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Física Geral I - F 128

Aula 7

Energia Cinética e Trabalho

o

semestre, 2011

Energia

As leis de Newton permitem analisar vários movimentos. Essa análise

pode ser bastante complexa, necessitando de detalhes do movimento que

são inacessíveis. Exemplo: qual é a velocidade final de um carrinho na

chegada de um percurso de montanha russa? Despreze a resistência do

ar e o atrito, e resolva o problema usando as leis de Newton.

o (^) Semestre de 2012

i

v =

f

v =

Energia

Energia é um conceito que vai além da mecânica de Newton e

permanece útil também na mecânica quântica, relatividade,

eletromagnetismo, etc.

o (^) Semestre de 2012

A conservação da energia total de um

sistema isolado é uma lei fundamental

da natureza.

Energia

o (^) Semestre de 2012

Importância do conceito de energia:

ADP ATP

ATP ADP

( energia armazenada)

( energia liberada)

• Processos geológicos
• Balanço energético no planeta Terra
• Reações químicas
• Funções biológicas (maquinas nanoscópicas)
• Balanço energético no corpo

humano

O lado esquerdo representa a variação da energia cinética do corpo e o lado

direito é o trabalho, W, realizado pela força para mover o corpo por uma distância

d:

Problema 1-D: um corpo de massa m desloca-se na direção- x sob ação de uma

força resultante constante que faz um ângulo θ com este eixo.

Energia cinética e trabalho

Veremos a relação entre forças agindo sobre um corpo e sua energia cinética.

m

F

a

x

x

= d

m

F

v v a d

x

x

2

0

2

Se um objeto está sujeito a uma força resultante constante, a velocidade varia

conforme a equação acima após percorrer uma distância d.

Da segunda lei de Newton a aceleração na direção- x é:

m v mv F d

x

2

0

2

(o produto escalar vem

do fato que F x = F cosθ)

Então:

F



• •

θ x

v



0

v



d

m^ 

F128 – 1o Semestre de 2012 7

W = F

x

d =

F ⋅

d

Agora, qual é o trabalho realizado pela força peso sobre um corpo

de 10,2 kg que cai 1,0 metro?

Trabalho de força constante: força gravitacional

O sinal negativo indica que a força gravitacional retira a energia

mgd da energia cinética do objeto durante a subida.

Se o corpo se eleva de uma altura d , então o trabalho realizado pela força peso é:

Neste caso, qual é a velocidade final do corpo, se ele parte do repouso?

Δ K =

1

2

mv f

2 −

1

2

mv i

2

1

2

mv f

2 = W ⇒

( O mesmo resultado,

obviamente, poderia ter

sido obtido diretamente da

equação de Torricelli).

o (^) Semestre de 2012

v

v

o 

F

g

d

F

g

W = mgd cos θ = mgd cos 180

0 = − mgd

W = mgd = 10 , 2 × 9 , 8 × 1 , 0 ≈ + 100 J

v f

=

2 W

m

=

200

10 , 2

= 4 , 4 m/s

Trabalho e energia cinética em 2D ou 3D

2 2

0

x x x

F Δ x = mv − mv

2 2

0

y y y

F Δ y = mv − mv

2 2

0

z z z

F Δ z = mv − mv

W F s

W =



F ⋅Δ



s = F x

Δ x + F y

Δ y + F z

Δ z =

1

2

m ( v x

2

• v y

2

• v z

2 ) −

1

2

m ( v 0 x

2

• v 0 y

2

• v 0 z

2 )

Para cada componente:

Então:

Se uma força resultante constante provoca um deslocamento numa

partícula de massa m, o trabalho de é:

F

s

F

o (^) Semestre de 2012

(Força resultante constante com 3 componentes)

W =

mv

2 −

mv 0

2 Ou seja:

Trabalho de uma força variável (1-D)

(O trabalho é a área sob a curva de força em função da posição!)

∫

2

1

x

x

W F x dx

No limite, fazendo Δ x i

à 0

Seja F = F(x) a força resultante que atua sobre uma

partícula de massa m.

o (^) Semestre de 2012

Dividimos o intervalo ( x 2

- x 1

) em um número muito

grande de pequenos intervalos Δ x i

.

W = ∑

i

F i

Δ x i Então:

Δ x i

à 0

Trabalho realizado por uma força elástica

2 2

f

i

x

mola f i

x

W = − k xdx = − k x − x

∫

x^ x i x f

W mola

= F ( x ) dx

x i

x f

∫

Se x i

< x f

à W < 0

Se o trabalho sobre a mola (massa) for

realizado por um agente externo , seu valor

é o obtido acima, porém com sinal trocado.

Força da mola: F ( x ) = − kx

(mola sendo esticada)

o (^) Semestre de 2012

F



x

F ( x )

F ( x ) = − kx

Teorema do trabalho-energia cinética: força variável

O trabalho da força da mola até a massa parar é:

( )

2 2 2

f i f

W = − k x − x = − kx

A variação da energia cinética será: ( )

2 2 2

0

f i

Δ K = m v − v = − mv

Portanto,

Δ K = W ⇒ kx

f

2

= mv

0

2

⇒ x

f

m

k

v

0

Uma massa m atinge uma mola não distendida com velocidade.

Qual é a distância que a massa percorre até parar?

0

v

(pois x i = 0)

o (^) Semestre de 2012

k

0

v



Δ x

m

Δ x =

m

k

v

0

Exemplo: Movimento circular uniforme

Δ K = W = 0

Ou, pelo teorema do trabalho-energia cinética:

v = cte



A força altera apenas a direção do vetor velocidade, mantendo o seu

módulo inalterado.

c

F

F d s

c

, pois ⊥

A força centrípeta não realiza trabalho:

o (^) Semestre de 2012

Ausência de trabalho no movimento circular uniforme

dW =

F

c

⋅ d

s = 0

v

ds

c

F

Potência

Até agora não nos perguntamos sobre quão rapidamente é realizado um

trabalho!

A potência P é a razão (taxa) de realização do trabalho por unidade de tempo:

dW

P

dt

Considerando o trabalho em mais de uma dimensão: dW F dr

dt

d r

F

dt

dW

P

O segundo termo é a velocidade. Então:

P F v





= ⋅

Unidade SI:

J/s = watt (W)

o (^) Semestre de 2012

Um pouco de história

James Watt 1736-

Esquema de máquina a vapor de

James Watt (1788)

definição da unidade

cavalo-vapor:

1 cv = 550 lb.ft/s

1 cv = 746 W

Unidade de potência criada por Watt para fazer o

marketing de sua máquina em uma sociedade

fortemente dependente do (e acostumada ao)

trabalho realizado por cavalos.

1

a motivação: retirada da água das minas de carvão.

v = 1,0 m/s

m ~ 76 kg

o (^) Semestre de 2012

Energia cinética relativística: curiosidade

No limite para v << c :

(energia cinética relativística)

(energia cinética clássica)

o (^) Semestre de 2012

K = m 0

c

v

2

c

2

K =

m 0

v

2

v/c

K/mc

2

relativística

clássica