 G^1 ν^ + ∂ 2 G^2 ν^ + ∂ 3 G^3 ν^ = 0

ν = 0 ⇒

∂ 0 G^00 + ∂ 1 G^10 + ∂ 2 G^20 + ∂ 3 G^30 = 0

⇒ ∂x B x + ∂y B y + ∂z B z = 0

ν = 1 ⇒

∂ 0 G^01 + ∂ 1 G^11 + ∂ 2 G^21 + ∂ 3 G^31 = 0

⇒ 1 c

∂t (−B x ) + ∂y (−E z / c) + ∂z (E y / c) = 0

ν = 3 ⇒

∂ 0 G^03 + ∂ 1 G^13 + ∂ 2 G^23 + ∂ 3 G^33 = 0

⇒ 1 c

∂t (−B z ) + ∂x (−E y / c) + ∂y (E x / c) = 0

Referencial Teórico

LEMOS, Nivaldo A. Mecânica Analítica. 1ª edição. São Paulo: Livraria da Física, 2004. GAELZER, Rudi. Apostila de Física-Matemática. Disponível em: Link; GRIFFITHS, David J. Eletrodinâmica. 3ª edição. São Paulo: Pearson; SEARS, Zemansky. Física 3: Eletromagnetismo. 14ª edição. Pearson; KNEIPP, Marco. Simetria de Gauge no Elemag., Quadripotencial e Tensor Campo Eletromagnético. YouTube, 3 de ago. 2021. Disponível em: Link; GÊNIOS DA FÍSICA. Equações de Maxwell tensoriais. YouTube, jan. 2023. Disponível em: Link.