Distribuição de Maxwell e Média de Velocidades em Físico-Química, Resumos de Físico-Química

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INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO

AMAPÁ – IFAP

ALINE CRISTINA MARTINS CONCEIÇÃO

WELLINGTON CORRÊA DA SILVA

INTEGRAL TRIPLA APLICADA A FÍSICO-QUÍMICA

MACAPA-AP

INSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO, CIÊNCIA E TECNOLOGIA DO

AMAPÁ – IFAP

ALINE CRISTINA MARTINS CONCEIÇÃO

WELLINGTON CORRÊA DA SILVA

INTEGRAL TRIPLA APLICADA A FÍSICO-QUÍMICA

Trabalho apresentado no curso de Licenciatura em Química no Instituto Federal do Amapá-IFAP, campus Macapá, referente à disciplina Cálculo Diferencial e integral ll como requisito de nota parcial dos alunos do 3º semestre-Matutino, sob a orientação do professor Márcio Abreu. MACAPÁ-AP 2019

DISTRIBUIÇÃO DE MAXWELL

Na distribuição de Maxwell pode ser calculada a média de qualquer quantidade que dependa da velocidade. Em um recipiente as moléculas viajam em várias direções, com diferentes velocidades, sendo seus movimentos completamente ao acaso. Imagine o seguinte problema, onde você quer calcular a probabilidade de se encontrar uma molécula com velocidade entre os valores c e c+dc. , independentemente de sua direção. Dividiremos o problema e combinaremos as soluções destas. Considere u, v e w, sendo as componentes da velocidade x, y e z, respectivamente. Seja dnu o número de moléculas cuja a componente x tenha um valor entre u e u+du , Então a probabilidade de encontrar a tal molécula é, por definição, dnu/N, onde N é o número de moléculas no recipiente. Se a largura do intervalo, du , for pequena, é razoável admitir que se dobrando a sua largura dobrará o número de moléculas no intervalor. Portando dnu/N é proporcional a du. A probabilidade de dnu/N também dependerá da componente u., portanto, escreveremos

dnn/N = f (u

2

) du

De modo que implicitamente a probabilidade de dnn/N não depende de modo algum dos valores das componentes v e w , nas direções y e z. Em virtude do movimento molecular ser ao acaso, a probabilidade de encontrar uma molécula com a componente x no intervalo entre u e u+ du é a mesma de encontrar a molécula com a componente x no intervalo entre – u e – ( u + du). A probabilidade de dnuvw/N de encontrar uma molécula com componentes da velocidade simultaneamente nos intervalos entre u e u + du, v e v + dv e w e w +dw é dada pelo produto das probabilidades individuais: dnuvw/ N = (dnu/N) (dnv/N) (dnw/N), ou dnuvw/N = f (u^2 ) f ( v^2 ) f ( w^2 ) du d v dw.

VALORES MÉDIOS DAS COMPONENTES INDIVIDUAIS – EQUIPARTIÇÃO

DA ENERGIA

Para calcular os valores médios das componentes da velocidade é conveniente usar a distribuição de Maxwell. O valor médio de u é então dado por uma equação:

− ∞ ∞

− ∞ ∞

− ∞ ∞

u dnuvw = ‹ u›

N

Esta integração é feita para todos os possíveis valores das três componentes; note-se que qualquer componente pode ter qualquer valor de -∞ a + ∞. Usando dn uvw , obtemos

< u ≥∫

− ∞ ∞

− ∞ ∞

− ∞ ∞

eu – β(u² +^ v²^ +^ w ²)^ du dv dw

= A³ ∫

− ∞ ∞

eu – βu²^ d u ∫

− ∞ ∞

e -β v²^ d v ∫

− ∞ ∞

e –β w²^ d w.

A primeira integral da equação é nula; portanto ‹ u› = 0. O mesmo resultado é obtido para o valor médio das outras componentes:

‹ u › = ‹v› = ‹ w › = 0.

A razão para que o valor médio das componentes individuais seja zero é fisicamente óbvia. Se o valor médio de qualquer componente tivesse um valor diferente de zero, isto corresponderia a um movimento de massa do gás como um todo nesta direção particular, a presente discussão aplica-se apenas a gases em repouso. A função distribuição para a componente x pode ser escrita:

1 dnu = f (u^2 ) = (

m

2 ᴫkTkT )

1/2e-mu²/2Kt, que representa graficamente na( fig4.11). É a simetria da função relativamente à origem de u que leva ao valor nulo de < u >¿. A interpretação da temperatura como uma medida da largura da

< ∈ x>=

Kt.

O mesmo resultado pode ser obtido para < ∈ y> e < ∈ z>; portanto:

< ∈ x>=< ∈ y>=< ∈ z>=

Kt.

Como a energia cinética total média é a soma de três termos, o seu valor é (3/2)kT, valor este dado pela eq.(4.13a):

< ∈ > = < ∈ x>+< ∈ y>+< ∈ z>=

kT 2

kT 2

kT 2

kT.

A eq.(4.68) exprime a importante lei da equipartição da energia. Ela diz que a energia total média é dividida entre três componentes independentes do movimento que são chamados graus de liberdade. A molécula tem três graus de liberdade de transição. A lei da equipartição pode ser enunciada do seguinte modo: se a energia de uma molécula puder ser escrita na forma de uma soma de termos, cada um dos quais proporcional ao quadrado de uma velocidade ou de um deslocamento, então cada um dos termos quadrados contribui com (1/2)Kt para a energia média. Como por exemplo, a energia translacional de cada molécula no gás é:

kT +

kT +

kT=

Kt.

Considerações Finais Referência CASTELLAN, Gilbert William. Fundamentos da Físico-química. Rio de janeiro: LTC,2015.