Baixe Equações de Maxwell detalhadas e outras Notas de estudo em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity!
1 As Equa¸c˜oes de Maxwell no V´acuo
No v´acuo (sem cargas ou correntes), as equa¸c˜oes de Maxwell s˜ao:
- Lei de Gauss para o campo el´etrico (E):
∇ · E = 0
(N˜ao h´a cargas livres no v´acuo.)
- Lei de Gauss para o campo magn´etico (B):
∇ · B = 0
(N˜ao existem monopolos magn´eticos.)
- Lei de Faraday (indu¸c˜ao eletromagn´etica):
∇ × E = −
∂B
∂t (Um campo magn´etico vari´avel induz um campo el´etrico.)
- Lei de Amp`ere-Maxwell:
∇ × B = μ 0 ϵ 0
∂E
∂t
(Um campo el´etrico vari´avel induz um campo magn´etico – termo acres- centado por Maxwell.)
2 Derivando a Equa¸c˜ao da Onda
Maxwell combinou as equa¸c˜oes de Faraday e Amp`ere-Maxwell para mostrar que E e B satisfazem uma equa¸c˜ao de onda.
2.1 Passo 1: Aplicar o rotacional `a Lei de Faraday
∇ × (∇ × E) = ∇ ×
∂B
∂t
Usando a identidade vetorial ∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇^2 E e a Lei de Gauss (∇ · E = 0):
−∇^2 E = −
∂t
(∇ × B)
2.2 Passo 2: Substituir ∇ × B pela Lei de Amp`ere-
Maxwell
∇ × B = μ 0 ϵ 0
∂E
∂t Logo:
−∇^2 E = −
∂t
μ 0 ϵ 0
∂E
∂t
Simplificando:
∇^2 E = μ 0 ϵ 0
∂^2 E
∂t^2
2.3 Passo 3: Equa¸c˜ao da Onda para o Campo El´etrico
∇^2 E = μ 0 ϵ 0
∂^2 E
∂t^2
2.4 Passo 4: Equa¸c˜ao da Onda para o Campo Magn´etico
Um procedimento an´alogo leva `a mesma equa¸c˜ao para B:
∇^2 B = μ 0 ϵ 0
∂^2 B
∂t^2
3 Velocidade da Onda Eletromagn´etica
A equa¸c˜ao geral de uma onda ´e:
∇^2 F =
v^2
∂^2 F
∂t^2
Comparando com a equa¸c˜ao de Maxwell:
v =
μ 0 ϵ 0
≈ 3 × 108 m/s
Maxwell concluiu que a luz ´e uma onda eletromagn´etica, pois v = c.
4 Conclus˜ao
A dedu¸c˜ao de Maxwell unificou eletricidade, magnetismo e ´optica, revelando a natureza eletromagn´etica da luz. Essa foi uma das maiores conquistas da f´ısica do s´eculo XIX.
Usamos a identidade vetorial:
∇ × (∇ × E) = ∇(∇ · E) − ∇^2 E
Como ∇ · E = 0 no v´acuo:
−∇^2 E = −
∂t
(∇ × B)
Passo 2: Substitui¸c˜ao pela Lei de Ampere-Maxwell Da Lei de Ampere- Maxwell:
∇ × B = μ 0 ϵ 0
∂E
∂t
Substituindo no resultado anterior:
−∇^2 E = −
∂t
μ 0 ϵ 0
∂E
∂t
Simplificando: ∇^2 E = μ 0 ϵ 0
∂^2 E
∂t^2
8 Resultado e Interpreta¸c˜ao
8.0.1 Equa¸c˜ao da Onda Eletromagn´etica
Obtemos a equa¸c˜ao de onda para o campo el´etrico: Equa¸c˜ao da Onda para E
∇^2 E = μ 0 ϵ 0
∂^2 E
∂t^2
Analogamente, para o campo magn´etico:
∇^2 B = μ 0 ϵ 0
∂^2 B
∂t^2
8.0.2 Velocidade da Onda Eletromagn´etica
Comparando com a forma geral da equa¸c˜ao de onda:
∇^2 F =
v^2
∂^2 F
∂t^2
Identificamos a velocidade:
v =
μ 0 ϵ 0
≈ 2. 998 × 108 m/s = c
Conclus˜ao: A luz ´e uma onda eletromagn´etica!
9 Conclus˜ao
9.0.1 Implica¸c˜oes e Impacto
- Unifica¸c˜ao do eletromagnetismo e ´optica
- Base para as equa¸c˜oes de Hertz (1887)
- Fundamenta¸c˜ao para a teoria da relatividade de Einstein
- Revolu¸c˜ao nas telecomunica¸c˜oes
“A mais significativa conquista da f´ısica desde Newton.” — Richard Feynman sobre as equa¸c˜oes de Maxwell
