Docsity
Docsity

Prepare-se para as provas
Prepare-se para as provas

Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity


Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos para baixar

Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium


Guias e Dicas
Guias e Dicas

EDO E EDP - Professora liliana -Universidade Estadual do Norte Fluminense - Eng metalúrgica, Notas de aula de Cálculo Avançado

Calculo 2 - Professora liliana -Universidade Estadual do Norte Fluminense - Eng metalúrgica

Tipologia: Notas de aula

2020
Em oferta
30 Pontos
Discount

Oferta por tempo limitado


Compartilhado em 05/06/2020

ricardo-abrahao
ricardo-abrahao 🇧🇷

4.6

(7)

19 documentos

1 / 117

Toggle sidebar

Esta página não é visível na pré-visualização

Não perca as partes importantes!

bg1
UENF
Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro
CCT-LCMAT
Laboratório de Ciências Matemáticas
Métodos Matemáticos
Liliana A. L. Mescua
Rigoberto G. S. Castro
Março de 2016
pf3
pf4
pf5
pf8
pf9
pfa
pfd
pfe
pff
pf12
pf13
pf14
pf15
pf16
pf17
pf18
pf19
pf1a
pf1b
pf1c
pf1d
pf1e
pf1f
pf20
pf21
pf22
pf23
pf24
pf25
pf26
pf27
pf28
pf29
pf2a
pf2b
pf2c
pf2d
pf2e
pf2f
pf30
pf31
pf32
pf33
pf34
pf35
pf36
pf37
pf38
pf39
pf3a
pf3b
pf3c
pf3d
pf3e
pf3f
pf40
pf41
pf42
pf43
pf44
pf45
pf46
pf47
pf48
pf49
pf4a
pf4b
pf4c
pf4d
pf4e
pf4f
pf50
pf51
pf52
pf53
pf54
pf55
pf56
pf57
pf58
pf59
pf5a
pf5b
pf5c
pf5d
pf5e
pf5f
pf60
pf61
pf62
pf63
pf64
Discount

Em oferta

Pré-visualização parcial do texto

Baixe EDO E EDP - Professora liliana -Universidade Estadual do Norte Fluminense - Eng metalúrgica e outras Notas de aula em PDF para Cálculo Avançado, somente na Docsity!

UENF

Universidade Estadual do Norte Fluminense Darcy Ribeiro

CCT-LCMAT

Laboratório de Ciências Matemáticas

Métodos Matemáticos

Liliana A. L. Mescua

Rigoberto G. S. Castro

Março de 2016

  • Introdução
  • 1 Equações Diferenciais Ordinárias
  • 2 Equações Diferenciais de 1 𝑎 Ordem
    • 2.1 Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou Problema de Cauchy
    • 2.2 Interpretação Geométrica
    • 2.3 Equações de Variáveis Separáveis
      • 2.3.1 Exercícios
    • 2.4 Equações Lineares
      • 2.4.1 Exercícios
    • 2.5 Equações Exatas
      • 2.5.1 Exercícios
    • 2.6 Fatores Integrantes
      • 2.6.1 Exercícios
    • 2.7 Equações Homogêneas
      • 2.7.1 Exercícios
    • 2.8 Equações Redutíveis a um dos Tipos Anteriores
      • 2.8.1 Exercícios
  • 3 EDO’s Lineares de Ordem Superior
    • 3.1 EDO Incompleta com Coeficientes Constantes
      • 3.1.1 Caso I: Raízes Reais
      • 3.1.2 Caso II: Raízes Reais Repetidas
      • 3.1.3 Caso III: Raízes Complexas
    • 3.2 EDO Completa com Coeficientes Variáveis
      • 3.2.1 Método de Variação de Parâmetros (MVP)
    • 3.3 Exercícios
  • 4 Sistema de Equações Diferenciais Lineares
    • 4.1 Sistemas Homogêneos de 1 𝑟𝑎 Ordem
      • 4.1.1 Autovalores Reais Distintos
      • 4.1.2 Autovalores Complexos
      • 4.1.3 Autovalores Repetidos
      • 4.1.4 Exercícios
    • 4.2 Sistemas Não Homogêneos de 1 𝑟𝑎 Ordem
      • 4.2.1 Método de Variação de Parâmetros
    • 4.3 Exercícios
  • 5 Transformada de Laplace
    • 5.1 Transformada Inversa
    • 5.2 Teoremas de Translação
    • 5.3 Derivada e Integral de uma Transformada
    • 5.4 Função Degrau Unitário
    • 5.5 Aplicação as Equações Lineares com Coeficientes Constantes
    • 5.6 Exercícios
  • 6 Equações Diferenciais Parciais
    • 6.1 Séries Infinitas
      • 6.1.1 Séries de Fourier
      • 6.1.2 Exercícios
    • 6.2 Equações Diferenciais em Derivadas Parciais (EDP)
    • 6.3 Equações Fundamentais da Física-Matemática
      • 6.3.1 Equação do Calor
      • 6.3.2 Equação de Onda ou da Corda Vibrante
      • 6.3.3 Equação de Laplace
    • 6.4 Exercícios
  • A
    • A.1 Números Complexos

Capítulo 1

Equações Diferenciais Ordinárias

Definição 1.1. Chama-se equação diferencial ordinária (EDO) a uma equação que es- tabelece uma relação entre a variável independente 𝑥, a função desconhecida 𝑦(𝑥) e suas de- rivadas 𝑦′, 𝑦′′, 𝑦′′′,... , 𝑦(𝑛)

𝑦′^ = 𝑑𝑥𝑑𝑦 = 𝐷𝑦, 𝑦′′^ = 𝑑

𝑑𝑥^2 =^ 𝐷

2 𝑦, 𝑦′′′ = 𝑑^3 𝑦

𝑑𝑥^3 =^ 𝐷

𝑑𝑥𝑛^ =^ 𝐷

Simbolicamente, pode-se escrever: 𝐹 (𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′,... , 𝑦(𝑛)) = 0

sendo, 𝑥 ∈ 𝐼 (𝐼 intervalo aberto em R).

Exemplo 1.1. A seguir algumas equações diferenciais ordinárias

𝑎) 𝑦′^ = 𝑥 𝑏) 𝑦′′^ + 𝑦 = 0 𝑐) (1 + 𝑥^2 )𝑦′^ = arctan 𝑥 𝑑) 𝑦′^ = (^) 𝑥 2 𝑥𝑦+ 𝑦 2. Equações diferenciais são classificadas de acordo a ordem e linearidade:

Definição 1.2. A ordem de uma equação diferencial é o maior ordem (grau) da derivada que figura nessa equação.

Exemplo 1.2. Do exemplo anterior concluímos que

𝑖) As equações 𝑎), 𝑐), 𝑑) são de ordem 1. Diz-se que são equações de 1 𝑟𝑎^ ordem. 𝑖𝑖) A equação 𝑏) é de ordem 2. Equação de 2 𝑑𝑎^ ordem. 𝑖𝑖𝑖) 𝑦(4)^ + 𝑦′′^ − 𝑦^3 = sen 𝑥, com 𝑥 ∈ R é de 4 𝑎^ ordem.

Definição 1.3. (EDO Linear) Sejam as funções 𝑎𝑖(𝑥), 𝑖 = 1, 2 ,... , 𝑛, e 𝑏(𝑥) contínuas em (𝑎, 𝑏) e 𝑎 0 (𝑥) ̸= 0, ∀ 𝑥 ∈ (𝑎, 𝑏). Uma equação da forma

𝑎 0 (𝑥) 𝑦(𝑛)^ + 𝑎 1 (𝑥) 𝑦(𝑛−1)^ + 𝑎 2 (𝑥) 𝑦(𝑛−2)^ + · · · + 𝑎𝑛− 1 (𝑥) 𝑦′^ + 𝑎𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑏(𝑥), (1.1)

chama-se equação diferencial ordinária linear de ordem n (𝑛 ≥ 1).

Pode-se escrever a equação (1.1) na forma:

𝑦(𝑛)^ + 𝑝 1 (𝑥) 𝑦(𝑛−1)^ + 𝑝 2 (𝑥) 𝑦(𝑛−2)^ + · · · + 𝑝𝑛− 1 (𝑥) 𝑦′^ + 𝑝𝑛(𝑥) 𝑦 = 𝑞(𝑥), (1.2)

ou [︁ 𝐷(𝑛)^ + 𝑝 1 (𝑥) 𝐷(𝑛−1)^ + 𝑝 2 (𝑥) 𝐷(𝑛−2)^ + · · · + 𝑝𝑛− 1 (𝑥) 𝐷 + 𝑝𝑛(𝑥)

]︁

Observação 1.1. Denotando a expressão a esquerda de (1.3) pelo operador linear 𝐿(𝐷) 𝑦, obtemos 𝐿(𝐷) 𝑦 = 𝑞(𝑥), ou abreviadamente

𝐿(𝑦) = 𝑞(𝑥). (1.4)

Se 𝑞(𝑥) = 0 para todo 𝑥, a equação (1.4) é chamada homogênea ou incompleta. Se 𝑞(𝑥) ̸= 0 para algum 𝑥, a equação (1.4) se diz não homogênea ou completa.

Exemplo 1.3. A equação 𝑦′′^ − 2 𝑦′^ + 𝑦 = 0 é uma EDO de 2 𝑑𝑎^ ordem linear homogênea

Exemplo 1.4. As equações 𝑦𝑦′′^ − 2 𝑦 = 𝑥 e 𝑦′′′^ + 𝑦^2 = 0 são EDO’s não lineares, de 2 𝑑𝑎^ e 3 𝑎^ ordem respectivamente (a EDO é não-linear quando não for de primeiro grau em 𝑦 ou em suas derivadas).

Definição 1.4. A EDO dada na definição (1.1) está na forma normal quando se encontra explicitada em relação à derivada de maior ordem que nela figura, isto é

𝑦(𝑛)^ = 𝐺(𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′,... , 𝑦(𝑛−1)).

As equações diferenciais 𝑎) e 𝑑) do exemplo (1.1) estão na forma normal. As outras não o estão, mas é possível pô-las escrevendo 𝑦′′^ = −𝑦 e 𝑦′^ = arctan 1 + 𝑥 2 𝑥. A equação do item (iii) do exemplo (1.2) em sua forma normal escreve-se 𝑦(4)^ = sen 𝑥 − 𝑦′′^ + 𝑦^3.

Observação 1.2. Nem sempre é possível escrever uma equação em sua forma normal.

Exemplo 1.5. As equações

𝑎) 𝑦 = 𝑥𝑦′^ − 14 (𝑦′)^2 𝑏) (𝑦′)^4 − (𝑥 + 2𝑦 + 1)(𝑦′)^3 − 2 𝑥𝑦𝑦′^ = 0

são equações de 1 𝑟𝑎^ ordem, em que 𝑦′^ não pode ser explicitada em função de 𝑦 e de 𝑥.

Capítulo 2

Equações Diferenciais de 1 𝑎^ Ordem

As EDO’s de primeira ordem se apresentam sob duas formas equivalentes:

  1. Forma Normal: 𝑦′^ = 𝑓 (𝑥, 𝑦).
  2. Forma Diferencial: 𝑃 (𝑥, 𝑦) 𝑑𝑥 + 𝑄(𝑥, 𝑦) 𝑑𝑦 = 0.

2.1 Problema de Valor Inicial (P.V.I.) ou Problema de

Cauchy

Um Problema de Valor Inicial (P.V.I) consiste em resolver uma EDO de primeira ordem 𝑑𝑦 𝑑𝑥 =^ 𝑓^ (𝑥, 𝑦) sujeita a uma condição inicial 𝑦(𝑥 0 ) = 𝑦 0.

Em termos geométricos, procuramos uma solução para uma EDO, definida em algum inter- valo 𝐼 tal que o gráfico da solução passe por um ponto (𝑥 0 , 𝑦 0 ) ∈ 𝐼 determinado a priori.

Exemplo 2.1. Resolver o problema de valor inicial em 𝐼 = (−∞, ∞). ⎧ ⎨ ⎩

𝑦′^ = 𝑦,

Sol.: É simples verificar que para qualquer valor de 𝐶 (constante), 𝑦 = 𝐶𝑒𝑥^ satisfaz a equação 𝑦′^ = 𝑦 em 𝐼. Porém, só 𝑦 = 3𝑒𝑥^ é a única função da “família de soluções” que satisfaz a condição 𝑦(0) = 3𝑒^0 = 3, Fig. 2.1.

Figura 2.1: Família de Soluções de 𝑦′^ = 𝑦.

Observação 2.1. O exemplo anterior, levanta duas questões fundamentais:

  1. Existe sempre uma solução para um Problema de Valor Inicial?
  2. Se existe ela é única? Em outras palavras, por cada ponto fixo (𝑥 0 , 𝑦 0 ) passa uma única solução 𝑦 = 𝑦(𝑥)?. O seguinte exemplo, mostra que a resposta a segunda pergunta as vezes é não.

Exemplo 2.2. Uma simples substituição das funções: 𝑦 = 𝑥

4 16 e^ 𝑦^ = 0, Figura 2.2,

Figura 2.2: Soluções de 𝑦′^ = 𝑥𝑦^1 /^2.

permite verificar que ambas satisfazem o P.V.I: ⎧ ⎨ ⎩

𝑦′^ = 𝑥𝑦^1 /^2 ,

Geometricamente, a equação (2.4) afirma que em qualquer ponto (𝑥, 𝑦), o coeficiente angular 𝑦′^ da solução neste ponto é dado por 𝑓 (𝑥, 𝑦). Podemos representar graficamente esta situação traçando um pequeno segmento de reta no ponto (𝑥, 𝑦) com coeficiente angular 𝑓 (𝑥, 𝑦). O conjunto de segmentos de reta é conhecida como o campo de direções da equação diferencial (2.4).

Exemplo 2.3. Seja a equação diferencial 𝑦′^ = 𝑦, onde 𝑓 (𝑥, 𝑦) = 𝑦. O campo de direções desta equação diferencial é mostrada na Figura 2.3. Note que a solução é a função 𝑦(𝑥) = 𝐶𝑒𝑥, onde 𝐶 ∈ R.

Figura 2.3: Campo de direções da equação 𝑦′^ = 𝑦.

Exemplo 2.4. Seja a equação diferencial 𝑑𝑦𝑑𝑥 = √︀ 𝑥^2 + 𝑦^2. Para a construção do campo de direções desta equação, acha-se o lugar geométrico dos pontos nos quais as tangentes as curvas integrais (ou gráfico das soluções) procuradas conservam uma direção constante. Tais linhas chamam-se isóclinas (Fig. 2.4).

A equação das isóclinas obtém-se considerando 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑘, onde 𝑘 é uma constante. Logo, para este exemplo temos

𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑘, ou 𝑥^2 + 𝑦^2 = 𝑘^2. Consequentemente as isóclinas são circunferências com centro na origem de coordenadas, e o coeficiente angular da tangente às curvas integrais procuradas é igual ao raio de ditas circunferências. Para construir o campo de direções, damos a constante 𝑘 certos valores determinados.

Figura 2.4: Campo de Direções e Isóclinas da eq. 𝑑𝑦𝑑𝑥 =

𝑥^2 + 𝑦^2.

2.3 Equações de Variáveis Separáveis

Uma equação diferencial ordinária de 1 𝑟𝑎^ ordem é separável se for da forma

𝑑𝑦 𝑑𝑥 =^ 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦)^ (2.5)

ou se for possível, por manipulações algébricas elementares, reescrever a equação na forma diferencial

𝑀 (𝑥) 𝑑𝑥 + 𝑁 (𝑦) 𝑑𝑦 = 0 (2.6)

Resolver (2.6) se reduz a uma integração em cada variável.

Observação 2.3. Lembremos que, se 𝑦 = 𝑓 (𝑥) e f é diferenciável, então a diferencial na variável 𝑦, é 𝑑𝑦 = 𝑓 ′(𝑥) 𝑑𝑥. Logo,

𝑑𝑦 = 𝑦′^ 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦𝑑𝑥 𝑑𝑥

sendo 𝑑𝑥 o diferencial da variável 𝑥.

Exemplo 2.5. Resolva a EDO 𝑦′^ = 2𝑥 𝑒−𝑦.

Sol.: Multiplicando por 𝑒𝑦^ 𝑑𝑥 na equação diferencial dada, temos:

𝑒𝑦^ 𝑦′^ 𝑑𝑥 = 2𝑥 𝑒−𝑦^ 𝑒𝑦^ 𝑑𝑥

isto é, 𝑒𝑦^ 𝑑𝑦 = 2𝑥 𝑑𝑥.

Por outro lado, é simples verificar que 𝑦(𝑥) = 2 e 𝑦(𝑥) = − 2 são soluções da EDO 2.11. Mas só 𝑦(𝑥) = − 2 satisfaz a condição inicial do problema (P.V.I).

Note na Figura 2.5 que:

  1. As soluções são limitadas quando 𝐶 < 0 , − 2 < 𝑦(𝑥) < 2 , 𝑥 ∈ R.
  2. As soluções são ilimitadas quando 𝐶 > 0.

Figura 2.5: Soluções da EDO 2.

2.3.1 Exercícios

  1. Usando variáveis separáveis determine a solução da equação.

(a) 𝑦√ 1 − 𝑥^2 𝑦′^ = 𝑥 (b) 𝑥^5 𝑦′^ + 𝑦^5 = 0 (c) 𝑥 𝑑𝑦 = (1 − 2 𝑥^2 ) tan 𝑦 𝑑𝑥; (d) 𝑒−𝑥𝑑𝑦 + (𝑥𝑒𝑦^ + 𝑒−𝑥+𝑦)𝑑𝑥 = 0

(e) 𝑥𝑦𝑦′^ = 𝑦 + 2 ; 𝑦(0) = − 2 (f) 𝑦′^ − 𝑦 = 3 ; 𝑦(1) = − 3 (g) 𝑦′(1 + 𝑦) = (1 − 𝑥^2 ); 𝑦(−1) = − 2 (h) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 3 𝑥

2 3 𝑦^2 − 4 ;^ 𝑦(1) = 0

  1. Usando variáveis separáveis determine a solução da equação. (a) (1 + 𝑦^2 ) 𝑑𝑥 + 𝑥𝑦 𝑑𝑦 = 0, 𝑦(5) = 0 (b) 𝑦 𝑑𝑦 + (𝑥𝑦^2 − 8 𝑥) 𝑑𝑥 = 0, 𝑦(1) = 3; (c) cos 𝑥 cos 𝑦 𝑑𝑥 = sen 𝑥 sen 𝑦 𝑑𝑦, 𝑦(𝜋 2 ) = 𝜋

(d) (1 + 𝑦)𝑦′^ = 𝑦 ; 𝑦(1) = 1 (e) 𝑥𝑦′^ − 𝑥𝑦 = 𝑦; 𝑦(1) = 1 (f) 𝑦′^ =^2 𝑥𝑦

𝑥^2 𝑦 − 𝑦 ,^ 𝑦(

  1. A equação diferencial 𝑝 𝑑𝑣 + 𝑘𝑣 𝑑𝑝 = 0 descreve a variação adiabática (processo de transformação de um sistema no qual no há trocas térmicas com o exterior) do estado do ar, com 𝑝 = pressão; 𝑣 = volume; 𝑘 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒. Exprima 𝑝 como função de 𝑣.
  2. O planeamento dum sistema de abastecimento de água para uma povoação baseia-se no modelo matemático 𝑑𝑝 𝑑𝑡 =^ 𝑘𝑝(𝑝𝑀^ −^ 𝑝) em que 𝑘 = 10−^6 habitante/ano; 𝑝𝑀 = 10^5 habitantes; 𝑝 = população no instante 𝑡. A população inicial é de 104 habitantes. Determine o tempo aproximado, necessário para a população atingir 15000 habitantes.
  3. Sabendo que a velocidade de resfriamento de um corpo, num ambiente de temperatura constante, é proporcional à diferença entre a sua temperatura 𝑇 (𝑡) em cada instante e a temperatura do meio ambiente 𝑇𝑚 (Lei do resfriamento de Newton), isto é: 𝑑𝑇 𝑑𝑡 =^ 𝑘(𝑇^ −^ 𝑇𝑚) Resolva o seguinte problema: Um objecto metálico à temperatura de 100 𝑜^ é mergu- lhado num rio. Ao fim de cinco minutos a temperatura do objecto desceu para 60 𝑜. Determine o instante em que a temperatura do objecto é de 31 𝑜, sabendo que a tem- peratura da água do rio é de 30 𝑜.
  4. A velocidade de desintegração radioativa de um elemento é proporcional à sua con- centração em cada instante: 𝑑𝐴𝑑𝑡 = 𝑘𝐴. Sabendo que a meia vida (o tempo gasto para metade dos átomos de uma quantidade inicial 𝐴 0 se desintegrar ou se transmutar em átomos de outros elemento) do rádio é de 1590 anos, determine a percentagem de massa que se desintegra ao fim de 100 anos.
  5. A população de uma certa comunidade cresce a uma taxa proporcional ao número de pessoas presentes em qualquer instante. Se a população duplicou em 5 anos, quando ela triplicará?. Quando quadruplicará?
  6. Use o campo de direções gerado pelo computador para esboçar, a mão, uma curva integral aproximada que passe pelos pontos indicados. 𝑎) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑥𝑦 ; 𝑦(4) = 2. 𝑏) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑒−^0 ,^001 𝑥𝑦^2 ; 𝑦(0) = − 4.

𝑐) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = sen 𝑥 cos 𝑦; 𝑦(1) = 0. 𝑑) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 1 − 𝑥𝑦; 𝑦(−1) = 0.

Integrando ambos membros de (2.22) obtemos

𝑒 ∫︀ 𝑝(𝑥)^ 𝑑𝑥^ 𝑦 =

∫︀ 𝑝(𝑥)^ 𝑑𝑥^ 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶, ou 𝑦(𝑥) = 𝑒−

∫︀ 𝑝(𝑥) 𝑑𝑥 [︁∫︁

∫︀ 𝑝(𝑥)^ 𝑑𝑥^ 𝑞(𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶

]︁

Portanto, esta é a solução geral da equação (2.16).

Exemplo 2.8. Ache uma solução geral de (𝑥^2 + 1)𝑦′^ + 3𝑥𝑦 = 6𝑥.

Sol.: Dividindo por (𝑥^2 + 1) a anterior equação fica

𝑦′^ + (^) 𝑥 (^23) + 1𝑥 𝑦 = (^) 𝑥 (^26) + 1𝑥.

Então, 𝑝(𝑥) = (^) 𝑥 (^23) + 1𝑥 e 𝑞(𝑥) = (^) 𝑥 (^26) + 1𝑥.

O fator integrante é dado por:

𝜇(𝑥) = 𝑒

𝑥^2 + 1 𝑑𝑥^ = 𝑒

3 ln(𝑥^2 + 1) (^2) = (𝑥^2 + 1)^3 /^2.

Logo, a solução é dada por

𝑦(𝑥) = (𝑥^2 + 1)−^3 /^2

[︁∫︁

(𝑥^2 + 1)^3 /^2 𝑥 26 + 1𝑥 𝑑𝑥 + 𝐶

]︁

= (𝑥^2 + 1)−^3 /^2

[︁∫︁

6 𝑥(𝑥^2 + 1)^1 /^2 𝑑𝑥 + 𝐶

]︁

= (𝑥^2 + 1)−^3 /^2 [2(𝑥^2 + 1)^3 /^2 + 𝐶]

= 2 + 𝐶 (𝑥^2 + 1)−^3 /^2 , 𝐶 ∈ R (2.24)

Exemplo 2.9. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) ⎧⎨ ⎩

𝑦′^ − 3 𝑦 = 𝑒^2 𝑥

Sol.: Temos que 𝑝(𝑥) = − 3 e 𝑞(𝑥) = 𝑒^2 𝑥. O fator integrante é 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫︀ −^3 𝑑𝑥^ = 𝑒−^3 𝑥. Logo, a solução é dada por

𝑦(𝑥) =

𝑒−^3 𝑥^ 𝑒^2 𝑥^ 𝑑𝑥 + 𝐶

𝑒^3 𝑥^ =

𝑒−𝑥^ 𝑑𝑥 + 𝐶

𝑒^3 𝑥^ (2.26)

− 𝑒−𝑥^ + 𝐶

𝑒^3 𝑥^ = −𝑒^2 𝑥^ + 𝐶 𝑒^3 𝑥. (2.27)

Pela condição inicial temos

𝑦(0) = −1 + 𝐶 = 3 =⇒ 𝐶 = 4.

Logo, a solução do PVI é dado por 𝑦(𝑥) = 4𝑒^3 𝑥^ − 𝑒^2 𝑥.

Exemplo 2.10. Resolva o Problema de Valor Inicial (PVI) ⎧ ⎨ ⎩

𝑥^2 𝑦′^ + 𝑥 𝑦 = sen 𝑥 𝑦(1) = 2

Sol.: Dividindo por 𝑥^2 temos que 𝑦′^ + 𝑦/𝑥 = sen 𝑥/𝑥^2 , de modo que o fator integrante é 𝜇(𝑥) = 𝑒 ∫︀ 1 𝑥^ 𝑑𝑥 = 𝑒ln^ 𝑥^ = 𝑥. Assim, a solução é

𝑦(𝑥) =

𝑥 sen𝑥 2 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

𝑥−^1 =

sen𝑥^ 𝑥𝑑𝑥 + 𝐶

𝑥−^1. (2.29)

Observamos que a antiderivada de sen 𝑥/𝑥 não é possível calcular. Podemos usar o Teorema Fundamental do Cálculo para escrever uma antiderivada de uma função contínua arbitrária 𝑓 (𝑥) na forma 𝐹 (𝑥) = ∫︀ 𝑎𝑥 𝑓 (𝑡) 𝑑𝑡. Logo, temos que:

𝑦(𝑥) =

0

sen 𝑡 𝑡 𝑑𝑡^ +^ 𝐶

𝑥−^1. (2.30)

O limite de integração 𝑎 = 0 é permissível porque sen 𝑡/𝑡 → 1 quando 𝑡 → 0.

Aplicando a condição inicial temos 𝑦(1) =

0

sen 𝑡 𝑡 𝑑𝑡^ +^ 𝐶^ = 2.

Logo, 𝐶 = 2 − ∫︀ 01 sen𝑡 𝑡𝑑𝑡, de onde substituindo em (2.30) obtemos

𝑦(𝑥) =

0

sen 𝑡 𝑡 𝑑𝑡^ + 2^ −

0

sen 𝑡 𝑡 𝑑𝑡

𝑥−^1.

Portanto, 𝑦(𝑥) =^2 𝑥 + 𝑥^1

1

sen 𝑡 𝑡 𝑑𝑡^ é a solução do PVI.

2.4.1 Exercícios

  1. Determine a solução geral para os problemas seguintes (a) 𝑦′^ − 𝑥𝑦 = 0 (b) 𝑦′^ + 𝑥𝑦 = 𝑥 (c) 𝑦′^ + 𝑦 = (^) 1+^1 𝑒 2 𝑥 (d) 𝑦′^ + 𝑦 = 2𝑥𝑒−𝑥^ + 𝑥^2 (e) (1 + 𝑥^2 )𝑦′^ + 2𝑥𝑦 = cot 𝑥 (f) 𝑦′^ + 𝑦 = 5 sen 2𝑡

(g) 𝑦′^ − 2 𝑦 = 𝑡^2 𝑒^2 𝑡 (h) 𝑦′^ + (1/𝑥)𝑦 = 3 cos 2𝑥 (i) 𝑡𝑦′^ + 2𝑦 = sen 𝑡 , 𝑡 > 0 (j) (1 + 𝑡^2 )𝑦′^ + 4𝑡𝑦 = (1 + 𝑡^2 )−^2 , 𝑡 > 0 (k) 𝑡𝑦′^ − 𝑦 = 𝑡^2 𝑒−𝑡 (l) 2 𝑦′^ + 𝑦 = 3𝑡^2