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Documento que apresenta os postulados básicos da algebra de booleana, incluindo as operações or, and e complemento, além de teoremas de uma, duas e n variáveis. O documento também inclui provas de alguns teoremas e exemplos de aplicação.
Tipologia: Notas de aula
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02/03/2020 1 Álgebra Booleana : Definimos um conjunto de B de elementos {a,b,c,d,....} e três operações ( OR “ou”, AND “e”, complemento). Para um conjunto B de dois elementos [0,1] ([F,V]) , A álgebra é chamada de álgebra de chaveamento (Shannon) Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 2 Postulados: a) Conjunto B Booleano, no qual existem 2 elementos. X=0 se X 1 e X=1 se X 0 b) Operação OR em B Notação {+} {V} 0 + 0 = 0 0 + 1 = 1 1 + 0 = 1 1 + 1 = 1 Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 4 Teoremas de uma variável:
Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 5 Teoremas de uma variável: Continuação
Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 7 **_Exemplo: prove o teorema b (Omitindo o operador {.})
02/03/2020 8 Teoremas de 3 variáveis c1) (X + Y) + Z = X + (Y + Z)= X + Y + Z Associativa (X.Y).Z = X.(Y.Z)=X.Y.Z c2) X.(Y + Z) =X.Y + X.Z Distributiva X + Y.Z=(X + Y).(X + Z) Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 10 Teoremas de N variáveis d1) (X1 + X2 + X3 + ... + Xn)’ = X1’. X2’. X3’....Xn’ (X1. X2. X3.....Xn)’ = X1’ + X2’ + X3’ +....+Xn’ Teorema De Morgan d2) X i. f( X1, X2, …..Xi…..Xn) = Xi. f( X1, X2, …..1…..Xn) Xi+ f( X1, X2, …..Xi…..Xn) = Xi + f( X1, X2, …..0…..Xn) Similarmente: Xi’. f( X1, X2, …..Xi…..Xn) = Xi’. f( X1, X2, …..0…..Xn) Xi’ + f( X1, X2, …..Xi…..Xn) = Xi’ + f( X1, X2, …..1…..Xn) Teorema de Shannon Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 11 Exemplo: Prove o teorema do Consenso _1) AB + A’C + BC = AB + A’C
02/03/2020 13 Exemplo: Prove o teorema abaixo usando indução perfeita (verificação) A + A’B = A + B Prova: A B A’ A’B (A + A’B) (A + B) 0 0 1 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 1 1 Prof. Duarte Lopes de Oliveira
02/03/2020 14 Exemplo: Na a função abaixo, aplique a expansão de Shannon em torno da variável a: F(a,b,c,d)=a’ b’ c d’ + a’bc’d + ac’d’ + ab’c + abc Teorema de Shannon: F(a,b,c,d)=a.F(1,b,c,d) + a’.F(0,b,c,d) Solução: F= a.(c’d’ + b’c + bc) + a’.(b’cd’ + bc’d) Prof. Duarte Lopes de Oliveira
