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Educação Matemática em Revista, número 5, ano 3 Sobre a epistemologia dos números inteiros! Roberto Ribeiro Baldino RESUMO nstrucionais para números inteiros são pródigos em apresentar somas e subtrações mas são quanto à multiplicação. Um grupo, o G-Rio, propôs três jogos e fichas de trabalho para resolver esse problema. A estratégia didática desse material é instituir práticas de produção de significado em que o aluno é que responderá às perguntas: Como tirar o maior do menor? Como subtrair um negati- vo? Por que menos vezes menos dá mais? Que significa menos vezes? Este artigo descreve brevemente os jogos, analisa e justifica a estratégia didática proposta em termos da teoria dos campos semânticos [Lins, 1992, 1994]. As conclusões são investidas no esclarecimento das dificuldades das regras de sinais no ensino da física [Viennot, 19..]. Argumenta-se pela impossibilidade de investigar as sínteses operatórias evidenciadas na construção dos inteiros à luz do modelo dos campos conceituais [Vergnaud, 1991]. INTRODUÇÃO As dificuldades de compreensão dos números inteiros são antigas. Em sua resenha histórica, Glaeser [1981] descreve as hesitações e perplexidades de matemáticos famosos que, embora usassem os números inteiros sem tropeços em suas pesquisas, buscavam em vão uma explicação convincente da regra dos sinais. A explicação definitiva, tal como a conhece- mos hoje, foi apresentada pela primeira vez por Haenkel, em fins do século passado. Glaeser cita Stendhal, escritor francês que, em autobiografia, se refere a um episódio de sua meninice, datado de fins do Século XVIII, pelo qual se vê que suas dúvi- das diante dos números inteiros eram essencialmente as mes- mas ainda exibidas pelos alunos de hoje. Os trabalhos encontrados na literatura sobre os números inteiros, são pródigos em suprir modelos para a estrutura aditiva mas abordam de maneira insuficiente a estru- tura multiplicativa. Glaeser aponta esta insuficiência em Matemática como Tarefa Educacional [Freudenthal 1973]: A leitura das páginas 279/28] nem sequer sugere que ele tenha se apercebido do fenômeno espantoso aqui estudado. Nessa obra, Freudenthal sugere que: Métodos intuitivos, por úteis que sejam, não são sufi- cientes. Eu concluí que uma retirada oportuna dos métodos intuitivos em favor de métodos racionais é recomendável, embora se deva enfatizar que esses métodos racionais devam consistir em boa matemática e não em substitutos dela [Freudenthal, 1973, p. 280]. rafo 6 de Metodologia de Jogos para os Números Inteiros, Baldino et al. | EPEM, PUCA 4 Assim, para a regra dos sinais Freudenthal propõe in- sistir sobre a necessidade de permanência das leis distributiva e comutativa: x+a=0ey+b= O implicam (X + y) + (a + b) = 0 donde (a=b)=-ab blx+a)=0 (y+b)x=0 xb+ab=0 xy+xb=0 subtraindo as duas últimas xy +xb-(xo+ab)=xy+xb=xb-ab=0 xy-ab=0 (ca) (b)=xy=ab Dez anos mais tarde, Freudenthal retoma o problema da regra de sinais no capítulo 15 de Fenomenologia Didática das Estruturas Matemáticas [Freudenthal, 1983], sem citar o artigo de Glaeser, publicado dois anos antes. Nesta obra ele transporta a questão para o terreno da geometria: Os números negativos tinham se originado da necessi- dade algébrica formal de validade geral das fórmulas de solução, mas foi somente a partir da algebrização da geome- tria (da assim chamada geometria analítica do tempo antigo) que eles se tornaram efetivos - quero dizer, efetivos em con- teúdo [Freudenthal, 1983, p. 433]. ampinas, outubro de 1990. Roberto Ribeiro Baldino Depois e apresentar a solução clássica, essencialmente igual à acima, ele oferece a seguinte [p. 444], fundada na extensão das transformações lineares, que ele justifica pelo que denomina princípio da permanência algébrico-geométri- ca. O grifo e os parênteses são nossos. É visualmente óbvio que as dilatações se comportam simetricamente de ambos os lados de 0, assim: É visualmente óbvio que as dilatações se comportam simetrica- mente de ambos os lados de 0, assim 2(-b)=-2b Ou ainda, de outro modo 24) =-be(-b)=-2.b Em geral a(b)=ab que pode ser considerada verdadeira e com significado para a positi- vo. Assim esta igualdade) é estendida, pelo reconhecimento de que a-=a(-b) é uma dilatação com inversão do semi-eixo positivo e, como tal, pode ser estendida ao semi eixo negativo. Assim, em geral (isto é, também para a negativo) b)=ab Semelhantemente (alb=-ab (a)cb)=-ab Ora, essa é justamente a rotina do fracasso. Sabe-se bem que o aluno que chega a perguntar por que menos vezes menos dá mais?, não só está saturado de regras, como não se satisfaz com tais programações geométricas. É preciso propor outras soluções. Antes, porém, é preciso delimitar o problema. O PROBLEMA E O QUADRO TEÓRICO Começamos delimitando o problema didático sob forma de quatro perguntas: Como tirar o maior do menor? 3-5 Como subtrair um negativo? -(-3) = Porque menor vezes menos dá mais? (-2)(-3) = Que significa menos vezes? (-3)x ...? q pe pose Com essa solução Freudenthal muda radicalmente de campo semântico”: o problema posto no domínio discreto numérico vai ser resolvido no contínuo geométrico, implican- do a difícil questão didática de transporte, para um, das noções aprendidas no outro... Essa estratégia é a uma capitu- lação diante do problema que ele tanto relutou abordar; só o fez a partir da página 432! A capitulação fica ainda mais evi- dente quando se vê Freudenthal terminar o capítulo propondo que se ensinem as regras das operações com inteiros sob o argumento de que elas são quase nada, comparadas com as regras que uma criança tem que aprender para conquistar as operações aritméticas por colunas. Ele indaga pelo método mais eficaz de programar o aprendiz [programme the learn- er, sic.] com essas seis regras [Freudenthal, 1983, p. 457]. Concordamos com Lins: Conhecimento é uma crença-afirmação junto com uma justificação para essa crença-afirmação. Indicamos, desta forma, que conhecimento é algo do domínio da enunciação - e que, portanto, todo conhecimento tem um sujeito - e não do dominio do enunciado. Um campo semântico é um modo de produzir significado [Lins, 1994, grifos do autor). Para nós, o sigaficado não é uma função do sujeito e, sim, do Outro [Zizeks, 1992]. O que fica do lado do sujeito é o sentido: o gozo que ele experimenta com a justificação que dá. Evidenciado o problema, cabe perguntar em que senti- do propomos resolvê-lo. O que vem a ser uma solução desse problema? As soluções clássicas, cujo expoente maior é Freudenthal, caracterizam-se por uma problemática de ensino. Suas justificações articulam-se em torno de significantes, como instrução, visualização, explicação, convencimento, automati- zação, extensão, regras, modelo [Freudenthal, p. 432-460]. Elas são suportadas por concepções epistemológicas substan- cialistas: o conhecimento se transmite por comunicação, do professor, que ensina mostrando, ao aluno, que aprende vendo. A substância do conhecimento é contínua: para cada conheci- mento existe outro, anterior e arbitrariamente próximo, deno- minado “pré-requisito”. Segundo essas concepções, ensino e aprendizagem são processos simultâneos, o aluno é um sujeito autônomo e o outro, a instituição, é pleno, sem falhas. Elas bus- cam satisfazer o aluno com as respostas oficiais às quatro per- guntas acima. Por aí confundem o algoritmo de estabelecimen- to da fórmula com o processo de produção de significado que denominam aquisição do conhecimento. Tais concepções fun- dam estratégias didáticas manifestamente inadequadas. A estratégia didática proposta pelo G-Rio-GPA [1994] pretende uma inversão dos papéis. O professor é que perguntará: Por que menos por menos dá mais? Espera-se que o aluno responda: É claro, porque ó... Isto é, espera-se que ele forneça sua própria explicação para um fato que ele deve estar achando óbvio. Essa estratégia funda-se numa concepção de apren- dizagem no sentido de Brousseau. A aprendizagem se faz pela experimentação de concepções sucessivas, provisória e relati- vamente boas, que é necessário rejeitar sucessivamente ou retomar, numa verdadeira nova gênese de cada vez. [Brousseau, 1983, p. 171]. É preciso rejeitar certas con- cepções porque elas não funcionam bem, porque levam a erro, porque, ao justificar suas afirmações desse modo, o sujeito sofre uma rejeição por parte do outro, para quem exerce sua justificação. Os erros (...) são o efeito de um co- nhecimento anterior que tinha seu interesse, seu sucesso, mas que, agora, se revela falso ou simplesmente inadaptado [ib. id. p. 171]. A inadaptação implica uma perda de gozo que o co- nhecimento proporciona ao sujeito. Os erros deste tipo não são ocasionais e imprevisíveis, eles se constituem em obstáculos [ib. id. p. 171, sublinhado nosso]. Os obstáculos, enquanto repetição fracassante, dão a medida da persistência Roberto Ribeiro Baldino FÃ tos não se podem extrair 5; não dá! Já, 5 menos 3 dá 2. Por quê? Como se justifica a crença-afirmação de que o resultado é 2? Somos tentados a dizer que se tratam das operações com naturais. Para nós, que já fizemos as sínteses operatórias, os naturais são inteiros positivos e as operações entre eles são restrições das operações com inteiros. Advertem-nos de que não é assim que a criança pensa. Essa frase tem por efeito instituir um objeto, a criança, dotado de uma norma, o pensamento |Walkerdine, 1988]. Para evitar esse efeito idealista, preferimos dizer: não é assim que as crianças para quem 3-5 não dá, justificam que 5 - 3 dá 2. Se não é assim, como é que elas justificam esse resultado, 2? Se formos procurar o significado dessas justificações nos paradigmas da matemática, estaremos incorrendo na mesma “cegueii de pensar que Euclides fazia uma álgebra geométrica ou que Dedekind definiu os reais como um con- junto de racionais [Baldino, 1994]. A tentativa de entender a história ou as justificações dos sujeitos em termos dos para- digmas atuais, institui a crença na inferioridade do passado e na incompletude da criança; em relação a tais deficiências O presente e o adulto aparecem como plenos e cheios de si. Por aí, a ênfase da ação didática recai sobre o ensino, como difusão de uma substância, do cheio para o yazio. A apren- dizagem que esse “ensino” proporciona não é tematizada. As justificações emitidas pelas crianças para 2 são as que nós mesmos, um dia, emitimos. Não são justificações com números naturais, são justificações com palitos. Para podermos apreender o processo de desenvolvimento que ter- mina incluindo essas justificações no campo semântico dos inteiros, é preciso que possamos dar-lhes significado em ter- mos de palitos. Piaget estudou essa questão. Quando um sujeito manipula palitos para justificar que 5 menos 3 dá 2, Piaget diz que ele fez a síntese operatória da classe e da relação assimétrica [Piaget, 1976, p. 198] ou que fez a pai sagem das quantidades intensivas, onde apenas se tem rela parte-todo e complementação, a quantidades extensivas, que constituem a primeira emergência dos números naturais. Referir-nos-emos a essa primeira emergência como o campo semântico das quantidades brutas. Usaremos ainda a letra N, de naturais, mas lembraremos sempre que as opera- ções não são as dos naturais, enquanto encaixados nos inteiros ou nos racionais positivos. Preferimos anotar as operações com quantidade brutas como , reunião e Y, extração. É esse campo semântico, anotado (N, U, V que funda a epistemolo- gia dos inteiros. O CAMPO SEMÂNTICO DAS QUANTIDADES COM SINAL (Z, +, -) O que o jogo das borboletas faz é, essencialmente, intro- duzir a composição de operadores aditivos tendo por estados as quantidades brutas. Assim, +3 significa três a mais e -3, três a menos. Se, entre as borboletas A e B, coloca-se a carta +3 com flecha de A para B e entre as borboletas BeC coloca-se a carta -5 com flecha de B para C, então a carta que completa o cir- cuito, a ser colocada com a flecha de A para €, é -2. Em geral, o jogo convenciona que a carta +a é o operador: Ver a crítica de Lins a Van der Waerden [Lins, 1992, p. 821 IE fia:NN definido por f,a (n) = n+a a] ea carta -a é o operador frai(a,a+1,...]->N definido por f.a(n) = n-a. Es Então, a operação (+3)+(-5)=(-2), necessária para O completamento do circuito acima, é a composição de funções, isto é, composição de operadores aditivos: Os sinais + em (+3) e - em (-5) são predicativos, esta- belecem uma qualidade do operador. Porém, no jogo, apare- cem também sinais operatórios, sob a forma de flechas nas cartas. O jogo institui que o sinal operatório negativo (o per- curso em sentido contrário à flecha) significa composição com o operador inverso. Assim, por condição do jogo, os jogadores são levados a justificar (+3)-(-5) como (4DH(+5)=(48). Os números naturais que designavam as quantidades brutas, agora designam operadores e aparecem precedidos de sinais predicativos. Entre as quantidades brutas era pos: ível reunir e extrair. O que o jogo das perdas e ganhos faz é, essen- cialmente, instituir essas operações entre os operadores, que começam, com isso, a funcionar como estados de novas ope- rações. Extrair uma dí ida significa acrescentar um ganho. Em consegiiência desses dois jogos, espera-se que à cri ança que respondia à 3-5 com não dá, passe a responder espon- taneamente 3-: Isso mostrará que ela está operando em outro campo semântico que não o das quantidades brutas. À medida em que essa criança não s lembre de por que antes dizia não dá, teremos uma indicação do modo pelo qual se processa o desenvolvimento hor izontal de um campo semântico e sua passagem ao nov uma fusão das operações reunião- extração com as operações composição-inversão. A isso Piaget denomina síntese operatória. Vejamos em que ela consiste. Há dois significados produzidos para 3-5 no contexto dos jogos das borboletas e das perdas e ganhos: fot eaicgl= [8] (+3)+eS)=(:2) No primeiro, todos os sinais operatórios são reduzidos a positivos, deixando-se os sinai negativos para figurarem como predicativos. O sinal + significa composição de ope- radores, que podem ter qualidades diferentes: a qualidade do 43 é acrescentar palitos; a qualidade do -5 é retirar palitos. No segundo significado, todos os sinais predicativos são reduzi- dos a positivos e os negativos figuram como sinais ope- ratórios. Todos os operadores têm a função de acrescentar pa- litos, porém o sinal - diante do (+5) significa que essa função deve ser invertida. 8 Sobre a epistemiologia dos números inteiros As quantidades brutas 3 e 5, entre as quais, antes, 3-5 não dava, são projetadas nas quantidades com sinal +3 e +5, resultando, agora: 3-5 = (+3)-(45) = (4+3)+(05) = (-2) Como a questão inicial 3-5 era posta no campo semân- tico das quantidades brutas, a resposta obtida (-2) é converti- da de volta nesse campo semântico, que se alarga, para incluir o objeto (-2). Os dois campos semânticos fundem-se num só, que passa a integrar o conjunto das concepções espontâneas do sujeito. O diagrama seguinte resume esse processo, denominado abstração reflexiva. [sao [ +? guy quantidades brutas [6 E E + conversão projeção, quanicaos consna,, [5]54]53][24 (0 [51] East 5) 2,4 composição À medida em que a criança não se lembre de que 3- 5, antes não dava, é, na verdade, a extração que agora se torna possível. Do ponto de vista do observador, 3-5 pas- sou a (+3)-(+5), daí à forma equivalente (+3)+(-5)=(-2) e desta à 3-5=-2. Do ponto de vista do sujeito que vive a síntese operatória, as duas passagens intermediárias são suprimidas e ele passa diretamente de 3-5 a -2. Se lhe per- guntarmos por que dá -2, ele responderá: Porque dá, ora... e acha graça da sugestão de que a operação seja impossível. A síntese operatória implica que, a partir de um certo momento, o sujeito passa a operar no novo campo semânti- co como se sempre tivesse feito isso. Esse efeito retroativo é próprio das determinações simbólicas [Zizek, 1991, p. 30- 43] e, como tal, é inevitável. Tem como conseqiiência que o sujeito não pode chegar à síntese por meio de uma expli- cação que lhe chegue de fora, como um aviso de que agora ele está operando em outro campo semântico ou como inculcação de regras operatórias. Foram-lhe ensinadas novas crenças-afirmações diante das quais as antigas sucumbiram: mudou seu modo de produzir si diante de certa demanda que o outro lhe faz. Ant 5 não dá; agora e óbvio que sempre deu. A exigência pedagógica de que ele sempre produza justificações para s-afirmações e a estratégia de distinguir entre sinais predicativos e operatórios, colocando o predicativo acima ou depois do número, ou mesmo distinguir entre o 3 natural e o +3 inteiro, só podem dificultar a síntese. Resulta desse processo um sistema algébrico que podemos considerar como o dos números inteiros, porém munidos apenas das operações de adição e subtração. Ao modo de produzir significados neste sistema chamaremos de campo semântico das quantidades com sinal e anotare- mos (Z, +, -): .3,-2,1,0,41,42,43,...(2,4,0) Ed. Mat. em Rev. número 5, ano 3 A MULTIPLICAÇÃO E O CAMPO SEMÂNTICO DOS INTEIROS (Z,+,-,) O jogo do caracol institui operadores multiplicativos sobre as quantidades com sinal, bem como novas operações com estes operadores: composição e adição. Inicialmente são as quantidades brutas que desempenham o papel de opera- dores multiplicativos sobre as quantidades com sinal: é o jogo do caracol jogado só com dados pretos. A atuação dos opera- dores multiplicativos reduz as quantidades com sinal, que antes eram operadores aditivos, a meros estados dos novos operadores multiplicativos. A multiplicação pode ser justifi- cada como soma repetida 3(+5)=(+15), 3(-5 Em geral, para todo a de N, fa:Z-Z é definido por f.(Z) = axz A composição desses operadores multiplicativos se faz pela multiplicação dos naturais que constituem seus índices: A partir desse ponto poderíamos introduzir a inversão dos operadores multiplicativos o que nos levaria aos ope- radores multiplicativos fracionários. Com isso atingir-se-ia o sistema estável que funcionou como obstáculo para a cons- trução da estrutura multiplicativa dos inteiros através da história [Glaeser, 1981]. Como queremos nos restringir aos números inteiros, não seguiremos esta via. Ra assinala- mos o problema aberto de saber se, seguir por ela, isto é, ens nar primeiro os racionais positivos, facilita ou dificulta o pos- terior desenvolvimento dos inteiros. Em vez da inversão de multiplicadores positivos, o jogo do caracol institui multiplicadores negativos. Dá-se às quantidades com sinal a função de operadores multiplicativos atuando sobre as próprias quantidades com sinal. O jogo di tingue bem entre as funções de operador e de estado. Inicialmente, os sinais das quantidades que funcionam como operadores multiplicativos são representados pelas cores azul e vermelha. Os sinais das quantidades que funcionam como estados podem ser cores, as mesmas ou outras, ou os sinais, + e -. Só num segundo momento, os sinais das quantidades que funcionam como operadores são, também, + e -. O desenvolvimento do campo semântico das quanti- dades brutas até a síntese, no campo semântico das quantidades com sinal, é feito por nucleação de um modelo: situações de dívidas, temperaturas, deslocamentos, excessos e faltas, são apresentadas e funcionam como estatuto final das justificações. A partir da introdução das quantidades com sinal como opera- dores, para o desenvolvimento do campo inteiros, é preciso instituir um princípio: convenciona operadores multiplicativos de uma dada cor (vermelha), têm a propriedade de trocar o sinal do estado sobre o qual atuam, e os da outra cor (azul), a de mantê-lo. Tudo mais vai se arranjar como desenvolvimento deste princípio. Na apresentação dos jogos no I EPEM ouvimos a crítica de que esse princípio equivale a impor a regra de sinais. Entretanto, não é quando um operador negativo atua sobre um 10 Sobre a epistemiologia dos números inteiros descontinuidades entre os diferentes passos da aquisição de conhecimento, a partir do ponto de vista de seus conteúdos [Vergnaud, 1990, p. 133, sublinhado nosso]. São exemplos de campos conceituais: estruturas aditivas, estruturas multiplica- tivas, lógica das classes, álgebra. Os campos conceituais partem de conteúdos matemáticos. No caso dos inteiros, os campos conceituais partiriam da estrutura aditiva para com- preender a aprendizagem. Ora, vimos que essa estrutura aditi- va é uma síntese. O sujeito que faz tintamente e simultaneamente (+3)+( extraindo uma quantidade com sinal. O conteúdo matemático resultante dessa síntese operatória não tem meios de distinguir as operações das quais ele, por definição, é a síntese. Esse con- teúdo jamais poderá fornecer um referencial para as operações que levam a ele. Pelo contrário, é só no exercício da linguagem, na produção de significados, que essa distinção pode aparecer e só por aí se tem um referencial para orientar as estratégias de produção de significado que constituem a aprendizagem. HISTÓRICO E AUTORIA DA PROPOSTA A proposta didática contida em As Quatro Operações com Inteiros Através de Jogos resulta de pesquisa que teve início em 1986, na sessão de sábado do curso de Matemática Através de Materiais Concretos do Centro de Ciências da FAPERJ, que deu origem ao Curso de Treinamento Profissional do G-Rio. A pergunta diretriz era a seguinte: como proporcionar aos professores que implantam a peda- gogia da Assimilação Solidária em suas salas de aula, instru- mentos didáticos adequados sobre números inteiros para que a proposta pedagógica não seja inviabilizada por uma fraque- za em seu flanco da didática? Objetivou-se, então, numa primeira fase, encontrar um conjunto de ações efetivas no qual crianças de qualquer idade, no ensino formal (escola) ou na aprendizagem informal (lazer, etc.) vivessem, em ação, as soluções dos quatro pro- blemas acima, até chegarem a integrá-las como parte consti- tuinte de suas concepções espontâneas. Num segundo estágio, procurou-se elaborar fichas de trabalho adequadas à peda- gogia da Assimilação Solidária para que essas concepções espontâneas pudessem ser retomadas no aparelho escolar, chegando-se, então, às formalizações das 6º e 7º séries. Os primeiros resultados foram apresentados em fevereiro de 1987 em Minicurso do | ENEM, na PUC de São Paulo, ministrado por Armando José Salgado Marinho, Dora Soraia Kindel e Maria de Fátima Pacheco. Durante 1987, Dora Soraia Kindel utilizou e aperfeiçoou as fichas de trabalho, então elaboradas, em suas salas de aula na Escola Senador Corrêa, no Rio de Janeiro, apresentando novo minicurso no II ENEM, em Maringá. A partir dos resultados obtidos o trabalho foi retomado em 1988, no Curso de Treinamento Profissional do G-Rio, desenvolvendo-se então os jogos que apresentare- mos a seguir. Parte deste material foi usado por Eliane Felipini de Almeida numa escola pública da região de Rio Claro. Em outubro de 1989 a proposta foi apresentada em Minicurso, no I Encontro Paulista de Educação Matemática, Ed. Mat. em Rev. número 5, ano 3 promovido pela SBEM na PUC de Campinas, ministrado pelo autor da versão atual, Roberto Ribeiro Baldino e seus orientados no Mestrado em Educação Matemática da UNESP, Rio Claro: Eliane Felipini de Almeida, Tânia Cristina Baptista Cabral, e Denizalde Jesiel Rodrigues Pereira. Tânia Cabral organizou a proposta em caixas de 26x19x3 em contendo os tabuleiros, dados e todo o materi- al necessário para a execução imediata dos jogos. O autor da versão | preparou uma apostila com as regras, instruções para confecção e um longo parágrafo sobre a fundamentação teórica dos jogos. Em novembro do mesmo ano a proposta foi apresentada em Seminário do GEPEM, na Universidade Santa Ursula, no Rio de Janeiro. Por muitas das conside- rações aí feitas, somos gratos à Professora Estela Kauffmann Fainguelernt. Em julho de 1990 a proposta foi usada em minicurso no I Encontro de Educação Matemática da UFMS em três Lagoas, MS. O Professor Antônio Carlos Carrera de Souza tem aproveitado esses jogos em minicur- sos oferecidos a alunos da rede pública, ministrados por seus alunos da disciplina de Prática de Ensino, na Unesp, Rio Ciaro. Em 1994 foi retomada pelo Grupo de Pesquisa-Ação em Educação Matemática do Departamento de Matemática do IGCE da UNESP, Rio Claro. ES BIBLIOGRAFIA 1. BALDINO, RR. (1994). A Ética de uma Definição Circular de Número Real. Bolema, ano 9, nº 9, 1994, UNESP, Rio Claro, pp. 31-52. 2. BROUSSEAU, G. (1983). Les obstacles épisté- mologiques et les problêmes en mathématiques. Recherches en Didactique des Mathématiques, vol. 4, nº2, pp. 165-198. 3. FREUDENTHAL, H. (1973). Mathematics as an Educational Task. Ridel, Dordrecht. 4. FREUDENTHAL, H. (1983). Didactical Phenomenology of Mathematical Structures. Ridel, Dordrecht. 5. G-RIO & GPA. (1994). 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